Tecnológico de Estudios Superiores de Cuautitlán Izcalli DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA

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1 Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA CUADERNILLO DE PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ELABORO REVISO M. e C. FELIX ANTONIO SAUCEDO ESQUIVEL Vo. Bo. ING. MARIA DEL CARMEN RODRIGUEZ PASCUAL JEFE DE DIVISIÓN DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Y MATEMÁTICAS FECHA: 26/08/13, Prmera versó Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

2 Dvsó de Igeería Electróca Probabldad y Estadístca Presetacó La asgatura Probabldad y Estadístca aporta al perfl del Igeero Electróco las competecas ecesaras para Iterpretar datos que permta mejorar los procesos de fabrcacó, vestgacó y dseño. Además obtedrá la habldad para platear y solucoar problemas por medo de métodos estadístcos. La asgatura se ecuetra ubcada al prcpo de la carrera y es mportate para materas como formulacó y evaluacó de proyectos y admstracó y téccas de matemeto. Además de que eseña como razoar de maera lógca la toma decsoes e preseca de certdumbre y varacó. El presete trabajo tee como atecedete los cursos mpartdos e el Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall para las carreras de Idustral, Cotabldad, Electróca e Iformátca y e la Uversdad del Valle de Méxco Campus Lomas Verdes para Lcecaturas Ejecutvas. Se sugere al asprate que trabaje arduamete e el desarrollo de las actvdades de apredzaje, busque e otras fuetes de formacó, además del presete materal, utlce las platllas de Excel, etre otros programas comercales, busque la retroalmetacó del profesor y recuerda que para llegar a la meta ecestaras costaca y dedcacó al 100% a tus estudos de geería. Félx Atoo Saucedo Esquvel Profesor de Tempo Completo A Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall

3 Dvsó de Igeería Electróca Probabldad y Estadístca Ídce Pág. Presetacó 1. Estadístca Descrptva 1.1 Objeto de la estadístca Ramas de la estadístca Estadístca e la vestgacó Coceptos báscos Orgazacó y represetacó de datos Dstrbucó de frecuecas tabulares y gráfcas Meddas de tedeca cetral Meddas de dspersó, asmetría y kurtoss Meddas de poscó 26 Actvdad de apredzaje 1. Coceptos báscos 31 Actvdad de apredzaje 2. Número de tervalo óptmo 33 Actvdad de apredzaje 3. Meddas de tedeca cetral y de dspersó 35 Actvdad de apredzaje 4. Caso de estudo I 38 Actvdad de apredzaje 5. Caso de estudo II 39 Actvdad de apredzaje 6. Caso de estudo III Probabldad 2.1 Téccas de coteo Efoques de Probabldad Axomas de Probabldad 45 Actvdad de apredzaje 7. Cuestoaro Dstrbucoes de Probabldad 3.1 Dstrbucó de Probabldad Bomal Dstrbucó de Posso Dstrbucó Normal Estadístca Iferecal 4.1 Ifereca Estadístca Muestreo Estadístco Estmadores Estmacó por Itervalo Errores tpo I y II Cotraste de hpótess ulateral y blateral 84 Actvdad de apredzaje 8. Ifereca estadístca y muestreo estadístco 87 Actvdad de apredzaje 9. Estmacó co tervalos de cofaza 88 Actvdad de apredzaje 10. Prueba de Hpótess Regresó y Correlacó 5.1 Dagrama de dspersó Regresó leal smple Correlacó 96 Actvdad de apredzaje 11. Regresó leal y Correlacó 98 Formato de evaluacó de actvdad de apredzaje Referecas Bblográfcas 102 Felx Atoo Saucedo Esquvel

4 UNIDAD I CONTENIDO DE LA ESTADÍSTICA Competeca: El estudate determará el cotedo de la estadístca detro del área de coocmeto de su profesó. INTRODUCCIÓN A medda que aumeta la complejdad de uestro mudo, se hace cada vez más dfícl tomar decsoes telgetes y be documetadas. Co frecueca tales decsoes debe tomarse co mucho meos que u coocmeto adecuado y expermetado ua gra certdumbre. S embargo, las solucoes a estos problemas so esecales para uestro beestar e cluso para uestra supervveca fal. Cotuamete estamos recbedo presoes debdo a problemas ecoómcos como ua flacó galopate, el sstema trbutaro egorroso, etc. Todo uestro tejdo ecoómco y socal está ameazado por la cotamacó ambetal, la deuda públca oerosa, la tasa de crmaldad que sempre va e aumeto y las mpredecbles tasas de terés. Esta udad aportara ua vsó geeral sobre lo que es la estadístca y como puede utlzarse. 1.1 OBJETO DE LA ESTADÍSTICA La Estadístca se ocupa de la recoleccó, agrupacó, presetacó, aálss e terpretacó de datos, por tato, la estadístca es u método cetífco que pretede sacar coclusoes a partr de uas observacoes hechas. El objetvo básco de la estadístca es hacer fereca acerca de ua poblacó basada e la formacó coteda e ua muestra. Iferr sgfca predecr, supoer, asegurar. Es decr se pretede establecer fereca acerca de ua poblacó. Etededo a la poblacó como u cojuto de dvduos, orgasmos o etes amados de los cuales queremos coocer algua o alguas característcas para que os ayude a tomar ua decsó u obteer algua coclusó de suma mportaca. La Estadístca actual es el resultado de la uó de dos dscplas que evolucoaro de forma depedete hasta coflur e el sglo XIX: el Cálculo de Probabldades, que acó e el sglo XVII como la teoría matemátca de los juegos de azar, la Estadístca, o ceca del Estado, que estuda la descrpcó de datos, y que tee uas raíces más atguas, de hecho, ta atguas como la humadad (cesos de poblacó). La teraccó de ambas líeas de pesameto da lugar a la ceca que estuda cómo obteer coclusoes de la vestgacó empírca medate el uso de modelos matemátcos. 1

5 UNIDAD I Resumedo la Estadístca actúa como dscpla puete etre los modelos matemátcos y los feómeos reales. U modelo matemátco es ua abstraccó smplfcada de ua realdad más compleja y sempre exstrá ua certa dscrepaca etre lo que se observa y lo prevsto por el modelo. La Estadístca proporcoa ua metodología para evaluar y juzgar estas dscrepacas etre la realdad y la teoría. 1.2 RAMAS DE LA ESTADÍSTICA La estadístca es la ceca que tee que ver co la (1) recoleccó, (2) orgazacó, (3) presetacó, (4) aálss, e (5) terpretacó de datos. Las dos prcpales ramas del aálss estadístco so: Estadístca descrptva, es el proceso de recolectar, agrupar y presetar datos de ua maera tal que descrba fácl y rápdamete dchos datos. Estadístca ferecal volucra la utlzacó de ua muestra para sacar algua fereca o coclusó sobre la poblacó de la cual hace parte la muestra. 1.3 ESTADÍSTICA EN LA INVESTIGACIÓN Vrtualmete cada área de la vestgacó cetífca sera puede beefcarse del aálss estadístco. Para que formula las polítcas ecoómcas y para que asesora al presdete y otros fucoaros públcos sobre procedmetos ecoómcos apropados, la estadístca ha demostrado ser ua herrameta valosa. Las decsoes sobre las tasas trbutaras, los programas socales, el gasto de defesa y muchos otros asutos puede hacerse de maera telgete ta sólo co la ayuda del aálss estadístco. Los hombres y mujeres de egocos e su etera búsqueda de la retabldad, cosdera que la estadístca es esecal e el proceso de toma de decsoes. Los esfuerzos e cotrol de caldad, mmzacó de costos, combacó de productos e vetaros, y ua gra catdad de otros asutos empresarales, puede maejarse efectvamete a través del uso de procedmetos estadístcos comprobados. Para quees está e el área de la vestgacó de mercados, la estadístca es de gra ayuda e el mometo de determar qué ta probable es que u producto uevo sea extoso. La estadístca també es muy útl para evaluar las oportudades de versó por parte de asesores faceros. Los cotadores, los jefes de persoal y los fabrcates ecuetra oportudades lmtadas de beefcarse co el uso del aálss estadístco. Icluso u vestgador e el campo de la medca, teresado e la efectvdad de u uevo medcameto, cosdera la estadístca ua alada mprescdble. 2

6 UNIDAD I Recuerde su Jefe espera que usted haga dos cosas: (a) tomar decsoes y (b) solucoar problemas; estos dos cometdos puede lograrse a través de la aplcacó de procedmetos estadístcos La aplcacó uversal de la estadístca Los problemas complejos que efreta el mudo actual requere solucoes cuattatvas. S usted o está e capacdad de aplcar la estadístca y otros métodos cuattatvos a muchos de los problemas comues que s duda se le presetará, estará e gra desvetaja e el mercado laboral. Cas todas las áreas del saber requere del pesameto estadístco. Las dscplas de estudos que depede amplamete del aálss estadístco, cluye pero o se lmta a, marketg, fazas, ecoomía e vestgacó de operacoes. Los prcpos apreddos e cotabldad y gereca admstratva també se basa e la preparacó estadístca. Los aalstas faceros y ecoómcos co frecueca se basa e sus habldades cuattatvas para proporcoar solucoes a problemas dfícles. La compresó de los prcpos faceros y ecoómcos permtrá aplcar las téccas estadístcas para hallar solucoes vables y tomar decsoes. Be sea que las aspracoes profesoales teda haca la dustra prvada, el servco públco, el gobero, a haca otra fuete de retrbucó remuerada, la expereca académca será más completa s se adquere ua sólda formacó e fudametos de aálss estadístco Gereca de caldad total A medda que la competeca mudal se tesfca, surge, de parte de los egocos, u esfuerzo por promover la caldad de sus productos. Este esfuerzo, coocdo amplamete como Gereca de Caldad Total (Total Qualty Maagemet, TQM), tee como propósto cetral la promocó de las cualdades del producto que el cosumdor cosdera mportates. Tales atrbutos va desde la auseca de defectos hasta el servco efcete y la respuesta rápda a las posbles quejas del cosumdor. Hoy día, la mayoría de los grades egocos, así como també muchos egocos pequeños, tee departametos de Cotrol de Caldad (Qualty Cotrol, QC) cuya fucó es recolectar datos sobre el desempeño y solucoar problemas de caldad. Así, la TQM represeta u área crecete de oportudades para quees tee coocmetos e estadístca. La TQM volucra el uso de equpos tegrados coformados por geeros, expertos e marketg, especalstas e dseño, estadístcos, y otros profesoales 3

7 UNIDAD I que puede cotrbur a la satsfaccó del clete. La formacó de estos equpos, deomada Desplegue de la Fucó de la Caldad (Qualty Fucto Deploymet, QFD), está dseñada para recoocer y agecar las quetudes de los cosumdores. Los especalstas actúa cojutamete para promover la caldad del producto y para que supla de maera efectva las ecesdades y preferecas del cosumdor. Los círculos de cotrol de caldad costa de u grupo pequeño de empleados (geeralmete etre 5 y 12) que se reúe regularmete para solucoar problemas relacoados co el trabajo. Co frecueca se coforma tato co trabajadores e líea como co represetates de la gereca; los membros de estos círculos de caldad so todos de la msma área de trabajo y recbe capactacó formal e cotrol estadístco de caldad y e plaeacó de grupos. A través de dscusoes abertas y del aálss estadístco, los círculos puede lograr mejoras sgfcatvas e dversas áreas que va desde el mejorameto de la caldad, el dseño del producto, la productvdad y los métodos de produccó, hasta la reduccó de costos y segurdad. Uo de los elemetos más mportates del TQM es u cojuto de herrametas y métodos estadístcos utlzados para promover el Cotrol Estadístco de Caldad (Statstcal Qualty Cotrol, SQC). Tales herrametas ayuda a orgazar y aalzar datos para efectos de solucoar problemas. Hablado e térmos geerales, el SQC está dseñado para asegurar que los productos cumpla co uas ormas y especfcacoes mímas de produccó. Este objetvo co frecueca se promueve a través del uso del muestreo de aceptacó, el cual es parte tegral del SQC. El muestreo de aceptacó mplca probar ua muestra aleatora de productos exstetes para determar s se debe aceptar o rechazar todo el evío, o el lote. Esta decsó se basa e parte de u vel de caldad aceptable (Aceptable Qualty Level, AQL), o úmero máxmo de defectos que ua empresa está dspuesta a tolerar. 1.4 CONCEPTOS BÁSICOS Toda rama de la vestgacó cetífca tee su vocabularo propo y la estadístca o es la excepcó, las defcoes y expresoes que sgue so esecales para la compresó de cómo se realza las pruebas estadístcas Poblacó y parámetros Poblacó: Es la recoleccó completa de todas las observacoes de terés para el vestgador. Ua poblacó puede ser fta o fta. 4

8 UNIDAD I Poblacó fta: Es aquella que posee o cluye u úmero lmtado de meddas y observacoes. Se puede lstar los elemetos e algú orde y e cosecueca cotarlos uo a uo hasta alcazar el últmo. Poblacó fta: Es fta s se cluye u gra cojuto de meddas y observacoes que o puede alcazarse e el coteo. Hpotétcamete o exste límte e cuato al úmero de observacoes que cada uo de ellos puede geerar. Es coveete referrse a ua poblacó fta cuado se habla de ua poblacó que o puede ser umerada e u perodo razoable. Parámetro: Es ua medda descrptva de la poblacó total de todas las observacoes de terés para el vestgador Muestras y estadístcos Muestra: Es ua parte represetatva de la poblacó que se seleccoa para ser estudada ya que la poblacó es demasado grade como para aalzarla e su totaldad. Estadístco: Elemeto que descrbe ua muestra y srve como ua estmacó del parámetro de la poblacó correspodete Varables Varable: Es ua característca de la poblacó que se está aalzado e u estudo estadístco. Tpos de varables: Cualtatvas, categórcas (o alfaumércas): Puede tomar valores o cuatfcables umércamete. Se deoma categoría a cada uo de los valores que toma la varable. Nomales: s o exste gú orde etre las categorías de la varable. Ejemplos, el grupo saguíeo (A,B,AB, O); el color de los ojos (azules, verdes, marroes, egros). Baras: aquéllas que sólo toma dos valores posbles (sí/o, preseca/auseca de certo carácter), detro de las omales. Ejemplo: el sexo, ser fumador, teer caré de coducr, ser daltóco. Ordales: cuado exste u certo orde etre las categorías de la varable. Ejemplo: el vel de estudos (s estudos, báscos, medos, superores), el grado de mopía (auseca, bajo, medo, alto). 5

9 UNIDAD I Cuattatvas (o umércas): Puede tomar valores cuatfcables umércamete. Dscretas: s solamete toma valores aslados (geeralmete eteros). Suele correspoder a coteos. Ejemplos, el úmero de hermaos, el úmero de cafés/día, el úmero de multas/año. Cotuas: potecalmete puede tomar cualquer valor umérco detro de u tervalo o de ua uó de tervalos. Ejemplos, el tempo de reaccó a u certo medcameto, el peso de u dvduo, la logtud del caparazó de ua tortuga Métodos de muestreo Gra parte del trabajo de u estadístco se realza co muestras. E la práctca o va a ser posble estudar todos los elemetos de la poblacó, por varas razoes: El estudo puede mplcar la destruccó del elemeto (estudo de la vda meda de ua partda de bombllas, estudo de la tesó de rotura de uos cables). Los elemetos puede exstr coceptualmete, pero o e realdad (poblacó de pezas defectuosas que producrá ua máqua e su vda útl). Puede ser vable ecoómcamete (muy costoso) estudar a toda la poblacó. El estudo llevaría tato tempo que sería mpractcable e cluso las propedades de la poblacó podría varar co el tempo. Por tato debe seleccoarse ua muestra de la poblacó, calcular el estadístco de la muestra, y utlzarlo para estmar el parámetro correspodete de la poblacó Muestreo aleatoro smple Ua muestra es aleatora smple cuado: 1. cada elemeto de la poblacó tee la msma probabldad de ser escogdo e forma dvdual, 2. las observacoes se realza co reposcó, de maera que la poblacó es détca e todas las extraccoes. Cometaros: La codcó (1) asegura la represetatvdad. 6

10 UNIDAD I La codcó (2) se mpoe por smplcdad: s el tamaño de la poblacó N es grade co respecto al tamaño muestral, es práctcamete dferete realzar el muestreo co o s reposcó. Cómo se realza? Se utlza las tablas de úmeros aleatoros: se eumera los elemetos de la poblacó del 1 al N y se toma úmeros aleatoros de tatas cfras como tega N. El valor del úmero aleatoro dcará el elemeto a seleccoar Muestreo Estratfcado Los elemetos de la poblacó se dvde e grupos homogéeos o estratos segú la característca más mportate (por ejemplo, segú el sexo, la edad, la profesó, etc.). Para esto: se asga u úmero de elemetos a cada estrato, detro de cada estrato se seleccoa los elemetos por muestreo aleatoro smple. S hay k estratos de tamaños N1,, Nk, de maera que N N 1 Nk, la composcó de la muestra será 1 k, dode el úmero de elemetos se puede determar de dos formas dsttas: 1. proporcoalmete al tamaño de cada estrato: N N (I.1) 2. proporcoalmete a la varabldad de cada estrato: N k 1 N (I.2) dode σ es ua medda de la varabldad del estrato -ésmo. 7

