Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas"

Transcripción

1 Distribuciones de probabilidad bidimensionales o conjuntas Si disponemos de dos variables aleatorias podemos definir distribuciones bidimensionales de forma semejante al caso unidimensional. Para el caso discreto tendremos: p(x, y) = P(X = x, Y = y). Con: x y p( x, y) = 1, p( x, y) 0. 1

2 Podemos encontrar la probabilidad marginal de la variable aleatoria X sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y: p X (x) = p( x, y) y Igualmente, podemos encontrar probabilidad marginal de la variable aleatoria Y sumando sobre todos los posibles valores de la variable aleatoria Y: p Y (y) = p( x, y) x 2

3 Función de probabilidad condicional La función de probabilidad condicional de X dado Y = y es: p(x y) = p(x,y) p Y (y) Y la función de probabilidad condicional de Y dado X = x es: p(y x) = p(x,y) p X (x) 3

4 Nota: El punto 2 lo veremos más adelante.

5

6

7

8

9 9

10 La definición para dos variables aleatorias continuas es semejante: F(x,y) = P(X x, Y y). La densidad de probabilidad f(x,y) se obtiene derivando la función de probabilidad con respecto a sus argumentos: = 1 ), ( 0, ), ( dxdy y x f y x f Por supuesto: ), ( ), ( ), ( 2 2 y x f x y y x F y x y x F = = 10

11 Las densidades de probabilidad marginales y las probabilidades condicionales se definen de forma semejante al caso bidimensional discreto sin más que sustituir sumatorios por integrales. Así: f ( y) = f ( x, y) dx Y f(x y) = f(x,y) f Y (y) f ( x) = f ( x, y) dy X f(y x) = f(x,y) f X (x) 11

12 Independencia Ausencia de relación de cualquier tipo entre dos v.a. Recuerda que dos sucesos, A y B, son independientes si tener información sobre uno de ellos no influye en el cálculo de prob. del otro, es decir: P ( A B) = P( A) O equivalentemente, A y B son independientes si y solo si: P(A B) = P(B)P(A ) De manera similar se puede definir el concepto de independencia entre v.a. Sean X e Y dos v.a. (continuas o discretas). X e Y son independientes si y solo si la distribución de una ellas condicionada por la otra es igual a la marginal de la primera, f ( x) = f ( x) ó f ( y) = f ( y) X Y X Y X Y Como en el caso de sucesos, esta definición implica que X e Y son indep. si su distribución conjunta se puede calcular como el producto de las marginales, es decir: f XY (x,y) = f X (x) f Y (y)

13 Distribuciones bidimensionales e independencia Los sucesos aleatorios {X = x} e {Y = y} son independientes si: P(x, y) = P X (x) P (y) Y Y entonces, dos variables aleatorias serán independientes si la relación anterior se cumple para todos los posibles pares (x,y). Podremos entonces escribir: p(x y) = p (x) y p(y x) = X p Y (y) 13

14 El teorema de Bayes se expresa como: p(x y) = p X (x) p(y x) p ( y) Y p(y x) = p Y (y) p(x y) p (x) X 14

15 paralelo 15

16 16

17 17

18 18

19 19

20 20

21 21

22 22

23 23

24 24

25 25

26 Relaciones entre variables Cuando construimos modelos, básicamente estamos relacionando variables con argumentos del tipo: Un aumento en la variable X está asociado a un aumento (descenso) de la variable Y. Algunos ejemplos Existe una relación positiva entre el flujo de inmigrantes a un país y la renta per capita del país de acogida. Existe una relación positiva entre la nota obtenida en probabilidad y la de estadística. Existe una relación negativa entre la tasa de fecundidad y la tasa de participación femenina. No parece que exista ninguna relación entre el volumen de lluvias en Islandia y la nota del parcial de probabilidad.

27 Las relaciones entre v.a. pueden ser de muy distinto tipo: positivas o negativas (si cuando crece la una la otra también lo hace y viceversa), lineales o no lineales, etc. Y Relación lineal positiva X También puede ocurrir que no exista ninguna relación entre dos v.a.: cuando esto ocurre diremos que dos v.a. son independientes. Y X Relación no-lineal Vamos a describir a continuación cómo de lineal es la relación que existe entre dos variables: para ello definimos la covarianza y la correlación Y X Sin relación

28 Covarianza La covarianza mide la manera en que dos variables aleatorias X e Y varían juntas. En particular mide el tipo de relación lineal entre las variables aleatorias. Un valor positivo se interpreta como existencia de relación lineal positiva entre las v.a. X e Y. Un valor negativo, apunta a la existencia de una relación lineal negativa entre las v.a. X e Y. Cov( X, Y ) (( µ )( ν )) = E X Y Con: ( X ) E( Y ) µ = E ν = 28

29 Un valor igual a cero se interpreta como ausencia de relación lineal. Pero, ojo: Esto NO es igual a decir que las v.a. son independientes. Y Y X X Las variables No tienen ningún tipo de relación, es decir son INDEPENDIENTES O de manera más general, tienen algún tipo de relación que no es lineal.

