Guía práctica de estudio 06: Lenguaje binario

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1 Guía práctica de estudio 06: Lenguaje binario Elaborado por: M.C. Edgar E. García Cano Ing. Jorge A. Solano Gálvez Revisado por: Ing. Laura Sandoval Montaño

2 Guía práctica de estudio 06: Lenguaje binario Objetivo: Realizar diferentes operaciones sobre sistemas numéricos, como son: Convertir números enteros de sistema decimal (base 10) a base b (cualquier base). Convertir números enteros de base b (cualquier base) a sistema decimal (base 10). Convertir números reales de sistema decimal (base 10 a sistema binario (base 2). Obtener el complemento aritmético de un número en base 10 y base 2. Introducción El lenguaje con el que trabaja el procesador de un sistema de cómputo se denomina lenguaje máquina. Para efectuar una operación, el procesador necesita una secuencia de señales eléctricas almacenadas como unos y ceros (sistema binario) en la memoria. Por lo que a este lenguaje también se le denomina lenguaje binario. Una y solo una secuencia de estas señales (conjunto de bits) realiza determinada operación. De aquí la importancia de saber manipular sistemas numéricos de diferentes bases para comprender la representación de datos y operaciones de bajo nivel en un sistema de cómputo. 1

3 Representación numérica Un número en base diez puede ser representado de la siguiente manera: d n d n-1 d 2 d 1 d 0. d 1 d 2 d m 1 d m Donde, d hace referencia a un dígito decimal (dígitos de 0 a 9) y n hace referencia a la posición del número a la izquierda del punto decimal (parte entera) y m hace referencia a la posición del número a la derecha del punto decimal (parte fraccionaria). Conversión de números enteros de base diez a base b Para representar un número entero base 10 a base b, es necesario dividir el número decimal (dividendo) entre la base (divisor) hasta que el resultado (cociente) sea cero. Los residuos que se van obteniendo con la división forman el número en base b. Convertir el número a base 2: Primero se divide el número original (en este caso 1992) entre la base a la que se quiere convertir (en este caso 2), esto da como residuo 0 y como cociente 996 en la primera iteración. Para la segunda iteración se divide el cociente obtenido (996) entre la base (2), esto da como residuo 0 y como cociente 498. El proceso se repite hasta que el cociente sea 0. 2

4 Es importante aclarar que las divisiones son enteras, por lo tanto, si el número a dividir fuese 5, el cociente sería 2 y el residuo sería 1. El resultado se obtiene leyendo los residuos de arriba hacia abajo, es decir: Por lo tanto, la representación del número en sistema binario es

NOTA. Los lenguajes de programación poseen una operación llamada módulo que regresa como resultado el residuo de una división: Es decir, la división de 1992 entre 2 da como resultado 996 (cociente).

5 NOTA. Los lenguajes de programación poseen una operación llamada módulo que regresa como resultado el residuo de una división: Es decir, la división de 1992 entre 2 da como resultado 996 (cociente). El módulo de 1992 entre 2 da como resultado 0 (residuo). Convertir el número a base 8: Primero se divide el número original (en este caso 1992) entre la base a la que se quiere convertir (en este caso 8), esto da como residuo 0 y como cociente 249 en la primera iteración. Para la segunda iteración se divide el cociente obtenido (249) entre la base (8), esto da como residuo 1 y como cociente 31. En la tercera iteración se divide el cociente obtenido (31) entre la base (8), esto da como residuo 7 y como cociente 3. En la cuarta iteración se divide el cociente obtenido (3) entre la base (8), esto da como residuo 3 y como cociente 0. 4

6 El resultado se obtiene leyendo los residuos de arriba hacia abajo, es decir: Por lo tanto, la representación del número en sistema octal (base 8) es Convertir el número a base 16: Primero se divide el número original (en este caso 1992) entre la base a la que se quiere convertir (en este caso 16), esto da como residuo 8 y como cociente 124 en la primera iteración. Para la segunda iteración se divide el cociente obtenido (124) entre la base (16), esto da como residuo 12 y como cociente 7. En la tercera iteración se divide el cociente obtenido (7) entre la base (16), esto da como residuo 7 y como cociente 0. En el sistema hexadecimal los dígitos pueden ir de 0 a 15. Para representar los valores mayores a 9, es decir, de 10 a 15, se utilizan letras como se ve en la siguiente tabla: Dec Hex A B C D E F 5

El resultado se obtiene leyendo los residuos de arriba hacia abajo, es decir: Por lo tanto, la representación del número 1992 10 en sistema hexadecimal (base 16) es 7C8 16.