11 UNIDAD I Muestreo por coglomerados Hay stuacoes e que el muestreo aleatoro smple el estratfcado so aplcables. E estos casos es habtual que los elemetos de la poblacó se ecuetre agrupados e coglomerados, de los cuales sí que se sabe cuátos hay. (Por ejemplo, la poblacó se dstrbuye e provcas, los habtates de ua cudad se dstrbuye e barros, etc.). S puede supoerse que cada coglomerado es ua muestra represetatva de la poblacó total respecto de la varable de estudo, podemos: seleccoar al azar alguos de estos coglomerados, detro de cada coglomerado, aalzar: a) todos sus elemetos, b) ua muestra aleatora smple de sus elemetos. Icoveete, s los coglomerados so heterogéeos etre ellos, puesto que sólo se aalza alguos de ellos, la muestra fal puede ser o represetatva de la poblacó. Las deas de estratfcacó y coglomerado so opuestas: La estratfcacó fucoa mejor cuáto mayor sea las dferecas etre estratos, pero es ecesaro que los estratos sea homogéeos teramete. Los coglomerados fucoa mejor cuáto meores sea las dferecas etre ellos, pero debe ser muy heterogéeos teramete, es decr, detro de cada coglomerado debe estar cluda toda la varabldad de la poblacó. La regla geeral que se aplca a todos los procedmetos de muestreo es que cualquer formacó preva tee que utlzarse para subdvdr la poblacó y asegurar ua mayor represetatvdad de la muestra. Ua vez que los grupos homogéeos ha sdo defdos, la seleccó detro de ellos debe realzarse por muestreo aleatoro smple. La exacttud de toda estmacó es de eorme mportaca. Esta exacttud depede e gra parte de la forma como se tomó la muestra, y del cudado que se tega para garatzar que la muestra proporcoe ua mage cofable de la poblacó. S embargo, co mucha frecueca se comprueba que la muestra o es del todo represetatva de la poblacó y resultara u error de muestreo. 8

12 UNIDAD I Exste dos causas posbles del error de muestreo. La prmera fuete del error de muestreo es el azar e el proceso del muestreo. Debdo al factor azar e la seleccó de elemetos de la muestra, es posble seleccoar s darse cueta, elemetos que sea aormalmete grades o usualmete pequeños, producedo ua subestmacó del parámetro. E cualquera de los dos casos, ha ocurrdo u error de muestreo. Ua forma más sera de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo muestral ocurre cuado hay algua tedeca a seleccoar determados elemetos de muestra e lugar de otros. S el proceso de muestreo se dseña de maera correcta y tede a promover la seleccó de demasadas udades co ua característca e especal, a expesas de las udades que o tee dcha característca, se dce que la muestra está sesgada. El sesgo, es el grado de asmetría que preseta u hstograma o polígoo de frecuecas. S el hstograma está cargado a la zquerda, el sesgo tee u valor egatvo. E cambo cuado esta más cargado a la derecha, el sesgo toma u valor postvo. S el sesgo adquere u valor ulo, sgfca que el hstograma es smétrco Escalas de medda Las varables puede clasfcarse co base e su escala de medda. La maera e que se clasfca las varables afecta e gra parte la forma como se utlza e el aálss. Las varables puede ser (1) omales, (2) ordales, (3) de tervalo, o (4) de razó Medcoes e escala omal Ua medda omal se crea cuado se utlza ombres para establecer categorías detro de las cuales las varables puede regstrarse exclusvamete. Por ejemplo, el sexo puede clasfcarse como hombre o mujer. Se podría codfcar també co u 1 o 2, pero los úmeros servría ta sólo para dcar las categorías y o tedría sgfcado umérco. Es mportate recordar que ua medda e escala omal o dca gú orde de prefereca, so que smplemete establece ua dsposcó categórca e la cual se puede ubcar cada observacó. Exste escalas omales tato para datos cuattatvos como cualtatvos. Ua escala omal para datos umércos asga úmeros a las categorías para dstgurlas. 9

13 UNIDAD I Meddas e escalas ordales So las que clasfca las observacoes e categorías co u orde sgfcatvo. A dfereca de ua medda e escala omal, ua medda e escala ordal s muestra u ordeameto o secueca de los datos. Es decr, que las observacoes se clasfca co base e alguos crteros. Hay que clasfca sus productos como bueos, mejores y los mejores. Las ecuestas de opó co frecueca utlza ua medda e escala ordal como totalmete de acuerdo, de acuerdo, s opó, e desacuerdo, y e total desacuerdo. Al gual que co los datos omales, los úmeros puede utlzarse para ordear los ragos. Y al gual que co los datos omales, la magtud de los úmeros o es mportate; el rago depede sólo del orde de los valores. Por ejemplo se puede utlzar los ragos de 1, 2 y 3, o 1, 3 y 12 para este asuto. Las dferecas artmétcas etre valores carece de setdo. U producto co rago 2 o es dos veces mejor que uo de rago Meddas e escala de tervalo Meddas e ua escala umérca e la cual el valor de cero es arbtraro pero la dfereca etre valores es mportate. Los datos de tervalo so cuattatvos por ecesdad; ua escala de tervalo o sempre tee u puto cero. E ua escala de tervalo las varables se mde de maera umérca, y al gual que los datos ordales, lleva herete u rago u ordeameto. S embargo, a dfereca de los ragos ordales, la dfereca etre los valores es mportate. Por eso, las operacoes artmétcas de suma y resta, so sgfcatvas Meddas e escala de razó Meddas umércas e las cuales cero es u valor fjo e cualquer escala y la dfereca etre valores es mportate. Co datos meddos e ua escala de razó, se puede determar cuatas veces es mayor ua medda que otra. La escala de razó se basa e u sstema umérco e el cual el cero es sgfcatvo. Por tato las operacoes de multplcacó y dvsó també toma ua terpretacó racoal. Ua escala de razó se utlza para medr muchos tpos de datos que se ecuetra e el aálss empresaral. Varables tales como costos, retabldad y veles de vetaro se expresa como meddas de razó. Por ejemplo, ua frma co ua partcpacó e el mercado 10

14 UNIDAD I del 40% tee dos veces más partcpacó que ua frma co ua partcpacó e el mercado del 20%. Las meddas tales como peso, tempo y dstaca també se mde e ua escala de razó, ya que cero es sgfcatvo y u artículo que pesa 100 lbras tee la mtad del peso de u artículo que pesa 200 lbras. Batería 1 de ejerccos: 1. Descrba e sus propos térmos la dfereca etre ua poblacó y ua muestra; etre u parámetro y u estadístco. 2. Cuál es la dfereca etre ua varable cuattatva y ua varable cualtatva. Dé ejemplos. 3. Dferece etre ua varable cotua y ua varable dscreta. Dé ejemplos de cada ua. 4. Seleccoe ua poblacó cualquera que sea de su terés. Idetfque varables cuattatvas y cualtatvas de esa poblacó que pueda seleccoarse para ser estudadas. 5. Aalce s las sguetes varables so dscretas o cotuas: a. Número de cursos que los estudates de su colego está cursado este semestre. b. Número de pases atrapados por el besbolsta Tm brow, receptor de los LA Raders. c. Peso de los compañeros de equpo de Tm Brow. d. Peso del cotedo de las cajas de cereal. e. Número de lbros que usted leyó el año pasado. 6. E cuál escala de medda puede expresarse cada ua de estas varables? Explque sus respuestas. a. Los estudates clasfca a su profesor de estadístca sobre ua escala de terrble, o ta malo, bueo, maravlloso y dos grego. b. Los estudates e ua uversdad está clasfcados por profesó, tales como marketg, admstracó y cotaduría. c. Los estudates está clasfcados por cursos utlzado los valores 1, 2, 3, 4 y 5. d. Agrupar medcoes de líqudos e octavo, cuarto y galó. e. Edades de los cletes. 11

15 UNIDAD I ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA COMPETENCIA: El estudate aplcará las téccas de estadístca descrptva a u cojuto de datos medate el uso de modelos tabulares y gráfcos, co el f de descrbr dcho cojuto y utlzar dcha formacó e el proceso de toma de decsoes. Orgazacó y represetacó de datos Dstrbucó de frecuecas tabulares y gráfcas Meddas de tedeca cetral Meddas de dspersó, asmetría y kurtoss Meddas de poscó INTRODUCCIÓN Cas todos los trabajos que se hace e estadístca comeza co el proceso de recoleccó de datos ecesaros para formar co ellos u cojuto que se utlzará e el estudo. Para propóstos geerales, se adoptará la suposcó coveete de que esta labor, co frecueca tedosa, ya ha sdo realzada y que los datos está dspobles. Esta recoleccó de datos orgales revela muy poco por sí sola. Es extremadamete dfícl determar el verdadero sgfcado de u grupo de úmeros que smplemete se ha regstrado e u papel. Nuestra labor es orgazar y descrbr tales datos de maera cocsa y sgfcatva. Para determar su sgfcaca, los datos se orgaza de maera que, co u smple vstazo, se pueda teer ua dea de lo que puede decros. 1.5 ORGANIZACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE DATOS Puede utlzarse varas herrametas báscas para descrbr y resumr u cojuto grade de datos. La maera más smple, pero quzás la más sgfcatva, es la sere ordeada. Ua sere ordeada smplemete eumera tales observacoes e orde ascedete o descedete. Está proporcoa algua agrupacó al cojuto de datos; por ejemplo, se puede ver de medato los valores extremos. S embargo la utldad de ua sere ordeada es lmtada. Las herrametas que resulta de partcular utldad para orgazar los datos cluye tablas de frecueca que coloca los datos e clases específcas y dversos gráfcos que puede proporcoar ua represetacó vsual de los datos. Los sguetes datos so los gresos de 60 ejecutvos de marketg para empresas de Estados Udos. Los datos está expresados e mles de dólares. 12

16 UNIDAD I Supógase que se desea aalzar, Cuál es el greso promedo de los ejecutvos de marketg?, Cuál sería el greso mímo y máxmo?, etc. Los resultados obtedos se muestra e el sguete cuadro de datos: La forma e la que se presetaro los datos dfculta la obtecó de la respuesta a tales terrogates. Covee, pues, orgazar los datos de tal modo que proporcoe formacó resumda y más clara sobre el proceso. Los métodos estadístcos de orgazacó de datos ofrece para ello las téccas de agrupacó de los msmos e tervalos o categorías de clases, formado dstrbucoes de frecuecas. Cabe aclarar que a los tervalos se les llama dsttamete tervalos de clase, clases, categorías de clase o categorías. 1.6 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS TABULARES Y GRÁFICAS Cuado se tee u problema e dode la muestra cotega más de 30 datos se emplea el método de datos agrupados para obteer el hstograma y las ojvas correspodetes. El procedmeto para orgazar los datos e dstrbucoes de frecuecas se descrbe a cotuacó: 1. La tabla de datos se ordea de meor a mayor. 2. Se determa la tabla de frecuecas, dstrbucó de frecuecas smples, e la cuál se determa los sguetes valores: a. Se obtee el úmero de datos, b. Se obtee el rago R valor mayor - valor meor, c. Se obtee el umero de tervalos, éste e la tabla de frecuecas determa el umero de regloes y e el hstograma determa el umero de rectágulos o barras, el cuál está defdo por la sguete ecuacó: 13

17 UNIDAD I N 3.32 log (I.3) el resultado debe ser u umero etero por lo que s hay ua fraccó se redodea el resultado. d. Se determa el tamaño del tervalo por medo de: R T (I.4) N e el hstograma represeta el acho del rectágulo. El resultado se trabaja co u solo decmal. S el resultado del rago tee decmales, etoces se recorre el puto hasta hacerlo u úmero etero ates de sacar el tamaño del tervalo. Crtero para determar el tamaño del tervalo: d.1 No se acepta resultados eteros d.2 No se acepta decmales etre d.3 Solo se acepta decmales etre d.4 S el resultado obtedo de aplcar la expresó I.4 cae e el caso d.1 o d.2 etoces el umero de tervalos se dsmuye ua udad, N 1 y se calcula el T, s éste es rechazado, etoces ahora se aumeta e ua udad el úmero de tervalos, N 1 y se calcula el T. S o se acepta el resultado, etoces al úmero de tervalos orgal se le resta o se le suma dos udades y así sucesvamete hasta que sea aceptado el resultado. Cuado el resultado sea aceptado etoces queda defdo el úmero de tervalos; para sacar el tamaño de tervalos falmete se redodea el resultado au úmero etero y se coloca el puto e su poscó orgal. e. Itervalo de clase: este tervalo está formado por dos valores, los f. La frotera cuales so la frotera feror f y la frotera superor feror empeza co el valor más pequeño y se le va sumado, suma a suma, el valor del tamaño del tervalo. El total de valores e la frotera feror es gual al úmero de tervalos. La frotera superor toma como prmer valor el segudo valor de la frotera feror restádole ua décma, cetésma, mlésma o etero segú la udad a trabajar. També se rá sumado a los resultados el valor del tamaño del tervalo. s 14

18 UNIDAD I f. Marca de Clase: es el puto medo del tervalo de clase dado por M.C. f s (I.5) g. Itervalos reales: estos se obtee del tervalo de clase de la sguete forma g.1 S se trabaja eteros se resta a f cco décmas (0.5) y se suma a f s cco décmas (0.5), g.2 S se trabaja décmas (ej. 20.3) se resta a f cco cetésmas (0.05) y se suma a f s cco cetésmas (0.05), y g.3 S se trabaja cetésmas (ej. 5.67) se resta a f cco mlésmas (0.005) y se suma a f s cco mlésmas (0.005). h. Frecueca absoluta f : es el úmero de datos cotedos e determado tervalo, se obtee de la tabla de datos ordeados.. Frecueca absoluta relatva f r : f 2 f f r (I.6) j. Frecueca acumulada f a : suma acumulada de las frecuecas absolutas de cada uo de los tervalos, la frecueca acumulada meor que suma prmero del prmer tervalo al últmo y la frecueca acumulada mayor que suma del últmo tervalo al prmero. k. Frecueca acumulada relatva f ar : f fa ar (I.7) La tabla I.1 muestra u resume de las columas que forma la tabla de frecuecas dervada de los pasos ates mecoados. Cabe mecoar que f 1 se lee de la sguete maera: frotera feror de la clase 1(o límte feror de la clase 1), es decr el úmero dca la clase a la que perteece el valor que será colocado e esa caslla. 15

19 UNIDAD I Clase f Tabla I.1. Bosquejo geeral de la tabla de frecuecas. Límtes de clase Marca de Clase Límtes reales de clase f s M.C. F F s 1 f 1 Vm 2 f2 f1 T fs2 fs1 T 1 34 f f M.C. 1 s1 1 fs1 f2 ej f f M.C. 2 s F1 f ej F 2 f Fs1 fs ej Fs 2 fs f3 f2 T fs3 fs2 T M.C. 3 f3 fs F 3 f Fs 3 fs N Frecueca Frecueca Relatva Frecueca Acumulada Meor que Meos de Frecueca Acumulada Mayor que o más Frecueca Acumulada Relatva Meor que Frecueca Acumulada Relatva Mayor que f r f a f a f ar % f ar % f f 1 f r1 100% a1 f1 f a1 f1 f2 f3 f f a1 f ar1 100% f a1 ar1 100% f f 2 f r2 100% a2 f1 f2 f a2 f2 f3 f f a2 f ar2 100% f a2 ar2 100% f f 3 f r3 100% a3 f1 f2 f3 f a3 f 3 f f a3 f ar3 100% f a3 ar3 100% f % f 1 f 2 f 3 ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS Y MATEMÁTICAS TESCI V1 16

20 UNIDAD I Los gráfcos també so métodos útles para descrbr cojuto de datos. U hstograma coloca las clases de ua dstrbucó de frecueca e el eje horzotal y las frecuecas e el eje vertcal. Su objetvo es revelar detalles y patroes que o se puede dscerr fáclmete de los datos orgales. Aplcado la metodología ates mecoada (paso 1 y 2: de a hasta d.4) a los datos o agrupados de gresos de ejecutvos de marketg se obtee los sguetes valores para determar el úmero de clases: 60 valor meor 31 valor mayor 89 R 58 N 5.90 T 9.67 De acuerdo a los resultados obtedos, como el valor del tamaño de tervalo resulto u decmal etre 0.5 y 0.9 el úmero de tervalos calculado se acepta y se redodea las catdades correspodetes, por tato la tabla de frecuecas costara de ses clases co u tamaño de tervalo de 10, como se muestra e la tabla I.2. E la tabla I.2 se lustra los datos agrupados de la muestra de los gresos de 60 ejecutvos de marketg e ses tervalos de clase dode: f y fs es la frotera feror y superor, respectvamete, MC es la marca de clase, F y Fs es la frotera real feror y superor, respectvamete, f es la frecueca y fr es la frecueca relatva, fa < y fa > es la frecueca acumulada meor que y mayor que, respectvamete y falmete far es la frecueca acumulada relatva. La tabla I.3 muestra la forma geeral de la tabla para costrur el grafco de hstograma y polígoo de frecuecas e la hoja de cálculo Excel, metras que la fgura I.1 muestra el grafco obtedo de los datos de los gresos de 60 ejecutvos de marketg mostrados e la tabla I.2. Tabla I.2. Datos agrupados de los gresos de 60 ejecutvos de marketg. Clase f fs M.C. F Fs f fr (%) fa < fa > far < far > % % 100% % % 85% % % 75% % % 63% % % 35% % % 5% % 17

21 UNIDAD I Tabla I.3 Datos utlzados para la costruccó del Hstograma y Polígoo de Frecuecas Clase F s f r % 0 0 V F 1 F s1 f 1 f r1 2 F 2 F s2 f 2 f r2 3 F 3 F s3 f 3 f r3 F f 0 Últmo valor del lmte real superor V f 0 0 V T F 1 2 Vf últmo valor del T límte real superor 2 Igresos de ejecutvos de marketg para empresas e E.U. Frecueca (ejecutvos) % 10% 12% % 30% Límtes Reales (mles de dólares) 5% % 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0% Frecueca Relatva Hstograma Polígoo Fgura I.1 Represetacó de los gresos de ejecutvos de marketg e E.U. por medo de u Hstograma y Polígoo de frecuecas. Co frecueca se desea determar el úmero de observacoes que so mayor que o meor que algua catdad. Esto puede lograrse co ua dstrbucó de frecueca acumulada más de o mayor que o ua dstrbucó de frecueca acumulada meos de o meor que. La tabla I.4 lustra los datos extraídos de la tabla de frecuecas para la costruccó del grafco de ojvas: mayor que y meor que utlzado la hoja de cálculo Excel, la fgura I.2 muestra el grafco obtedo de los valores de la tabla I.4. Por ejemplo, se puede leer que de la clase uo 9 ejecutvos gaa meos de $31,000 dólares y por otra parte 60 ejecutvos gaa $31,000 dólares o más. 18

