Teoría de grafos y optimización en redes

Transcripción

1 Teoría de grafos y optimización en redes José María Ferrer Caja Universidad Pontificia Comillas

2 Definiciones básicas Grafo: Conjunto de nodos (o vértices) unidos por aristas G = (V,E) Ejemplo V = {,,,, } E = {{,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}} Grafo dirigido o red: Conjunto de nodos (o vértices) unidos por arcos R=(V,A) Ejemplo V = {,,,, } A = {(,), (,), (,), (,), (,), (,), (,)} Teoría de grafos y optimización en redes -

3 Definiciones básicas Pseudografo: Grafo en el que se permiten bucles aristas que unen un nodo consigo mismo Ejemplo V = {,,,, } E = {{,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}} Multigrafo: Grafo en el que se permite más de una arista entre cada par de nodos Ejemplo V = {,,,, } E = {{,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}, {,}} Teoría de grafos y optimización en redes -

4 Representación matricial Matriz de adyacencia de un grafo (o red) A Cada fila asociada a un nodo Cada columna asociada a un nodo si existe arista (arco) del nodo i al nodo j a ij= 0 en otro caso Simétrica para el caso de grafo Matriz de incidencia de un grafo (o red) B Cada fila asociada a un nodo Cada columna asociada a una arista si el nodo i pertenece a la arista j Grafo b ij= 0 en otro caso Red (totalmente unimodular) si el nodo i es el comienzo del arco j b si el nodo i es el final del arco j ij= 0 en otro caso Teoría de grafos y optimización en redes -

5 Representación matricial Ejemplo A = B = Ejemplo A = B= Teoría de grafos y optimización en redes -

6 Conexión Conexión en un grafo Una cadena es una secuencia de aristas de forma que el nodo final de cada arista coincide con el nodo inicial de la siguiente. Cada cadena conecta dos nodos Si dos nodos están conectados, se puede encontrar una cadena entre ellos que no repita nodos Un ciclo es una cadena que conecta un nodo consigo mismo Un grafo es conexo si cada par de nodos está conectado por medio de alguna cadena Ejemplos Cadena: {,}, {,}, {,} Ciclo: {,}, {,}, {,} Grafo conexo Grafo no conexo Teoría de grafos y optimización en redes -

7 Conexión Conexión en una red Cadena y ciclo: Igual que en un grafo. No influye la orientación de los arcos Un camino es una secuencia de arcos de forma que el nodo final de cada arco coincide con el nodo inicial del siguiente. Cadena en la que todos los arcos están orientados en el mismo sentido Un circuito es un ciclo y un camino al mismo tiempo Una red es conexa si cada par de nodos está conectado por medio de alguna cadena Una red es fuertemente conexa si cada par de nodos está conectado por medio de algún camino Toda red fuertemente conexa es conexa Teoría de grafos y optimización en redes - 6

8 Conexión Ejemplos Cadena: {,}, {,}, {,} Ciclo: {,}, {,}, {,} Camino: (,), (,), (,) Circuito: (,), (,), (,) Red conexa Red no fuertemente conexa, ya que no existe camino que conecte el nodo con el nodo Red fuertemente conexa Teoría de grafos y optimización en redes - 7

9 Árboles Un árbol es un grafo conexo y sin ciclos Ejemplos No es árbol, pues existen ciclos No es árbol, pues no es conexo Árbol En un árbol se cumple card(e) = card(v) - Teoría de grafos y optimización en redes - 8

10 Árbol soporte Dado un grafo conexo G = (V,E), un árbol soporte (árbol generador, árbol de expansión, árbol de extensión) es un árbol T = (V,E ) donde E E Ejemplo Árbol soporte T Grafo conexo G Árbol soporte T Teoría de grafos y optimización en redes - 9

11 Árbol soporte de mínimo peso Planteamiento: Dado un grafo conexo G = (V,E) con pesos asociados a las aristas, el objetivo es obtener un árbol soporte T = (V,E ) en el que la suma de los pesos de las aristas elegidas sea mínima Algoritmo de Prim PASO. INICIALIZACIÓN Elegir un NODO cualquiera i V. Hacer Sea k=, E' = C = {} i, C = V {} i PASO. SELECCIÓN DE LA ARISTA DE MENOR PESO QUE UNA UN NODO DE LOS CONECTADOS CON UN NODO NO CONECTADO Seleccionar la arista e = { ij, } con i C, j C k k k de peso mínimo entre todas las posibles. Hacer C = C {} j, C = C {} j y k k k k E' = E' { e } k Si k= carv ( ) PARAR. Si no, hacer k= k+ y volver al PASO. Algoritmo tipo greedy de complejidad polinomial Teoría de grafos y optimización en redes - 0

