La derivada. Razón de cambio promedio e instantánea
|
|
- Luis Agüero Botella
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 La derivada En esta sección empezamos con el estudio del concepto más importante de este curso. La derivada, la cual vamos a definir más adelante, es una herramienta poderosísima que ayuda a ingenieros, físicos, biólogos, sociologos, etc., a resolver problemas diversos en los que se involucran razones de cambio. Razón de cambio promedio e instantánea Al inicio de este curso estudiamos de una manera intuitiva la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo, es decir, la velocidad promedio de una piedra que fue lanzada y de la cual conocemos la ecuación de su movimiento. Entonces, utilizamos la definición básica de velocidad promedio como el cociente de la distancia recorrida dividida entre el tiempo que le tomó al objeto recorrerla: v yt f yt i t f t i y d t En la gráfica, la velocidad promedio puede calcularse a partir de los puntos B y C, y es igual a la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos, como se puede ver de la fórmula anterior y de la gráfica. 3 yt C 30 y B 9 3 t Entonces, cuando el punto C se acerca mucho al punto B, tiende a cero. La gráfica de la recta secante se va transformando, cambiando su pendiente, como se muestra en la siguiente gráfica: /0
2 yt yt 3 D C E F 30 G B B 9 3 t 3 t Conforme C se acerca al punto B, la pendiente de la recta tangente se aproxima cada vez más a la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto B. La tangente a la curva en un punto corresponde a la velocidad instantánea de la piedra en ese valor de t: en este caso, la pendiente de la recta tangente a la curva es m 4.95, que corresponde a la velocidad de la piedra en ese preciso instante. Observa que en realidad estamos calculando: y 0 que viene siendo la velocidad promedio de la piedra cuando el intervalo de tiempo considerado se hace muy pequeño, es decir, la velocidad de la piedra para un instante de tiempo. En otras palabras, la velocidad instantánea. Si consideramos una inversión donde el interés compuesto se aplica anualmente, podemos calcular la tasa de interés mensual, dividiendo la tasa mensual entre, igualmente podemos calcularla diaria, dividiendo entre 365, y así sucesivamente hasta calcular la tasa de interés instantánea, haciendo que el número de periodos durante el año tienda a infinito. En este caso, la tasa de crecimiento será el número e Ejemplo Calcula el monto al final de un año al invertir un peso con una tasa anual del 00% considerando la aplicación del interés en cada año, cada mes, cada día, cada hora, cada minuto, cada segundo y cada centésima de segundo. Cuando el interés se aplica solamente al final del año obtenemos: M + Si el interés se aplica mensualmente obtenemos: M Si el interés se aplica diariamente obtenemos: M /0
3 Si el interés se aplica cada hora obtenemos: M Si el interés se aplica cada minuto obtenemos: M Si el interés se aplica cada segundo obtenemos: M Y si el interés se aplica cada centésima de segundo obtenemos: M Si seguimos disminuyendo el tamaño del tiempo entre los cuales se aplican los intereses hasta obtener la tasa de crecimiento instantánea del dinero. Esa tasa es un número constante que se denomina con la letra e y es un número irracional, aproximadamente igual a En otras palabras, la tasa de crecimiento instantánea de un monto de $.00 peso con una tasa promedio anual de 00% es de 7.88% aproximadamente. La función exponencial es muy impotante en matemáticas, ingeniería, administración, economía, ciencias sociales, etc., porque muchas cantidades crecen de acuerdo a la constante e. Observa de este último ejemplo que al igual que en el caso de la piedra, cuando consideramos intervalos más pequeños, la tasa instantánea de cambio crece, en este caso del 00% al 7.83% aproximadamente. En un pueblo el primer día se recolectó kg de basura. El segundo día se recolectó kg. El tercer día se recolectaron 3 kg de basura, y así sucesivamente. El k-ésimo día se recolectaron k kilogramos de basura. Cuál es la razón de crecimiento promedio e instantánea de la cantidad de basura que han acumulado? Ejemplo Nos están pidiendo la razón de crecimiento de la cantidad de basura que se ha acumulado desde el primer día. En otras palabras, nos piden que sumemos: S k Esta suma se calcula muy fácilmente si consideramos que la suma tiene la propiedad conmutativa: S k S k + k + k + + s k + + k + + k k + 3/0