22 UNIDAD I Ua dstrbucó de frecueca relatva expresa las frecuecas detro de ua clase como u porcetaje del úmero total de observacoes. Tabla I.4 Datos utlzados para la costruccó de las Ojvas: mayor que y meor que. Lmtes Frotera de clase reales Frecueca Acumulada Meor que Meos de Frecueca Acumulada Mayor que o más Frecueca Acumulada Relatva Meor que f a a F 1 0 f a1 0 F s1 f a1 f a2 f ar1 F s2 f a2 f a3 f ar2 F s3 f a3 f ar3 0 f f ar % Grafca de Frecuecas Acumuladas "OJIVAS" Frecueca acumulada % 95% % % 25% % 15 0% Límtes Reales (mles de dolares $) 120% 100% 80% 60% 40% 20% 0% (%) Frecueca acumulada relatva fa "meor que" fa "mayor que" far "meor que" Fgura I.2 Represetacó de los gresos de ejecutvos de marketg e E.U. por medo de Ojvas: mayor que y meor que. La tabla I.5 lustra los datos extraídos de la tabla de frecuecas para la costruccó del polígoo de frecuecas suavzado por medo de la hoja de cálculo Excel, cabe mecoar que e este grafco se puede observar como se dstrbuye los datos de la muestra y además e este se localza las meddas de tedeca cetral y meddas de dspersó, la fgura I.3 muestra el grafco obtedo de los datos de la tabla I.2. 19

23 UNIDAD I Tabla I.5 Datos utlzados para la costruccó del polígoo de frecuecas suavzado. Clase F F s f 0 0 V 0 1 F 1 F s1 f 1 2 F 2 F s2 f 2 3 F 3 F s3 f 3 0 Últmo valor del lmte real superor V f 0 Polígoo de Frecuecas Suavzado Frecueca (Ejecutvos) Límtes Reales (Mles de Dolares $) Fgura I.3 Represetacó de los gresos de ejecutvos de marketg e E.U. por medo de u polígoo de frecuecas suavzada. 1.7 Meddas de tedeca cetral Los datos, al gual que los estudates, se cogrega alrededor de sus putos de ecuetro favortos. Parece que los estudates acude e masa a stos tales como partdos de fútbol, fraterdades, bares populares y otros stos de reuó y e raras ocasoes hasta la bbloteca. De gual forma, los úmeros parece dsfrutar de la compañía de otros úmeros y está propesos a reurse alrededor de u puto cetral deomado medda de tedeca cetral o más comúmete, meda. Ua medda de tedeca ubca e detfca el puto alrededor del cual se cetra los datos. U cojuto de datos puede ser rápdamete descrto de maera sucta co u solo úmero. 20

24 UNIDAD I La meda La meda toma e cueta la frecueca y los putos medos de cada clase, la sguete expresó calcula la meda de u cojuto de datos agrupados dode x es la meda muestral, f es la frecueca de la -ésma clase, MC es la marca de clase de la -ésma clase, N es el úmero de tervalos, y es el úmero de datos La medaa x N fmc 1 (I.8) Prmero debe hallarse la clase que cotee a la medaa, para esto se debe cumplr el sguete crtero fa (I.9) 2 Este crtero se debe verfcar e cada clase empezado desde el prmer tervalo de clase hasta el últmo tervalo de clase. La clase que cumpla co la codcó se le llamará clase medaa. La expresó que calcula la poscó del valor que se ecuetra a la mtad del cojuto de datos es la sguete dode x ~ 2 f aa F T (I.10) f F es la frotera feror real de la clase que cotee a la medaa, f es la frecueca acumulada ateror a la clase que cotee a la medaa, aa f es la frecueca de la clase que cotee a la medaa, y T es el tamaño del tervalo. 21

25 UNIDAD I La moda Ya que por defcó la moda es la observacó que ocurre co mayor frecueca, se hallará e la clase que tega la frecueca más alta, llamada la clase modal. Para estmar la moda e el caso de datos agrupados, se utlza la sguete ecuacó: 1 xˆ F T 1 2 (I.11) dode: F es la frotera feror real de la clase modal, 1 es la dfereca de la frecueca de la clase modal meos ateror, 2 es la dfereca de la frecueca de la clase modal meos la sguete, y T es el tamaño del tervalo. La meda es la medda más comú de tedeca cetral. Se presta para mayor mapulacó e terpretacó algebraca. Desafortuadamete se ve afectada por valores extremos o atípcos, y a dfereca de la medaa, puede ser sesgada por las observacoes que está muy por ecma o muy por debajo de ésta. Debdo a que la medaa o se ve afectada por valores extremos, represeta mejor el cojuto de observacoes. La moda també es meos afectada por valores atípcos, s embargo, s o hay moda, o s el cojuto de datos es bmodal, su uso puede ser cofuso. Esto o mplca que ua medda sea ecesaramete mejor que las otras. La medda que se seleccoe depede de la aturaleza de los datos o de la forma como se utlce los datos. 1.8 Meddas de dspersó, asmetría y kurtoss Para descrbr u cojuto de datos se ha observado que es de utldad ubcar el cetro del cojuto de datos. Pero detfcar ua medda de tedeca cetral rara vez es sufcete. Ua descrpcó más completa del cojuto de datos puede obteerse s se mde que ta dspersos está los datos alrededor de dcho puto cetral. Esto es precsamete lo que hace las meddas de dspersó, dca cuáto se desvía las observacoes alrededor de su meda. 22

26 UNIDAD I El rago La medda de dspersó más smple y meos útl es el rago o recorrdo. El rago es smplemete la dfereca etre la observacó más alta y la más baja. Su vetaja es que es fácl de calcular. Su desvetaja es que cosdera sólo dos de los cetos de observacoes que hay e u cojuto de datos Varaza y desvacó estádar La varaza y la desvacó estádar so meddas de dspersó mucho más útles, proporcoa ua medda más sgfcatva sobre el puto hasta el cual se dspersa las observacoes alrededor de su meda. S los datos está agrupados e ua tabla de frecueca, la varaza y la desvacó estádar muestral puede calcularse respectvamete como s 2 N 1 f MC 2 N 1 1 f MC 2 (I.12) s var aza (I.13) dode 2 s es la varaza de la muestra, s es la desvacó estádar de la muestra, y 2 MC es la marca de clase de la -ésma clase elevada al cuadrado Asmetría La dstrbucó ormal y la regla empírca La desvacó estádar puede utlzarse para sacar certas coclusoes s el cojuto de datos e cuestó está dstrbudo ormalmete. Ua dstrbucó ormal es ua dstrbucó de datos cotuos (o dscreto) que produce ua curva smétrca e forma de campaa, como la que se muestra e la fgura I.4. Se asume que se tee u úmero grade de observacoes, s los datos está dstrbudos ormalmete, ua gráfca de la frecueca co la cual ocurre cada 23

27 UNIDAD I observacó tomará la forma de la fgura I.4. Las observacoes e cada extremo ocurrrá relatvamete de forma poco frecuete, pero las observacoes que está más cerca de la mtad ocurrrá co ua frecueca alta, por tato se produce la curva smétrca e forma de campaa. La observacó modal es la que ocurre co mayor frecueca y por tato está e el pco de la dstrbucó. E ua dstrbucó ormal la meda, medaa y la moda so todas guales. Fgura I.4 Dstrbucó ormal. La regla empírca se lustra gráfcamete e la fgura I.5, ésta específca que: 68.3% de las observacoes está detro de más o meos ua desvacó estádar de la meda ( x 1s y x 1s ), v mímo v máxmo 95.5% de las observacoes está detro de más o meos dos desvacoes estádar de la meda ( x 2s y x 2s ), y v mímo v máxmo 99.7% de las observacoes está detro de más o meos tres desvacoes estádar de la meda ( x 3s y x 3s ). v mímo v máxmo Es mportate recordar que la regla empírca descrbe el área total bajo la curva ormal que se ecuetra detro de u rago dado. S las observacoes está altamete dspersas, la curva e forma de campaa se aplaará y se esparcrá. La kurtoss mde el grado de agudeza de ua dstrbucó, está se clasfca como curva leptokurtca (delgada), curva mesokurtca (termeda) y curva platkurtca (aplaada). 24

28 UNIDAD I Sesgo (meddas de asmetría) Fgura I.5 La dstrbucó ormal y la regla empírca. No todas las dstrbucoes so ormales, alguas está sesgadas a la zquerda o a la derecha como se muestra e la fgura I.6, e ambos casos, la moda por es por defcó la observacó que ocurre co mayor frecueca. Por tato, está e el pco de la dstrbucó. S embargo, como se djo aterormete, por su aturaleza la meda se ve más afectada por las observacoes extremas. Por tato, es jalada e la dreccó del sesgo, más de lo que está la medaa, la cual está e algú sto etre la meda y la moda. El sesgo es el grado de asmetría y puede medrse co el coefcete de sesgo de Pearso S k1 x xˆ s (I.14) S k2 3 x x~ s (I.15) S Sk1 y Sk2 0, los datos está sesgados a la zquerda (-), s Sk1 y Sk2 0, los datos está sesgados a la derecha (+); s Sk1 y Sk2 0 está dstrbudos ormalmete. 25

29 UNIDAD I Fgura I.6. Dstrbucoes sesgadas Coefcete de varacó (dspersó relatva) Cuado se cosdera dos o más dstrbucoes que tee medas sgfcatvamete dferetes, o que está meddas e udades dferetes, es pelgroso sacar coclusoes respecto a la dspersó sólo co base a la desvacó estádar, recuerde o se puede mezclar perros co gatos. Por tato, co frecueca debemos cosderar el coefcete de varacó (C.V.), el cual srve como medda relatva de dspersó. El coefcete de varacó determa el grado de dspersó de u cojuto de datos relatvo a su meda por medo de la sguete expresó 1.9 Meddas de poscó C.V. s 100% x (I.16) Auque la varaza y la desvacó estádar so las meddas de dspersó más útles e aálss estadístco, exste otras téccas co las cuales puede medrse la dspersó de u cojuto de datos. Estas meddas adcoales de dspersó so los cuartles, los decles y los percetles. Cada cojuto de datos tee tres cuartles que lo dvde e cuatro partes guales. El prmer cuartl es ese valor debajo del cual clasfca el 25% de las observacoes, y sobre el cual puede ecotrarse el 75% restate. El segudo cuartel es justo la mtad. La mtad de las observacoes está por debajo y la mtad por ecma. El tercer cuartel es el valor debajo del cual está el 75% de las observacoes y ecma del cual puede ecotrarse el 25% restate. 26

30 UNIDAD I Prmero debe hallarse las clases que cotee al prmer, segudo y tercer cuartel, para esto se debe cumplr el sguete crtero, respectvamete localzacó del prmer cuartil fa (I.17) 4 localzacó del segudo cuartl 2 fa (I.18) 4 localzacó del tercer cuartil 3 fa (I.19) 4 Estas codcoes se debe verfcar e cada clase empezado desde el prmer tervalo de clase hasta el últmo tervalo de clase. Las expresoes que calcula la poscó de cada cuartl so las sguetes Q Q 4 f aa 1 F T (I.20) 2 4 f f aa 2 F T (I.21) f dode Q 3 4 f aa 3 F T (I.22) f F es la frotera feror real de la clase que cotee al cuartl, f es la frecueca acumulada ateror a la clase que cotee al cuartl, aa f es la frecueca de la clase que cotee al cuartl, y T es el tamaño del tervalo. Ua medda úca de dspersó es el rago tercuartílco (R.I.). La mtad de las observacoes se clasfca detro de este rago. Costa del 50% de la mtad de las observacoes y corta el 25% feror y el 25% superor de los putos de 27

31 UNIDAD I datos. Como resultado, le R.I. proporcoa ua medda de dspersó que o está muy fluecada por uas cuatas observacoes extremas. R.I. (I.23) Q 3 Q 1 Los decles separa u cojuto de datos e 10 subcojutos guales, y los percetles e 100 partes. El prmer decl es la observacó debajo de la cual se ecuetra el 10% de las observacoes, metras que el 90% restate se ecuetra ecma de éste. El prmer percetl es el valor debajo del cual se ecuetra el 1% de las observacoes, y el resto está ecma de éste. Todo cojuto de datos tee 9 decles y 99 percetles. Batería 2 de ejerccos: 1. Determacó del úmero de tervalos N y tamaño del tervalo Cosdere los sguetes datos: a. 50 y R 52 b. 35 y R 820 c. 35 y R d. 30 y R e. 30 y R U cojuto de datos cotee 100 observacoes; la más grade es 315 y la más pequeña es 56. a. Cuátas clases debería teer la tabla de frecuecas? b. Cuál es el tervalo de clase? c. Cuáles so los límtes y putos medos de cada clase? 2. E u estudo recete sobre 500 graduados e admstracó de egocos, el salaro cal más alto que se reportó fue de $27,500 dólares y el más bajo fue de $19,900 dólares. Usted desea crear la tabla de frecuecas para aalzar y comparar estos datos co las ofertas de trabajo que usted ha recbdo. d. Cuátas clases podrá e su tabla de frecueca? e. Cuál es el tervalo de clase? f. Cuáles so los límtes y putos medos de cada clase? T. 28

32 UNIDAD I 3. Los sguetes datos so los gresos de 60 ejecutvos de marketg para empresas de Estados Udos. Los datos está expresados e mles de dólares g. Costruya ua tabla de frecueca para los datos. Tega mucho cudado e la seleccó de sus tervalos de clase. Muestre las frecuecas acumulatvas y relatvas para cada clase. Qué coclusó puede sacar de la tabla? h. Presete y explque ua dstrbucó de frecueca acumulada más que y ua dstrbucó meor de. 4. Las edades de ccueta de los drectores ejecutvos de las mejores corporacoes de la acó reportadas e la edcó de la revsta Forbes de la edcó del 24 de Mayo de 1997 aparece e la sguete tabla de frecuecas. EDADES Frecuecas La msma edcó de la revsta Forbes també proporcoó datos sobre los salaros e mles de dólares. Resulto la sguete tabla de frecuecas: Salaro (e mles de dólares) Frecuecas

33 UNIDAD I a. Calcule e terprete la meda, medaa y la moda. b. Calcule e terprete la varaza y la desvacó estádar. c. Costruya el hstograma y polígoo de frecuecas. d. Costruya las ojvas. e. Costruya el polígoo de frecuecas suavzado e dque sus resultados (meda, medaa, moda, sesgo, C.V. y C.A.) e éste. f. Los salaros está ta dspersos como las edades del problema ateror. 6. The Wall Street Joural descrbó ua dsputa etre la gereca y el sdcato de trabajo local respecto a la efceca y productvdad de los trabajadores. La gereca argumetaba que a los empleados les tomaba más de 20 mutos termar certo trabajo. S se mde el tempo de 85 empleados, arrojado los resultados tabulados, co base e esta muestra, la gereca está e lo correcto? Clase (úmero de mutos) Frecueca (úmero de empleados) a. Calcule la meda, medaa y la moda. b. Calcule la varaza y la desvacó estádar. c. Costruya el hstograma y polígoo de frecuecas. d. Costruya las ojvas. e. Costruya el polígoo de frecuecas suavzado e dque sus resultados (meda, medaa, moda, sesgo, C.V. y C.A.) e éste. 30

34 Completa los espacos e blaco: ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 1. CONCEPTOS BÁSICOS Calfcacó: 1. La se ocupa de la,,, e de datos, por tato, la estadístca es u método cetífco que pretede sacar coclusoes a partr de uas observacoes hechas. 2. La Estadístca actúa como dscpla puete etre los y los. U es ua abstraccó smplfcada de ua realdad más compleja y sempre exstrá ua certa dscrepaca etre lo que se observa y lo prevsto por el modelo. 3. La es la recoleccó completa de todas las observacoes de terés para el vestgador. Ésta puede ser o. 4. El es ua medda de la poblacó total de todas las de terés para el vestgador. 5. La es ua parte represetatva de la que se seleccoa para ser ya que la poblacó es demasado como para aalzarla e su totaldad. 6. El es el elemeto que descrbe ua y srve como ua estmacó del parámetro de la poblacó correspodete. Completa el sguete cuadro sóptco: Grupo saguíeo (A, B, AB, O+) Color de ojos (azul, egros, etc.) Sólo toma dos valores posbles Varable Puede tomar valores o cuatfcables umércamete. Cuado exste u certo orde etre las categorías, por ejemplo: (bajo, medo, alto) Eteros: umero de hermaos, úmero de multas/año. Es ua de la poblacó que se está aalzado e u estudo estadístco Puede tomar valores cuatfcables umércamete. Reales: peso de u dvduo, tempo de reaccó a u medcameto. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 31 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

