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4 INTRODINTRODUCCIÓN D etro del estudo de muchos feómeos de la aturaleza, la formulacó del modelo que descrbe el comportameto del msmo, puede estar bao el uso de varables dscretas, sedo las sumatoras y productoras el sumo fudametal. Las sumatoras y productoras so dos procesos matemátcos muy partculares de gra uso e cecas estadístcas, cecas ecoómcas y otras. Au los fudametos del cálculo tegral, tee como sumo sus sumatoras; es comú hablar de las sumas de Remma. E el aálss de las seres, las sumatoras so el pa de cada día. Pero el caso de las productoras; auque su uso es muy partcular; es pertete hacerle el espaco para su aálss. E esta ultma parte del curso, se tratará estos temas de sumatoras y productoras, como ua ecesdad, para poder abordar temátcas de calculo, estadístca y cecas; dode so ecesaras sus aplcacoes.

5 OBJETIVO GENERAL Compreder los prcpos, propedades y omeclatura de las sumatoras y productoras, como herrameta matemátca potete para dversos campos del saber. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Coceptualzar la sumatora y sus prcpos Compreder las propedades de las sumatoras Coceptualzar la productora y sus prcpos Aalzar las propedades de las productoras Desarrollar problemas de sumatoras y productoras, utlzado las propedades. 8

6 Sumatoras y productoras Sumatora Productoras tee su Nomeclatura Coceptualzacó tee tee Teoremas y propedades Propedades Operacoes Operacoes Factoral Aplcacoes 9

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8 Capítulo LAS SUMATORIAS Itroduccó La sumatora, como su ombre lo dca es sumar térmos, pero el cocepto de sumatora está asocado co las sucesoes, temátca que se aalzará co detalle e el curso de cálculo dferecal. Por ahora sólo dgamos que ua sucesó es ua secueca de térmos que sgue ua orma de repetcó. La sumatora opera dchos térmos. La sumatora cosste e operar u couto fto de térmos úmercos; esto sgfca, la suma de ua catdad de úmeros, dode se cooce del prmero al últmo. Por eemplo; os dce que sumamos los sguetes térmos;,,,,, debemos hacer. S. Sedo S la sumatora de los térmos. Las sumatoras so ua gra herrameta e el campo del cálculo y la estadístca. Pero su alcace tee u eorme espectro e las dferetes cecas.

9 ENOTACIÓN DE SUMATORIA Las sumatoras se smbolza co la letra grega sgma, preseta uos lmtes y ua magtud. a k s a a a... a k a k a S La magtud de la operacó realzada El ídce de la suma, este varía de a hasta a k a Térmo cal de la sumatora a k Térmo fal de la sumatora Valor del termo e el puto. K Catdad de térmos a operar e la sumatora. Exste u caso partcular de sumatora, so aquellas dode K tede a fto y so llamadas seres, cuya smbología es: s α a ; Esta temátca de seres será abordada co detalles e cursos mas avazados. Veámos alguos eemplos. Eemplo Hallar la suma de los sguetes térmos: (,,, 8, 0,,,.)

10 Solucó Expresemos aalítcamete el problema: s 8 ( ) ya que, es la represetacó por compresó del couto de los úmeros pares postvos. Para este caso: ídce vara de y 8.a a k 8 Luego: 8 s ( ) () () () ( ) () ( ) () (8) s 8 0 Eemplo Segú la fgura, cuátos cubos hay e la orgazacó dada por la prámde.

11 Solucó Vemos que cada fla tee el cuadrado de la catdad presetada, luego. S ; luego s 9 Eemplo Resolver la sguete sumatora s ( ) Solucó Debemos darle valores a,...,. Etoces: S ( ( ) ) ( ( )... ( ( ) ) S Eemplo Hallar el valor de () Solucó Debemos sumar, veces: S () () 0

12 Para facltar las operacoes co sumatoras, vamos a estudar a cotuacó alguos teoremas y propedades de las sumatoras. Teoremas Los sguetes teoremas permte el bue desarrollo de las sumatoras, alguos se demostraro, pero otros requere coocmetos más avazados, por lo cual o será demostrados; sólo se defrá por su utldad.. C C para R y c costate Demostracó El teorema está dcado sumas veces el valor de la costate, es decr: c c c... veces c. ( ) para R y,,..., Demostracó La demostracó se le atrbuye al gra matemátco Gauss. (-8) prmero desarrollamos:... ( ) ( ) Como la suma es comutatva, podemos sumar el cotraro. ( ) ( )... S sumamos las ecuacoes aterores obteemos:

13 ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( Falmete: ) ( ) ( ) ( )... ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) para R Demostracó Como vestgacó. Buscar el método que se utlza para demostrar este teorema. m m.. ( ) para R. ( )( )( ) 0 para R Los teoremas aterores so los báscos, su utldad es ampla, por lo cual es pertete comprederlos.