4 En la suma se repite el sumando k + un total de k veces, por eso: S k k + Y la cantidad de kilogramos de basura acumulada en ese pueblo es de: S k k + Ahora podemos estudiar su razón de cambio. Entonces, la razón de cambio es: S kg acumulados al día k kg acumulados al día k S k k + k k k [k + k ] k [] k Profesor: Si los estudiantes no recuerdan cómo sumar fracciones algebraicas sugiera su estudio extra-clase. Esto tiene sentido, pues en el día k-ésimo agregamos k kilogramos de basura al acumulado. Ahora calcularemos la razón de crecimiento instantánea. Consideramos un incremento de tiempo, S Sk + Sk k + k + + k k + k + k + k + k + + k k k + + k + + Cuando tiende a cero, obtenemos la razón de cambia instantánea, que en este caso es: k Calcula la razón de cambio instantánea de la siguiente función: Ejemplo 3 y x 3 cuando x. En otras palabras, deseamos calcular la velocidad instantánea de un objeto que se mueve con posición x 3 en el tiempo x. Vamos a calcular el resultado en pasos. 4/0
5 Primer paso: Damos un incremento a x para ver cómo crece y: y + y x + x 3 x x x + 3 x x + x 3 Segundo paso: Para calcular y le restamos y al valor que acabamos de obtener: y + y y x x x + 3 x x + x 3 x 3 y 3 x x + 3 x x + x 3 Tercer paso: Ahora vamos a dividir entre x para obtener la razón de cambio promedio: Profesor: Si los estudiantes no recuerdan productos notables, sugiera su estudio extra-clase. y x 3 x x + 3 x x + x 3 x 3 x + 3 x x + x Cuarto Paso: finalmente, calculamos el límite de ese cociente cuando x tiende a cero, para obtener la razón de cambio instantánea: y 3 x + 3 x x + x x 0 x x 0 x 0 3 x x Entonces, la razón de crecimiento promedio es: Y la razón decrecimiento instantánea es: Cuando x, obtenemos: 3 x + 3 x x + x x 0 x 0 y x 3 x + 3 x x + x x 0 y 3 x x y 3 x 0 x x Un tren se mueve con una velocidad v medida en metros por segundo que es igual a la raíz cuadrada del tiempo en minutos que lleva en movimiento, es decir, v t Ejemplo 4 Calcula la velocidad instantánea del tren a los 4 minutos de iniciar su viaje. Sabemos que la velocidad es igual a la raíz cuadrada del tiempo. Así que vamos a aplicar los cuatro pasos para calcular la velocidad instantánea a los 4 minutos. Paso : Damos un incremento a t para calcular v + v: v + v t + 5/0
6 Paso : Restamos la función original para obtener v: v + v v t + t v t + t Paso 3: Dividimos entre para calcular la velocidad promedio: v t + t Si calculamos el límite de este cociente obtendremos cero sobre cero. Así que vamos a racionalizar la fracción. Para eso, multiplicaremos tanto en el numerador como en el denominador por t + + t: v t + t t + + t t + + t t + t t + + t t + + t Profesor: Si los estudiantes no recuerdan racionalización, sugiera su estudio extra-clase. Ahora sí podemos continuar con el cuarto paso: Paso 4: Calculamos el límite cuando tiende a cero para obtener la velocidad instantánea: v 0 0 t + + t t t t Después de 4 minutos de haber iniciado su viaje su velocidad instantánea es: v 0 t4 t t m/s. 4 Entonces, el tren lleva una velocidad de 5 centímetros por segundo 4 minutos después de haber arrancado. Ejemplo 5 Un globo se está inflando con una bomba que le inyecta aire. Considerando que el globo tiene una forma esférica, cómo crece el volumen del globo cuando su radio es de 3 cm? Ya sabemos que el volumen de una esfera puede calcularse con la fórmula: V 4 3 πr3 6/0
7 Necesitamos calcular cómo crece el volumen con respecto al radio. Para eso vamos a seguir la regla de los cuatro pasos. Paso : Damos un incremento al radio para ver cómo crece el volumen: V + V 4 πr + r3 3 4 [ 3 π r r r + 3 r r + r 3] Paso : Restamos el volumen inicial del globo para obtener el incremento en el volumen del mismo: V + V V 4 [ 3 π r r r + 3 r r + r 3] 4 3 πr3 V 4 [ 3 π 3 r r + 3 r r + r 3] Paso 3: Dividimos entre r para conocer la razón de crecimiento del volumen promedio con respecto al radio: V r 4 3 π 3 r r + 3 r r + r 3 r 4 [ 3 π 3 r + 3 r r + r ] Paso 4: Ahora calculamos el límite cuando r tiende a cero para conocer la razón de cambio instantánea del volumen: V 4 [ r 0 r r 0 3 π 3 r + 3 r r + r ] 3 r + 3 r r + r 4 3 π r π 3 r + 3 r π 3 r 4πr Y cuando el radio del globo es de 3 cm, tenemos que la razón de crecimiento instantánea del volumen es de: V 4πr r 0 r r3 r3 4π3 36 π En palabras, el volumen del globo crece 36 cm 3 por cada centímetro que crece el radio del globo cuando éste es de 3 cm. 7/0