30 Se cumple que: Cov( X, Y ) = E( X Y ) µν Si X e Y son variables independientes, su covarianza es cero. Observa que en este caso: ( X Y ) µν = E( X ) E( Y ) µν = µν 0 cov( X, Y ) = E µν = Puesto que X e Y son variables independientes Si la covarianza de X e Y es cero, no necesariamente X e Y son variables independientes. 30

31 Nota: Aquí está el punto 2 que nos quedaba pendiente.

32 Propiedades de la covarianza Si a y b son constantes: cov( X, X ) = var ( X ) cov( X, Y ) = cov ( Y, X ) cov( ax, by ) = ab cov ( X, Y ) Nota: ( ) 2 X + b Var( Y ) 2abCov( X, Y ) 2 Var( ax + by ) = a Var + 32

33 Otro ejemplo: El equipo X y el equipo Y se enfrentan en un campeonato. Supón que la distribución de probabilidad conjunta del número de goles que obtienen es: Y X Existe alguna relación lineal entre el número de goles marcados por uno y otro equipo? En caso afirmativo, se trata de una relación estrecha?

34 Calculemos la correlación entre X e Y. Para ello tenemos que calcular Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) Calculemos E(XY). Para ello calcularemos la función de masa de probabilidad de la variable aleatoria Z = XY: XY P(X=2,Y=2) P(X=1,Y=1) P(X=1,Y=2) + P(X=1,Y=2) E(XY) = 0* * * *0.20 = 1.36 E(X)=1.08; E(Y)=1.09 Por tanto, Cov (X,Y) = *1.09 = 0.18 Existe una relación lineal positiva entre los goles que marca uno y otro equipo por partido. Para cuantificar la fuerza de la relación hay que calcular el coeficiente de correlación.

35 35

36 En nuestro último ejemplo: Var(X) = 0.51, Desviación tip: 0.71 Var(Y) = 0.58, Desviación tip.: 0.76 Por tanto, CORR(X,Y) = 0.18/(0.71*0.76) = 0.33 El coeficiente de correlación está lejano de cero lo que confirma que existe una relación lineal positiva significativa entre los goles marcados por X e Y. Por otra parte, este valor también está lejano a 1 por lo que se puede deducir que esta relación lineal no es muy intensa que digamos...

37 El coeficiente de correlación Imagina que la v. a. X = beneficio (medido en millones de euros) de la empresa X e Y = beneficio en millones de euros de la empresa Y. Y que sabemos que la covarianza entre ambas variables aleatorias es: Cov(X,Y) = -1.8 Si expresáramos lo mismo en euros, en vez de en millones de euros, tendríamos: Cov(X* ,Y* )= *(-1.8) La covarianza depende de las unidades en que medimos las variables. Por tanto, NO podemos utilizarla para medir la intensidad de la relación lineal.

38 1 El coeficiente de correlación estandariza la covarianza de manera que no dependa de las unidades en que estamos midiendo. Definición: ρ(x, Y) = Es fácil ver que esta medida ya no depende de las unidades. En el ejemplo anterior: Cov( X, Y ) σ σ x y ρ(10 6 X,10 6 Y ) = cov(10 Var( X,10 6 Y ) X ) Var(10 6 Y ) = *10 2* *6 cov( X, Y ) Var( X ) Var( Y )

39 Propiedades del coeficiente de correlación No depende de las unidades Siempre está entre 1 y 1. Este resultado deriva de la conocida desigualdad de Schwartz. Para toda v.a Z y V, [ E( ZV )] 2 E( Z ) E( V Llamando: Z = X-E(X) y V = Y-E(Y) y tomando raíces cuadradas: 2 2 ) σ σ cov( X, Y ) x y σ x σ y

40 Interpretación CORR(X,Y) = 1. Existe una relación lineal exacta entre X e Y, y la pendiente de la recta es positiva: 0< CORR(X,Y) <1, relación lineal + entre X e Y, más intensa cuanto más cercana a 1. CORR(X,Y) = 0, ausencia de relación lineal. -1< CORR(X,Y) <0, relación lineal (-) entre X e Y, más intensa cuanto más cercana a -1 CORR(X,Y) = -1, existe una relación lineal (-) exacta entre X e Y.

41 Resumen del formulario: 41

42 42

43 43

44 Son normales 44

45 Si f(x,y) es una función de densidad no normal bidimensional, entonces no necesariamente fx(x) y fy(y) no son normales: 45

46 46

47 47

48 48

49 49

50 50

51 51

52 Transformación de variables aleatorias bidimensionales Dada una variable bidimensional (X, Y), con función densidad de probabilidad conjunta f(x, y) y una transformación biunívoca: U = u(x, Y), V = v(x, Y) la función de densidad de probabilidad conjunta de la nueva variable aleatoria bidimensional (U, V) será: g(u, v) = f(x(u,v), y(u,v)) J con: J = x u y u x v y v = u x v x u y v y 52 1

53

54 Ejemplo de transformación bidimensional Sean x,y dos números aleatorios generados por distribuciones normales tipificadas N(0,1). Si son independientes, su distribución sobre un plano será: P( x, y) x 1 y 1 ( x = Exp Exp = Exp 2π 2 2π 2 2π 2 y 2 ) Hagamos una transformación a coordenadas polares (R,θ). Con d = R 2 = x 2 + y 2 : ( x, y) 1 1 P( d, θ ) = P( x, y) = Exp( d ( d, θ ) 2π 2 que es equivalente al producto de una distribución exponencial de vida media 2, y una distribución uniforme definida en el intervalo [0,2π]. / 2) 54 (Press et al., Numerical Recipes )

55

56

57

58

59

60

61 Transformación de Box-Müller: Cómo conseguir una distribución normal bidimensional a partir de una uniforme? Sean dos números aleatorios u 1, u 2 derivados de una distribución uniforme. Se realizan las transformaciones: R 2 θ = = 2ln 2π u 2 u 1 x y = = R cosθ = Rsinθ = 2ln u 2ln u 1 1 cos(2π u sin(2π u 2 2 ) ) demuestra que nos llevan a dos números aleatorios x,y cuya probabilidad sigue una distribución normal. Puesto que las transformaciones dependen de funciones trigonométricas, no son muy eficientes para el cálculo 61 computacional. (Press et al., Numerical Recipes )