14 Eemplo Hallar la sumatora de: Solucó Como, etoces por el teorema úmero uo: ( ) 0 0 Eemplo Hallar la magtud de: Solucó Para, por el teorema úmero, teemos: S ( ) ( ) x x Eemplo 8 Cuál es el valor de: Solucó Por el teorema teemos:

15 8 S 8(8 ) ( ) () 8.9 Las sumatoras també tee dversas propedades; además de los teoremas estudados. Propedades A cotuacó eucaremos alguas propedades de las sumatoras, muy pertetes para la resolucó de sumatoras, las demostracoes se puede hacer por duccó matemátca, por las metas del curso, se omtrá dchas demostracoes, sólo se recomeda comprederlas para poder utlzarlas cuado así se requera.. ( ) para Z Esta propedad es cosecueca del teorema uo.. q p (q p) ( q p ) para pyq Z y p< q Esta propedad os permte hacer sumatoras, partedo de cualquer, dferete de uo.. ( ) para R. ( ) para Z 8

16 Las propedades y so faclmete demostrables, tetarlo como eerccos.. ( ) ( )( ) para Z ( etero postvo ) La demostracó de esta propedad es relatvamete fácl de hacer, pruebe hacerla, es teresate.. ( ) Eemplo Resolver: Solucó Por la propedad uo, teemos: ( ) Eemplo Hallar la sumatora de: Solucó La propedad, os dca que la sumatora se puede hacer desde cualquer valor cal, luego: 9

17 ( ) ( ) ()() x Eemplo Hallar la operacó de: 0 ( ) Solucó Por la propedad, podemos hacer la operacó: 0 ( ) Para compreder las propedades, se recomeda que usted estmado estudate propoga dversos eemplos y los socalce co sus compañeros, eso les dará gra rqueza matemátca e sumatoras. PERACIONES DE SUMATORIA La sumatora es u operador que podemos aplcar a suma o resta de térmos; també a producto por escalar, veámos:. (a b ) a b Lo ateror sgfca que la sumatora de ua suma de dos térmos, es equvalete a la suma de la sumatora de cada termo. Este se puede hacer extesva a más térmos. 0

18 Demostracó b a... b a b a b a ) b a (... ) b a ( ) b (a ) b (a Agrupamos todos los a y todos los b, luego: ) b... b b b ( ) a... a a (a ) b a ( Por cosguete, aplcado operador sumatora a los dos grupos. ) (b ) (a ) b a (. ) (b ) (a ) b a ( Demostracó Se dea como eercco, es muy secllo.. cos ta te k para a K a K Esto sgfca que la sumatora del producto de ua costate por ua secueca, es equvalete al producto de la costate por la sumatora de la secueca. Demostracó a K K a luego ) a... a a K(a Ka Ka... Ka Ka Ka K a

19 m. K ( m ).K para k costate Eemplo 8 Resolver: Solucó ( ) Aplcado la propedad de suma: 8 ( ) 8 Por el teorema y la propedad, teemos: ( ) 8. etoces: 8 ( ) 8.9. Luego: 8 ( ) 8 Eemplo Resolver: ( )

20 Solucó Aplcado adecuadamete las propedades: ( ) Luego: ( )( ) ( ) Como, reemplazado, teemos: ( ) (. ) ( ) ( )(). Etoces: ( ) 0 0 ( ) 80 Eemplo N ( ) Desarrollar x x Solucó La sumatora está expresada sobre, o es ídce de la sumatora, luego: N ( x x ) ( x x ) ( ) ( ) x x x x... ( x x ) N

21 E la operacó sumatora, detro de las propedades se debe aclarar dos stuacoes:. x x. y x y x Estas dos observacoes se debe teer presetes cuado se trabaa co sumatoras. Veámos u eemplo para corroborar la prmera observacó. x y x veámos. x x x x ) x x x ( x Evdetemete ( ) x x x X x x

22 A MEDIA ARITMÉTICA U eemplo vvo de la aplcacó de la sumatora, es la muy coocda meda artmétca, la cual usado el operador sumatora es expresada como: x x : De esta se puede desarrollar dos ecuacoes alteras: x x y x x Eemplo Demostrar que: ( x ) x 0 Solucó ( x x ) x x x x 0 La expresó x x por la defcó de meda artmétca la exprexó x x por el teorema, vsto aterormete.