12 Árbol soporte de mínimo peso. Ejemplo PASO Elegimos por ejemplo i=: C = {}, C = {,,,,6 }. k=, E' = PASO Elegimos de las aristas que unen nodos de C con nodos de C, la de menor peso: con peso. C,, C,,,6. E ' =, e = {,} = { } = { } { } 6 { } k< 6 k=, volver al PASO Teoría de grafos y optimización en redes -

13 Árbol soporte de mínimo peso. Ejemplo PASO Elegimos por ejemplo {, } con peso. C {{ }{ }} E ' =,,, e = = {,, }, C = {,,6} 6 k < 6 k =, volver al PASO PASO Elegimos {,} con peso. C E ' =,,,,, e = = {,,, }, C = {,6} { }{ }{ } { } 6 k< 6 k=, volver al PASO Teoría de grafos y optimización en redes -

14 Árbol soporte de mínimo peso. Ejemplo PASO Elegimos {,6} con peso. C E ' =,,,,,,,6 e = = {,,,,6 }, C = {} { }{ }{ }{ } { } k < 6 k = 6, volver al PASO 6 PASO Elegimos por ejemplo e = {,6 } con peso. C = {,,,,,6 6 }, C = 6 E ' =,,,,,,,6,,6. k= 6 Parar {{ }{ }{ }{ }{ }} 6 Peso total= Teoría de grafos y optimización en redes -

15 Problema del camino mínimo Planteamiento: Dada una red R = (V,A) con distancias d kj asociadas a los arcos, el objetivo es obtener los caminos más cortos de un nodo origen a todos los demás Las distancias pueden ser también costes, tiempos, etc. Si no existe arco del nodo k al nodo j se asigna d kj = Existen otros planteamientos similares: obtener el camino mínimo de un nodo origen a un nodo destino, obtener los caminos mínimos de todos a todos los nodos, etc. En el caso de un grafo, se considera cada arista como un par de arcos de sentidos opuestos Ecuaciones de Bellman Sea el nodo origen, y u j la longitud del camino mínimo del origen al nodo j u = 0 { } u = min u, u + d j=,..., n j k j j k kj Teoría de grafos y optimización en redes -

16 Algoritmo de Dijkstra Es necesario que todas las distancias sean positivas Su complejidad es polinomial En cada etapa hay dos conjuntos de nodos: P formado por nodos permanentes y T por nodos transitorios Se denota pred(j) al nodo predecesor de j en el camino del origen a j Algoritmo PASO 0. INICIALIZACIÓN u = 0, u = d, j =,..., np. =, T =,..., n, predj ( ) =, j =,..., n j j PASO. HACER PERMANENTE EL NODO CON LONGITUD MÍNIMA Elegir k T tal que u = min{ u k j}. Hacer P= P j T {} k, T= T {} k Si T= PARAR PASO. REVISIÓN DE LOS NODOS TRANSITORIOS Para cada j T calcular u = min { u, u + d }. j j k kj Si se modifica u hacer predj ( ) = k j Volver al PASO {} { } Teoría de grafos y optimización en redes -

17 Algoritmo de Dijkstra. Ejemplo PASO 0 u = 0, u =, u = 9, u = u = u =. P=, T=,,,,6, predj ( ) =, j=,,,,6 6 PASO k=, u =. P=,, T=,,,6 { } { } {} { } PASO u = min u, u + d = min 9, + = 8 pred() = { } { } { } { } { } { } { u u d } { } u = min u, u + d = min, + = 9 pred() = u = min u, u + d = min, + = 6 pred() = u = min, + = min,+ = Teoría de grafos y optimización en redes - 6

18 Algoritmo de Dijkstra. Ejemplo PASO k=, u = 6. P=,,, T=,,6 { } { } PASO u = min u, u + d = min 8,6+ = 7, pred() = u { } { } { u u d } { } { } { } = min, + = min 9,6+ = 9 u = min u, u + d = min,6+ 9 =, pred(6) = PASO k=, u = 7. P=,,,, T=,6 { } { } PASO u = min u, u + d = min 9,7+ = 9 u { } { } { u u d } { } = min, + = min,7+ = PASO { } T {} k=, u = 9. P=,,,,, = 6 PASO u = min u, u + d = min,9+ =, pred(6) = { } { } Teoría de grafos y optimización en redes - 7

19 Algoritmo de Dijkstra. Ejemplo PASO k= 6, u =. P= VT, = Parar 6 6 Teoría de grafos y optimización en redes - 8

20 Algoritmo de Bellman-Ford Apropiado cuando existen distancias negativas Su complejidad es mayor que la de Dijkstra Si existen circuitos de longitud negativa, no hay solución m u j Longitud del camino mínimo del nodo origen al nodo j usando a lo sumo m arcos No puede fijarse ningún nodo como permanente hasta el final Algoritmo u PASO. INICIALIZACIÓN 0, = u = d, j =,..., nm. = j j PASO. CALCULAR LOS CAMINOS MÍNIMOS CON m+ ARCOS Calcular, para cada j=,..., n, Si u m + m = u j o m+ = n PARAR. j j Si no, hacer m= m+ y volver al PASO { } {,min } u = min u u + d m + m m j j k j k kj Pueden almacenarse los predecesores para construir el árbol final Teoría de grafos y optimización en redes - 9