7 El resultado se obtiene leyendo los residuos de arriba hacia abajo, es decir: Por lo tanto, la representación del número en sistema hexadecimal (base 16) es 7C8 16. Conversión de números reales de base diez a base b Para representar un número real base 10 a base b se tiene que hacer dos operaciones repetitivas. La primera operación consiste en dividir la parte entera del número decimal (dividendo) entre la base (divisor) hasta que el resultado (cociente) sea cero. La segunda operación consiste en multiplicar la parte fraccionaria del número (multiplicando) por la base (multiplicador). Los residuos obtenidos forman el número transformado a la base específica. Convertir el número a base 2: La primera operación consiste en dividir la parte entera del número decimal (dividendo) entre la base (divisor) hasta que el resultado de la división (cociente) sea cero. El número se lee de abajo hacia arriba. La segunda operación consiste en multiplicar la parte fraccionaria del número (multiplicando) por la base (multiplicador). El número se lee de arriba hacia abajo. Por lo tanto, la equivalencia del número en binario es

8 Conversión de números reales de base b a base diez Como ya se mencionó, un número entero en base diez está representado de la siguiente manera: d n d n-1 d 2 d 1 d 0 La magnitud de un número está determinada por la sumatoria del dígito multiplicado por la base elevada a la posición del dígito, es decir: n Número = Σ d i x b i i = 0 Donde: Número = El número en base diez. d = Iésimo dígito de la cantidad a transformar. b = Base elegida. i = Posición que inicia en 0 y termina en el número de dígitos menos uno (n). La posición de los dígitos está determinada a partir del punto decimal. Los dígitos que están a la izquierda del punto decimal son los valores enteros del número y empiezan a numerarse de 0 a n. Los dígitos que están a la derecha del punto decimal son los valores fraccionarios y empiezan a numerase de -1 a n. Dado el número , comprobar que aplicando la fórmula anterior (d nb n + d n-1b n d 2b 2 + d 1b 1 + d 0b 0 ) se obtiene el mismo número. 7

El resultado se obtiene desarrollando los productos y realizando la suma, por tanto: Número = 5 x 10 0 + 1 x 10 1 + 0 x 10 2 + 2 x 10 3 Número = 5 x 1 + 1 x 10 + 0 x 100 + 2 x 1000 Número = 5 + 10 +

9 El resultado se obtiene desarrollando los productos y realizando la suma, por tanto: Número = 5 x x x x 10 3 Número = 5 x x x x 1000 Número = = 2015 Con el resultado obtenido (número = 2015) se comprueba la fórmula. Obtener la equivalencia en sistema decimal del número Número = 1 x x x x x x x x x x x 2 0 Número = 1 x x x x x x x x x x x 1 Número = = 1992 Por lo tanto, =

10 Dado el número , obtener la equivalencia en sistema decimal. Número = 0 x x x 2-2 Número = /4 = 0.25 Por lo tanto es igual a Complemento aritmético a la base El completo aritmético (a r ) de un número real se refiere a la cantidad que le falta a dicho número para ser igual a una unidad del orden inmediato superior. El complemento aritmético a r (o complemento a la base) de un número real se obtiene a partir de la siguiente fórmula: Donde: a r = r n - N a r : complemento aritmético de un número real base r. r: es la base del número. n: número de dígitos de la parte entera del número. N: el número dado. El complemento aritmético de un número dado en complemento da como resultado el número original: n = (a r ) r Se pueden dar varios usos al complemento aritmético de un número, el principal es el que le da un equipo de cómputo. Un número negativo se guarda en complemento en la máquina porque permite ingresar un número más dentro de la memoria. 9

11 Dado el número , obtener su complemento aritmético a la base a r (Complemento a 10 ). a r = r n - N c = c = = 211 a r = Dado complemento aritmético , obtener el número en magnitud y signo. n = (a r ) r a r = r n - N n = n = Debido a que los números que se almacenan en complemento son negativos, se puede afirmar que el número en magnitud y signo es: n = -110 Complemento aritmético a la base disminuida (complemento aritmético menos uno) El complemento aritmético menos uno (a r -1 o complemento a la base disminuida) de un número real se calcula con base en la siguiente fórmula: Donde: a r -1 = r n - r -m - N a r -1: complemento aritmético de un número real base r. r: es la base del número. n: número de dígitos de la parte entera del número. m: número de dígitos de la parte fraccionaria del núm. N: el número dado. Dado el número , obtener su complemento aritmético a la base a r -1 (Complemento a 10-1). a r -1 = r n - r -m - n c =

12 c = = 210 a r -1 = Dado el número , obtener su complemento aritmético a la base a r -1 (Complemento a 2-1). a r-1 = r n - r -m - n c = c = c = c = a r -1 = Bibliografía Organización de computadoras, un enfoque estructurado. Andrew S. Tanenbaum, cuarta edición, Prentice Hall, México Matemáticas para la computación. José A. Jiménez Murillo, primera edición, Alfaomega, México

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