Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria

Transcripción

1 Autoevaluación UT3 Unidad Temática 3 UT3-1: Variable Aleatoria Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento estadístico. 2. Por convención, las variables aleatorias se denotan con una letra mayúscula de nuestro alfabeto, por ejemplo X, y los particulares valores de la misma, con su correspondiente letra minúscula, en este ejemplo x. 3. Sólo es posible definir una variable aleatoria para cada espacio muestral. 4. El número de valores que puede tomar una variable aleatoria discreta es contable (ya sea finito o infinito numerable). 5. Una variable aleatoria discreta sólo puede tomar valores enteros. 6. Una variable aleatoria discreta sólo puede asumir valores positivos. 7. El volumen de nafta que se pierde por evaporación durante el llenado del tanque de combustible, es una variable aleatoria discreta. 8. El número de moléculas raras presentes en una muestra de aire es una variable aleatoria continua. 9. Las variables aleatorias continuas representan datos que se obtienen continuamente, mientras que las variables aleatorias discretas representan datos que se obtienen de vez en cuando. 10. En la mayoría de las aplicaciones prácticas, las variables aleatorias continuas representan datos medidos, mientras que las variables aleatorias discretas representan datos contados. 11. El número de artículos defectuosos en una muestra de k artículos es una variable aleatoria discreta. 12. Si se toma el registro de la temperatura ambiente en una estación de mediciones de una localidad determinada en tres momentos del día, la temperatura media diaria es una variable aleatoria discreta. 13. El número de sismos que ocurren por año en un lugar determinado, es una variable aleatoria discreta. 14. El número de conexiones soldadas que no cumplen con ciertos estándares de calidad, de las 800 que tiene un circuito impreso, es una variable aleatoria discreta. 15. El tiempo que tardan los alumnos en resolver su examen final de Estadística, es una variable aleatoria continua. 16. El conjunto de pares ordenados [ x, f(x) ] se llama función de probabilidad, función masa de probabilidad, función de cuantía o distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X. Variable aleatoria 15

2 Autoevaluación UT3 17. Algunos autores expresan, que la distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta X, es una tabla, gráfica o fórmula que da la probabilidad f(x) asociada a cada posible valor x. 18. La probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome valores menores o iguales que el particular valor x, está dada por el valor de la función masa de probabilidad f(x). 19. La función de probabilidad f(x) de una variable aleatoria discreta X, siempre y sin restricciones, asume valores iguales o mayores que cero. 20. Tanto en el caso de variables aleatorias discretas como continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria Y tome el particular valor y, está dado por el valor de f(y). 21. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, se define sólo para los valores que toma la variable aleatoria en estudio. 22. La distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria discreta X, con distribución de probabilidad f(x), toma valores entre y La gráfica de barras para representar una distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], uniendo los puntos al eje x, ya sea con una línea punteada perpendicular al eje o con una línea sólida. Las distancias de los puntos al eje están dadas por las probabilidades f(x), medidas en el eje de ordenadas. 24. El histograma de probabilidad para representar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta, se obtiene al graficar los puntos [ x, f(x) ], de modo que sus bases, de igual ancho, se centren en cada valor de x, y sus alturas sean iguales a las probabilidades, f(x). 25. La distribución acumulada F(x), de una variable aleatoria discreta X, es una función escalonada que se obtiene graficando los puntos [ x, F(x) ]. 26. Dada una variable aleatoria discreta X con función de probabilidad f(x), se cumple siempre la siguiente igualdad: P (X < x ) = P (X x ). 27. Si la función de masa de probabilidad de una variable aleatoria discreta X toma el valor f(3)=0,15, debe interpretarse que la probabilidad de que dicha variable exceda el valor 3 es 0, Si la función de la distribución acumulada de una variable aleatoria discreta X toma el valor F(2)=0,4, debemos interpretar que la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor 2 es igual a 0, Una de las condiciones que debe cumplir la función de masa de probabilidad, f(x), de la variable aleatoria discreta X, es que 1 f(x) Si se tiene una variable aleatoria discreta X, la función de masa de probabilidad f(x 1 ), nos da la probabilidad de que la variable aleatoria tome el particular valor x La probabilidad de que una variable aleatoria continua tome exactamente uno de sus valores posibles es igual a cero. 32. Al igual que en el caso de variables aleatorias discretas, la forma tabular [ x, f(x) ], es una de las formas posibles de expresar la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X. Variable aleatoria 16

