ESTADISTICA Y PROBABILIDAD ESTADÍSTICA

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1 ESTADÍSTICA La estadística trata del recuento, ordenación y clasificación de los datos obtenidos por las observaciones, para poder hacer comprobaciones y sacar conclusiones. Un estudio estadístico consta de las siguientes fases: 1. Recogida de datos; 2. Organización y representación de datos; 3. Análisis de datos; 4. Obtención de conclusiones. A. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS. TABLA DE FRECUENCIAS. 1. Variable, población y muestra Si queremos saber cuánto caminan diariamente los alumnos de un instituto, les preguntaremos a todos (muestra exhaustiva) o a algunos escogidos por cursos (muestra estratificada) o elegidos al azar (muestra aleatoria). La población son todos los alumnos del instituto, la muestra está formada por los alumnos encuestados y la variable es la distancia que camina cada alumno diariamente, que como se puede cuantificar diremos que es una variable cuantitativa. En cambio, cuando se pretende saber cuál es el programa de TV favorito entre los miembros de una familia, la población es esa familia y la variable es cualitativa, pues no se expresa con una cantidad numérica. Por lo que podemos definir los primeros conceptos estadísticos: Población: es el conjunto de todos los elementos a los que se somete a un estudio estadístico. Individuo: a cada uno de los elementos que componen la población, también se le puede denominar unidad estadística. Muestra: es un conjunto representativo de la población de referencia, el número de individuos de una muestra es menor que el de la población. Muestreo: es la reunión de datos que se desea estudiar, obtenidos de una proporción reducida y representativa de la población. Zarela Losada 1

2 Valor: es cada uno de los distintos resultados que se pueden obtener en un estudio estadístico. Ejemplo: si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos dos valores: cara y cruz. Dato: es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar un estudio estadístico. Ejemplo: si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5 datos: cara, cara, cruz, cara, cruz. 2. Frecuencia relativa y absoluta: En la siguiente imagen aparecen los datos recogidos en una encuesta, el recuento se expresa en las casillas de la primera columna, la frecuencia absoluta (aparece según el libro que consultemos con una representación distinta, la más utilizada es como f i ) de un valor o tramo de la variable es el número de veces que aparece ese valor en los datos recogidos. A continuación se escribe cada frecuencia absoluta entre el número total de datos o tamaño de la muestra, N: Zarela Losada 2

3 La frecuencia relativa aparece según el libro que consultemos con una representación distinta, la más utilizada es n i Otras tipo de frecuencias que debemos conocer son: Frecuencia acumulada: La frecuencia acumulada es la suma de las frecuencias absolutas de todos los valores inferiores o iguales al valor considerado. Se representa por F i. Frecuencia relativa acumulada: La frecuencia relativa acumulada es el cociente entre la frecuencia acumulada de un determinado valor y el número total de datos. Se puede expresar en tantos por ciento. Ejemplo: Durante el mes de julio, en una ciudad se han registrado las siguientes temperaturas máximas: 32, 31, 28, 29, 33, 32, 31, 30, 31, 31, 27, 28, 29, 30, 32, 31, 31, 30, 30, 29, 29, 30, 30, 31, 30, 31, 34, 33, 33, 29, 29. Para representar los datos que nos dan en el ejemplo tenemos que colocar en la primera columna de la tabla la variable ordenada de menor a mayor, luego en la segunda columna de la tabla hacemos el recuento y en la tercera columna de la tabla vamos a anotar la frecuencia absoluta. Este tipo de tablas de frecuencia se utilizan con variables discretas. Zarela Losada 3

4 3. Porcentajes y ángulos: Si un valor aparece 6 veces en los 20 datos, su frecuencia relativa es 6/20=0,3 que es igual a 30/100 o 30% (fracciones equivalentes por 5), 30 es el porcentaje de ese valor. De la misma manera si consideramos que el total de datos representa los 360º grados de la circunferencia, cuántos grados corresponderán a ese valor? 0,3 360 grados =108 grados Observa que la suma total de la primera columna es 1, el total de los porcentajes es 100 y el total de la tercera columna de la escena es 360. B. GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. 1. Diagrama de barras Fíjate atentamente en el ejemplo, al hacer el recuento de las estaturas se obtiene el diagrama de barras. La altura de cada barra es la frecuencia absoluta del dato que representa. El gráfico indica fácilmente a primer golpe de vista cuál es el tramo de altura que más se da entre los 30 alumnos. La altura de cada barra Zarela Losada 4