23 Eemplo Demostrar que: ( x x ) x x Solucó Desarrollado el producto otable: ( x x ) x x x x por propedad de sumatoras x x x x ( ) x x x x Operado: ( x x ) x x x Falmete: ( x x ) x x OBLE SUMATORIAS E stuacoes ecotradas de álgebra leal, ecoomía, estadístca y otros, se preseta casos dode se debe hacer la suma de sumas; es decr, la sumatora de ua sere de sumatoras. La doble sumatora se expresa de la sguete maera:

24 m a a a a.. a m Resumdo: m a a... a m a Para este tpo de sumatoras, se cumple que: m a m a Lo ateror os dca que e ua doble sumatora fta, el orde del operador es rrelevate; o sea, o afecta la operacó e su resultado. Eemplo Hallar el valor de: ( ) Solucó Hacedo el desarrollo exteddo como se expoe e la teoría: ( ) [( () ) ( () ) ( () ) ( () ) ] (( ) ( ) ( ) ( 8) ) ( 0)

25 Ahora, aplcamos la seguda sumatora: ( ( ) 0 ) ( 8 ) ( () 0 ) ( ( ) 0 ) ( ( ) 0 ) ( ) ( ) 8 8, luego Eemplo Desarrollar: Solucó Al gual que e el caso ateror, prmero desarrollamos los y luego los. [ 9 8 ] (0 ) Ahora aplcamos la sumatora sobre : (0 ) [ 0() 0 () 0() 0() ] (0 )

26 Luego:.00 Eemplo Demostrar que la expresó: Por favor desarrollar este eemplo e pequeño grupo colaboratvo y compartr el resultado co el docete. 9

27 EJERCICIOS: SUMATORIAS Calcular las sguetes sumatoras:. Rta.. Rta.. l l l Rta Rta... 8 ( ) Rta.. K K Rta. 98 Resolver las sguetes dobles sumatoras:. ( ) ( ) Rta ( ). Rta. 0 0

28 PRODUCTORIAS Itroduccó El operador productora o es muy coocdo o meor muy dvulgado, tal vez por que su utldad es muy partcular, s embargo este operador es fudametal e alguos temas de matemátcas por eemplo, hemos escuchado o au trabaado co el producto factoral, (! ) dcha operacó es cosecueca de este operador. Quzás exsta mas razoes, pero solo la mecoada os duce a que debemos aalzar ta teresate operacó matemátca. A PRODUCTORIA Para smbolzar ua productora, se utlza el símbolo grego P mayúscula Así, ua productora se defe de la sguete maera. a a x a x a x... x a Esto quere decr que la productora, es la multplcacó de todos los valores a, dado que vara de hasta. Podemos geeralzar la defcó comezado e cualquer puto, así: m a a. a. a... a m sedo m

29 UNAD E esta opó es mportate detfcar el úmero de factores el cual se obtee co la sguete relacó: Numero de factores: m Eemplo Dada la productora a detfcar la productora y el úmero de factores. Solucó Como a a. a. a. a. Así queda dcada la productora. Ahora el úmero de factores: m. Efectvamete hay cuatro factores. Eemplo Calcular: Solucó S hacemos la extesó de la sumatora: El úmero de factores: -

30 Desarrollar y determar el úmero de factores. Solucó , luego: El úmero de factores factores es certo? Cálculo de productoras A cotuacó vamos a estudar alguas formulas que os permte desarrollar productoras de maera más racoal.. K K para K costate... p! p)! ( p) (. m para )! (m! ) ( m Eemplo

31 Eemplo Hallar ( p) sedo p costate. Solucó Como p es costate, etoces por la operacó, teemos: (p ) p Eemplo Resolver (). Idetfcar el úmero de factores. Solucó () x xx 8 El úmero de factores: - factores. Eemplo Hallar el valor de: ( ) Solucó Como varía de a, etoces: ( )! x x x x 0

32 Eemplo Resolver: ( ) Solucó Como ca e, terma e, aplcamos la operacó, luego: ( )! ( )!!! xx x! x x 0! ROPIEDADES DE PRODUCTORIAS Como cualquer operacó matemátca, las productoras tee sus propedades, las cuales smplfca las operacoes que se requera.. K x K x para K costate. Esta propedad os dce que la productora de ua costate por ua secueca, es gual al producto de la costate elevada al valor mayor de la productora, multplcado por la productora de la secueca. f ( ) g( ) h( ). [ f ( ).g( ). h( ) ] La productora de u producto de varos térmos, es gual al producto de las productoras de cada termo.