62 ( 1,1) R θ v 1 v 2 (1,1) Para hacer el algoritmo de Box-Müller más rápido se definen las variables: v 1 =2u 1 1 v 2 =2u 2 1 Se generan números hasta que (v 1,v 2 ) se encuentre dentro del círculo de radio R = 1. ( 1, 1) x y = = v v 1 2 2ln d d para d 1. (1, 1) 2ln d d 1/ 2 1/ 2 cosθ = sinθ = v1 R v2 R = = ( v ( v v1 + v v2 + v ) ) 1/ 2 1/ 2 Estas transformaciones modificadas son más eficientes en el cálculo. 62 (Press et al., Numerical Recipes )

63 63

64 64

Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales

Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes: Distribución conjunta de probabilidad Probabilidad/densidad marginales y condicionadas Independencia

Más detalles

Distribución conjunta de variables aleatorias

Distribución conjunta de variables aleatorias Distribución conjunta de variables aleatorias En muchos problemas prácticos, en el mismo experimento aleatorio, interesa estudiar no sólo una variable aleatoria sino dos o más. Por ejemplo: Ejemplo 1:

Más detalles

Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales

Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales 1 Tema 4: Variables aleatorias multidimensionales En este tema: Distribución conjunta de probabilidad Probabilidad/densidad marginal Probabilidad/densidad condicionada Esperanza, varianza, desviación típica

Más detalles

Vectores Aleatorios. Vectores Aleatorios. Vectores Discretos. Vectores Aleatorios Continuos

Vectores Aleatorios. Vectores Aleatorios. Vectores Discretos. Vectores Aleatorios Continuos Definición Dado un espacio muestral S, diremos que X =(X 1, X 2,, X k ) es un vector aleatorio de dimension k si cada una de sus componentes es una variable aleatoria X i : S R, para i = 1, k. Notemos

Más detalles

Vectores aleatorios (distribuciones multivariantes)

Vectores aleatorios (distribuciones multivariantes) Vectores aleatorios (distribuciones multivariantes) Tema 9. Distribución conjunta de un vector aleatorio. Distribuciones marginales y condicionadas Ignacio Cascos Depto. Estadística, Universidad Carlos

Más detalles

Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional

Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional Curso 2016-2017 Contenido 1 Definición de Variable Aleatoria Bidimensional 2 Distribución y fdp Conjunta 3 Clasificación de Variables Aleatorias Bidimensionales 4 Distribuciones Condicionales 5 Funciones

Más detalles

1 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional

1 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 1 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.1. Variable aleatoria bidimensional Las Variables Aleatorias Bidimensionales o N-Dimensionales surgen cuando es necesario trabajar en espacios

Más detalles

Vectores Aleatorios. Definición 1.1. Diremos que el par (X,Y) es un vector aleatorio si X e Y representan variables aleatorias

Vectores Aleatorios. Definición 1.1. Diremos que el par (X,Y) es un vector aleatorio si X e Y representan variables aleatorias Universidad de Chile Facultad De Ciencias Físicas y Matemáticas MA3403 - Probabilidades y Estadística Prof. Auxiliar: Alberto Vera Azócar. albvera@ing.uchile.cl Vectores Aleatorios 1. Vectores Aleatorios

Más detalles

Variables aleatorias bidimensionales discretas

Variables aleatorias bidimensionales discretas Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Ingeniería Área de Estadística VARIABLES ALEATORIAS BIDIMENSIONALES Concepto: Sean X e Y variables aleatorias. Una variable aleatoria bidimensional (X,

Más detalles

CLASES DE ESTADÍSTICA II ESPERANZA ABSOLUTA

CLASES DE ESTADÍSTICA II ESPERANZA ABSOLUTA 1 CLASES DE ESTADÍSTICA II CLASE ) ESPERANZA ABSOLUTA. ESPERANZA CONDICIONAL. ESPERANZA ABSOLUTA El cálculo de valores esperados o esperanzas a nivel de dos variables aleatorias es una generalización matemática

Más detalles

Part I. Variables aleatorias unidimensionales. Estadística I. Mario Francisco. Definición de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas

Part I. Variables aleatorias unidimensionales. Estadística I. Mario Francisco. Definición de variable aleatoria. Variables aleatorias discretas Part I unidimensionales de s de s Definición Dado un experimento aleatorio, con espacio muestral asociado Ω, una es cualquier función, X, X : Ω R que asocia a cada suceso elemental un número real, verificando

Más detalles

TEMA 3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN

TEMA 3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN TEMA 3 REGRESIÓN Y CORRELACIÓN Regresión mínimo-cuadrática bidimensional Planteamiento del problema Dadas dos variables aleatorias X e Y definidas sobre un mismo espacio de probabilidad (asociadas a un

Más detalles

Variables aleatorias

Variables aleatorias Variables aleatorias Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Estadística I curso 2008 2009 Una variable aleatoria es un valor numérico que se corresponde con

Más detalles

Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional

Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Capítulo 6: Variable Aleatoria Bidimensional Cuando introducíamos el concepto de variable aleatoria unidimensional, decíamos que se pretendía modelizar los resultados de un experimento aleatorio en el

Más detalles

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Probabilidad y Estadística Grado en Ingeniería Informática Tema 5 Esperanza y momentos Javier Cárcamo Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid javier.carcamo@uam.es Javier Cárcamo PREST.