35 Busca la palabra que complete la oracó e la sopa de letras: 7. Las varables puede clasfcarse co base e su escala de. 8. Ua medda e escala se crea cuado se utlza para establecer categorías detro de las cuales las puede regstrarse exclusvamete. Es mportate recordar que ésta o dca gú orde de prefereca, so que smplemete establece ua dsposcó e la cual se puede ubcar cada observacó. 9. Ua medda e escala, so las que las observacoes e categorías co u orde sgfcatvo. Hay que clasfca sus productos como bueos, mejores y los mejores. 10. E ua escala de las varables se mde de maera, y al gual que los datos ordales, lleva herete u rago u ordeameto. El valor de es arbtraro pero la dfereca etre valores es mportate. 11. E ua escala de, las meddas so umércas, el cero es u valor e cualquer escala y la dfereca etre valores es mportate. Co datos meddos e ua escala de, se puede determar cuátas veces es mayor ua medda que otra. M I N A L S C A T E G O R I C A I V B J O T I P E W W E O C V Q R M K J Y N U M E R I D F G K O D D S D R R R U G J N L U I N T E R V J K L O L I X A O R D D I N A L L E S D F K G H J K O P L D A D O A E R I I R T O P J H G F D A S R T Y M A G F C Q D F P N S T Ñ L I N T E R V A L O J T A V I O E C V R U A A S D F O A N O M I K A K G S O V R T V C E O A L T G M M X R A Z B E B L V D U G D R S D W P X C A O N B G O N S I D F T A F O N O O D R E C C V Y S B R A Z O N N C C M R G C U M B R I A E V B K P H E M O N O O V D N I J I M F T S B M R A Z I N D S C H A N K T E O A K E E C Y P R N O M I N A L P A L A B R G A F B L A R J K Ñ F R T M N J H H G B N M Y U I O Q L I F I J O S Y E R P C R T Y U D I O S H E F A E U Q C S E R O Y U O L T Y S H K M N H J S G E S Y V A Y U D Y A N O A M I N A L E R T Y F H I P T D X R A S O O N C L A S C L A S I F I C A N P Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 32 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

36 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 2. Número de tervalos Óptmo Calfcacó: Las edades de 50 tegrates de u programa de servco socal del gobero so: Use estos datos para costrur la tabla de frecuecas co 7 y 13 tervalos guales. Supoga que el drector de servcos socales desea saber la proporcó de partcpates e el programa que tee etre 45 y 50 años de edad. a partr de cuál dstrbucó de frecuecas relatvas, de 7 o de 13 tervalos, puede estmar mejor la respuesta? Valor meor = Valor mayor = Rago = Caso 1: N = 7 Tamaño del tervalo T = R N Clase f fs M.C. F Fs f fr (%) fa < q fa > q far < q far > q Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 33 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

37 Caso 2: N = 13 Tamaño del tervalo T = R N Clase f fs M.C. F Fs f fr (%) fa < q fa > q far < q far > q % Ojvas (Frecuecas acumuladas relatvas) Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall LÍMITES REALES ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 34 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

38 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 3. Meddas de tedeca cetral y de dspersó e datos agrupados Calfcacó: 1. Las edades de ccueta de los drectores ejecutvos de las mejores corporacoes de la acó reportadas e la edcó de la revsta Forbes de la edcó del 24 de Mayo de 1997 aparece e la sguete tabla de frecuecas. clase f fs M.C. F Fs f fr fa < fa> far< far> f*mc f*mc Meddas de tedeca cetral: N fmc 1 x x ~ F 2 f f aa T fa 2 1 xˆ F T 1 2 Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 35 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

39 Meddas de dspersó, asmetría y kurtoss: s 2 N 1 f MC 2 N 1 f MC 2 v mímo v máxmo x 1s x 1s 1 s var aza v mímo x 3s v máxmo x 3s x xˆ 3x x~ S k1 S k2 s s v mímo v máxmo C.V. x 2s x 2s s 100% x Meddas de poscó: Q fa 4 4 f aa 1 F T f Q 2 fa f aa 2 F T f Q 3 fa f aa 3 F T f Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 36 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

40 NUMERO DE EJECUTIVOS % DE EJECUTIVOS NUMERO DE DIRECTIVOS % DE DIRECTIVOS EDADES DE LOS DIRECTIVOS DE LAS MEJORES CORPORACIONES EN E.U % 14 30% clase F Fs f %fr % 20% 15% 10% 6 2 5% EDAD (AÑOS) 0% OJIVAS FR fa < fa > far < far > % 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 5 0 Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall 0% ORGANISMO 64.5 PÚBLICO 69.5DESCENTRALIZADO 74.5 DEL 79.5ESTADO DE MÉXICO EDAD (AÑOS) 37 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP %

41 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 4. Caso de estudo I Calfcacó: The Wall Street Joural descrbó ua dsputa etre la gereca y el sdcato de trabajo local respecto a la efceca y productvdad de los trabajadores. La gereca argumetaba que a los empleados les tomaba más de 20 mutos termar certo trabajo. S se mde el tempo de 85 empleados, arrojado los resultados tabulados, co base e esta muestra, la gereca está e lo correcto? Clase (úmero de mutos) Frecueca (úmero de empleados) a. Calcule la meda, medaa y la moda. b. Calcule la varaza y la desvacó estádar. c. Costruya el hstograma y polígoo de frecuecas. d. Costruya las ojvas. Coclusoes Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 38 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

42 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 5. Caso de estudo II Calfcacó: Los sguetes datos represeta las declaracoes trmestrales de mpuestos por vetas (e mles de dólares), correspodetes al período que falzó e marzo de 2004, evados al cotralor del poblado Far Lake por los 50 egocos establecdos e dcha localdad: Coclusoes: a. Calcule la meda, la varaza y la desvacó estádar de esta poblacó. b. Qué proporcó de estos egocos tee declaracoes trmestrales de mpuestos sobre vetas detro de ±1, ±2 o ±3 desvacoes estádar de la meda? c. Compare y ecuetre las dferecas etre sus hallazgos co lo que cabría esperar de acuerdo co la regla empírca. le sorprede los resultados obtedos e b)? Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 39 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

43 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 6. Caso de estudo III Calfcacó: Vrga Subolesk es ua supervsora de matemeto de aeroaves. Ua etrega recete de peros por parte de u uevo proveedor llamó la atecó de uo de los empleados. Subolesk evó 25 de esos peros a u laboratoro de pruebas para determar la fuerza ecesara para romperlos. A cotuacó presetamos los resultados e mles de lbras de fuerza: Coclusoes: a. Calcule la meda, medaa y la moda. b. Calcule la varaza y la desvacó estádar. c. Costruya el hstograma y polígoo de frecuecas. d. Costruya las ojvas. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 40 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

44 UNIDAD II PROBABILIDAD Competeca: Coocer y aplcar los axomas y teoremas de probabldad e la solucó de problemas. INTRODUCCIÓN S teer e cueta la profesó que se haya elegdo, algo sí es seguro, e algú mometo se ha de tomar decsoes. Co mucha frecueca esto tedrá que hacerse s coocer todas las cosecuecas de tales decsoes. Por ejemplo, los versostas debe decdr sobre la coveeca de vertr e ua accó e partcular, co base e sus expectatvas sobre redmetos futuros. Los empresaros al decdr comercalzar u producto efreta la certdumbre sobre la posbldad de éxto. E cada caso, como sucede co la mayoría de los asutos comercales, se ha de tomar decsoes s toda la formacó pertete. Todo esfuerzo por reducr el vel de certdumbre e el proceso de toma de decsoes cremeta eormemete la probabldad de que se tome decsoes más telgetes y be formadas. El propósto de esta udad es lustrar las formas e las cuales puede medrse la posbldad o probabldad de ocurreca de evetos futuros. 2.1 TÉCNICAS DE CONTEO E este tema se presetará cuatro métodos, combacoes, permutacoes, escogeca múltple y multplcacó, para determar s eumeracó drecta el úmero de resultados posbles de u expermeto partcular o el úmero de elemetos de u cojuto partcular Prcpo fudametal del coteo S u eveto puede realzarse de 1 maeras dferetes, y s, cotuado el procedmeto, u segudo eveto puede realzarse de 2 maeras dferetes, y s, después de efectuados, u tercer eveto puede realzarse de 3 maeras dferetes, y así sucesvamete, etoces el úmero de maeras e que los evetos puede realzarse e el orde dcado es el producto: (II.1) Ejemplo 2.1 Supogamos que ua placa de automóvl costa de dos letras dsttas segudas de tres dígtos de los cuales el prmero o es cero. Cuátas placas dferetes puede grabarse? 41

45 UNIDAD II Solucó: La prmer letra puede colocarse de 26 maeras dferetes (supuesto el alfabeto de 26 letras), la seguda letra de 25 maeras dferetes (puesto que la letra grabada e la prmer poscó o puede escogerse como seguda letra), para el prmer dígto, para el prmer dígto hay ueve úmeros, es decr ueve maeras, y para cada uo de los otros dos dígtos 10 maeras. Por lo tato puede grabarse , 000 ; por tato se podría formar 585,000 placas dferetes Permutacoes S u orde es sufcete para costtur otro subcojuto de r objetos tomados de u cojuto de objetos etoces se trata de permutacoes. Ua permutacó de los objetos tomados r a la vez se defe como P r! r! (II.2) Dode! se lee factoral y sgfca el producto de todos los úmeros de 1 a. Por tato 5! Por defcó 0! 1. Ejemplo 2.1 Hallar el úmero de palabras de tres letras dferetes que puede formarse co las letras: a, b, c, d, e, f. Solucó: Represetemos las palabras de tres letras por tres cajas: Ahora la prmera letra puede escogerse de ses formas dferetes; e seguda, la seguda letra se puede escoger de cco formas dferetes; y después de esto, la últma letra se puede escoger de cuatro formas dferetes. Escrbamos cada úmero e su correspodete caja como sgue: Aplcado la expresó II.2 se tee: 6! ! 6 6P

46 UNIDAD II Por tato se puede formar 120 posbles palabras de tres letras s repetcó Escogeca Múltple Muchos problemas del aálss combatoro y, e partcular, de probabldad se relacoa co la escogeca de ua bola tomada de ua ura que cotee bolas (o ua carta de ua baraja o ua persoa de ua poblacó). Cuado escogemos ua bola tras otra de ua ura, r veces, defmos esta escogeca como ua prueba ordeada de tamaño r. Se cosdera dos casos: 1. Pruebas co susttucó. E este caso cada bola escogda se regresa a la ura ates de tomar la sguete. Ahora puesto que hay maeras dferetes para escoger cada bola, segú el prcpo fudametal del coteo hay r (II.3) r veces pruebas ordeadas dferetes de tamaño r co susttucó. 2. Pruebas s susttucó. Aquí la bola o se devuelve a la ura ates de escoger la sguete. Así o hay repetcoes e la prueba ordeada. O sea que, ua prueba ordeada de tamaño r s susttucó es smplemete ua permutacó r de objetos de la ura. Por cosguete hay P r! r! (II.4) pruebas ordeadas dferetes de tamaño r s susttucó tomadas de u grupo de objetos. Ejemplo 2.2 De cuatas maeras se puede escoger tres cartas sucesvas de ua baraja de 52 cartas, (1) co susttucó, (2) s susttucó? Solucó: (1) s cada carta se regresa al ape ates de escoger la sguete, etoces cada carta puede escogerse de 52 maeras dferetes. Etoces 3 hay , 608 pruebas ordeadas dferetes de tamaño tres co susttucó. (2) Por otra parte s o hay susttucó, etoces la prmera carta puede escogerse de 52 maeras dferetes, la seguda carta tee 51 maeras dferetes y la últma carta tee 50 maeras dferetes, por tato hay P pruebas ordeadas dferetes de tamaño tres s susttucó. 52 3, 43

47 UNIDAD II Combacoes Supogamos que teemos ua coleccó de objetos. Ua combacó de estos objetos tomados r a la vez, o ua combacó r, es u subcojuto de r elemetos. E otras palabras, ua combacó r es ua seleccó de r o de objetos dode el orde o se tee e cueta. C r! r! r! (II.5) Ejemplo 2.3 Cosdere que dados 10 productos, cuátos subcojutos de tres productos podría empacarse jutos y ofrecerse a los cletes? S se cosdera que el orde e el cual se ofrece los tres productos o flurá e los cletes. Solucó: El úmero de combacoes de 10 elemetos tomados 3 a la vez es C 120. Por tato hay 120 paquetes de tres artículos que se puede ofrece a 10 3 los cletes. 2.2 ENFOQUES DE PROBABILIDAD La probabldad es la posbldad umérca de que ocurra u eveto. La probabldad de u eveto es medda por valores compreddos etre 0 y 1. Etre mayor sea la probabldad de que ocurra u eveto, su probabldad asgada estará más próxma a 1, metras que la probabldad de ua mposbldad es 0, ésta se expresa como: E 1 0 P (II.6) El proceso que produce u eveto es deomado expermeto. U expermeto es toda accó be defda que colleva a u resultado úco be defdo. El cojuto de todos los posbles resultados para u expermeto es el espaco muestral represetado por: S x 1,x 2,,x (II.7) La teoría de la probabldad ocupa u lugar mportate e muchos asutos de egocos. Las pólzas de seguros de vda depede de las tablas de mortaldad, las cuales a su vez se basa e probabldades de muerte e edades específcas. Otras tasas de seguros tales como seguro de bees raíces y de automóvles se determa de maera smlar. La probabldad també juega u papel mportate e la estmacó del úmero de udades defectuosas e u proceso de fabrcacó, la probabldad de recbr pagos sobre cuetas por cobrar y las vetas potecales de u uevo producto. 44

48 UNIDAD II Exste sólo tres formas geeralmete aceptadas para efocar: (1) modelo de frecueca relatva (o a posteror), (2) modelo subjetvo y (3) modelo clásco (o a pror). El modelo de frecueca relatva utlza datos que se ha observado empírcamete, regstra la frecueca co que ha ocurrdo algú eveto e el pasado y estma la probabldad de que el eveto ocurra uevamete co base e estos datos hstórcos. La probabldad de u eveto co base al modelo de frecueca relatva se determa medate: Número de veces que ha ocurrdo el eveto e el pasado PE (II.8) Número total de observacoes El modelo subjetvo requere establecer la probabldad de algú eveto co base e la mejor evdeca dspoble. E muchos casos esto puede ser apeas ua cojetura hecha sobre certa base. El modelo subjetvo se utlza cuado se desea asgar probabldad a u eveto que uca ha ocurrdo. Por ejemplo la probabldad de que ua mujer sea elegda como presdete de Méxco, debdo a que o hay datos sobre los cuales cofar, debe aalzar las opoes y creecas para obteer ua estmacó subjetva. De los tres métodos para medr la probabldad, el modelo clásco es el que se relacoa co mayor frecueca co las apuestas y juegos de azar. La probabldad clásca de u eveto E se determa medate: Número de formas e las que puede ocurrr u eveto PE (II.9) Número total de posbles resultados 2.3 Axomas de Probabldad Uoes, terseccoes y relacoes etre evetos U cojuto es ua coleccó de objetos be defda. Se asume que se ha detfcado dos cojutos A y B. Cada uo cotee umerosos elemetos. U dagrama de Ve es ua herrameta útl para mostrar la relacó etre cojutos. Iterseccó etre A y B A B: es el cojuto de todos los elemetos que está tato e A como e B. Los evetos A y B se les deoma evetos o dsyutos. La fgura 2.1(a) muestra el correspodete dagrama de Ve. Uó de A y B A B: es el cojuto de todos los elemetos que está e A o e B. La fgura 2.1(b) muestra el dagrama de Ve de la uó de dos evetos. 45

49 UNIDAD II Fgura II.1 Dagrama de Ve: (a) A terseccó B y (b) A uó B Se dce que dos evetos so mutuamete excluyetes s la ocurreca de uo prohíbe la ocurreca del otro. Los evetos so depedetes, s la ocurreca de uo o tee ada que ver co la ocurreca del otro. Cuado se saca de u cojuto fto, dos evetos so depedetes s y sólo s se realza el reemplazo. S embargo, s el prmer elemeto o se reemplaza ates de sacar el segudo elemeto, los dos evetos so depedetes Tablas de cotgeca y tablas de probabldad Ua tabla de cotgeca permte examar o comparar dos varables. De los 500 empleados de Kg Dyamcs, Ic. 170 está clasfcados como membros de persoal admstratvo, 290 como trabajadores de líea y 40 so auxlares. La tabla compara el géero de los trabajadores y la clasfcacó que tee éstos. Tabla II.1 Tabla de cotgeca para Kg Dyamcs Clasfcacó de los empleados Géero Admstratvo Líea Auxlar Total Hombres Mujeres Total Ua tabla de probabldad puede crearse dvdedo cada ua de las etradas de la tabla ateror etre el total, 500 trabajadores. Los resultados se ve e la tabla. 46

50 UNIDAD II Géero Hombres Mujeres Tabla II.2 Tabla de probabldad para Kg Dyamcs Admstratvo S Clasfcacó de los empleados Líea L Auxlar A Total H M Total Los valores e las márgees de la tabla se llama probabldades margales. Por ejemplo, la probabldad de seleccoar u trabajador de líea de maera aleatora es L P y la probabldad de seleccoar u hombre es M P Las probabldades cojutas e las celdas de la estructura prcpal de la tabla muestra la probabldad de la terseccó etre dos evetos. Por ejemplo, la probabldad de seleccoar u trabajador que sea parte del persoal admstratvo y que sea hombre, es P H S Ua probabldad margal se ecuetra como la suma de las probabldades cojutas correspodetes. Por tato P H PH S PH L PH A Probabldad codcoal Es la probabldad de que el eveto A ocurra, dado que el eveto B ya ocurró. Se deota como P A B y se lee la probabldad de A dado B. La formula geeral para calcular la probabldad codcoal, es la sguete: P A B P A B P B (II.10) Para lustrar la aplcacó de la expresó III.10, retomemos la tabla de probabldades de Kg Dyamcs, se puede observar que la probabldad de que u trabajador tomado aleatoramete sea hombre es H P