8 Ejemplo 6 Un pueblo con 50 personas de población tiene un almacén de agua potable de litros. Se espera que no llueva sino hasta dentro de 4 meses. Si cada persona utiliza 80 litros de agua potable diariamente para sus necesidades básicas lavar ropa, trastos, bañarse, etc. pero el sistema de tuberías que usan se daña con el tiempo y eso ocasiona fugas de agua potable, además de la que se evapora al ambiente de manera natural. Ellos han calculado que el volumen de agua que se descarga del almacén diariamente se puede calcular con la fórmula: V 4 000t t donde V es el número de litros de agua y t es el tiempo medido en días. disminuye el volumen de agua a los 5 días? A qué rapidez Debemos calcular la razón de decrecimiento instantánea para t 5. Aplicaremos los cuatro pasos. Paso : Calculamos V + V dando un incremento a t: V + V 4 000t t t t + 0. t Paso : Restamos V para obtener solamente el decremento en el volumen: V + V V t t + 0. t [4 000t t ] V t Paso 3: Ahora vamos a dividir entre para conocer la razón de decrecimiento promedio: V t t Paso 4: Finalmente calculamos el límite cuando tiende a cero para obtener la razón de decrecimiento instantánea: V t t t Entonces, cuando t 5, obtenemos: V t 0 t t5 En palabras, el día 5 utilizan litros de agua por día. En esta sección hemos utilizado mucho la regla de los cuatro pasos para calcular la razón de variación instantánea de distintas cantidades, que es una buena idea definirla. 8/0
9 Regla de los cuatro pasos La regla de los cuatro pasos nos ayuda a calcular la razón de variación instantánea de y con respecto a x para la función y f x es la siguiente: Paso : Dar un incremento a x y calcular y + y. Paso : Restar y a y + y para calcular el incremento y. Paso 3: Dividir y entre x para obtener la razón de variación promedio. Definición Paso 4: Calcular el límite cuando x 0 del cociente obtenido en el paso anterior para obtener la razón de variación instantánea de y con respecto a x. Es decir: Paso : y + y f x + x. Paso : y f x + x f x. Paso 3: y x Paso 4: x 0 f x + x f x. x y f x + x f x x x 0 x. Créditos Todo debe hacerse tan simple como sea posible, pero no más. Albert Einstein Este material se extrajo del libro Matemáticas I escrito por Efraín Soto Apolinar. La idea es compartir estos trucos para que más gente se enamore de las matemáticas, de ser posible, mucho más que el autor. Autor: Efraín Soto Apolinar. Edición: Efraín Soto Apolinar. Composición tipográfica: Efraín Soto Apolinar. Diseño de figuras: Efraín Soto Apolinar. Productor general: Efraín Soto Apolinar. Año de edición: 00 Año de publicación: Pendiente. Última revisión: 0 de agosto de 00. Derechos de autor: Todos los derechos reservados a favor de Efraín Soto Apolinar. México /0
10 Espero que estos trucos se distribuyan entre profesores de matemáticas de todos los niveles y sean divulgados entre otros profesores y sus alumnos. Este material es de distribución gratuita. Profesor, agradezco sus comentarios y sugerencias a la cuenta de correo electrónico: efrain@aprendematematicas.org.mx 0/0
Funciones crecientes y decrecientes
Funciones crecientes y decrecientes Ahora estudiaremos el comportamiento de la función a partir de la derivada. Hasta ahora hemos calculado máximos y mínimos de funciones. También sabemos que cuando f
Más detallesLa derivada como razón de cambio instantánea
La derivada como razón de cambio instantánea Observa que la razón de cambio instantánea es un límite: y(t + t) y(t) lim lim t 0 t t 0 t Cuando calculamos la razón de cambio promedio, geométricamente estamos
Más detallesInterpretación geométrica de la derivada
Interpretación geométrica de la derivada Ya estudiamos una interpretación geométrica de la razón de cambio instantánea. Ahora vamos a profundizar un poco más en este concepto recordando que la derivada
Más detallesEcuación general de la circunferencia
Ecuación general de la circunferencia Hasta aquí hemos calculado la ecuación de la circunferencia dejándola como la suma de binomios al cuadrado igualada a una constante positiva. Ahora vamos a ir un paso
Más detallesDerivadas de orden superior
Derivadas de orden superior Ya habrás observado que al derivar una función obtenemos otra nueva función. Por ejemplo, la derivada de la función y = x 2 es y = 2 x. Observa que y es otra función, generalmente
Más detallesReglas del producto y del cociente
Reglas del producto y del cociente Al igual que la regla de la potencia, ya calculamos las fórmulas para calcular la derivada de un producto de dos funciones en la página?? y del cociente de dos funciones
Más detallesInterpretación gráfica
Interpretación gráfica En la introducción de la sección Sistemas de Ecuaciones Lineales se presentó la interpretación gráfica (o geométrica) de la solución de un S.E.L.. Este tema está relacionado con
Más detallesTécnicas de integración. Cambio de variable
Técnicas de integración En matemáticas, cada tipo de problema sugiere un tipo de solución. Para calcular la derivada de una función, en general, el problema es muy sencillo, pues solamente se requiere
Más detallesEcuaciones exponenciales y logaritmicas
Ecuaciones exponenciales y logaritmicas Cuando hacemos preguntas relacionadas a funciones exponenciales o logaritmicas generalmente obtendremos una ecuación logarimica o exponencial. Elevé el número 3