21 Algoritmo de Bellman-Ford. Ejemplo PASO u = 0, u =, u = 6, u =. m= PASO u u u 6 { u { u d u d }} { } { u { u d u d }} { } u { u d u d } - Hay una distancia negativa No hay circuitos de longitud negativa = min, min +, + = min,6 +,+ = = min, min +, + = min 6, +, = { } { } = min, min +, + = min, +,6+ = Como u u y m+ = = n, hay que seguir: m= y volver al PASO Teoría de grafos y optimización en redes - 0

22 Algoritmo de Bellman-Ford. Ejemplo PASO u u u { u { u d u d }} { } { u { u d u d }} { } u { u d u d } = min,min +, + = min, +,+ = = min,min +, + = min 6,+, = { } { } = min,min +, + = min,+,+ = Como m+ = = n Parar - Teoría de grafos y optimización en redes -

23 Flujo en redes Red de transporte: Grafo dirigido R = (V,A) que cumple Existe una fuente s, nodo al que no llega ningún arco y desde el que se puede alcanzar el resto de nodos Existe un sumidero t, nodo del que no sale ningún arco y que puede alcanzarse desde el resto de nodos Cada arco tiene una capacidad (no negativa) asociada c ij Flujo compatible: Vector φ con tantas componentes como arcos que cumple dos propiedades. No supera la capacidad de los arcos ϕ c ( ij, ) A. Verifica la ley de conservación de flujo i st ϕ = ϕ ij ij, ji ij j/( ji, ) A j/( ij, ) A Valor del flujo ϕsj, que coincide con j/( sj, ) A j/( jt, ) A ϕ jt Teoría de grafos y optimización en redes -

24 Problema de flujo máximo Planteamiento: Dada una red de transporte R = (V,A), determinar un flujo compatible para el que el valor del flujo sea máximo Capacidad residual de un arco c = c ϕ ij ij Camino de aumento: Cadena de la fuente al sumidero que cumple Para cada arco orientado positivamente c > 0 ij Para cada arco orientado negativamente ϕ > 0 Método de Ford-Fulkerson o del camino de aumento Comenzar por un flujo compatible cualquiera Buscar un camino de aumento y aumentar el flujo por ese camino todo lo posible Parar cuando no exista ningún camino de aumento ij ij Teoría de grafos y optimización en redes -

25 Algoritmo de Ford-Fulkerson PASO. COMENZAR CON UN FLUJO COMPATIBLE. CALCULAR LAS CAPACIDADES RESIDUALES * Hacer ϕ = 0 (, i j) A y c c (, i j) A. Etiquetar la fuente ij ij = s (, ) ij PASO. BUSCAR UN CAMINO DE AUMENTO Sean i, j V dos nodos adyacentes, etiquetado y sin etiquetar respectivamente. * a) Si (, i j) A y c ij > 0 se puede aumentar flujo: calcular δ { * j = min δi, cij}. Etiquetar el nodo j ( i+, δ j ) b) Si ( ji, ) A y ϕ ji > 0 se puede disminuir flujo: calcular δ j = min { δ i, ϕ ji }. Etiquetar el nodo j ( i, δ j ) Repetir hasta que el sumidero esté etiquetado (se habrá logrado obtener un camino de aumento formado por nodos etiquetados, cuya capacidad residual global es ) e ir al PASO. δ t Si no puede etiquetarse el sumidero, PARAR. El flujo actual es el máximo. PASO. AUMENTAR EL FLUJO EN EL CAMINO DE AUMENTO OBTENIDO * En cada arco del camino orientado positivamente, hacer ϕij = ϕij + δt, cij = cij ϕij * En cada arco del camino orientado negativamente, hacer ϕ = ϕ δ, c = c ϕ ij ij t ij ij ij Borrar todas las etiquetas, excepto la de la fuente, y volver al PASO. Teoría de grafos y optimización en redes -

26 Algoritmo de Ford-Fulkerson. Ejemplo s () (6) () () () () t Las capacidades de los arcos aparecen entre paréntesis () () PASO * 0, c c (, i j) A. Etiquetar la fuente ϕ = = s (, ) ij ij ij PASO i = s, j = Caso a) δ = min {,} =. Etiquetar ( s+,) i =, j = Caso a) δ = min{,} =. Etiquetar ( +,) i =, j = t Caso a) δ = min{,} =. Etiquetar t ( +,). Ir al PASO t (s+,) (-, ) s t (+,) (+,) Teoría de grafos y optimización en redes -