51 UNIDAD II s embargo, s se desea calcular la probabldad de que el trabajador sea hombre dado que es u membro del persoal admstratvo P H S se puede hallar así P H S P H S P S Las dos reglas de la probabldad Para calcular la probabldad de evetos más complejos utlzaremos la regla de la multplcacó y la regla de la adcó. Cada ua se utlza para propóstos específcos Regla de la multplcacó El propósto de la regla de la multplcacó es determar la probabldad del eveto cojuto PA B. Es decr, que para ecotrar la probabldad de A y B, smplemete se multplca sus respectvas probabldades. El procedmeto exacto depede de s A y B so depedetes o depedetes. Los evetos A y B so depedetes s A PA B P. Es decr, la probabldad de A es la msma be se cosdere o o el eveto B. De gual forma, s A y B so P B P B A depedetes, s Para evetos depedetes la probabldad de dos evetos se vuelve: P A B PA PB (II.11) S los evetos so depedetes, etoces, por defcó, se debe cosderar el prmer eveto al determar la probabldad del segudo. Es decr, la probabldad del eveto B depede de la codcó que A ya haya ocurrdo. Se ecesta del prcpo de probabldad codcoal. La probabldad de los evetos cojutos A y B: P A B PA PB A (II.12) Retorado a la tabla de probabldad para Kg Dyamcs, tabla II.2, se observa que la probabldad margal de la seguda fla muestra claramete que M 0. 4 P s cosderar s el trabajador es membro admstratvo, líea o auxlar. S embargo, la probabldad cojuta de que sea mujer y membro de líea P M L També se puede calcular esta probabldad utlzado la expresó II.12 48

52 UNIDAD II P M L PM PL M el últmo térmo es probabldad codcoal, la cual se determó aterormete como P L M P L M 0. 7 P M 0. 4 etoces P M L PM PL M Auque el uso de ua tabla II.2 puede smplfcar el cálculo de probabldad, exste ejemplos e los cuales es muy dfícl la creacó de ua tabla, por lo tato se requere el uso de las fórmulas Regla de la adcó La regla de la adcó se utlza para determar la probabldad del eveto A o B, P A B. La probabldad de que ocurra el eveto A o B para evetos que o so mutuamete excluyetes, s ambos puede ocurrr al msmo tempo, se determa por medo de la sguete expresó: P A B PA PB PA B (II.13) E el ejemplo de Kg Dyamcs, la probabldad de que u empleado sea trabajador hombre o u trabajador de líea es: P M L PM PL PM L La probabldad del eveto A o del eveto B cuado los evetos so mutuamete excluyetes se determa por: P A B PA PB (II.14) De la tabla II.2 de Kg Dyamcs, los evetos de que u empleado sea trabajador hombre o u trabajador mujer so mutuamete excluyetes. 49

53 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 7. CUESTIONARIO Calfcacó: 1. Utlza la palabra, alguas se repte, o eucado que complete el espaco e blaco: accó cero cojuto efoque clásco eveto expermeto frecueca relatva probabldad resultado resultados subjetvo uo datos empírcamete efoque frecueca muestral úmero de formas e las que puede ocurrr u eveto úmero de veces que ha ocurrdo el eveto e el pasado úmero total de observacoes úmero total de posbles resultados pasado afecta codcoal depedetes excluyetes depedetes ada o ocurra ocurreca otro Hstórcamete se ha desarrollado tres efoques coceptuales para defr la probabldad y determar valores de probabldad: La es la posbldad umérca de que ocurra u eveto. La de u eveto es medda por valores compreddos etre y. El proceso que produce u es deomado. U expermeto es toda be defda que colleva a u úco be defdo. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 50 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

54 El de todos los posbles para u es el espaco represetado por: s x, x,, x 1 2 El de relatva utlza datos que se ha observado, regstra la frecueca co que ha ocurrdo algú e el y estma la probabldad de que el ocurra uevamete co base e estos hstórcos. La probabldad de u eveto co base al modelo de relatva se determa medate: PE ( ) De los tres métodos para medr la probabldad, el modelo clásco es el que se relacoa co mayor frecueca co las apuestas y juegos de azar. La probabldad clásca de u eveto E se determa medate: PE ( ) Se dce que dos o más evetos so mutuamete s la de uo prohíbe la ocurreca del. Esto es, s o puede ocurrr al msmo tempo. Dos o más evetos so excluyetes cuado es posble que al msmo tempo. Los evetos so, s la ocurreca de uo tee que ver co la del otro. Dos evetos so cuado la ocurreca o o ocurreca de u eveto a la probabldad de del otro eveto. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 51 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

55 Cuado dos evetos so depedetes, se emplea el cocepto de probabldad para desgar la probabldad de ocurreca del eveto relacoado. La expresó PB A dca la probabldad de que ocurra el eveto B dado que ya ha ocurrdo el eveto A. La formula geeral para calcular la probabldad codcoal, es la sguete: P P P Probabldad de evetos 2. Para cada ua de las sguetes stuacoes, dque cuál de los efoques de la probabldad (el clásco, el de frecuecas relatvas o el subjetvo) sería más útl para determar el valor de probabldad requerdo. a. La probabldad de que haya u golpe de estado el próxmo año. b. La probabldad de obteer ya sea u 1 o u 6 e u solo lazameto de u dado de ses caras. c. La probabldad de que ua persoa aleatoramete elegda etre las que vsta ua gra teda departametal realce ua compra e esa teda. 3. Ua bolsa cotee 4 cacas rojas y 3 azules. S se saca ua caca de la bolsa al azar, cuál es la probabldad de sacar ua caca azul? 4. Se escoge aleatoramete ua persoa vestda de rojo de u grupo de 5 persoas que vste de rojo y 4 persoas que vste de azul. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 52 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

56 5. Se escoge ua pelota de tes verde de ua bolsa que cotee 4 pelotas verdes, 7 amarllas y 5 blacas. 6. Determe el valor de probabldad aplcable a cada ua de las sguetes stuacoes. a. La probabldad de accdetes dustrales e ua dustra e partcular e u plazo aual. Ua muestra aleatora de 10 empresas, las cuales emplea a u total de 8000 persoas, reportó la ocurreca de 400 accdetes dustrales durate u perodo recete de 12 meses. b. La probabldad de acertar a u úmero gaador e u juego de ruleta. Los úmeros de la rueda cluye u 0, 00 y del 1 al 36. c. La probabldad de que u establecmeto de fraquca de comda rápda sea faceramete extoso. El probable versosta obtee datos de otras udades del sstema de fraqucas, estuda el desarrollo de la zoa resdecal e la que estará ubcado el establecmeto y cosdera el volume de vetas requerdo para garatzar el éxto facero co base e la versó de captal requerda y los costos operatvos. E geeral, el versosta juzga que hay u 80% de posbldades de que el establecmeto sea faceramete extoso y 20% de que o lo sea. 7. La sguete tabla muestra el úmero de computadoras veddas daramete por ua teda morsta Número de computadoras veddas Número de días 0 12 Probabldad Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 53 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

57 Determe la probabldad de que el úmero de computadoras que se veda el día de hoy sea: a. 2 b. Meos de 3 c. Más de 1 d. Por lo meos 1 8. U mportador de crstal rladés de Nueva York recbe evíos de cajas de tres artículos. La sguete tabla muestra los datos para las últmas 100 cajas dcaro el úmero de artículos dañados que había e cada caja. Número de defectos Número de cajas Probabldad Determe la probabldad de que el úmero de artículos defectuosos sea: a. 2 b. Meos de 3 c. Más de 1 d. Nguo Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 54 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

58 Probabldad co téccas de coteo S u orde es sufcete para costtur otro subcojuto de r objetos tomados de u cojuto de objetos etoces se trata de permutacoes. Ua permutacó de los objetos tomados r a la vez se defe como! Pr r! 9. Calcula las permutacoes para los sguetes valores de y r: 6 r 3 4 r 2 10 r 4 Supogamos que teemos ua coleccó de objetos. Ua combacó de estos objetos tomados r a la vez, o ua combacó r, es u subcojuto de r elemetos. E otras palabras, ua combacó r es ua seleccó de r o de objetos dode el orde o se tee e cueta.! Cr r! r! 10. Calcula las combacoes para los sguetes valores de y r: 6 r 3 4 r 2 10 r 4 Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 55 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

59 11. U caso recete e la corte del codado de Madso, Ketucky, sobre las práctcas de cotratacó de ua compañía de teléfoos local. La compañía plaeó cotratar 3 uevos empleados. Había 8 caddatos para los cargos, 6 de los cuales era hombres. Los 3 que fuero cotratados era hombres. U cargo por dscrmacó de sexo se mpuso cotra la compañía. Cómo decdría usted? 12. Dez udades de produccó se seleccoa de ua líea de produccó. Tres de estas 10 so defectuosas. S debe sacar 5 de las 10, cuál es la probabldad de que 2 sea defectuosas? 13. U represetate de vetas debe vstar ses cudades durate u vaje. a. S e la zoa geográfca por vstar hay 10 cudades, cuátas dferetes agrupacoes de ses cudades susceptbles de ser vstadas por el represetate de vetas hay? b. Supogamos que e la zoa geográfca que vstará el represetate de vetas hay 10 cudades y, además, que la secueca e la que será programadas las vstas a la ses cudades elegdas també es de mportaca. Cuátas secuecas so posbles para las ses cudades asgadas? 14. De las cudades mecoadas e el problema ateror, supogamos que ses de ellas so e realdad mercados prmaros del producto e cuestó metras que las otras cuatro so mercados secudaros. S el vededor elge aleatoramete las ses cudades por vstar, cuál es la probabldad de que: a. Cuatro de ellas sea mercados prmaros y dos mercados secudaros b. Las ses resulte ser mercados prmaros Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 56 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

60 15. Los cco dvduos que compoe la dreccó de ua pequeña empresa maufacturera será setados jutos e u baquete. Determe la probabldad de que el grupo de tres drectvos elegdo a partr de los cco cluya a: a. U drectvo e partcular b. Dos drectvos e partcular c. Tres drectvos e partcular Tablas de probabldades cojutas 16. La revsta Forbes (febrero de 1997) clasfcó las 120 cudades de estados udos de acuerdo co la caldad de vda, co base e parte del porcetaje de empleados que teía título uverstaro. Los resultados se ve e la sguete tabla de cotgeca parcal, e dode A es meos del 15% co título uverstaro, B es del 15 al 20% co título uverstaro y C es más del 20% co título uverstaro. Realce ua tabla de probabldad y respoda las pregutas que se preseta e la sguete tabla. Porcetaje co título uverstaro Tabla 1. Clasfcacó de la revsta Forbes para las 120 cudades de EU Caldad de vda Pobre (P) Bueo (G) Excelete (E) Total A B 20 C Total Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 57 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

61 Tabla 2. Tabla de probabldad para las 120 cudades de EU Porcetaje co título uverstaro Pobre (P) Bueo (G) Excelete (E) Total A B C Total Los valores e las márgees de la tabla se llama. La probabldad de seleccoar ua cudad co meos del 15% de empleados co título uverstaro es: PA ( ) y la probabldad de seleccoar u empleado co vel de vda excelete es: PE ( ) Las probabldades cojutas e las celdas de la estructura prcpal de la tabla muestra la probabldad de la etre dos evetos. Por ejemplo, la probabldad de seleccoar ua cudad co caldad de vda pobre y del 15 al 20% de sus empleados co ttulo uverstaro, es: P( P B ) Metras que la otacó P( E C) se lee como y da: P( E C) : Ua probabldad margal se ecuetra como la suma de las probabldades cojutas correspodetes. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 58 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

62 Probabldad codcoal Es la probabldad de que el eveto A ocurra, dado que el eveto B ya ocurró. Para lustrar la aplcacó de la probabldad codcoal, retomemos la tabla 2 de probabldades, se puede observar que la probabldad de que ua cudad tomada aleatoramete tega más del 20% de sus empleados co ttulo uverstaro es: PC S embargo, s se desea calcular la probabldad de que la cudad cuete co más del 20% de sus empleados co ttulo uverstaro dado que su vel de vda es excelete se puede hallar así: PC E Regla de la multplcacó El propósto de la regla de la multplcacó es determar la probabldad del eveto cojuto P A B. Es decr, que para ecotrar la probabldad de A y B, smplemete se multplca sus respectvas probabldades. El procedmeto exacto depede de s A y B so depedetes o depedetes. Los evetos A y B so depedetes s P A P A B. Es decr, la probabldad de A es la msma be se cosdere o o el eveto B. De gual forma, s A y B so depedetes, s PB PB A Para evetos depedetes la probabldad de dos evetos se vuelve: P A B P A PB S los evetos so depedetes, etoces, por defcó, se debe cosderar el prmer eveto al determar la probabldad del segudo. Es decr, la probabldad del eveto B depede de la codcó que A ya haya ocurrdo. Se ecesta del prcpo de probabldad codcoal. La probabldad de los evetos cojutos A y B: Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 59 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

63 Regla de la adcó P A B P A P B A La regla de la adcó se utlza para determar la probabldad del eveto A o B, P A B. La probabldad de que ocurra el eveto A o B para evetos que o so mutuamete excluyetes, s ambos puede ocurrr al msmo tempo, se determa por medo de la sguete expresó: P A B P P P A B E el ejemplo de Forbes, la probabldad de que ua cudad tega u vel de vda bueo o que más del 20% de sus empleados tega ttulo uverstaros es: P P P P La probabldad del eveto A o del eveto B cuado los evetos so mutuamete excluyetes se determa por: P A B P P De la tabla 2 de Forbes, los evetos de que ua cudad tega ua caldad de vda pobre o ua caldad de vda excelete so mutuamete excluyetes. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 60 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

64 UNIDAD III DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Competeca: Coocer e detfcar las dferetes fucoes de dstrbucó de probabldad, para su aplcacó e la solucó de problemas. INTRODUCCIÓN Ua varable aleatora es ua varable cuyo valor es el resultado de u eveto aleatoro. Se supoe que se laza ua moeda tres veces y se aota el úmero de caras que se obtee. Los posbles resultados so 0 caras, 1 cara, 2 caras, o 3 caras. La varable aleatora es el úmero de caras que se obtee, y los posbles resultados so los valores de la varable aleatora. Como segudo ejemplo, los pesos de evío del agua meral e coteedores osclaba aleatoramete etre 10 a 25 lbras. Los pesos reales de los coteedores, e lbras, so los valores de la varable aleatora "peso". Tal y como lo sugere estos dos ejemplos, las varables aleatoras puede ser dscretas o cotuas. Ua varable aleatora dscreta puede asumr sólo certos valores, co frecueca úmeros eteros, y resulta prcpalmete del coteo. El úmero de caras e el expermeto del lazameto de la moeda es u ejemplo de ua varable aleatora dscreta. Los valores de la varable aleatora se restrge sólo a certos úmeros: 0, 1, 2, y 3. El resultado del lazameto de u dado, el úmero de camoes que llega por hora al puerto de carga, y el úmero de cletes que está e fla para sacar sus lbros favortos, so otros ejemplos de varables aleatoras dscretas. Ua varable aleatora cotua resulta prcpalmete de la medcó y puede tomar cualquer valor, al meos detro de u rago dado. Los pesos del agua meral es u ejemplo, debdo a que los coteedores puede tomar cualquer valor etre 10 y 25 lbras. Otros ejemplos de varables aleatoras cotuas cluye la estatura de los cletes e ua teda de ropa, los gresos de los empleados e u cetro comercal local y el tempo trascurrdo etre la llegada de cada clete a la bbloteca. E cada caso, la varable aleatora puede medrse co cualquer valor, cluyedo fraccoes de la udad. Auque las udades moetaras o puede dvdrse e u úmero cotuo o fto de subdvsoes (el dólar puede subdvdrse sólo 100 veces), comúmete se trata como dstrbucoes cotuas de probabldad. Ua dstrbucó de probabldad es u desplegue de todos los posbles resultados de u expermeto juto co las probabldades de cada resultado. La probabldad de que la varable aleatora X tome algú valor específco, x., se escrbe P(X = x). El valor esperado de ua varable aleatora dscreta es la meda poderada de todos los posbles resultados e los cuales los pesos so las probabldades respectvas de tales resultados. 61

65 UNIDAD III 3.1 Dstrbucoes de probabldad bomal E estadístca, la dstrbucó bomal es ua dstrbucó de probabldad dscreta que mde el úmero de éxtos e ua secueca de esayos depedetes de Beroull co ua probabldad fja p de ocurreca del éxto etre los esayos. E las empresas se tee stuacoes dode se espera que ocurra o o u eveto específco. Éste puede ser de éxto o fracaso. La dstrbucó bomal se utlza e stuacoes cuya solucó tee dos posbles resultados. Ejemplos: Al acer u bebé puede ser varó o mujer. E el deporte u equpo puede gaar o perder. E pruebas de certo o falso sólo hay dos alteratvas. U tratameto médco puede ser efectvo o efectvo. La meta de produccó o vetas del mes se puede o o lograr. E pruebas de seleccó múltple, auque hay cuatro o cco alteratvas, se puede clasfcar como correcta o correcta. Propedades de u expermeto de Beroull E cada prueba del expermeto sólo hay dos posbles resultados: éxtos o fracasos. El resultado obtedo e cada prueba es depedete de los resultados obtedos e pruebas aterores. La probabldad de u suceso es costate, la represetamos por p, y o varía de ua prueba a otra. La probabldad del complemeto es 1- p y la represetamos por q. Fucó de probabldad bomal se expresa como: X P X ;, p C p 1 p dode : P X ;, p X probabldad de X-éxtos, dadas y p úmero de observacoes p probabldad de éxtos X 1 p probabldad de fracasos X úmero de éxtos e la muestra X 1,2,, 62

66 P(X) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD III La meda y desvacó estádar de la dstrbucó se defe como: E X p p 1 p 1. Grafque la dstrbucó bomal para los sguetes valores: 3 p 0.25 x 0,1, 2,3 x P(X=x) 0.5 Dstrbucó bomal Número de éxtos (X) 2. La probabldad de que certa clase de compoete pase co éxto ua determada prueba de mpacto es Ecuetre la probabldad de que exactamete 2 de los sguetes 4 compoetes que se prueba pase la prueba. 3. La probabldad de que u pacete se recupere de ua rara efermedad de la sagre es 0.4. S se sabe que 15 persoas ha cotraído esta efermedad, cuál es la probabldad de que: a) sobrevva etre 3 y 8 persoas, b) sobrevva exactamete 5 persoas y c) al meos 10 sobrevva. 63