Más detalles

. Luego, para el período n + 1 los resultados estarán, en cualquier caso, en el conjunto {λ k n 0 } n+1. k= (n+1). Consideremos Y = λ U n

. Luego, para el período n + 1 los resultados estarán, en cualquier caso, en el conjunto {λ k n 0 } n+1. k= (n+1). Consideremos Y = λ U n Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Probabilidades MA, /5/9, Prof. Raúl Gouet Solución Control #. Considere una colonia de bacterias con población inicial

Más detalles

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B

Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B Métodos Estadísticos de la Ingeniería Tema 7: Momentos de Variables Aleatorias Grupo B Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Marzo 2010 Contenidos...............................................................

Más detalles

Sesión 2: Teoría de Probabilidad

Sesión 2: Teoría de Probabilidad Modelos Gráficos Probabilistas L. Enrique Sucar INAOE Sesión 2: Teoría de Probabilidad Considero que la probabilidad representa el estado de la mente con respecto a una afirmación, evento u otra cosa para

Más detalles

ENUNCIADO y SOLUCIONES. Problema 1

ENUNCIADO y SOLUCIONES. Problema 1 Ingeniería Industrial Métodos estadísticos de la Ingeniería Examen Junio 007. ENUNCIADO y SOLUCIONES Problema La memoria RAM para un ordenador se puede recibir de dos fabricantes A y B con igual probabilidad.

Más detalles

Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades

Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades Variables Aleatorias y Distribución de Probabilidades Julio Deride Silva Área de Matemática Facultad de Ciencias Químicas y Farmcéuticas Universidad de Chile 27 de mayo de 2011 Tabla de Contenidos Variables

Más detalles

Introducción al Tema 9

Introducción al Tema 9 Tema 2. Análisis de datos univariantes. Tema 3. Análisis de datos bivariantes. Tema 4. Correlación y regresión. Tema 5. Series temporales y números índice. Introducción al Tema 9 Descripción de variables

Más detalles

6-1. Dos preguntas sobre 100 tiradas de dado

6-1. Dos preguntas sobre 100 tiradas de dado Semana 6 Esperanza y Varianza 6-1. Dos preguntas sobre 100 tiradas de dado 6-2. Esperanza 6-3. Propiedades básicas de la esperanza 6-4. Distancia esperada a la media 6-5. Varianza 6-6. Demostraciones 6-1.

Más detalles

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Duración: horas Fecha: de Julio de Fecha publicación notas: -7- Fecha revisión examen: 8-7-

Más detalles

Otras distribuciones multivariantes

Otras distribuciones multivariantes Trabajo A Trabajos Curso -3 Otras distribuciones multivariantes Clase esférica de distribuciones en R p Definición. Dado un vector aleatorio X = X,..., X p t, se dice que se distribuye en la clase esférica

Más detalles

Variables aleatorias

Variables aleatorias Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales,

Más detalles

Cálculo de probabilidad. Tema 3: Variables aleatorias continuas

Cálculo de probabilidad. Tema 3: Variables aleatorias continuas Cálculo de probabilidad Tema 3: Variables aleatorias continuas Guión Guión 3.1. La función de densidad de probabilidad Definición 3.1 Sea P una medida de probabilidad en un espacio muestral Ω. Se dice

Más detalles

Material introductorio

Material introductorio Material introductorio Nombre del curso: Teoría Moderna de la Detección y Estimación Autores: Vanessa Gómez Verdejo Índice general. Variables aleatorias unidimensionales..................................

Más detalles

Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015

Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015 Unidad III. Variables aleatorias Prof. Eliana Guzmán U. Semestre A-2015 Variable Aleatoria Concepto: es una función que asigna un número real, a cada elemento del espacio muestral. Solo los experimentos

Más detalles

Sesión 2: Teoría de Probabilidad

Sesión 2: Teoría de Probabilidad Modelos Gráficos Probabilistas L. Enrique Sucar INAOE Sesión 2: Teoría de Probabilidad las reglas mátemáticas de la probabilidad no son simplemente reglas para calcular frecuencias de variables aleatorias;

Más detalles

Estadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas

Estadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas Estadística Tema 2 Variables Aleatorias 21 Funciones de distribución y probabilidad 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas 23 Distribuciones conjuntas y marginales 24 Ejemplos distribuciones

Más detalles

VECTORES ALEATORIOS. 1 Introducción. 2 Vectores aleatorios

VECTORES ALEATORIOS. 1 Introducción. 2 Vectores aleatorios VECTORES ALEATORIOS 1 Introducción En la vida real es muy frecuente enfrentarnos a problemas en los que nos interesa analizar varias características simultáneamente, como por ejemplo la velocidad de transmisión

Más detalles

Distribuciones multivariadas

Distribuciones multivariadas Distribuciones multivariadas Si X 1,X 2,...,X p son variables aleatorias discretas, definiremos la función de probabilidad conjunta de X como p(x) =p(x 1,x 2,...,x k )=P (X 1 = x 1,X 2 = x 2,...,X p =

Más detalles

6 Variables aleatorias independientes

6 Variables aleatorias independientes 6 Variables aleatorias independientes Edgar Acuna ESMA 4 Edgar Acuna Dos variables aleatorias son independientes si para todo a b P[

Más detalles

Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C. SOLUCIONES

Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C. SOLUCIONES Departamento de Matemática Aplicada a las T.I.C. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EAMEN FINAL Otoño 25-6 FECHA: 5 de Enero de 26 Fecha publicación notas: 22 de Enero de 26 Fecha revisión