3 Autoevaluación UT3 33. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), se cumple siempre que la P(X < x) = P(X x). 34. En la representación gráfica de la función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X, las probabilidades deben leerse en el eje de ordenadas. 35. La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua X, siempre y sin restricciones, toma valores iguales o mayores que cero. 36. La función de densidad de probabilidad f(y) de una variable aleatoria continua Y, no puede tomar valores mayores que uno. 37. Cuando una variable aleatoria continua X toma el particular valor x = mediana, la función de distribución acumulada toma el valor 0, Algunas variables aleatorias continuas, encierran un área total bajo la curva de la función de densidad de probabilidad inferior a uno. 39. Dada una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), se cumple que P(X = x) = 0. Esto debe ser interpretado como que es imposible que la variable aleatoria X asuma el particular valor x. 40. Si se tiene una variable aleatoria continua U con función de densidad de probabilidad f(u) y función de distribución acumulada F(u), siempre se cumple lo siguiente: P(u 1 U < u 2 ) = F(u 2 ) F(u 1 ), donde u 2 > u 1 son particulares valores de la variable aleatoria U. 41. Si se tiene una variable aleatoria continua V con función de densidad de probabilidad f(v), siempre se cumple que: P(a V < b) = P(a V b), donde a y b son particulares valores de la variable aleatoria V. 42. La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua X siempre podrá definirse sólo para los valores positivos de la variable. 43. Si se tiene una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad f(x), en la representación gráfica de f(x) en función de x, la probabilidad de que la variable tome el particular valor x 1 se lee en el eje de ordenadas para el particular valor x La función de la distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria continua X no toma valores menores que cero. 45. Dada una variable aleatoria discreta X, si F(7) = F(5), entonces f(7) = f(5). 46. Si X es una variable aleatoria continua que toma valores sólo en el intervalo [2; 4], entonces la función f(x) = 0,5 puede ser la función de densidad de probabilidad de la variable X. 47. El polígono de frecuencias, construido a partir del histograma de frecuencias relativas de una variable aleatoria continua X, resulta muy útil para ajustar una estimación de la función de densidad de probabilidad f(x). 48. La mediana de una variable aleatoria continua X, se puede obtener a partir de la función de distribución acumulada, para el valor particular de x = 0, La variable aleatoria X, definida como el promedio de los resultados obtenidos al lanzar dos dados legales, es una variable aleatoria discreta. 50. Dada una variable aleatoria continua X, con función de densidad de probabilidad f(x) Variable aleatoria 17

4 Autoevaluación UT3 definida en el intervalo [3; 6], se cumplirá siempre que la P(X 3) = Clasificar las variables aleatorias en discretas o continuas Para responder los siguientes ítems escriba, a la izquierda del número del ítem, la letra D si considera que se trata de una variable aleatoria discreta o la letra C si considera que es continua. 51. Resistencia a tracción de las barras de acero del tipo ADM-420 (N), en MN/m². 52. Número de vehículos controlados por día, en el acceso a Mendoza por Desaguadero. 53. Producción diaria de agua potable en la planta de tratamiento Alto Godoy, Mendoza, en miles de m³/día. 54. La sección de una viga de madera puede formarse abulonando dos escuadrías. Se dispone de secciones individuales de (3"x 2"); (3"x 3") y (3"x 4"). Sea X la variable a clasificar, definida como la altura total de la sección obtenida, de base igual a 3". 55. Tiempo de secado de una pintura de secado rápido, observado en el panel de ensayo. 56. Número de permisos de construcción de edificios, por año, otorgados por la municipalidad de Godoy Cruz, en la provincia de Mendoza. 57. Superficie implantada con frutales en la provincia de Mendoza, en Ha, declarada cada año. 58. Consumo de energía eléctrica por tipo de actividad productiva en la provincia de Mendoza, en MWh / año. 59. Cantidad de líneas telefónicas instaladas, por año, en la provincia de Mendoza. 60. Superficie construida por año, en la ciudad Capital de Mendoza, en m² / año. 61. Número de accidentes de tránsito por año, en rutas argentinas. 62. Volumen anual de efluentes cloacales tratados por la planta depuradora de Campo Espejo, en hm³ / año, en la provincia de Mendoza. 63. Número de instalaciones eléctricas inspeccionadas anualmente por la municipalidad de Guaymallén. 64. Gas entregado anualmente en la provincia de Mendoza, por tipo de usuario, en miles de m³ / año. 65. Una empresa comercializa entablonados de madera en espesores de 1/8, 1/4 o 3/8 de pulgada. La variable aleatoria es el espesor del entablonado solicitado en dos pedidos recibidos. Variable aleatoria 18