67 UNIDAD III 4. E pruebas realzadas a u amortguador para automóvl se ecotró que el 20% presetaba fuga de acete. S se stala 20 de estos amortguadores, hallar la probabldad de que: a) 4 salga defectuosos, b) más de 5 tega fuga de acete, c) de 3 a 6 amortguadores salga defectuosos y d) determe el promedo y la desvacó estádar de amortguadores co defectos. x P(X=x) x P(X=x) 64

68 P(X) P(X) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD III Dstrbucó bomal Número de éxtos (X) Dstrbucó bomal Número de éxtos (X) 65

69 UNIDAD III 3.2 Dstrbucó de Posso E teoría de probabldad y estadístca, la dstrbucó de Posso es ua dstrbucó de probabldad dscreta. Expresa la probabldad de u úmero k de evetos ocurredo e u tempo fjo, s estos evetos ocurre co ua frecueca meda coocda y so depedetes del tempo dscurrdo desde el últmo eveto. Se dce que exste u proceso de Posso s podemos observar evetos dscretos e u área de oportudad u tervalo cotuo (de tempo, logtud, superfce, etc.) de tal maera que s se reduce lo sufcete el área de oportudad o el tervalo, La probabldad de observar exactamete u éxto e el tervalo es costate. La probabldad de obteer más de u éxto e el tervalo es 0. La probabldad de observar u éxto e cualquer tervalo es estadístcamete depedete de la de cualquer otro tervalo. Utldad: La dstrbucó de Posso se utlza e stuacoes dode los sucesos so mpredecbles o de ocurreca aleatora. E otras palabras o se sabe el total de posbles resultados. Permte determar la probabldad de ocurreca de u suceso co resultado dscreto. Es muy útl cuado la muestra o segmeto,, es grade y la probabldad de éxtos p es pequeña. Se utlza cuado la probabldad del eveto que os teresa se dstrbuye detro de u segmeto dado como por ejemplo dstaca, área, volume o tempo defdo. Esta dstrbucó se aplca e stuacoes como: La llegada de u clete al egoco durate ua hora. Las llamadas telefócas que se recbe e u día. Los defectos e maufactura de papel por cada metro producdo. Los evases lleados fuera de los límtes por cada 100 galoes de producto termado. El úmero de pacetes que llega al servco de emergeca de u hosptal e u tervalo de tempo. El úmero de glóbulos blacos que se cueta e ua muestra dada. El úmero de partos trples por año La expresó matemátca para la dstrbucó de Posso para obteer X éxtos, dado que se espera 1 éxto es: 66

70 P(X) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD III X e P X ; X! P X ; la probabldad de X evetos e u área de oportudad úmero de evetos esperado (meda) X úmero de evetos 5. Grafque la dstrbucó de Posso para los sguetes valores: 1,4,10 x 0,1,2,3,...,20 X P(X=x) P(X=x) P(X=x) Dstrbucó de Posso X 67

71 UNIDAD III 6. U comercate de verduras tee coocmeto de que el 3% de la caja está descompuesta. S u comprador elge 100 verduras al azar, ecuetre la probabldad de que: (a) las 4 esté descompuestas y (b) de 1 a 3 esté descompuestas. 7. E pruebas realzadas a u amortguador para automóvl se ecotró que el 0.04 presetaba fuga de acete. S se stala 150 de estos amortguadores, hallar la probabldad de que: (a) 4 salga defectuosos, (b) más de 5 tega fuga de acete, y (c) de 3 a 6 amortguadores salga defectuosos. 8. S 8 de 100 vvedas vola el códgo de costruccó. cuál es la probabldad de que u spector de vvedas, que seleccoa aleatoramete a 50 de ellas, descubra que: (a) gua de las casas vola el códgo de costruccó, (b) ua vola el códgo de costruccó y (c) dos vola el códgo de costruccó. 9. El úmero de pacetes que llega a u hosptal sgue ua dstrbucó de Posso. S el úmero promedo es de 120 por hora, cuál es la probabldad de que e u muto llegue por lo meos 3 pacetes? 10. Se sabe que 10 es el úmero promedo de camoes taque de acete que llega por día a ua certa cudad portuara. Las stalacoes del puerto puede ateder cuado mucho a 15 camoes taque e u día. Cuál es la probabldad de que e u determado día se tega que regresar los camoes taque? 11. E u estudo de u vetaro se determó que, e promedo, la demada por u artículo e partcular e ua bodega era 5 veces al día. Cuál es la probabldad de que e u determado día este artículo sea requerdo: (a) más de 5 veces y (b) ua sola vez? 12. El profesor Bradley ama a sus estudates de estadístca a "actuar de forma prudete" cosultado al tutor s tee algua preguta metras se prepara para el exame fal. Parece que la llegada de los estudates a la ofca del tutor se ajusta a ua dstrbucó de Posso, co u promedo de 5.2 estudates cada 20 mutos. El profesor Bradley está preocupado porque s muchos estudates ecesta los servcos del tutor, puede resultar u problema de cogestó. a) El tutor debe determar la probabldad de que cuatro estudates llegue durate cualquer tervalo de 20 mutos, lo cual podría causar el problema de cogestó que teme el profesor Bradley. S la probabldad excede el 20%, se cotratará u segudo tutor. 68

72 UNIDAD III b) El tutor debe calcular la probabldad de que más de cuatro estudates llegue durate algú período de 20 mutos. S es mayor que el 50%, las horas de ofca del tutor se aumetará, permtedo a los estudates exteder el horaro e las que vee a ver al tutor. c) S la probabldad de que más de sete estudates llegue durate u período cualquera de 30 mutos excede 50%, el msmo profesor Bradley ofrecerá tutoría adcoal. 13. A u comutador de la ofca prcpal de la compañía llega llamadas a u promedo de dos por muto y se sabe que tee dstrbucó de Posso. S el operador está dstraído por u muto, cuál es la probabldad de que el úmero de llamadas o respoddas sea: a. Cero? b. Por lo meos ua? c. Etre 3 y 5, clusve? 14. U proceso de fabrcacó utlzado para hacer artefactos plástcos Icas preseta ua tasa de defectos de 5 por cada 100 udades. Las udades se evía a los dstrbudores e lotes de 200. S la probabldad de que más de 3 salga defectuosos supera el 30%, usted plaea veder e su lugar, camsetas Grateful Dead. Cuál artículo agregará usted al vetaro? 15. Usted compra partes para bccleta de u proveedor e Toledo que tee 3 defectos por cada 100 partes. Usted está e el mercado para comprar 150 partes pero o aceptará ua probabldad de más del 50% de que más de dos partes sea defectuosas. Usted le compraría a dcho proveedor? 69

73 UNIDAD III 3.3 Dstrbucó ormal Ua de las herrametas de mayor uso e las empresas es la utlzacó de la curva ormal para descrbr stuacoes dode podemos recoplar datos. Esto os permte tomar decsoes que vaya a la par co las metas y objetvos de la orgazacó. Utldad: Se utlza muy a meudo porque hay muchas varables asocadas a feómeos aturales que sgue el modelo de la ormal. Caracteres morfológcos de dvduos (persoas, amales, platas,...) de ua espece, por ejemplo: tallas, pesos, dámetros, dstacas, perímetros,... Caracteres fsológcos, por ejemplo: efecto de ua msma doss de u fármaco, o de ua msma catdad de aboo Caracteres socológcos, por ejemplo: cosumo de certo producto por u msmo grupo de dvduos, putuacoes de exame Caracteres pscológcos, por ejemplo: cocete telectual, grado de adaptacó a u medo,... La fucó de dstrbucó: Puede tomar cualquer valor (-, + ) Hay más probabldad para los valores cercaos a la meda m Coforme os separamos de µ, la probabldad va decrecedo de gual forma a derecha e zquerda (es smétrca). Coforme os separamos de µ, la probabldad va decrecedo depededo la desvacó típca La expresó matemátca para la dstrbucó ormal: 1 f X ;, e 2 dode : es la meda es la desvacó estádar X es cualquer valor de la varable cotua F(X)=P X k 2 1 X 2 70

74 P(X) PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD III 16. Grafque la dstrbucó ormal para los sguetes valores: 50 5,10,20 Dstrbucó ormal X 17. Dada ua dstrbucó ormal, ecuetre el área bajo la curva que cae a. a la zquerda de z b. a la derecha de z c. etre z 2.16 y z

75 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD III d. a la zquerda de z e. a la derecha de z 1.96 f. etre z 0.48 y z Dada ua dstrbucó ormal co meda gual a 50 y desvacó estádar gual a 10, ecuetre la probabldad de que X asuma u valor etre 45 y 62. x z

76 UNIDAD III 19. Los sguetes datos represeta la duracó de vda e segudos de 50 moscas, sometdas a u uevo atomzador e u expermeto de laboratoro cotrolado: a) determe el porcetaje de vda de las moscas etre 10 y 20 segudos, b) más de 23 segudos, c) meos de 10 segudos. 20. TelCom Satellte presta servcos de comucacó a los egocos del área metropoltaa de Chcago. Los fucoaros de la compañía ha apreddo que la trasmsó satélte promedo es de 150 segudos, co ua desvacó estádar de 15 segudos. Los tempos parece estar dstrbudos ormalmete. Para estmar de maera apropada la demada del clete por sus servcos y establecer ua estructura de tarfas que maxmce las utldades corporatvas, TelCom debe determar qué ta probable es que alguas llamadas se presete. El drector de servcos desea que usted proporcoe estmados de la probabldad de que ua llamada dure: a. Etre 125 y 150 segudos. b. Meos de 125 segudos. c. Etre 145 y 155 segudos. d. Etre 160 y 165 segudos. 21. Como geero costructor usted compra bolsas de cemeto de u promedo de 50 lbras, co ua desvacó estádar de 5.2 lbras. Debe que usted tuvo el accdete escalado ua motaña, el médco le djo que o levatara ada que pesara más de 60 lbras debería usted cargar ua bolsa? 73

77 UNIDAD IV ESTADÍSTICA INFERENCIAL Competeca: Coocer y aplcar dversas téccas de muestreo y estmacó para su aplcacó e problemas geería. 4.1 Ifereca Estadístca Para dstgur la medda descrptva de ua poblacó de la medda descrptva de ua de sus muestras, se llamará al prmero parámetro y al segudo estadístco. E cosecueca, para ua poblacó dada, el parámetro es u valor fjo metras que u estadístco varía depededo de la muestra seleccoada. Alguos de los parámetros más comúmete empleados y sus estadístcos correspodetes so: Tabla IV.1. Parámetros y estadístcos más comues. Medda descrptva Parámetro Estadístco Meda μ x Varaza σ 2 s 2 Desvacó estádar σ s Proporcó π p El objetvo de la estadístca ferecal es emplear los estadístcos x, s 2, s, o p para hacer ferecas respecto a los parámetros poblacoales correspodetes μ, σ 2, σ, o π. Los prcpales tpos de ferecas que se realza so: 1. Estmacó putual o por tervalo. E este tpo de fereca, se estma el valor de u parámetro poblacoal medate u úmero o u tervalo umérco. 2. Prueba de hpótess. E este tpo de fereca se fórmula ua hpótess acerca del valor de u parámetro poblacoal. Dado que la fereca, del tpo que sea, se basa e ua de las muestras, resulta mportate aalzar la varacó de estás (más propamete el estadístco de terés). Para ello covee establecer de co ua varable aleatora X, que asoce cada ua de las muestras de la poblacó co el estadístco correspodete. La dstrbucó de muestras de u estadístco es la represetacó tabular y/o gráfca de las probabldades de todos los valores de algú estadístco, calculados e muestras del msmo tamaño, extraídas aleatoramete de la msma poblacó, como se lustra e la fgura IV.1. El error de muestreo es la dfereca etre el parámetro poblacoal y el estadístco de la muestra utlzado pata estmar el parámetro. 74

78 Probabldad PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD IV Meda muestral Frecueca Probabldad / / / / / Meda muestral Fgura IV.1 Tabla y dstrbucó muestral para muestras de tamaño = 2 e ua poblacó de N = 4. Vale la pea otar que la dstrbucó muestral de las medas muéstrales es smplemete ua lsta de todas las medas muéstrales posbles. Estas medas muéstrales, al gual que cualquer lsta de úmeros, tee ua meda deomada la meda de las medas muéstrales o la gra meda. Esta meda de las medas se calcula de la forma usual: las observacoes dvduales (medas muéstrales) se suma y el resultado se dvde por el úmero de observacoes (muestras). Se utlza X"(que se lee como X doble barra) como símbolo de la gra meda, matemátcamete se tee: x x k (IV.1) Dode k es el úmero de muestras e la dstrbucó muestral. La dstrbucó de las medas muéstrales també tee ua varaza. La varaza e las medas muéstrales es como cualquer otra varaza. Mde la dspersó de las observacoes dvduales (medas muéstrales) alrededor de su meda (la gra meda). Además, esta varaza se calcula al gual que cualquer otra varaza. Es la meda del cuadrado de las desvacoes co respecto a su meda. σ 2 x 2 x X x μ k k 2 (IV.2) La raíz cuadrada de la varaza e la dstrbucó de estas medas muéstrales, represeta el error estádar de la dstrbucó muestral. 75

79 UNIDAD IV σ x σ (IV.3) 2 x El error estádar de la dstrbucó muestral (o error estádar) es ua medda de la dspersó de las medas muéstrales alrededor de μ. Es aálogo co la desvacó estádar que se calculó e la udad 1, la cual medía la dspersó de las observacoes dvduales alrededor de su meda. Debdo a que la dfereca etre x y μ es el error de muestreo, toda medda de la tedeca de la meda muestral a desvarse de μ se le deoma acertadamete error estádar. Por tato, el error estádar σ x mde la tedeca a sufrr del error de muestreo e el esfuerzo por estmar μ. Ua aproxmacó para calcular la varaza de la dstrbucó muestral y el error estádar, supoedo que se cooce la varaza poblacoal, so: σ 2 x 2 σ σ σx (IV.4) Estas fórmulas so váldas s el muestreo se realza co reemplazo, o s la muestra se toma de ua poblacó muy grade (vrtualmete fta). S el muestreo se realza s reemplazo y s el tamaño de la muestra es más del 5% de la poblacó, > 0.05 N, debe aplcarse el factor de correccó para poblacoes ftas (fpc). La fórmula apropada para el error estádar etoces es σ x σ N N 1 (IV.5) Dada ua poblacó de tamaño N = 1000, se cosdera que se obtedría u estmado más precso de la meda poblacoal μ co ua muestra de tamaño = 100 o co ua muestra de tamaño más grade de = 900? Idscutblemete es probable u estmado más exacto co ua muestra más grade. Esta suposcó se verfca examado la fórmula (IV.3). Puede verse que a medda que aumeta, σ x dsmuye. El hecho de que las muestras más grades lleve a errores de muestreo más pequeños se vuelve cada vez más mportate a medda que los autores progresa e el estudo de la estadístca ferecal. Teorema del límte cetral, a medda que se vuelve más grade, la dstrbucó de las medas muéstrales se aproxmará a ua dstrbucó ormal co ua meda X = μ y u error estádar de σ x = σ, ver fgura IV.2. 76

80 UNIDAD IV Por tato, cluso s la poblacó o está dstrbuda ormalmete, la dstrbucó de muestreo de las medas muéstrales será ormal s es lo sufcetemete grade. La regla geeral es que s es por lo meos 30, el teorema del límte cetral asegurará ua dstrbucó ormal e las medas muéstrales cluso s la poblacó o es ormal ( x500 50) 0.02 ( x500 10) x = μ x= 500 Fgura IV.2 Dstrbucó de las medas muestrales de ua poblacó ormal. 4.2 Muestreo estadístco traza 1 traza 2 E repetdas ocasoes se ha efatzado la ecesdad de seleccoar ua muestra represetatva de la poblacó. Ua muestra que deforme la poblacó presetará u error de muestreo y producrá estmados mprecsos de los parámetros de la poblacó. Hay dos fuetes báscas de error de muestreo. La prmera es secllamete mala suerte. Debdo a la "cuestó suerte", la muestra puede coteer elemetos que o sea característcos de la poblacó. El desto puede dctar que certas seleccoes e la muestra sea atípcamete más grades que la mayoría de los de la poblacó y e tal caso resultaría ua sobreestmacó del parámetro. O quzás muchos de los elemetos muéstrales tede a ser más pequeños de lo que típcamete se ecuetra e la poblacó y e tal caso resultaría ua subestmacó. Ua seguda fuete de error de muestreo es el sesgo muestral. El sesgo resulta de la tedeca a favorecer la seleccó de certas muestras sobre otras e la recoleccó de los datos de la muestra Muestreo aleatoro smple σ x = 10 σ = 50 Como se ha vsto, puede seleccoarse dferetes muestras de cualquer poblacó. Tomar ua muestra aleatora smple garatza que cada muestra de algú tamaño dado tega la msma probabldad de ser seleccoada. Ua muestra aleatora smple puede obteerse smplemete eumerado las observacoes sobre pedazos détcos de papel, colocádolos e u sombrero 700 Dstrbucó de las medas muestrales Dstrbucó de la poblacó 77