Más detallesDiferenciabilidad en un intervalo
Diferenciabilidad en un intervalo Ahora que conocemos cómo calcular la derivada de una función en un punto conviene hacer la pregunta más general: «Cómo podemos saber si una derivada se puede derivar en
Más detallesIntegración de funciones trigonométricas
Integración de funciones trigonométricas Ya vimos las reglas para calcular integrales de funciones trigonométricas. Ahora vamos a considerar productos de funciones trigonométricas y potencias. Para este
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma normal
Forma normal Todavía nos falta una última forma de la ecuación de la recta que nos ayudará a estudiar el último tema de esta unidad. Ecuación de la recta en su forma normal La ecuación de la recta en su
Más detallesDenominadores con factores lineales
Denominadores con factores lineales uando al sumar dos fracciones algebraica obtenemos una nueva fracción con denominador que se puede factorizar hasta tener factores lineales, significa que los denominadores
Más detallesMétodo de Sustitución
Método de Sustitución El nombre de este método nos indica qué es lo que vamos a hacer: para resolver el S.E.L. de dos ecuaciones con dos incógnitas vamos a «despejar» una de las incógnitas de una de las
Más detalles1 Razones y proporciones
1 Razones y proporciones Es muy importante que el estudiante comprenda por qué deben realizarse de esa manera los procedimientos. Por ejemplo, frecuentemente se explica la regla de tres cuando estudiamos
Más detallesForma pendiente-ordenada al origen
Forma pendiente-ordenada al origen Si una recta corta el eje de las ordenadas (eje y) en el punto B(0, b), entonces decimos que la ordenada al origen de la recta es b. Conociendo este punto es muy sencillo
Más detallesDistancia entre un punto y una recta
Distancia entre un punto una recta Frecuentemente en geometría nos encontramos con el problema de calcular la distancia desde un punto a una recta. Distancia de un punto a una recta La fórmula para calcular
Más detallesEcuación ordinaria de la hipérbola
Ecuación ordinaria de la hipérbola Empezamos estudiando la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, que es la ecuación que se deduce anteriormente. Ahora vamos a utilizarla para calcular ecuaciones
Más detallesS.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas
1 S.E.L.: 3 ecuaciones con 3 incógnitas Ahora vamos a generalizar el procedimiento que hemos utilizado para resolver sistemas de una ecuación con una incógnita y de 2 ecuaciones con dos incógnitas. Para
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Variación inversa. entonces,
Variación inversa La función racional más sencilla es: Esta función en palabras nos dice que cuando x crece el valor de y decrece en la misma proporción. Por ejemplo, si el valor de x crece al doble, el
Más detallesTeoremas de los límites
Teoremas de los límites Empezamos esta sección dando la definición de límite. Límite Sea y = f (x una función. Si podemos formar la sucesión x 1, x 2,, x n de valores de la variable x tales que cada uno
Más detallesMáximos y mínimos usando la segunda derivada
Máimos mínimos usando la segunda derivada Ahora que sabemos que la segunda derivada nos da información acerca de la primera derivada, vamos a utilizarla para calcular los máimos mínimos de funciones. Ya
Más detallesEcuaciones de la tangente y la normal
Ecuaciones de la tangente la normal Ahora que sabemos cómo calcular la pendiente de una recta tangente a una curva dada su ecuación, independientemente de que ésta sea una función o no lo sea, podemos
Más detallesLímites de funciones
Límites de funciones Gracias a las propiedades de los límites podemos resolver problemas de una manera más sencilla. Límites de funciones polinomiales y racionales 2 + 2 2 4 Ejemplo Sin el apoyo de las
Más detallesAplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales
Aplicaciones en ciencias naturales, económico-administrativas y sociales Ya hemos resuelto algunos problemas aplicados a las ciencias naturales, así que aquí nos enfocaremos más a problemas de economía,
Más detallesParábolas con vértice fuera del origen
Parábolas con vértice fuera del origen En este apartado vamos a etender lo que estudiamos en la sección anterior. Ahora vamos a considerar parábolas con vértices fuera del origen. En estos casos, tendremos
Más detallesCentro fuera del origen
Centro fuera del origen Ya conoces la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el origen. Si trasladamos el centro de la circunferencia h unidades a la derecha k unidades hacia arriba, obtenemos
Más detallesEcuaciones ordinarias de la parábola