Más detalles

Cálculo de Probabilidades II Preguntas Tema 1

Cálculo de Probabilidades II Preguntas Tema 1 Cálculo de Probabilidades II Preguntas Tema 1 1. Suponga que un experimento consiste en lanzar un par de dados, Sea X El número máximo de los puntos obtenidos y Y Suma de los puntos obtenidos. Obtenga

Más detalles

Elementos de Probabilidad y Estadística Segundo de Economía Examen del 26 de junio de 2006 DURACIÓN: 2 horas

Elementos de Probabilidad y Estadística Segundo de Economía Examen del 26 de junio de 2006 DURACIÓN: 2 horas Elementos de Probabilidad y Estadística Segundo de Economía Examen del 6 de junio de 6 DURACIÓN: horas. a) Se realizan lanzamientos de un dado regular. i) Calcular la probabilidad de obtener exactamente

Más detalles

Esperanza Matemática. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides

Esperanza Matemática. UCR ECCI CI-1352 Probabilidad y Estadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides speranza Matemática UCR CCI CI-135 Probabilidad y stadística Prof. M.Sc. Kryscia Daviana Ramírez Benavides Media de una Variable Aleatoria Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f().

Más detalles

Ejercicios de Variables Aleatorias

Ejercicios de Variables Aleatorias Ejercicios de Variables Aleatorias Elisa M. Molanes-López, Depto. Estadística, UC3M Transformaciones de variables aleatorias Ejercicio. Sea X una v.a. continua con función de densidad dada por: /, si

Más detalles

Procesos estocásticos

Procesos estocásticos Procesos estocásticos Enrique Miranda Universidad of Oviedo Máster Universitario en Análisis de Datos para la Inteligencia de Negocios Contenidos del curso 1. Introducción. 2. Procesos a tiempo discreto:

Más detalles

Probabilidad y Estadística

Probabilidad y Estadística Vectores aleatorios Probabilidad y Estadística Vectores aleatorios Federico De Olivera Cerp del Sur-Semi Presencial curso 2015 Federico De Olivera (Cerp del Sur-Semi Presencial) Probabilidad y Estadística

Más detalles

Tema 5: Vectores aleatorios bidimensionales.

Tema 5: Vectores aleatorios bidimensionales. Estadística 52 Tema 5: Vectores aleatorios bidimensionales. Hasta ahora hemos estudiado las variables aleatorias unidimensionales, es decir, los valores de una característica aleatoria. En muchos casos,

Más detalles

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación Departamento de Matemática Aplicada a la I.T. de Telecomunicación ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS CONVOCATORIA: ENERO 22/23 FECHA: 9 de Enero de 23 Duración del examen: 3 horas Fecha publicación

Más detalles

C7) Dada la distribución bidimensional de las variables "Numero de desplazamientos diarios" y "Medio de transporte utilizado" es cierto que: a) De los

C7) Dada la distribución bidimensional de las variables Numero de desplazamientos diarios y Medio de transporte utilizado es cierto que: a) De los IS12-Estadística en ITIS Exámen Final Curso 2008-09 Fecha: 28/Enero/09 Nombre alumno: NOTA: MARCAR: (a) Sobre 5 ptos, (b) Sobre 9 ptos C1) Una variable X toma únicamente 4 valores distintos: x1, x2, x3,

Más detalles

Tema 6 - Introducción. Tema 5. Probabilidad Conceptos básicos. Interpretación y propiedades básicas Probabilidad condicional y reglas de cálculo.

Tema 6 - Introducción. Tema 5. Probabilidad Conceptos básicos. Interpretación y propiedades básicas Probabilidad condicional y reglas de cálculo. Tema 6 - Introducción 1 Tema 5. Probabilidad Conceptos básicos. Interpretación y propiedades básicas Probabilidad condicional y reglas de cálculo. Generalización Tema 6. Variables aleatorias unidimensionales

Más detalles

Tema 5: Funciones homogéneas

Tema 5: Funciones homogéneas Tema 5: Funciones homogéneas f se dice homogénea de grado α si se verifica: f(λ x) = λ α f( x), x, λ > 0 Propiedades: 1. Si f y g son homogéneas de grado α, entonces f ± g es también homogénea de grado

Más detalles

Ejercicio 1. Ejercicio 2

Ejercicio 1. Ejercicio 2 Guía de Ejercicios Ejercicio. Calcular los momentos de primer y segundo orden (media y varianza) de una variable aleatoria continua con distribución uniforme entre los límites a y b.. Sabiendo que la función

Más detalles

Vectores aleatorios. Estadística I curso 2008 2009

Vectores aleatorios. Estadística I curso 2008 2009 Vectores aleatorios Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Estadística I curso 2008 2009 En numerosas ocasiones estudiamos más de una variable asociada a

Más detalles

Variables aleatorias. Tema Introducción Variable aleatoria. Contenido

Variables aleatorias. Tema Introducción Variable aleatoria. Contenido Tema 4 Variables aleatorias En este tema se introduce el concepto de variable aleatoria y se estudian los distintos tipos de variables aleatorias a un nivel muy general, lo que nos permitirá manejar los

Más detalles

Estadística Descriptiva y Probabilidad FORMULARIO

Estadística Descriptiva y Probabilidad FORMULARIO Estadística Descriptiva y Probabilidad FORMULARIO Departament d Estadística i Investigació Operativa Universitat de València Angel Corberán Francisco Montes 2 3 Capítulo 1 Estadística Descriptiva 1.1.