27 Algoritmo de Ford-Fulkerson. Ejemplo PASO Nuevo flujo ϕ = 0 + =, ϕ = 0 + =, ϕ = 0 + = s t Nuevas capacidades residuales cs = = 0, c = =, ct = = (-, ) s (0) 0() 0(6) 0() () 0() PASO i = s, j = Caso a) δ = min {,6} = 6. Etiquetar ( s+,6) i =, j = Caso a) δ = min{ 6,} =. Etiquetar ( +,) i =, j = t Caso a) δ = min{,} =. Etiquetar t ( +,). Ir al PASO t 0() () t (-, ) s t (+,) (s+,6) (+,) Teoría de grafos y optimización en redes - 6

28 Algoritmo de Ford-Fulkerson. Ejemplo PASO Nuevo flujo ϕ = 0 + =, ϕ = 0 + =, ϕ = + = s t Nuevas capacidades residuales cs = 6 =, c = =, ct = = 0 (-, ) s (0) 0() () 0() () () PASO i = s, j = Caso a) δ = min {,} =. Etiquetar ( s+,) i =, j = Caso a) δ = min{,} =. Etiquetar ( +,) i =, j = Caso b) δ = min{,} =. Etiquetar (,) i =, j = Caso a) δ =,} =. Etiquetar ( +,) i =, j = t Caso a) δ t = min{,} =. Etiquetar t ( +,). Ir al PASO 0() (0) t Teoría de grafos y optimización en redes - 7

29 Algoritmo de Ford-Fulkerson. Ejemplo (-,) (+,) (-, ) s t (+,) (s+,) (+,) PASO Nuevo flujo ϕ = + =, ϕ = + =, ϕ = =, ϕ = 0 + =, ϕ = 0 + = s t Nuevas capacidades residuales c = 6 =, c = =, c = =, c = =, c = = 0 s t (0) () (0) (-, ) s 0() () () t () (0) Teoría de grafos y optimización en redes - 8

30 Algoritmo de Ford-Fulkerson. Ejemplo PASO i = s, j = Caso a) δ = min {,} =. Etiquetar ( s+,) i =, j = Caso a) δ = min{,} =. Etiquetar ( +,) i =, j = Caso b) δ = min{,} =. Etiquetar (,) i =, j = Caso a) δ = min{,} =. Etiquetar ( +,) No es posible etiquetar más nodos, el sumidero no ha sido etiquetado. PARAR (-,) (+,) (-, ) s t (s+,) (+,) Solución óptima s (0) 0() () () () (0) t Valor del flujo V( ϕ) = ϕ + ϕ = + = s s () (0) Teoría de grafos y optimización en redes - 9

31 Problema del corte mínimo Corte: Subconjunto de arcos de una red de transporte cuya eliminación desconecta la fuente del sumidero. Cada corte genera una partición de V en dos componentes: P a la que pertenece la fuente y P a la que pertenece el sumidero Capacidad de un corte: Suma de las capacidades de los arcos que forman el corte Ejemplo s (6) Los arcos (,) y (,t) forman un corte Las componentes son P = {s,,,} y P = {,t } La capacidad del corte es C(P,P) = + = 8 () () () () () () () t Teoría de grafos y optimización en redes - 0

32 Problema del corte mínimo Planteamiento del problema: Dada una red de transporte R = (V,A), determinar un corte de capacidad mínima Relación con el flujo máximo Dado un flujo compatible φ y un corte (P,P) φ es flujo máximo y (P,P) es corte mínimo V( ϕ) C( P, P) V( ϕ) = C( P, P) Resolución: se usa el algoritmo de Ford-Fulkerson. Una vez realizada la última iteración P está formado por los nodos etiquetados P está formado por los nodos no etiquetados Teoría de grafos y optimización en redes -

33 Problema del corte mínimo. Ejemplo Ejemplo () () () s (6) () () t () () El algoritmo de Ford-Fulkerson lleva a (-,) (+,) (-, ) s t (s+,) (+,) Corte mínimo: P = {s,,,,} y P = {t } La capacidad del corte es C(P,P) = c t + c t = + = Teoría de grafos y optimización en redes -

34 Problema de flujo compatible con coste mínimo Planteamiento del problema: Dada una red de transporte R = (V,A), con costes unitarios de flujo d ij asociados a los arcos, determinar un flujo compatible de valor fijo ϑ, con coste total mínimo min ( i, j) A i/( si, ) A i/( it, ) A d ϕ ij ij ϕ ij ij = θ ji i/( j, i) A i/( i, j) A ϕ = 0 j st, 0 ϕ c (, i j) A ij ϕ ϕ = θ ij ij Teoría de grafos y optimización en redes -