Ecuaciones ordinarias de la parábola En la sección anterior dedujimos la ecuación de la parábola en su forma ordinaria. Ahora vamos a utilizar la ecuación. Empezaremos estudiando las parábolas con vértice
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Rectas. Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas:
Rectas Podemos determinar de una manera única a una recta de varias formas: a partir de su ecuación, a partir de dos de sus puntos a partir del ángulo que forma con uno de los ejes su distancia al origen,
Más detallesÁngulos formados por dos rectas paralelas y una secante
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante Cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercer recta que no es paralela a ellas, se forman varios ángulos de interés. La secante a una curva
Más detallesIntegral indefinida de funciones algebraicas
Integral indefinida de funciones algebraicas En esta sección vamos a empezar a practicar el cálculo de integrales indefinidas de funciones. ( 1) d Ejemplo 1 Empezamos aplicando la regla (i) para separar
Más detallesDefinición y Clasificación de Polígonos. Definición
Definición y Clasificación de Polígonos Además del triángulo hay una gran cantidad de otras figuras geométricas delimitadas por segmentos de recta que son importantes en geometría. Definición Polígono
Más detallesTriangulación de polígonos. Perímetros y áreas
Triangulación de polígonos Para calcular el área de un polígono de n lados nos apoyaremos en la fórmula para calcular el área de un triángulo. Empezamos dibujando n diagonales que partan de un mismo vértice:
Más detallesResolución de Ecuaciones de Segundo Grado
Resolución de Ecuaciones de Segundo Grado Ecuación de Segundo Grado Es una ecuación que se puede escribir de la forma: a x 2 + b x + c = 0 () donde a, b, c R, y a = 0. A la ecuación de segundo grado también
Más detallesOperaciones con polinomios
1 Operaciones básicas Operaciones con polinomios Cuando realizamos la suma de dos o más polinomios sumamos términos semejantes con términos semejantes. El estudiante al escuchar esto puede causarle confusión
Más detallesProblemas geométricos y algebraicos. Reglas de los exponentes
Problemas geométricos y algebraicos Aquí empezamos a estudiar los conceptos que más vamos a utilizar en los cursos de matemáticas. Los temas de esta unidad son los conceptos de álgebra que no debes olvidar.
Más detallesLa diferencial como aproximación al incremento
La diferencial como aproximación al incremento Ahora vamos a utilizar la diferencial para hacer aproximaciones. Esta aproximación está basada en la interpretación geométrica que acabamos de dar de la diferencial.
Más detallesTema 7: Derivada de una función
Tema 7: Derivada de una función Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida de la importancia
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Polígonos
Polígonos En esta sección vamos a utlizar las fórmulas que a conocemos para calcular perímetros áreas de polígonos. Para esto es una buena idea recordar las fórmulas de áreas de los polígonos. alcula el
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Lugares geométricos
Lugares geométricos En esta sección estudiaremos el concepto de lugar geométrico, concepto clave para el desarrollo del estudio de los conceptos de este semestre. Lugar geométrico El conjunto de todos
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Forma general
Forma general La forma general de la ecuación de la recta es la que considera todos los casos de las rectas: horizontales, verticales e inclinadas. En otros casos no siempre es posible escribir la ecuación
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Productos notables
Productos notables Cuando realizamos operaciones entre polinomios con el fin de resolver problemas, es muy frecuente encontrar algunas operaciones que por su naturaleza, aparecen en muchos fenómenos. Debido
Más detallesSeries y sucesión lineal
Series y sucesión lineal En la naturaleza muchas veces aparecen las sucesiones de números. Por ejemplo, cuando el hombre tuvo la necesidad de contar, tuvo que inventar un conjunto de números que le sirviera
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. La función racional
La función racional Ahora estudiaremos una extensión de las funciones polinomiales. Las funciones racionales se definen a partir de las funciones polinomiales. Esta generalización es semejante a la que
Más detallesInt. indefinida de funciones exponenciales
Int. indefinida de funciones exponenciales Ahora vamos a calcular integrales indefinidas de funciones exponenciales de la forma: y = e v y y = a v Para este fin, vamos a estar utilizando las reglas de
Más detallesUNIDAD DE APRENDIZAJE II