Más detalles

Conceptos Fundamentales. Curso de Estadística TAE, 2005 J.J. Gómez-Cadenas

Conceptos Fundamentales. Curso de Estadística TAE, 2005 J.J. Gómez-Cadenas Conceptos Fundamentales Curso de Estadística TAE, 2005 J.J. Gómez-Cadenas Análisis de datos en física de partículas Experimento en física de partículas: Observación de n sucesos de un cierto tipo (colisiones

Más detalles

TEMA 2: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES

TEMA 2: DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES TEMA : DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 1.- DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES Cuando estudiamos un solo carácter estadístico, los datos que obtenemos forman una variable estadística unidimensional. También

Más detalles

Estadística Grupo V. Tema 10: Modelos de Probabilidad

Estadística Grupo V. Tema 10: Modelos de Probabilidad Estadística Grupo V Tema 10: Modelos de Probabilidad Algunos modelos de distribuciones de v.a. Hay variables aleatorias que aparecen con frecuencia en las Ciencias Sociales y Económicas. Experimentos dicotómicos

Más detalles

Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos. Curso 2009/10

Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos. Curso 2009/10 Estadistica II Tema 0. Repaso de conceptos básicos Curso 2009/10 Tema 0. Repaso de conceptos básicos Contenidos Variables aleatorias y distribuciones de probabilidad La distribución normal Muestras aleatorias,

Más detalles

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Definición de una V.A.C. Definición de una V.A.C.

Más detalles

REVISION DE CONCEPTOS BÁSICOS

REVISION DE CONCEPTOS BÁSICOS REVISION DE CONCEPTOS BÁSICOS Objetivos Introducir, de manera muy general, algunos de los conceptos matemáticos y estadísticos que se utilizan en el análisis de regresión. La revisión no es rigurosa y

Más detalles

2. ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES

2. ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES TEMA. ESTADÍSTICAS BIDIMENSIONALES.... Definición. Objetivos.... Coeficiente de Correlación. Lineal... 4 3. Rectas de regresión.... 7 . Definición. Objetivos En el tema anterior hemos estudiado las distribuciones

Más detalles

Tema 3: Funcio n de Variable Aleatoria

Tema 3: Funcio n de Variable Aleatoria Tema 3: Funcio n de Variable Aleatoria Teorı a de la Comunicacio n Curso 2007-2008 Contenido 1 Función de una Variable Aleatoria 2 3 Cálculo de la fdp 4 Generación de Números Aleatorios 5 Momentos de una

Más detalles

Modelos de distribuciones discretas y continuas

Modelos de distribuciones discretas y continuas Ignacio Cascos Fernández Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid Modelos de distribuciones discretas y continuas Estadística I curso 2008 2009 1. Distribuciones discretas Aquellas

Más detalles

Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales

Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales 1 Tema 5. Muestreo y distribuciones muestrales En este tema: Muestreo y muestras aleatorias simples. Distribución de la media muestral: Esperanza y varianza. Distribución exacta en el caso normal. Distribución

Más detalles

Cuáles son las características aleatorias de la nueva variable?

Cuáles son las características aleatorias de la nueva variable? Apuntes de Estadística II. Ingeniería Industrial. UCAB. Marzo 203 CLASES DE ESTADÍSTICA II CLASE 5) UNA TRANSFORMACIÓN DE DOS VARIABLES. Sea Z = g(, ) una función de las variables aleatorias e, tales que

Más detalles

Maestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 3

Maestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 3 Maestría en Bioinformática Probabilidad y Estadística: Clase 3 Gustavo Guerberoff gguerber@fing.edu.uy Facultad de Ingeniería Universidad de la República Abril de 2010 Contenidos 1 Variables aleatorias

Más detalles

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T.

Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. Departamento de Matemática Aplicada a la I.T.T. ASIGNATURA: ESTADÍSTICA Y PROCESOS ESTOCÁSTICOS EXAMEN FINAL Otoño 3 Duración: 3 horas FECHA: 9 de Enero de 4 Fecha publicación notas: 6--4 Fecha revisión

Más detalles

TEMA 2: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

TEMA 2: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ESTADÍSTICA, CURSO 008 009 TEMA : DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD LEYES DE PROBABILIDAD. SUCESOS ALEATORIOS Experimetos aleatorios, espacio muestral. Sucesos elemetales y compuestos. Suceso imposible Ø,

Más detalles

Prueba Integral Lapso /6

Prueba Integral Lapso /6 Prueba Integral Lapso 2 009-2 76 - /6 Universidad Nacional Abierta Probabilidad y Estadística I (76) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: 06-20 - 508 Fecha: 2-2 - 2 009 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos,

Más detalles

Tema 2: Magnitudes aleatorias

Tema 2: Magnitudes aleatorias Facultad de Economía y Empresa 1 Prácticas Tema.- Magnitudes aleatorias Tema : Magnitudes aleatorias DEMANDA La demanda de cierto artículo es una variable aleatoria con la siguiente distribución: Número

Más detalles

Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional

Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional Variables aleatorias continuas, TCL y Esperanza Condicional FaMAF 17 de marzo, 2011 1 / 37 Poisson P(λ) Número de éxitos en una cantidad grande de ensayos independientes Rango: {0, 1, 2,... } = {0} N Función

Más detalles

Variables aleatorias

Variables aleatorias Ejemplo: Suponga que un restaurant ofrecerá una comida gratis al primer cliente que llegue que cumpla años ese día. Cuánto tiene que esperar el restaurant para que la primera persona cumpliendo años aparezca?