33 . f ( ) g ( ) f ( ) g ( ) para g( ) 0 La productora de u cocete, es gual al cocete de las productoras de los térmos.. log ) Log ( x ) x Esta propedad os relacoa las sumatoras co la productora, por medo del logartmo. Eemplo Desarrollar: Solucó Como es costate, etoces:.!.0 Etoces:.080

34 Eemplo Desarrollar la productora: m ( ) Solucó m ( ) ( m ) m... ( ) ( ) ( ) m ( m ) Smplfcado térmos semeates, obteemos: m ( ) (m ) Eemplo Para el caso del eemplo, s y m 9. Hallar la productora. Solucó Como se hzo el desarrollo de la productora da hasta m, etoces: 9 ( ) (9 ) ( )

35 Eemplo Resolver: Log ( ) Solucó Por la propedad de equvaleca etre sumatoras y productoras: Log ( ) Log ( ) Log Log [ (! ) ] Log ( ) (. ) Log (. ) Log ( ),88 JERCICIOS DIVERSOS Co el f de aalzar este tema, el cual requere bue trabao para comprederlo e terorzarlo, vamos a desarrollar eemplos dversos, alguos mezclamos los operadores y. 8

36 9 Hallar el cálculo de: Solucó Operado ormalmete: El úmero de factores es: Hallar ( ) Solucó Hacemos la prmera sumatora:, por propedades de sumatora. ( ) 90. ) ( Ahora hacemos la sumatora sobre. Eemplo Eemplo

37 0 ( ) ) )( ( 90. ) ( ( ) 90) ( 90 ( ) , por cosguete: ( ) 8 Resolver: Solucó Como va de hasta, la secueca o se restrge, es decr, o hay restrccoes e este tervalo. ( ) 0 ) ( Eemplo

38 Resolver: 0 0 Solucó Resolvemos prmero la sumatora: ) (0 J ) (0 ) (0 0 0 ) )(. ( ) (.0 ) 0(0 800 ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] por propedad de productoras y desarrollado: Eemplo

39 0 () () ( 0 ) ( ) Etoces: 0 () () (80 0 ) ( 0 ) Eemplo Qué valor debe tomar p e la sguete expresó, para que se cumpla la gualdad. p ( ) Solucó Desarrollado la productora: p ( )... Smplfcado teemos: p p ( ) por desarrollo de sumatora: p p( p ) p( p ), luego p p 0 ( p ) (p ) 0, p ó p Es obvo que el valor será p, ya que el valor egatvo para p o tee setdo; ya que la secueca có e y p debe ser mayor o gual a uo. p.

40 EJERCICIOS: PRODUCTORIAS Calcular las sguetes productoras:. Rta ( ). ( 8xk ) K Rta./ Rta.0.0 Rta. 09 x.x.x. x 0. ( ) Rta.,9 x 0. a ( ) a Rta. ( b ) Resolver las sguetes operacoes:. ( ) Rta. 8. ( ) Rta..8 k k ( ) 9.

41 ACTORIAL El factoral o producto factoral de u umero, es ua operacó que permte hacer productos secuecales, cuado se requere; tal es el uso de las combatoras e el calculo de probabldades Defcó Para todo umero atural, el factoral de, es el producto de todos los aturaleza desde hasta.! x x x...x ( ) x Eemplo Hallar!. Solucó Por la defcó:! x x, luego! Eemplo Calcular!. Solucó! x x x x x 0

42 Este operador factoral es peza fudametal e aálss matemátco, como el desarrollo polomal de las fucoes, las fórmulas de Taylor y Maclaur; e la seres. Dos propedades mportates de la productora. 0!. Por defcó el factoral de cero es uo..! x ( )!. Descomposcó del factoral, e dos factores, dados por el úmero y el factoral del úmero ateror. Eemplo Descompoer! e producto de dos factores. Solucó! x! Segú la propedad dos propuesta..! e : coocdo como la fórmula de Strlg, que permte hallar el factoral de ; cuado éste tede a fto.

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44 AUTOEVALUACIÓN UNIDAD. Hallar la sumatora propuesta. Cuál será el valor de:. Resolver: [ ( ) ]. Resolver la expresó: [ ]. Hallar la solucó de la sguete productora: [ ]. Resolver: m ( )