5 Autoevaluación UT3 2. Esperanza, varianza y combinaciones lineales de variables aleatorias Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 66. Es común entre los estadísticos, referirse a la media como la esperanza matemática o el valor esperado de la variable aleatoria X y denotarla como E(X). 67. La fórmula para calcular el valor esperado de variables aleatorias continuas, es la misma que se utiliza para calcular el valor esperado de las variables aleatorias discretas. 68. El valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3, Si el valor esperado del resultado obtenido al lanzar un dado legal es 3,5, debe interpretarse que los resultados que más se repiten son el 3 y el El valor esperado de una variable aleatoria, describe cómo se distribuye la función de probabilidad en su rango. 71. El valor esperado de la variable aleatoria Y = 2X 1, es igual al doble del valor esperado de la variable aleatoria X. 72. La media o valor esperado de una variable aleatoria X resulta de especial importancia en estadística, pues describe el lugar donde se centra la distribución de probabilidad. 73. Si el valor esperado de una variable aleatoria asume un valor menor que cero, debe interpretarse que, físicamente, es imposible que la variable tome ese particular valor. 74. Si una variable aleatoria tiene una varianza pequeña, esperaríamos que la mayor parte de las observaciones se agrupen cerca y alrededor de la media. 75. La varianza de la variable aleatoria Y = 2X 1, es cuatro veces mayor que la varianza de la variable aleatoria X. 76. Sea X la variable aleatoria definida como las calificaciones de los estudiantes de Ingeniería en Estadística; y sea Y la misma variable en Álgebra. Si se cumple que E(X) = E(Y) y que la V(X) > V(Y), dado el valor de la media de X y un intervalo alrededor de la misma, se cumplirá que la probabilidad de que la variable Y tome valores dentro de dicho intervalo, es mayor. 77. Si se tiene un histograma simétrico de una distribución discreta de probabilidad, se debe concluir que la variabilidad en la distribución es nula. 78. La varianza de una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), es el valor esperado del cuadrado de las desviaciones respecto de su media. 79. Una forma de obtener la varianza de una variable aleatoria X es, haciendo la diferencia entre el valor esperado del cuadrado de la variable, y el valor esperado de la variable elevado al cuadrado. 80. El valor esperado de una constante es siempre igual a cero. 81. El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria, es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable aleatoria. 82. El valor esperado de la suma algebraica de dos variables aleatorias, es siempre igual a la suma de los valores esperados de las mismas. Variable aleatoria 19

6 Autoevaluación UT3 83. El valor esperado del producto de dos variables aleatorias, es igual al producto de los valores esperados de las mismas, siempre y sin excepción. 84. La varianza de una constante es siempre igual a la constante elevada al cuadrado. 85. La varianza de una constante por una variable aleatoria, es igual al cuadrado de la constante multiplicado por la varianza de la variable aleatoria. 3. Teorema de Chebyshev 86. La proporción de valores que toma una variable aleatoria entre dos valores simétricos alrededor de la media, está relacionada con la desviación estándar de la variable aleatoria. 87. El teorema de Chebyshev, proporciona una estimación conservadora de la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dentro de k desviaciones estándar de su media, para cualquier número real k. 88. El teorema de Chebyshev encuentra su más plena aplicación, cuando la variable en estudio se distribuye normalmente. 89. Según el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que una variable aleatoria cualquiera, tome un valor dentro de k desviaciones estándar de la media, es exactamente igual a: 1 1/k². 90. Si X es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad f(x) es conocida y se desea saber la probabilidad de que la variable asuma valores en el intervalo μ ± 2σ, es el caso más apropiado para utilizar el teorema de Chebyshev. Variable aleatoria 20