5 también se podría haber definido con las frecuencias relativas o con los porcentajes, el gráfico sería similar. Otro gráfico que se ve a menudo es la línea que une los centros de la parte superior de las columnas o línea poligonal. Se utilizan para representar tablas de frecuencias correspondientes a variables cuantitativas discretas. Por eso, las barras son estrechas se sitúan sobre valores puntuales de la variable. También se pueden representar variables cualitativas. 2. Histogramas Se utilizan para la distribución de variables continuas. En este caso las barras con rectángulos tan anchos como los intervalos. Ejemplo Zarela Losada 5

6 3. Polígonos de frecuencia Se construyen uniendo los puntos medios de los rectángulos, bien de las barras de los diagramas o bien de los rectángulos de los histogramas, y prolongando el principio y el final, hasta llegar al eje. Ejemplo: 4. Diagrama de sectores Muchas veces habrás visto un gráfico como el de la derecha, gráfico de sectores, el ángulo central que ocupa un sector mide en grados: Las áreas de los sectores son directamente proporcionales a las frecuencias del valor de la variable que representan. Veámoslo con un ejemplo: 5. Pictogramas Un pictograma es un tipo de gráfico, que en lugar de barras, utiliza una figura proporcional a la frecuencia. Generalmente se emplea para representar variables cualitativas. Zarela Losada 6

7 Ejemplo: las bebidas escogidas en una máquina, C. EXPERIMENTOS ALEATORIOS. 1. Sucesos. Espacio muestral Al extraer una carta de una baraja, lanzar una moneda, tirar un dado, y en otros ejemplos análogos, no podemos saber de antemano el resultado que se va a obtener. Son experimentos aleatorios, aquellos en los que no se puede predecir el resultado y de ellos se trata aquí. El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio se llama espacio muestral, y cada uno de esos posibles resultados es un suceso elemental. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral; se verifica cuando ocurre cualquiera de los sucesos elementales que lo forman. Hay un suceso que se verifica siempre, el suceso seguro que es el mismo espacio muestral. Zarela Losada 7

8 2. Diagrama en árbol Si lanzamos un dado dos veces cuál será el espacio muestral? Y si se extraen bolas de una urna? En estos casos los diagramas de árbol nos ayudan a determinar los sucesos elementales. En el ejemplo calculamos los sucesos elementales que resultan al lanzar dos veces una moneda. Cuatro sucesos elementales, que se representan así: 3. Unión e intersección de sucesos La unión de sucesos equivale a la disyunción "o", es decir, si A es el suceso "sacar par" al tirar el dado y B es el suceso "sacar un múltiplo de 3": A={2, 4, 6} B={3, 6}, el suceso unión, AUB, se verifica cuando ocurre A o B: AUB={2, 3, 4, 6} La intersección equivale a la conjunción y : Veamos el mismo ejemplo representado mediante la ayuda de unos círculos dibujados: Zarela Losada 8

9 D. PARÁMETROS ESTADÍSTICOS. Después de obtener los datos de una distribución, necesitamos sintetiza la información para su posterior análisis. Para eso tenemos que obtener los parámetros estadísticos que serán de dos tipos: Parámetros de centralización: nos indica entorno a que valores se distribuyen los datos Parámetros de dispersión: nos informa sobre cuanto se alejan del centro de los valores de dispersión. i. Medidas de centralización: Media aritmética: es el valor promedio de la distribución, es decir, el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos. Se representa por el símbolo: Ejemplo: los pesos de seis personas son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Su peso medio será: Zarela Losada 9

10 Mediana: es la división de la serie de datos en dos partes iguales (separa la parte superior de la distribución de la inferior). Se representa por M e. Para su cálculo debemos de: 1) Ordenar los datos de MENOR a MAYOR. 2) Si la serie tiene un nº IMPAR de medidas la mediana es la PUNTUACIÓN CENTRAL de la misma. Ejemplo: 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6 M e =5 3) Si la serie tiene un nº PAR de puntuaciones la mediana es la MEDIA entre las DOS PUNTUACIONES CENTRALES. Ejemplo: 7, 8, 9, 10, 11, 12 M e =9,5 Moda: es el valor que más se repite en una distribución. Se representa por M o. Para hallar la moda de una distribución como por ejemplo: 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5 M o = 4 1, 1, 1, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 9 M o = 1,5,9 Estos valores son alrededor de los que se distribuyen todos los valores de la distribución. Cuartiles: dividen la serie de datos en cuatro partes iguales. Se representa por una Q. Deciles: dividen la serie de datos en diez partes iguales Percentiles: dividen la serie de datos en cien partes iguales. ii. Medidas de dispersión: Desviación media: es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media. Zarela Losada 10