Más detalles

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS M. en C. Juan Carlos Gutiérrez Matus Instituto Politécnico Nacional Primavera 2004 IPN UPIICSA c 2004 Juan C. Gutiérrez Matus Variables Aleatorias Variables Aleatorias Definición:

Más detalles

Tema 3 Normalidad multivariante

Tema 3 Normalidad multivariante Aurea Grané Máster en Estadística Universidade Pedagógica Aurea Grané Máster en Estadística Universidade Pedagógica Tema 3 Normalidad multivariante 3 Normalidad multivariante Distribuciones de probabilidad

Más detalles

+ ax 2 + bx) x. ( 2 sen(x) 0 (a + b sen(x) sen(2x))2 dx sea mínima.

+ ax 2 + bx) x. ( 2 sen(x) 0 (a + b sen(x) sen(2x))2 dx sea mínima. Facultad de Ingeniería - IMERL Cálculo - Curso. Práctico 8. Integrales paramétricas e integrales iteradas dobles y triples. Integrales múltiples. Cambio de variables, áreas, volúmenes, sumas de Riemann

Más detalles

C L A S E N 5 I N S E M E S T R E O T O Ñ O,

C L A S E N 5 I N S E M E S T R E O T O Ñ O, Unidad 1 a. Probabilidades y Estadística 1 C L A S E N 5 I N 3 4 0 1 S E M E S T R E O T O Ñ O, 2 0 1 2 Características de las v.a 2 Parámetros v.a. La función de densidad o la distribución de probabilidad

Más detalles

3.4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAS

3.4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAS Cátedra: 3.4: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD CONJUNTAS Hasta ahora el estudio se ha referido a variables restringidas a espacios muestrales unidimensionales en los que se registran los resultados de un

Más detalles

Bioestadística. En una distribución bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algún tipo de relación entre si.

Bioestadística. En una distribución bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algún tipo de relación entre si. 1 de 5 15/10/2006 06:04 a.m. Bioestadística. Correlación y regresión lineales. En una distribución bidimensional puede ocurrir que las dos variables guarden algún tipo de relación entre si. Por ejemplo,

Más detalles

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS El zoo binomial: las probabilidades en la distribución binomial. Tutorial 5, sección 2 X = número de éxitos al repetir n veces un experimento con probabilidaf de éxito p

Más detalles

RESUMEN DE ALGUNOS CONCEPTOS ESTADÍSTICOS ELEMENTALES Y NOTACIÓN EMPLEADA EN EL CURSO

RESUMEN DE ALGUNOS CONCEPTOS ESTADÍSTICOS ELEMENTALES Y NOTACIÓN EMPLEADA EN EL CURSO RESUMEN DE ALGUNOS CONCEPTOS ESTADÍSTICOS ELEMENTALES Y NOTACIÓN EMPLEADA EN EL CURSO 1 rojo 1 2 3 4 5 6 Supongamos que tenemos dos dados, uno rojo y otro verde, cada uno de los cuales toma valores entre

Más detalles

CÁLCULO DE PROBABILIDADES

CÁLCULO DE PROBABILIDADES CÁLCULO DE PROBABILIDADES Tipo de asignatura: Troncal Anual. Créditos ECTS: 15 I.- INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DE PROBABILIDADES. (16 horas presenciales) Tema 1.- La naturaleza del cálculo de probabilidades.

Más detalles

18 Experimentos aleatorios. Sucesos y espacio muestral. Frecuencia y probabilidad de un suceso.

18 Experimentos aleatorios. Sucesos y espacio muestral. Frecuencia y probabilidad de un suceso. PRIMER CURSO DE E.S.O Criterios de calificación: 80% exámenes, 10% actividades, 10% actitud y trabajo 1 Números naturales. 2 Potencias de exponente natural. Raíces cuadradas exactas. 3 Divisibilidad. Concepto

Más detalles

Ejercicios de Procesos Estocásticos

Ejercicios de Procesos Estocásticos Ejercicios de Procesos Estocásticos Bernardo D Auria Departamento de Estadística Universidad Carlos III de Madrid GRUPO MAGISTRAL GRADO EN INGENIERÍA DE SISTEMAS AUDIOVISUALES Otros Ejemplo Considerar

Más detalles

Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias

Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Estadística Tema 3: Cálculo de Probabilidades Unidad 2: Variables Aleatorias Área de Estadística e Investigación Operativa Licesio J. Rodríguez-Aragón Noviembre 2010 Contenidos...............................................................

Más detalles

5. Distribuciones de probabilidad multivariadas

5. Distribuciones de probabilidad multivariadas 5. Distribuciones de probabilidad multivariadas Sobre un dado espacio muestral podemos definir diferentes variables aleatorias. Por ejemplo, en un experimento binomial, X 1 podría ser la variable binomial

Más detalles

Tema 3: Función de Variable Aleatoria y Teoremas Asintóticos

Tema 3: Función de Variable Aleatoria y Teoremas Asintóticos Tema 3: Función de Variable Aleatoria y Teoremas Asintóticos Curso 2016-2017 Contenido 1 Función de una Variable Aleatoria 2 Cálculo de la fdp 3 Generación de Números Aleatorios 4 Momentos de una Variable

Más detalles

Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática

Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática DEPARTAMENT D ESTADÍSTICA I INVESTIGACIÓ OPERATIVA Fórmulas, Resultados y Tablas Cálculo de Probabilidades y Estadística Matemática A. Distribuciones de variables aleatorias. 1. Descripción de una distribución

Más detalles

9. INTRODUCCIÓN A DISTRIBU- CIONES MULTIVARIANTES

9. INTRODUCCIÓN A DISTRIBU- CIONES MULTIVARIANTES 9. INTRODUCCIÓN A DISTRIBU- CIONES MULTIVARIANTES Objetivo Introducir la idea de la distribución conjunta de dos variables discretas. Generalizar las ideas del tema 2. Introducir la distribución normal

Más detalles

Derivada y diferencial

Derivada y diferencial Derivada y diferencial Una cuestión, que aparece en cualquier disciplina científica, es la necesidad de obtener información sobre el cambio o la variación de determinadas cantidades con respecto al tiempo

Más detalles

TEMA 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES

TEMA 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES TEMA 1 VARIABLES ALEATORIAS MULTIDIMENSIONALES Recordemos que el concepto de variable aleatoria surge de la necesidad de transformar el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio en un espacio

Más detalles

Contenidos IB-Test Matemática NM 2014.