7 Autoevaluación UT3-2 Unidad Temática 3 UT3-2: Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Distribución uniforme discreta 1. En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable aleatoria toma cada uno de sus valores con idéntica probabilidad. 2. El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta, viene dado por la inversa de la cantidad de valores que puede tomar la variable aleatoria. 3. La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al lanzar dos monedas legales sigue una distribución de probabilidad uniforme. 4. La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), siempre coincide con uno de los valores para los cuales está definida la variable. 5. La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x; k), NO está relacionada con el número de valores que puede tomar la variable. 2. Distribución binomial 6. En la distribución binomial las pruebas que se repiten pueden ser dependientes o independientes. 7. El número X de éxitos obtenidos en n experimentos de Bernoulli se denomina variable aleatoria binomial. 8. La media de la distribución binomial de parámetros n y p, viene dada por el producto np. 9. El rango de valores de una variable aleatoria binomial va de cero a p. 10. Los resultados del experimento que da lugar a la generación de una variable aleatoria binomial, son independientes. 11. La varianza de la distribución binomial puede calcularse en función de la probabilidad con que ocurre cada éxito y del número de veces que se realiza la prueba en el experimento. 12. El espacio muestral de un experimento Bernoulli puede representarse de manera genérica, como {éxito, fracaso}. 13. Dado un valor de n pequeño, para valores pequeños del parámetro p, digamos menores de 0,05 por ejemplo, la distribución binomial será sesgada a la izquierda. 14. Cuando la probabilidad de éxito en un proceso Bernoulli es de 0,20, la gráfica de la distribución binomial resultante al realizar el experimento cinco veces es simétrica. Distribuciones de variables aleatorias discretas 21

8 Autoevaluación UT El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces, sigue una distribución binomial. 16. Se tiene un examen de opción múltiple que contiene diez preguntas; cada pregunta tiene cuatro opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial. 17. Los valores que puede tomar una variable aleatoria que sigue una distribución binomial, siempre están comprendidos entre cero y uno, inclusive. 18. Las distribuciones binomiales para valores del parámetro p = 0,5 tienen una representación gráfica simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media de la distribución. 19. Para un valor fijo de n, la distribución se vuelve más simétrica a medida que el parámetro p aumenta desde 0 hasta 0,5, o disminuye desde 1 hasta 0, Para un valor fijo de p, la distribución binomial se vuelve más simétrica a medida que n aumenta. 21. La media y la varianza de una variable aleatoria binomial, dependen sólo de los parámetros n y p. 22. Si X ~ binomial (x; n, p), para n = 10 y p = 0,98, la representación gráfica de la función masa de probabilidad, resultará sesgada a la izquierda. 23. Si p = 0,4 en un proceso Bernoulli, entonces el cálculo de: 7 C 3. (0,4) 3. (0,6) 4 da la probabilidad de obtener tres o más éxitos en 7 ensayos. 24. Una variable aleatoria binomial asume valores entre el y el El número de caras obtenidas al lanzar una moneda legal diez veces sigue una distribución binomial y la representación gráfica de la distribución es simétrica respecto del valor x = Si una máquina que tiene la herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas, el número de piezas defectuosas en las siguientes 25 que produzca, sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 100 y p = 0, Un examen de opción múltiple está formado por 10 preguntas; cada pregunta tiene 5 opciones y sólo una de ellas es correcta. Si una persona responde al azar, el número de respuestas correctas sigue una distribución binomial, cuyos parámetros son: n = 50 y p = 0, Distribución hipergeométrica 28. La distribución hipergeométrica es de suma utilidad en aplicaciones en el campo del control de calidad, donde el muestreo de aceptación se realiza con ensayos destructivos. 29. La variable aleatoria hipergeométrica NO asume valores negativos. 30. El modo en que se realiza el muestreo (con o sin reposición), genera diferencias entre la distribución binomial y la distribución hipergeométrica. 31. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, se debe repetir el Distribuciones de variables aleatorias discretas 22