UNIDAD DE APRENDIZAJE II Saberes procedimentales 1. Interpreta adecuadamente la relación de dependencia que se establece entre dos variables, así como la razón de cambio entre sus valores. 2. Define en
Más detallesMétodo de fórmula general
Método de fórmula general Ahora vamos a utilizar el método infalible. La siguiente fórmula, que llamaremos «fórmula general» nos ayudará a resolver cualquier ecuación cuadrática. Fórmula General La fórmula
Más detallesConversión de la forma general a la forma ordinaria
Conversión de la forma general a la forma ordinaria Ahora que ya conocemos las formas ordinaria y general de la ecuación de la circunferencia y que ya hemos hecho conversiones de la forma ordinaria a la
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Método de despeje
Método de despeje Cuando tenemos una ecuación cuadrática incompleta es muy buena idea hacer un despeje para resolverla. Este método es el más sencillo para este tipo de ecuaciones. Resuelve la siguiente
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Suma de ángulos
Suma de ángulos En esta sección vamos a demostrar algunos teoremas que nos ayudarán a resolver problemas más adelante. La suma de los ángulos internos de un polígono de n lados es igual a 180 (n 2). Teorema
Más detallesCircunferencia que pasa por tres puntos
Circunferencia que pasa por tres puntos En la sección Ecuaciones de las rectas notables del triángulo calculamos el punto donde se intersectan las tres mediatrices de los lados de un triángulo. Este punto,
Más detallesSolución de un sistema de desigualdades
Solución de un sistema de desigualdades En la sección anterior tuvimos oportunidad de resolver desigualdades de dos variables. En el último ejemplo vimos nuestro primer sistema de desigualdades, que aunque
Más detallest si t 2. x 2 + xy + y 3 = 1 8.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E000 () Una pelota se deja caer desde un edificio. La posición de la pelota en cualquier instante t (medido en segundos) está dada por s(t).5
Más detallesDerivadas y razones de cambio. Tangentes. Derivadas Relaciones de cambio Velocidades. Derivadas y razones de cambio
y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Notas de clase Resumen Cálculo I - A1234 1/5 y razones de cambio y razones de cambio Tangentes Si una curva C tiene la ecuación y = f (x) y quiere hallar
Más detallesLa producción de acero en Monterrey N.L. (México) en millones de toneladas, durante el año de 1992 a partir del mes de enero se muestra en la tabla:
El objetivo al estudiar el concepto razón de cambio, es analizar tanto cuantitativa como cualitativamente las razones de cambio instantáneo y promedio de un fenómeno, lo cual nos permite dar solución a
Más detallesUNIDAD 3. La derivada. Objetivos. Al terminar la unidad, el alumno:
UNIDAD La derivada Objetivos Al terminar la unidad, el alumno: Calculará la derivada de funciones utilizando el álgebra de derivadas. Determinará la relación entre derivación y continuidad. Aplicará la
Más detallesLímites y continuidad. Cálculo 1
Límites y continuidad Cálculo 1 Razones de cambio y límites La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo. Ejemplo 1
Más detallesUniversidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística
Universidad Icesi Departamento de Matemáticas y Estadística Solución del primer examen parcial del curso Cálculo de una variable Grupo: Once Período: Inicial del año 000 Prof: Rubén D. Nieto C. PUNTO 1.
Más detalles1 Razones y Proporciones
1 Razones y Proporciones 1 1 Razones y Proporciones En la vida real surgen muchas ocasiones en las que deseamos comparar dos cantidades. Para compararlas tenemos muchas opciones válidas, pero la que nos
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL DE TRES DE FEBRERO. Análisis Matemático
Análisis Matemático Unidad 4 - Límite de una función en un punto Límite de una función en un punto El límite de una función para un valor de x es el valor al que la función tiende en los alrededores de
Más detallesExamen de Matemáticas I (Biotecnología) Octubre 2012
Examen de Matemáticas I (Biotecnología) Octubre 2012 1) a) Dibujar aproximadamente las funciones 2 x 2 x y ln( x 1), y e, y y e, 1 t e b) Indicar el valor de la derivada de la última función en los puntos
Más detallesRazón de cambio. f(x 2 ) f(x 1 ) x 2 x 1. dt = lím f(x 2 ) f(x 1 )
Razón de cambio Al denir la derivada de una función y f en un punto jo, se tiene f f f Si cambia de a tenemos que y el cambio correspondiente en y es: y f f El cociente de las diferencias y f f se llama
Más detallesFunciones especiales
Funciones especiales En esta sección estudiaremos algunas funciones que son muy importantes en el estudio del análisis matemático. Empezamos con algunos casos particulares de las funciones polinomiales.