81 UNIDAD IV y sacado el úmero deseado. Además, també puede utlzarse ua tabla de úmeros aleatoros. La tabla co frecueca es geerada por u computador e la cual cada uo de los 10 dígtos (0-9) tee ua probabldad gual de ser seleccoado. S se desea ua tabla de tres dígtos, el computador puede seleccoar 4,2,7,5,2,6,1,0,5, y así sucesvamete, formado los úmeros aleatoros 427, Muestreo sstemátco Ua muestra sstemátca se forma seleccoado cada -ésmo ítem de la poblacó. S se determa que es gual a 10, ua muestra sstemátca costa de cada décma observacó e la poblacó. La poblacó debe ordearse o eumerarse e forma aleatora. La prmera seleccó debe determarse aleatoramete, y s = 10, etoces estará e algua de las prmeras 10 observacoes. El puto cal exacto puede detfcarse be sea seleccoado u úmero etre 1 y 10 sacado de u sombrero, o utlzado ua tabla de úmeros aleatoros. E cualquera de los casos se seleccoa de allí e adelate cada décma observacó. El proceso de muestreo sstemátco es vetajoso porque o requere de u experto altamete calfcado para cotar hasta 10 y regstrar el resultado. Además, el método permte flexbldad ya que puede establecerse que sea 10,100, 1,000 o cualquer otro úmero deseado. La determacó del valor apropado para també es muy fácl. S se desea seleccoar ua muestra de tamaño 100 de ua poblacó de 1,000, debe ser 10. El pelgro prcpal que debe evtarse es la ocurreca de u patró e el ordeameto de la poblacó. Por ejemplo, eumerar la poblacó alfabétcamete asume ua dstrbucó aleatora por todo el alfabeto Muestreo estratfcado Cosdere el sguete ejemplo, el Mstero de Agrcultura de los Estados Udos se teresó e el mpacto de las codcoes de sequía sobre la produccó de trgo. Especal preocupacó causó la tasa de bacarrota que hacía que los grajeros perdera su terra. Se setía que u coteo de los veles de produccó por parte de los agrcultores de Kasas, Oklahoma, Nebraska y Dakota del Sur, los cuatro estados golpeados más duramete por la sequía, podría probar que so útles e el dseño de u programa de alvo. El mstero decdó que debería tomarse ua muestra de la cosecha de este año por varos cetos de agrcultores de cada estado. 78

82 UNIDAD IV S embargo, se otó que el úmero de agrcultores era muy dferete e cada estado. S se tomaba ua muestra aleatora smple de los cuatro estados como u todo, podría clur proporcoalmete pocos agrcultores de alguos estados y demasados de otros estados. Esto resultaría e ua muestra o represetatva, lo cual cremetaría el error de muestreo. El Mstero de Agrcultura decdó tomar ua muestra estratfcada dvdedo a todos los agrcultores e subgrupos o estratos (de ahí el térmo muestreo estratfcado). E este caso, los subgrupos lógcos sería los cuatro estados e mecó. La proporcó de agrcultores cludos e la muestra de cada estado sería gual a las proporcoes de todos los agrcultores e cada estado: s los agrcultores de Kasas costtuía el 30% de todos los agrcultores de todos los cuatro estados, etoces u 30% de los agrcultores de la muestra sería seleccoados aleatoramete de Kasas. Se toma ua muestra estratfcada forzado las proporcoes de la muestra de cada estrato para que esté coforme al patró poblacoal. Se emplea comúmete cuado la poblacó es heterogéea, o dsíml, auque certos subgrupos homogéeos pueda aslarse. De esta forma el vestgador puede cremetar la precsó más allá de la obteda por ua muestra aleatora smple de tamaño smlar Muestreo por coglomerados El muestreo por coglomerados, otra técca alteratva, ofrece certas vetajas sobre otros métodos. Cosste e dvdr toda la poblacó e coglomerados, o grupos, y luego seleccoar ua muestra de estos coglomerados. Todas las observacoes e estos coglomerados seleccoados está cludas e la muestra. Para lustrar, se cosdera el sguete ejemplo. El Mstero de Agrcultura de los Estados Udos, e su estudo sobre las codcoes de sequía, puede decdr que ua muestra por coglomerados es preferble. Ua muestra por coglomerados se toma detfcado los codados e cada estado como coglomerados. Ua muestra de estos codados (coglomerados) se seleccoa luego aleatoramete utlzado ua tabla de úmeros aleatoros o algú otro medo geeralmete aceptado. Todos los agrcultores seleccoados de esta maera e los codados está cludos e la muestra. Este procedmeto co frecueca es más fácl y rápdo que el muestreo aleatoro smple o el estratfcado. Por ejemplo, s es ecesaro vajar a cada fca de la muestra para observar los efectos de la sequía, es más fácl vstar varos agrcultores e el msmo codado. També es posble combar el muestreo estratfcado co el muestreo por coglomerados. E el ejemplo sobre agrcultura, puede ser sabo seleccoar la 79

83 UNIDAD IV muestra de u úmero de codados de cada estado, proporcoal al úmero total de codados e los cuatro estados. Certos problemas puede surgr e el uso del muestro por coglomerados. S u porcetaje aormalmete grade (o pequeño) de agrcultores e u coglomerado seleccoado tede a utlzar la rrgacó para mejorar la produccó del cultvo, los resultados de la muestra puede estar sesgados. Esta dscusó de gua maera explca los métodos de muestreo o los problemas que puede surgr e el proceso de búsqueda de ua muestra represetatva a ser utlzada para sacar ferecas estadístcas. U estudo sobre las téccas de muestreo costtuye todo u curso por sí msmo y va más allá del alcace de este texto. No obstate, debdo a la mportaca del proceso de muestreo, cluso el estudate prcpate debería ser coscete de los fudametos sobre muestreo. Ejercco 4.1. Las vetas e mles de dólares para East Coast Maufacturg (ECM) durate los últmos 5 meses fuero de 68,73,65,80 y 72. Asumedo que estos cco meses costtuye la poblacó, la meda claramete es μ = Como drector de marketg de ECM, se desea estmar este μ descoocdo tomado ua muestra de tamaño = 3. Se espera que el error de muestreo que es probable que ocurra sea relatvamete pequeño. Realce la dstrbucó muestral y haga cometaros sobre el posble error de muestreo. 4.3 Estmadores Actualmete se debe estar be coscete de que las poblacoes so geeralmete muy grades como para ser estudadas e su totaldad. Su tamaño requere que se seleccoe muestras, las cuales se puede utlzar más tarde para hacer ferecas sobre las poblacoes. S u gerete de ua teda morsta desea saber sobre el gasto promedo de sus cletes durate el año ateror, podría ecotrar dfícl calcular el promedo de los cetos o quzá mles de cletes que pasaro por su teda. Sería mucho más fácl estmar la meda poblacoal co la meda de ua muestra represetatva. Hay por lo meos dos tpos de estmadores que se utlza más comúmete para este propósto: u estmador putual y u estmador por tervalo. U estmador putual utlza u estadístco para estmar el parámetro e u solo valor o puto. El gerete de la teda puede seleccoar ua muestra de = 500 cletes y hallar el gasto promedo de X = US$ Este valor srve como ua estmacó putual para la meda poblacoal. Ua estmacó por tervalo especfca el rago detro del cual está el parámetro descoocdo. El gerete puede decdr que la meda poblacoal 80

84 UNIDAD IV está e algú sto etre US$35 y US$38. Tal tervalo co frecueca va acompañado de ua afrmacó sobre el vel de cofaza que se da e su exacttud. Por tato se llama tervalo de cofaza (I.C.). 4.4 Estmacó por tervalo U tervalo de cofaza tee u límte feror de cofaza (LIC) y u límte superor de cofaza (LSC). Estos límtes se halla calculado prmero la meda muestral, x. Luego se suma ua certa catdad a x para obteer el LSC, y la msma catdad se resta de x para obteer el LIC. Cómo se puede costrur u tervalo y luego argumetar que se puede teer u 95% de cofaza e que cotee μ, s cluso o se sabe cuál es la meda poblacoal? Vale la pea recordar de la dscusó ateror sobre la Regla Empírca que el 95.5% de todas las medas muéstrales cae detro de dos errores estádar de la meda poblacoal. Etoces la meda poblacoal está máxmo a dos errores estádar del 95.5% de todas las medas muéstrales. Por tato, al comezar co cualquer meda muestral, s se pasa de dos errores estádar por ecma de dcha meda y dos errores estádar por debajo de ella, se puede teer u 95.5% de cofaza e que el tervalo resultate cotega la meda poblacoal descoocda ( x0 1) α = α = x σ x μ =? +1.96σ x Fgura IV.3 Itervalo de cofaza del 95% para estmar la meda poblacoal. La dscusó sobre dstrbucoes de muestreo mostró que de toda poblacó se puede obteer muchas muestras dferetes de u tamaño dado, cada ua co su propa meda. Para u tervalo del 95% cuátos errores estádar se debe mover por ecma y por debajo de la meda muestral? Como lo demuestra la fgura IV.3, debdo a que la tabla Z cotee valores sólo para el área que está por ecma o por debajo de la meda, se debe dvdr el 95% por 2, producedo 81

85 UNIDAD IV Luego, se halla el valor de Z, correspodete a u área de , el cual es Z = Así, para costrur u tervalo de cofaza del 95%, smplemete se especfca u tervalo de 1.96 errores estádar por ecma y por debajo de la meda muestral. Este valor del 95% es llamado coefcete de cofaza Itervalo de cofaza para la meda poblacoal muestras grades Se debe recordar que el tervalo se forma utlzado la meda muestral como ua estmacó putual para el cual se adcoa y se resta u certo valor para obteer los límtes superor e feror del tervalo de cofaza, respectvamete. Por tato el tervalo de cofaza para estmar μ cuado σ es coocdo: μ x Zσ x (IV.6) El valor alfa, es la probabldad de error o la probabldad de que u tervalo dado o cotega la meda poblacoal descoocda Itervalo de cofaza cuado σ es descoocda La fórmula ateror requere la suposcó mprobable que la desvacó estádar poblacoal eres coocda. E el eveto probable que σ sea descoocda, la desvacó estádar de la muestra debe substturse: Dode s s. x μ x Zs x (IV.7) Cotrol del acho de u tervalo Como se expresó aterormete, es preferble u tervalo más estrecho debdo a la precsó adcoal que proporcoa. Hay dos métodos prcpales para lograr u tervalo más precso: (1) reducr el vel de cofaza y (2) cremetar el tamaño de la muestra. Reduccó del vel de cofaza. Por ejemplo, e el teto del señor Gerber por estmar la declaracó de mpuestos promedo de sus cletes, que u cremeto e la precsó puede obteerse aceptado u vel feror de cofaza. Su tervalo de cofaza del 99% osclaba etre US$573 y US$732, metras que el tervalo del 95% era más estrecho de US$594 a US$712. Esto resultó del hecho que el tervalo de cofaza del 99% requró u valor de Z de 2.58 e lugar de 1.96 que utlza el tervalo del 95%. 82

86 UNIDAD IV S embargo, había u costo volucrado e lograr esta precsó mayor: el vel de cofaza bajó a 95%, producedo u 5% de probabldad de error e lugar del 1% relacoado co el tervalo de cofaza del 99%. Exste algua maera e la que se pueda reducr el tervalo s sufrr ua pérdda de cofaza? Sí, cremetado el tamaño muestral. Icremeto del tamaño muestral. Icremetado el tamaño muestral se puede reducr el error estádar σ. S el tamaño muestral del señor Gerber se cremeta a 80, el tervalo del 99% preseta u grado de precsó smlar al tervalo más estrecho del 95%, s gua pérdda de cofaza. Ifortuadamete, esta vetaja o se gaa s u preco. El tamaño más grade de la muestra sgfca más tempo y más dero que debe gastarse al recolectar y maejar los datos. De uevo, debe tomarse ua decsó. Se vuelve ua decsó gerecal respecto a qué método tomar Determacó del tamaño apropado de la muestra El tamaño de la muestra juega u papel mportate al determar la probabldad de error así como e la precsó de la estmacó. Ua vez que se ha seleccoado el vel de cofaza, dos factores mportates fluye e el tamaño muestral: (1) la varaza de la poblacó σ 2 y (2) el tamaño del error tolerable que el vestgador está dspuesto a aceptar. Metras que el prmer factor está más allá del cotrol del vestgador (o hay ada que se pueda hacer sobre la varaza de la poblacó), sí es posble lmtar el tamaño del error. El tamaño del error que u vestgador puede tolerar depede de qué ta crítco es el trabajo. Alguas tareas extremadamete delcadas requere de resultados exactos: los procedmetos médcos vtales de los cuales depede vdas humaas, o la produccó de pezas de ua máqua que deba cumplr meddas precsas, puede tolerar sólo u pequeño error. E otros casos, los errores más grades puede teer cosecuecas meos graves. El tamaño muestral para tervalos de la meda poblacoal 4.5 Errores tpo I y II. Z σ 2 2 x μ 2 (IV.8) El modelo estadístco se basa e u método de demostracó comúmete empleado e matemátcas, e el que se asume ua hpótess y se obtee u resultado absurdo, cocluyedo que la hpótess de partda es falsa. Se le cooce como método por cotradccó o reduccó al absurdo. 83

87 UNIDAD IV La adaptacó de este método e estadístca parte de dos hpótess lógcas: la hpótess ula y la hpótess alteratva, represetada como H o y H 1, respectvamete. La preguta de vestgacó se ha trasformado e ua hpótess H 1 ; además, ecabeza el modelo ua hpótess H o, u resultado posble de la prueba, auque lógcamete opuesto al objetvo de vestgacó. La estructura y la mecáca del modelo tee la hpótess ula H o como el referete alrededor del cual se desarrolla el aálss estadístco y se toma la decsó fal; esto da lugar a sólo dos decsoes aceptar H o o rechazar H o. Como la prueba de las hpótess se susteta e ua muestra aleatora, el modelo puede llevar a decsoes correctas e correctas. Por ejemplo, s se rechaza la hpótess ula sedo verdadera, se dce que se comete u error tpo I; s se acepta la hpótess ula sedo e realdad falsa, se comete u error tpo II. Los otros dos casos posbles correspodería a decsoes correctas, ver tabla IV.2. Tabla IV.2. Decsoes posbles e las pruebas de hpótess. H o es verdadera H o es falsa Rechazar H o Error tpo I No hay error (decsó correcta) Aceptar H o No hay error (decsó correcta) Error tpo II La probabldad de cometer u error tpo I es gual al vel de sgfcaca, o valor α e el que se prueba la hpótess. El vestgador debe tomar ua decsó respecto al valor del vel de sgfcaca α. Debe seleccoar u valor de α que le dé sufcete cofaza, pero o ta pequeño que lo poga e u alto resgo de cometer el error tpo II y de teer ua poteca de la prueba baja. 4.6 Cotraste de hpótess ulateral y blateral. La hpótess ula expresa que la stuacó o ha cambado, metras que la hpótess altera establece que la stuacó se ha modfcado e algua dreccó específca o, smplemete, que ha cambado. Se clasfca ua prueba estadístca como de cola zquerda, cola derecha o de dos colas, de acuerdo co la hpótess altera seleccoada, como muestra e la tabla IV.3 y se lustra e las fguras IV.4 y IV.5. Tabla IV.3. Pruebas estadístcas co el uso de del parámetro μ. Cola zquerda Cola derecha Dos colas H o : μ μ o H 1 : μ < μ o H o : μ μ o H 1 : μ > μ o H o : μ = μ o H 1 : μ μ o 84

88 UNIDAD IV Hay cuatro pasos volucrados e ua prueba: 1. Platear las hpótess. 2. Co base e los resultados de la muestra, calcular el valor del estadístco de prueba Z. 3. Determar la regla de decsó co base e los valores crítcos de Z. 4. Iterpretacó y coclusoes. El valor Z utlzado para probar la hpótess cuado σ es coocdo: Z x μ o σ (IV.9) El valor Z utlzado para probar la hpótess cuado σ es descoocda: Z x μ o s (IV.10) H o : μ = μ o H 1 : μ μ o Zoa de rechazo cola a la zquerda ( x0 1) Zoa de o rechazo Zoa de rechazo cola a la derecha α/2 = x Exste u 95% de probabldad de que los resultados muestrales pueda caer etre ±1.96 s la hpótess ula es verdadera Fgura IV.4 Prueba de hpótess de dos colas. 85

89 UNIDAD IV H o : μ μ o H 1 : μ < μ o Zoa de rechazo cola a la zquerda ( x0 1) Zoa de o rechazo α x H o : μ μ o H 1 : μ > μ o ( x0 1) Zoa de rechazo cola a la derecha Zoa de o rechazo α x 4 Fgura IV.5 Prueba de hpótess de ua cola a la zquerda y a la derecha. 86

90 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 8. BATERÍA DE EJERCICIOS: INFERENCIA ESTADÍSTICA Y MUESTREO ESTADÍSTICO 1. Ua poblacó de vetas semaales (e mles de dólares) e Blazg Salads, u restaurate vegetarao e Chcago, es 27, 32, 17, 21 y 32. a) Calcule e terprete la desvacó estádar. b) Determe = 2 y desarrolle la dstrbucó muestral. c) Calcule el error estádar d) Calcule la meda poblacoal e) Calcule la gra meda Cómo se compara co la meda poblacoal? 2. Utlzado los datos del ejercco ateror determe ahora co = 3: a) La dstrbucó muestral b) Calcule la gra meda y el error estádar Cómo dfere los resultados del ejercco ateror y por qué? 3. Segú la revsta Busess Week, el promedo de los años de expereca de los plotos de aerolíea es de Se asume ua desvacó estádar de 12 años. Este año usted debe tomar 36 vuelos comercales. Usted espera que la expereca promedo de los plotos de los vuelos que usted tome sea superor a 30. Qué ta probable es que la meda muestral sea mayor de 30? 4. U proceso de maufactura produce udades que mde e promedo 10 pulgadas de largo co ua desvacó estádar de 3.2 pulgadas. S sólo puede utlzarse las udades que esté etre 9.5 y 10.5 pulgadas, cuátas puede descartarse de ua muestra de 100? 5. La desvacó estádar e cuato a la catdad de tempo que se gasta e etrear a u trabajador para realzar u trabajo es de 40 mutos. Se toma ua muestra de 64 trabajadores. a) Cuál es la probabldad de que la meda muestral exceda la meda poblacoal e más de 5 mutos? b) Cuál es la probabldad de que la meda muestral se al meos mayor que la meda poblacoal e 8 mutos? 6. El promedo de fodo de pesoes e TIAA, para ua poblacó de profesores, es de $40,715, co ua desvacó estádar de $19,015. Halle la probabldad que ua muestra de 75 profesores produzca u error de muestreo meor que $1, La casa del papel vede vtacoes, sorpresas y otros productos de papelería para ocasoes festvas. Se asume que las horas semaales promedo que trabaja los empleados e la teda es de 36.7, co ua desvacó estádar de 3.5. Jua Pérez, propetaro de la casa del papel, desea por lo meos u 90% de cofabldad e que su estmado de las horas promedo trabajadas por empleado cada semaa está detro de 1 hora de la meda poblacoal real. Se seleccoa ua muestra de 36 semaas. Cuál es la probabldad de que Pérez o esté deslusoado co el estmado? Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 87 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