9 Autoevaluación UT3-2 experimento hasta encontrar el primer éxito. 32. Tanto en la distribución binomial como en la hipergeométrica, las pruebas son independientes. 33. En un experimento hipergeométrico, se selecciona, con reemplazo, una muestra aleatoria de tamaño n de un lote de N artículos, donde k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y (N k) se pueden clasificar como fracasos. 34. El número de éxitos (elementos defectuosos) de un experimento hipergeométrico, en el que se selecciona una muestra aleatoria de tamaño tres, de un lote de tamaño veinte que tiene cinco elementos defectuosos, varía entre cero y cinco. 35. En un experimento hipergeométrico, la probabilidad de no encontrar éxitos en una muestra aleatoria, es siempre igual a cero. 36. Cuando el tamaño de la muestra, n, es suficientemente pequeño en relación al tamaño del lote, N, la distribución binomial permite calcular, de manera aceptable, probabilidades de la distribución hipergeométrica. 37. La expresión (N n) / (N 1) se conoce como factor de corrección de población finita. 38. Para calcular probabilidades de la distribución hipergeométrica, se puede utilizar la distribución binomial, si el factor de corrección para poblaciones finitas (N n) / (N 1) es cercano a cero. 39. El muestreo con reemplazo es equivalente al muestreo de una población infinita, en la que se acepta que la proporción de éxitos permanece constante para cualquier ensayo del experimento. 4. Distribución geométrica 40. Los parámetros de la distribución geométrica son n y p. 41. Los valores que puede asumir una variable geométrica van de cero a n. 42. El parámetro de la distribución geométrica está dado por la probabilidad de obtener un éxito en una prueba cualquiera del experimento, valor que permanece constante en cada prueba. 43. En la distribución geométrica las pruebas son independientes. 44. La media de una variable aleatoria que sigue una distribución geométrica está dada por la inversa del parámetro de la misma. 45. Si se define a la variable aleatoria X como el número de lanzamientos que se deben hacer con un dado legal hasta que salga el seis, E(X) = Se sabe que una persona tiene una probabilidad de dar en el blanco de 0,90. En tal condición, la probabilidad de que en los próximos diez disparos que realice, recién dé en el blanco en el cuarto, es igual a 0,0009. Distribuciones de variables aleatorias discretas 23

10 Autoevaluación UT Distribución de Poisson 47. La representación gráfica de la distribución de Poisson siempre tiene forma simétrica. 48. Dada una variable con distribución binomial de parámetros n y p, para valores suficientemente grandes de n y pequeños de p, las condiciones se aproximan a las del proceso de Poisson, con parámetro igual al producto np. 49. Una de las propiedades del proceso de Poisson, es que la probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo es independiente de la longitud del intervalo. 50. En el proceso de Poisson, el número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica, es independiente del número de ocurrencias que se producen en los intervalos o regiones adyacentes al considerado. 51. La media de una distribución de Poisson es igual a su desviación estándar. 52. La variable aleatoria de Poisson sólo puede tomar valores comprendidos en el intervalo [0 ; λ], siendo λ su parámetro. 53. La variable aleatoria de Poisson puede tomar valores menores que cero, sólo cuando la tasa de ocurrencia sea menor que uno. 54. Si X ~ Poisson (x; λ), para valores suficientemente grandes del parámetro, la distribución tiende a ser simétrica. 6. La distribución de Poisson como forma limitante de la binomial 55. Sea X una variable aleatoria binomial con distribución de probabilidad b(x; n, p). Siempre y en cualquier caso es posible utilizar la distribución de Poisson como forma limitante de la distribución binomial, es decir, b(x; n, p) p(x; μ). 56. Para una distribución binomial dada, con n suficientemente grande y p pequeña, las condiciones se aproximan a las del proceso de Poisson, con parámetro igual a la constante np. 57. Cuando p sea un valor cercano a la unidad, de ninguna manera será posible utilizar la distribución de Poisson para aproximar probabilidades binomiales. Distribuciones de variables aleatorias discretas 24