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Función logarítmica
Función logarítmica Ya hemos definido la función eponencial. Supongamos que sabemos que =, deseamos conocer qué valor debe tener para que la igualdad sea verdadera. En otras palabras, deseamos conocer
Más detallesGráficas de las funciones racionales
Gráficas de las funciones racionales Ahora vamos a estudiar de una manera geométrica las ideas de comportamiento de los valores que toma la función cuando los valores de crecen mucho. Es importante que
Más detallesClasificación y transformación de funciones
Clasificación transformación de funciones En esta sección vamos a conocer la forma en como se han clasificado las funciones para su estudio. También vamos a conocer ciertas funciones que «hacen la transformación
Más detallesDerivadas. 1. Tasa de variación media La tasa de variación media de una función f(t) en un intervalo [a, b] se define como:
Derivadas Antes de dar la definición de derivada de una función en un punto, vamos a introducir el concepto de tasa de variación media y dos ejemplos o motivaciones iniciales que nos van a dar la medida
Más detalles1 Ecuaciones y propiedades de la recta
Ecuaciones propiedades de la recta Ecuaciones propiedades de la recta En esta sección estudiaremos la caracterización de la recta desde el punto de vista algebraico. A partir del concepto de pendiente
Más detallesTEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD.
TEMA 1.- LÍMITES DE FUNCIONES Y CONTINUIDAD. 1.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de la función f(x) en el punto x 0, es el valor al que se acercan las imágenes por f de puntos x, cuando los originales
Más detallesAplicaciones de la derivada
0.1 Problemas prácticos de máimos mínimos 1 Aplicaciones de la derivada En esta sección vamos a dedicarnos a calcular los máimos mínimos de funciones con diferentes propósitos. En muchas situaciones de
Más detallesCoordenadas de un punto
Coordenadas de un punto En esta sección iniciamos con las definiciones de algunos conceptos básicos sobre los cuales descansan todos los demás conceptos que utilizaremos a lo largo del curso. Ejes Coordenados
Más detallesMétodo de Igualación
Método de Igualación Ya vimos que la solución del S.E.L. debe ser tal que cuando sustituyamos los valores de las variables en cada ecuación obtengamos una igualdad verdadera. Entonces, el valor de x que
Más detallesDesigualdades con una incógnita
Desigualdades con una incógnita Nosotros utilizaremos las propiedades de las desigualdades para epresarlas de la manera más simple posible. Resuelve la desigualdad: 5 1 > 24 Ejemplo 1 Empezamos sumando
Más detallesNÚMEROS REALES 2, FUNCIONES ORIENTADOR: ESTUDIANTE: FECHA:
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS ÁREA DE MATEMÁTICAS TEMA : PERÍODO: ORIENTADOR: ESTUDIANTE: E-MAIL: FECHA: NÚMEROS REALES, FUNCIONES SEGUNDO EJES TEMÁTICOS La recta numérica Suma de Números Enteros Resta de
Más detallesCINEMÁTICA: CONCEPTOS BÁSICOS
CINEMÁTICA: CONCEPTOS BÁSICOS 1. MOVIMIENTO Y SISTEMA DE REFERENCIA. Sistema de referencia. Para decidir si algo o no está en movimiento necesitamos definir con respecto a qué, es decir, se necesita especificar
Más detalles1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS
1º BACHILLERATO MATEMÁTICAS CIENCIAS SOCIALES TEMA 4.- LÍMITES, CONTINUIDAD Y DERIVADAS 1 1.- LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de una función f por la izquierda de un punto x = a. Es el valor al
Más detallesDerivada y diferencial
Derivada y diferencial Una cuestión, que aparece en cualquier disciplina científica, es la necesidad de obtener información sobre el cambio o la variación de determinadas cantidades con respecto al tiempo
Más detalless(t) = 5t 2 +15t + 135
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E000, 1-1-000 (A) Primer parcial (1) Se lanza una pelota hacia arriba a una velocidad de 15 m/seg desde el borde de un acantilado a 15 m arriba del suelo.
Más detallesUNIDAD 10. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS
Unidad 0. Derivadas. Aplicaciones de las derivadas UNIDAD 0. DERIVADAS. APLICACIONES DE LAS DERIVADAS. TASA DE VARIACIÓN MEDIA. Se llama TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) de una función () f en un intervalo
Más detallesTasa de variación. Tasa de variación media
Tasa de variación Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx). Se llama
Más detallesUnidad 8: Derivadas. Técnicas de derivación. Aplicación al estudio y representación de funciones. Primitiva de una función (integración).