Contenidos IB-Test Matemática NM 2014. REDLAND SCHOOL MATHEMATICS DEPARTMENT 3 MEDIO NM 1.- Estadística y probabilidad. Contenidos IB-Test Matemática NM 2014. 1.1.- Conceptos de población, muestra, muestra aleatoria, y datos discretos y continuos.

Más detalles

Introducción a la Teoría de la Información

Introducción a la Teoría de la Información Introducción a la Teoría de la Información Entropía diferencial. Facultad de Ingeniería, UdelaR (Facultad de Ingeniería, UdelaR) Teoría de la Información 1 / 19 Definición Definición (Entropía diferencial)

Más detalles

Probabilidad y Estadística Segundo del grado en Telecomunicaciones, UAM, Examen de la convocatoria extraordinaria,

Probabilidad y Estadística Segundo del grado en Telecomunicaciones, UAM, Examen de la convocatoria extraordinaria, Probabilidad y Estadística Segundo del grado en Telecomunicaciones, UAM, 2014-2015 Examen de la convocatoria extraordinaria, 22-6-2015 Nombre y apellidos.......................................................................

Más detalles

Unidad 1: Espacio de Probabilidad

Unidad 1: Espacio de Probabilidad Unidad 1: Espacio de Probabilidad 1.1 Espacios de Probabilidad. (1) Breve introducción histórica de las probabilidades (2) Diferencial entre modelos matemáticos deterministicos y probabilísticos (3) Identificar

Más detalles

Sabemos que en un proceso de Poisson la función de probabilidad está dada por:

Sabemos que en un proceso de Poisson la función de probabilidad está dada por: DISTRIBUCIÓN DE WEIBULL Relación entre la dist eponencial y la dist de Poisson Sabemos que en un proceso de Poisson la función de probabilidad está dada por: e-! ( λt ) λt f X (, λ ) P( X = ) = Queremos

Más detalles

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Objetivo: El alumno analizará y comprenderá el uso y la aplicación de la integral definida en la resolución de problemas REGIONES PLANAS LIMITADAS POR DOS CURVAS Sean

Más detalles

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado.

Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. Tema 5 Función lineal y cuadrática. Curvas de primer y segundo grado. 5.0.1 Ecuaciones en dos variables. Una linea del plano es el conjunto de puntos (x, y), cuyas coordenadas satisfacen la ecuación F

Más detalles

Distribuciones Bidimensionales.

Distribuciones Bidimensionales. Distribuciones Bidimensionales. 1.- Variables Estadísticas Bidimensionales. Las variables estadísticas bidimensionales se representan por el par (X, Y) donde, X es una variable unidimensional, e Y es otra

Más detalles

Tema 1: Estadística descriptiva. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 1

Tema 1: Estadística descriptiva. Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 1 Tema 1: Estadística descriptiva Probabilidad y Estadística (Ing. Informática). Tema 1: Estadística descriptiva 1 Introducción Objetivo: estudiar una característica o variable en una población. Ejemplos:

Más detalles

Distribuciones Probabilísticas. Curso de Estadística TAE,2005 J.J. Gómez Cadenas

Distribuciones Probabilísticas. Curso de Estadística TAE,2005 J.J. Gómez Cadenas Distribuciones Probabilísticas Curso de Estadística TAE,005 J.J. Gómez Cadenas Distribución Binomial Considerar N observaciones independientes tales que: El resultado de cada experimento es acierto o fallo

Más detalles

Variables aleatorias múltiples

Variables aleatorias múltiples Chapter 4 Variables aleatorias múltiples 4.. Distribución conjunta y marginal Definición 4.. Un vector aleatorio n-dimensional es una función que va de un espacio muestral S a un espacio euclediano n-dimensional

Más detalles

Variables aleatòries vectorials Els problemes assenyalats amb un (*) se faran a classe. 1.- Los estudiantes de una universidad se clasifican de acuerdo a sus años en la universidad (X) y el número de visitas

Más detalles

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Derivadas

Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Derivadas Curso Propedéutico de Cálculo Sesión 3: Joaquín Ortega Sánchez Centro de Investigación en Matemáticas, CIMAT Guanajuato, Gto., Mexico Esquema 1 2 3 4 5 6 7 Esquema 1 2 3 4 5 6 7 Introducción La derivada

Más detalles

Regresión y Correlación

Regresión y Correlación Relación de problemas 4 Regresión y Correlación 1. El departamento comercial de una empresa se plantea si resultan rentables los gastos en publicidad de un producto. Los datos de los que dispone son: Beneficios

Más detalles

Variables aleatorias continuas y Teorema Central del Limite

Variables aleatorias continuas y Teorema Central del Limite Variables aleatorias continuas y Teorema Central del Limite FaMAF 17 de marzo, 2015 Variables aleatorias continuas Definición Una variable aleatoria X se dice (absolutamente continua) si existe f : R R

Más detalles