91 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 9. BATERÍA DE EJERCICIOS: ESTIMACIÓN CON INTERVALOS DE CONFIANZA 1. Cosderemos el caso de u promotor moblaro que teta costrur u gra cetro comercal. Puede estmar e el área el greso promedo por famla como dcador de las vetas esperadas. Ua muestra de 100 famlas da ua meda de $35,500. Se asume que la desvacó estádar poblacoal es $7,200. Calcule: a) Determe el tervalo de cofaza del 95%, y b) Cosdere ua seguda muestra co ua meda de $35,600 y calcule el I.C. del 95% 2. Sáchez y asocados, acaba de regstrar las declaracoes de mpuestos de sus cletes. Desea estmar la catdad promedo que debe al servco de reta tera. De los 50 cletes seleccoó e su muestra, la catdad promedo que se adeudaba era de $ La desvacó estádar de la muestra es $217.43, calcule: a) El I.C. del 99% b) Qué pasaría a este tervalo s el señor Sáchez estuvera dspuesto a aceptar u vel de cofaza del 95%? c) Iterprete sus resultados. 3. Taxs seguros plaea comprar ua flota de uevos taxs para sus operacoes e Reforma. La decsó depede de s el redmeto del auto e cosderacó es por lo meos 27.5 mllas por galó de gasola. Los 36 carros que prueba la compañía reporta ua meda de 25.6 mllas por galó de gasola, co ua desvacó estádar de 3.5 MPG. A u vel de cofaza del 99%, Qué acosejaría a Taxs seguros que hcera? 4. Ua muestra de 121 llamadas al úmero 900 que usted maeja tee ua duracó promedo de 16.6 mutos y ua desvacó estádar de 3.63 mutos. Usted pretede elmar el servco a meos que la duracó promedo sea superor a 18 mutos. a) E el vel de cofaza del 90% cuál es su decsó? b) Cuál sería su decsó a u vel de cofaza del 95%? Por qué so dferetes los tervalos? c) Cuál sería su decsó s utlzara ua muestra de 200 llamadas? 5. U fabrcate que produce focos que tee u promedo de vda co dstrbucó aproxmadamete ormal y ua desvacó estádar de 40 horas. S ua muestra de 30 focos tee ua vda promedo de 780 horas, ecuetre u tervalo de cofaza del 96% para la meda poblacoal de todos los focos que produce la empresa. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 88 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

92 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 10. BATERÍA DE EJERCICIOS: PRUEBA DE HIPÓTESIS 1. La gereca de Baco Azteca está plaeado basar cargos para las cuetas corretes e el saldo daro promedo. El gerete de cuetas preferecales desea probar la hpótess de que las cuetas tee u promedo de $312. Se seleccoa ua muestra de 200 cuetas, dado ua meda de $ co ua desvacó estádar de $ Para mmzar la probabldad de u error tpo I, se seleccoa u valor α de 1%. 2. E ua reuó formatva para ua ofca corporatva, el gerete del Hotel Delcas, reportó que el úmero promedo de habtacoes alquladas por oche es de por lo meos 212. Es decr, 212. Uo de los fucoaros corporatvos cosdera que esta cfra puede estar algo sobre estmada. Ua muestra de 150 oches produce ua meda de habtacoes y ua desvacó estádar de 45.5 habtacoes. S estos resultados sugere que el gerete ha flado su reporte, será amoestado severamete. A u vel de cofaza de 1%, Cuál es el desto del gerete? 3. Ua ecuesta realzada por el INEGI mostró que los estudates de las uversdades de la acó gasta e promedo más de $75 mesuales e etretemeto. S usted puede hallar evdecas para cofrmar esta afrmacó, podría utlzarla para solctar a su casa ayuda moetara adcoal. De los 100 estudates que tomó de muestra, usted haya ua meda de $80.23 co ua desvacó estádar de $ A u vel de sgfcaca del 2%, se ecuetra justfcacó para la solctud? 4. Como gerete de compras para ua gra empresa de seguros usted debe decdr s actualzar o o las computadoras de la ofca. A usted se le ha dcho que el costo promedo de las computadoras es de US$2,100. Ua muestra de 64 morstas revela u preco promedo de US$2,251, co ua desvacó estádar de US$812. A qué vel de sgfcaca del 5% parece que su formacó es correcta? (Prueba de hpótess) 5. Durate los últmos meses Rayor & Sos ha publcado amplamete su egoco de sumstros eléctrcos. El Sr. Rayor espera que el resultado haya sdo cremetar las vetas promedo semaales por ecma de US$7,880 que la compañía expermetó e el pasado. Ua muestra de 36 semaas da ua meda de US$8,023 co ua desvacó estádar de US$1,733. A u vel de sgfcaca del 1%, parece que la publcdad ha producdo efecto? (Prueba de hpótess) 6. Segú The Wall Street Joural (mayo 12 de 1997) muchas compañías de ropa deportva está tratado de comercalzar sus productos etre los más jóvees. El artículo sugró que la edad promedo de los cosumdores había caído por debajo del grupo de edad de 34.4 años que caracterzó los comezos de la década. S ua muestra de 1,000 cletes reporta ua meda de 33.2 años y ua desvacó estádar de 9.4, qué se cluye a u vel de sgfcaca del 4%? (Prueba de hpótess) Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 89 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

93 Eje y PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD V REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Competeca: Coocer los prcpos que rge el cotrol de caldad de dversos procesos para mateer y mejorar la efectvdad y efceca de procesos. La regresó y la correlacó so las dos herrametas estadístcas más poderosas y versátles que se puede utlzar para solucoar problemas comues e los egocos. Muchos estudos se basa e la creeca de que se puede detfcar y cuatfcar algua relacó fucoal etre dos o más varables. Por ejemplo, e u caso dustral se puede saber que el cotedo de alqutrá e el producto de salda de u proceso químco está relacoado co la temperatura co la que éste se lleva a cabo. Puede ser teresate desarrollar u método de predccó, esto es, u procedmeto para estmar el cotedo de alqutrá para varos veles de temperatura tomados de formacó expermetal. 5.1 Dagrama de dspersó El dagrama de dspersó, ver fgura V.1, represeta las observacoes por pares para x e y. Es habtual colocar la varable depedete e el eje horzotal. S x e y se relacoa e forma leal, etoces a medda que x camba e ua catdad costate. S exste ua relacó curvlíea, y camba e ua catdad dferete a medda que x camba Eje x Fgura V.1 Dagrama de dspersó. 5.2 Regresó leal smple. La regresó leal se refere a la predccó del valor de ua varable a partr de ua o más varables. Se deoma a la varable depedete (y), varable de respuesta y a la varable depedete (x), varable de predccó. 90

94 UNIDAD V Ua maera de estudar el comportameto de y respecto a x, es medate u modelo de regresó, que cosste e ajustar u modelo matemátco de la forma: y = f(x), a las parejas de putos. Co lo cual se puede ver s dado u valor de la varable depedete x, se puede predecr el valor promedo de y. Éste se llama modelo de regresó leal y expresa la relacó leal etre (x) y (y): Modelo de regresó leal: y 0 1 x Para estmar 0 y 1 ajustamos la recta que explque de mejor maera el comportameto de los datos. Debemos ecotrar la recta que pasa más cerca de todos los putos. U procedmeto para ajustar la mejor recta y por tato de estmar 0 y 1, es medate el método de mímos cuadrados. Estas estmacoes se deoma estmacoes putuales de los mímos cuadrados de los parámetros 0 y 1. De esta forma se trata de ecotrar los valores de 0 y 1 que mmza la suma de los errores cuadrados. Se trata de ajustar la recta de forma que la suma de las dstacas e forma vertcal de los putos a la recta se mmce. 1. La estmacó putual de los mímos cuadrados de la pedete. ˆ 1 SS SS xy xx Suma de cuadrados corregda de x SS xy x y x y S x 1 xx 1 1 Suma de cuadrados corregda de los productos cruzados xy 2. La estmacó putual de los mímos cuadrados de la ordeada al orge. x 2 ˆ y ˆ 1x, 0 dode: y y 1 -úmero de observacoes Meda o promedo de los valores de x x 1 Meda o promedo de los valores de y x 91

95 Costo de Matemeto PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA UNIDAD V Se represetará la ecuacó de regresó estmada por predccó de mímos cuadrados). ˆ ˆ ˆ x (ecuacó de y 0 1 Ejemplo 5.1. Ua frma de reta de coches recabo los datos de la sguete tabla sobre los costos del matemeto (y) y las mllas recorrdas (x) para 7 automóvles. Ecotrar el modelo de regresó leal para los datos proporcoados. 1. Gráfco de dspersó. 400 Mllas recorrdas e mles (x) Costos de matemeto (y) Tabla de datos Mllas recorrdas x y x 2 y 2 xy x 302 y x y xy

96 UNIDAD V 3. Determar SS xx: SS xx 1 x 2 1 x Determar SS xy: SS xy 1 x y 1 x 1 y Determar ˆ 1: SS SS xy 1 ˆ xx 6. Determar x, y y ˆ 0 : x 1 x y 1 y ˆ y ˆ 0 1x Ecuacó de regresó estmada: y = x 8. Iterpretacó de ˆ 1 : 93

97 UNIDAD V Ejemplo 5.2. La ageca de proteccó del ambete (Evrometal Protecto Agecy; EPA) proporcoó ua sere de datos que compara el tamaño del motor e pulgadas cúbcas de desplazameto y las mllas por galó estmadas para ocho modelos represetatvos de automóvles subcompactos modelo Determar la ecuacó de regresó estmada. 1. Gráfco de dspersó. Coches compactos Tamaño del motor (mpg) Chevrolet Cavaler Nssa Staza Dodge Om Ford Scort Mazda Plymouth Horzo Reault Allace Toyota Tabla de datos. x y x 2 y 2 xy x 2 2 y x y xy 94

98 UNIDAD V Determar SS xx: x x SS xx Determar SS xy: y x y x SS xy Determar 1 ˆ : xx xy SS SS 1 ˆ 6. Determar 0 ˆ y, y x : x x 1 y y 1 x y 1 0 ˆ ˆ 7. Ecuacó de regresó estmada: 8. Iterpretacó de 1 ˆ :

99 UNIDAD V 5.3 Correlacó. Dadas dos varables aleatoras cualesquera x e y, ua medda de la relacó leal que hay etre ambas varables es el coefcete de correlacó de Pearso (r) defdo por : r SS SS xx xy SS yy Por tato, 1 < r < 1. Este coefcete es ua buea medda de la bodad del ajuste de la recta de regresó. E la terpretacó del coefcete de correlacó se debe teer e cueta que: r = ±1 dca ua relacó leal exacta postva (crecete) o egatva (decrecete), r = 0 dca la o exsteca de relacó leal estocástca, pero o dca depedeca de las varables ya que puede exstr ua relacó o leal cluso exacta, valores termedos de r (0 < r < 1 ó 1 < r < 0) dca la exsteca de ua relacó leal estocástca, más fuerte cuato más próxmo a +1 (ó 1) sea el valor de r. Para poder terpretar co mayor facldad el coefcete de correlacó se expoe e la fgura V.2 varas ubes de observacoes y el ajuste leal obtedo: Fgura V.2(a) exste ua depedeca fucoal leal, las observacoes está sobre la recta de regresó. r = 1, recta de regresó: y = x. Fgura V.2(b) la relacó leal etre las varables es muy pequeña y o parece que exsta otro tpo de relacó etre ellas, la ube de putos dca que las varables so cas depedetes; r = Se acepta la o flueca de la varable regresora e y. Fgura V.2(c) exste ua depedeca fucoal etre las observacoes pero o de tpo leal, por tato la correlacó es muy pequeña; r = Fgura V.2(d) la ube de datos se ajusta razoablemete a ua recta co pedete postva; r = Fgura V.2(e) exste ua fuerte depedeca leal egatva etre las dos varables y la correlacó es muy alta (próxma a -1); r =

100 UNIDAD V (a) (b) (c) (d) (e) Fgura V.2 (a) Depedeca fucoal leal, (b) observacoes cas depedetes, (c) exste ua relacó cuadrátca, (d) relacó estocástca leal y (e) fuerte relacó estocástca leal. 97

101 ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE 11. BATERÍA DE EJERCICIOS: REGRESIÓN LINEAL Y CORRELACIÓN 1. E la tabla A se preseta los datos de vetas e u perodo de 11 años de ua compañía fabrcate de software de gráfcos costtuda e a) Determe la ecuacó de tedeca leal para estos datos medate el método de mímos cuadrados, co dos cfras decmales para todos los valores. Usado esta ecuacó, determe el proóstco de vetas para el año b) Trace la gráfca de dspersó y la líea de tedeca. c) Obtega el coefcete de correlacó e terprete el resultado obtedo. Tabla A. Vetas auales de ua empresa de software. Vetas, Año e mlloes de dólares (Y) 1990 $ Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 98 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

102 2. Larry s Law Servce hace publcdad de u uevo químco para erradcar las malezas. Para determar la tedeca e el úmero de cletes, Larry cosulta los regstros de la compañía y ecuetra los datos que aparece a cotuacó. a. Determe la ecuacó de tedeca leal. b. Él desea proostcar el úmero de cletes para el período 15 (correspodete al mes de marzo de 1998). c. Grafca los putos de la tabla Período vs. Cletes y traza la líea de tedeca calculada e el cso (a). d. Obtega el coefcete de correlacó e terprete el resultado obtedo. Período X Cletes Y Eero de Febrero 2 43 Marzo 3 39 Abrl 4 37 Mayo 5 42 Juo 6 35 Julo 7 30 Agosto 8 31 Septembre 9 32 Octubre Novembre Dcembre Eero de Febrero Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 99 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

103 3. Ua compañía desea hacer predccoes del valor aual de sus vetas totales e certo país a partr de la relacó de éstas y la reta acoal. Para vestgar la relacó cueta co los sguetes datos: X Y X represeta la reta acoal e mlloes de euros e Y represeta las vetas de la compañía e mles de euros e el perodo que va desde 1990 hasta 2000 (ambos clusve). Calcular: a) La recta de regresó de Y sobre X. b) El coefcete de correlacó leal e terpretarlo. c) S e 2001 la reta acoal del país fue de 325 mlloes de euros. Cuál será la predccó para las vetas de la compañía e este año? 4. La formacó estadístca obteda de ua muestra de tamaño 12 sobre la relacó exstete etre la versó realzada y el redmeto obtedo e cetos de mles de euros para explotacoes agrícolas, se muestra e el sguete cuadro: Calcular: Iversó (X) Redmeto (Y) a) La recta de regresó del redmeto respecto de la versó. b) La prevsó de versó que se obtedrá co u redmeto de 1, 250, El úmero de horas dedcadas al estudo de ua asgatura y la calfcacó obteda e el exame correspodete, de ocho persoas es: Se pde: Horas (X) Calfcacó (Y) a) Recta de regresó de Y sobre X. b) Calfcacó estmada para ua persoa que hubese estudado 28 horas. Tecológco de Estudos Superores de Cuauttlá Izcall ORGANISMO PÚBLICO DESCENTRALIZADO DEL ESTADO DE MÉXICO 100 AV. NOPALTEPEC S/N FRACCIÓN LA COYOTERA DEL EJIDO SAN ANTONIO CUAMATLA, CUAUTITLÁN IZCALLI, ESTADO DE MÉXICO CP 54748

104 ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE: INGENIERÍA ELECTRÓNICA EVALUACIÓN Códgo UNIDAD: Perodo: Nombre del profesor: Asgatura: Fecha: Udad: Nombre del alumo: Grupo: Competeca específca: Istruccoes geerales: Crteros Formato de etrega. Presetacó. Excel Respuestas Grafcas Aota todos los datos geerales. (10ptos.) Edcó de títulos de gráfcas y tablas, resultados legbles, texto justfcado, tamaño de letra 12 para texto y títulos y s faltas de ortografía. (10ptos.) Realza el aálss estadístco e las platllas de Excel de todos los ejerccos. (10 ptos.) Redacta y fudameta de acuerdo a los resultados obtedos de forma clara (40 ptos) Todas la grafcas so legbles y cocuerda co los resultados obtedos. (30 ptos.) Parámetros Omte de 1 a 2 datos geerales. (3ptos.) S edcó de títulos de gráfcas, gráfcas y tablas s aleacó, faltas de ortografía. (5ptos.) Falta el cálculo de la tabla de resultados de la platlla de Excel para alguos ejerccs. (5 ptos.) Sólo redacta la respuesta de 1 a 6 ejerccos. (30 ptos) La grafcas o so legbles pero cocuerda co los resultados. (25 ptos.) Omte más de 3 datos geerales. (0 ptos.) Pésma presetacó del trabajo. (0 ptos.) Utlza de forma correcta las platllas de Excel. (0 ptos.) No redacta gua respuesta y sólo poe gráfcas. (0 ptos) Las gráfcas o so legbles y o cocuerda co los resultados. (0 ptos.) Resultado de la evaluacó: Putuacó Alcazada 1ra. oportudad 2da. oportudad Frma del docete Frma del alumo 101