representación de funciones Primitiva de una función (integración) 1 Unidad 8: Derivadas Técnicas de derivación Aplicación al estudio y representación de funciones Primitiva de una función (integración)
Más detallesAPLICACIONES DE LAS DERIVADAS
TEMA 7 7.1 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 7.2 FUNCIÓN DERIVADA 7.3 REGLAS DE DERIVACIÓN 7.4 ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA D A TROZOS APLICACIONES DE LAS DERIVADAS 7.5 RECTA TANGENTE
Más detallesTriángulos. Definición y clasificación
Profr. Efraín Soto polinar. Triángulos En esta sección empezamos el estudio de las figuras geométricas planas creadas de segmentos de rectas. uando la figura está formada por tres segmentos de recta y
Más detallesProfr. Efraín Soto Apolinar. Límites
Límites Cada rama de las matemáticas tiene conceptos que resultan centrales para el desarrollo de la misma. Nosotros empezamos el estudio del cálculo infinitesimal, que está compuesto del cálculo diferencial
Más detallesEL PROBLEMA DE LA TANGENTE
EL PROBLEMA DE LA TANGENTE El problema de definir la tangente a una curva y f (x) en un punto P ( x, y ) ha llevado al concepto de la derivada de una función en un punto P ( x, y ). Todos sabemos dibujar
Más detallesTEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO
TEMA: 5 ÁLGEBRA 3º ESO 1. MONOMIO Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural. Ejemplo: x
Más detallesTema 5: Funciones. Límites de funciones
Tema 5: Funciones. Límites de funciones 1. Concepto de función Una aplicación entre dos conjuntos y es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto un único elemento del conjunto. Una función
Más detallesMATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION
MATE 3013 RAZON DE CAMBIO INSTANTANEO Y LA DERIVADA DE UNA FUNCION Resumen razón de cambio promedio La pendiente de la recta secante que conecta dos puntos en la gráfica de una función representa la razón
Más detalles2.1 Derivadas Tipo Función Simple Función Compuesta
Tema 2: Derivadas, Rectas tangentes y Derivabilidad de funciones. 2.1 Derivadas Tipo Función Simple Función Compuesta Constante Identidad Potencial Irracional Exponencial Logarítmica Suma Resta Producto
Más detallesDERIVADAS DERIVADAS. La siguiente tabla muestra el número de nacimientos en cada mes a lo largo de un año en una determinada población:
DERIVADAS INTRODUCCIÓN Una recta es tangente a una curva en un punto si solo tiene en común con la curva dicho punto. y 5 4 Recta tangente en (,) La pendiente de una recta es la tangente del ángulo que
Más detallesEc. rectas notables en un triángulo
Ec rectas notables en un triángulo omo recordarás del curso de geometría plana (segundo semestre), las rectas notables de un triángulo son: Medianas: Una mediana es la recta que pasa por el punto medio
Más detallesRegla de la cadena. Ejemplo 1. y = f (g(x)) Como las funciones son diferenciables son suaves.
1 Regla e la caena Hasta aquí hemos erivao funciones que no son compuestas. El problema surge cuano tenemos una función que es compuesta, por ejemplo, igamos que el precio e la gasolina epene el precio
Más detalles1.-Tasa de variación.-
TEMA 3: DERIVADAS 1.-Tasa de variación.- Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo "h" un número real que corresponde al incremento
Más detallesCINEMÁTICA I - Movimiento Vectorial
> CONCEPTOS PREVIOS Para poder entender las explicaciones posteriores, vamos a aclarar unos conceptos básicos del movimiento vectorial: El sistema de referencia es un punto fijo respecto al cuál describimos
Más detallesCongruencia de triángulos
Congruencia de triángulos Como habrás observado, la idea de que dos segmentos o dos ángulos tienen la misma medida sirve mucho para demostrar teoremas en geometría. Igualmente, cuando dos triángulos tienen
Más detalles4.2 Tasas de Variación. Sea la función f: Se llama tasa de variación media de la función f en el intervalo [a, b] al cociente:
U.D.4: DERIVADAS 4.1 Ecuaciones de una recta. Pendiente de una recta La pendiente de una recta es una medida de la inclinación de la recta. Es el cociente del crecimiento en vertical entre el crecimiento
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,
Más detallesLa función cuadrática
La función cuadrática En primer semestre estudiamos las ecuaciones cuadráticas. También resolvimos estas ecuaciones por el método gráfico. Para esto, tuvimos que convertir la ecuación en una función igualándola
Más detallesFundamentos matemáticos. Tema 1 Números reales. Polinomios
Grado en Ingeniería agrícola y del medio rural Tema 1 Números reales. Polinomios José Barrios García Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna jbarrios@ull.es 2017 Licencia Creative
Más detallesx 3 si 10 <x 6; x si x>6;
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN GLOBAL E000 A Primer parcial + 1 +8 1 a Trace su gráfica b Determine su dominio, rango y raíces Sean si 10 < 6; f
Más detalles