11 Ejemplo: vamos a calcular la desviación típica para la distribución 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 1) Necesitamos hallar la media aritmética de la serie de datos 2) Una vez hallada la media aritmética vamos a restarle este dato a la serie de datos que nos dan Varianza: es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media. Ejemplo: vamos a calcular la varianza de la siguiente distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Desviación típica: es la raíz cuadrada de la varianza. Ejemplo: vamos a calcular la desviación típica de la siguiente distribución: 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 Zarela Losada 11

12 Podemos utilizar la calculadora para calcular cualquiera de los parámetros que hemos visto para ello debemos de seguir las siguientes indicaciones: PROBABILIDAD Se dice que un suceso A es más probable que otro B si al realizar el experimento muchas veces, A ocurre significativamente más veces que B. La secuencia de imágenes nos muestra la frecuencia relativa de algunos sucesos al tirar el dado 20, 1020 o veces. Los posibles sucesos elementales al tirar el dado tienen prácticamente igual frecuencia relativa cuando realizamos más de tiradas. Las frecuencias relativas no varían significativamente al aumentar el número de tiradas después de realizar un gran número de ellas. Zarela Losada 12

13 Estarías de acuerdo, a la vista de los resultados, en decir que la probabilidad de sacar un 2 es 1/6? La probabilidad se mide entre 0 (probabilidad del suceso imposible) y 1 o 100% (probabilidad del suceso seguro). La regla de Laplace Cuando en un experimento aleatorio todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad, equiprobables, para calcular la probabilidad de un suceso cualquiera A, basta contar y hacer el cociente entre el nº de sucesos elementales que componen A (casos favorables) y el nº de sucesos elementales del espacio muestral (casos posibles) espacio. Zarela Losada 13

14 Este resultado se conoce como regla de Laplace. Recuerda que para poder aplicarla es necesario que todos los casos posibles sean igualmente probables. Ejemplo: Boletín de Ejercicios 1. Di cuál es la población y las variables de cada gráfico: 2. Completa el siguiente cuadro: Zarela Losada 14

15 3. Responde las siguientes preguntas con ayuda de los gráficos: a) En qué tramo de edad hay más hombres extranjeros? y mujeres? b) Cuántos matrimonios hubo en 2006? 4. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y Cuál es la media del nuevo conjunto de números? 5. Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos: 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18 Obtener su mediana. Zarela Losada 15

16 6. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: Calcular: a) La media. b) La mediana. c) La desviación típica Zarela Losada 16

17 Solución del Boletín de Ejercicios 1. Di cuál es la población y las variables de cada gráfico: 2. Completa el siguiente recuadro: Zarela Losada 17

18 3. Responde las siguientes preguntas sobre los gráficos: a) El tramo con más varones extranjeros es de 30 a 34 años. El tramo de mujeres extranjeras va de 25 a 29 años. b) aproximadamente 200 mil matrimonios. 4. A un conjunto de 5 números cuya media es 7.31 se le añaden los números 4.47 y Cuál es la media del nuevo conjunto de números? 5. Se tiene el siguiente conjunto de 26 datos: 10, 13, 4, 7, 8, 11 10, 16, 18, 12, 3, 6, 9, 9, 4, 13, 20, 7, 5, 10, 17, 10, 16, 14, 8, 18. Obtener su mediana: Para hallar la mediana: 1) En primer lugar ordenamos los datos de menor a mayor: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 18, 18, 20 Mediana: 26/2 = 13 Zarela Losada 18

19 2) Como el número de datos es par la mediana es la media de las dos puntuaciones centrales: 7. Las alturas de los jugadores de un equipo de baloncesto vienen dadas por la tabla: Calcular: a) Media: b) Mediana: c) Desviación típica: Zarela Losada 19

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