11 Autoevaluación UT Opción Múltiple Seleccione con una X la opción que considere correcta. Tenga en cuenta que cada ítem ha sido construido de modo tal que sólo una de las cuatro opciones es correcta. No obstante, podría ocurrir que las tres primeras opciones sean correctas y que la cuarta opción indique Todas las anteriores; en tal caso, debe seleccionar sólo la cuarta opción. Descripción del problema: Los componentes de un sistema se envían a destino en lotes de 8 unidades. El control de calidad del producto establece que se seleccionen aleatoriamente dos unidades de cada lote y se acepte el lote si no se encuentran unidades defectuosas en la muestra. Suponga que el lote tiene 3 unidades defectuosas. 58. El número de unidades defectuosas en la muestra sigue una distribución: e) Binomial f) Hipergeométrica g) Poisson h) Geométrica 59. Los parámetros de la distribución son: a) n, p b) N, n, k c) λt d) p 60. Los valores que puede asumir la variable aleatoria en estudio son: a) x = 0, 1,, n b) x = 0, 1,, k c) x = 0, 1,, λt d) x = 1, 2, 61. De acuerdo a la información disponible, la variable aleatoria en estudio: a) Sigue una distribución hipergeométrica que se aproxima a la binomial. b) Sigue una distribución binomial que se aproxima a la de Poisson. c) Sigue una distribución hipergeométrica que se aproxima a la de Poisson. d) Ninguna de las anteriores. 62. Si X es el número de unidades defectuosas en la muestra, el planteo para calcular la probabilidad de que el lote sea aceptado, es: a) P( X < 3) b) P( X < 2) c) P( X = 0) d) Ninguna de las anteriores. 63. La probabilidad de que el lote sea aceptado, es: a) 0, b) 0, c) 0, d) Ninguna de las anteriores. El valor correcto es:. Distribuciones de variables aleatorias discretas 25

12 Autoevaluación UT3-3 Unidad Temática 3 3-3: Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias continuas Atención! Para responder los ítems que comienzan con un asterisco (*) debe utilizar las tablas estadísticas. Para responder los otros ítems debe pensar en las propiedades de la distribución y responderlos sin utilizar tablas. En el caso particular de la distribución normal, antes de responder la autoevaluación debe memorizar las áreas que encierra la curva alrededor de: µ ± σ ; µ ± 2σ ; µ ± 3σ. Es suficiente recordar hasta el tercer decimal. Responda verdadero o falso. Coloque una letra V a la izquierda del número del ítem si acepta la afirmación enunciada, o una F si la rechaza. 1. Distribución uniforme continua 1. Si una variable aleatoria continua X está distribuida uniformemente en el intervalo [A; B], la probabilidad de que tome valores en intervalos de igual longitud dentro de su rango, es la misma. 2. Dado que la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria uniforme continua X en el intervalo [A; B] es constante, tiene varianza nula. 3. El valor esperado de una variable aleatoria continua, distribuida uniformemente en el intervalo [ 1; 3], es igual a La función de densidad de una variable aleatoria continua distribuida uniformemente en el intervalo [A; B], es simétrica respecto de un eje vertical que pase por la media. 5. Si X es una variable aleatoria continua distribuida uniformemente, cuartil inferior y cuartil superior son coincidentes. 2. Distribución normal 6. Los parámetros de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria normal son su media y la desviación estándar (o su varianza). 7. Siempre y sin restricción alguna, la curva de la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media. 8. Para algunos valores particulares de los parámetros de la distribución normal, la curva de la función de densidad de probabilidad puede presentar más de una moda. Distribuciones de variables aleatorias continuas 26

13 Autoevaluación UT Si X N (x; μ, σ), media, mediana y moda son coincidentes. 10. La curva de la distribución normal tiene sus puntos de inflexión en correspondencia con los valores de la variable ubicados alrededor de la media, a una distancia de ± una vez la desviación estándar. 11. La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 3σ, es igual a 0, La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 2σ, es igual a 0, La probabilidad de que cualquier variable aleatoria distribuida normalmente, con media μ y varianza σ², tome valores entre μ ± 1σ, es igual a 0, La función de distribución acumulada F(x), de cualquier variable aleatoria X distribuida normalmente, es igual a 0,5 para el valor de x igual a la media. 15. Una variable aleatoria X distribuida normalmente está definida sólo para valores positivos de la misma. 16. Si graficamos dos curvas normales con la misma desviación estándar y medias diferentes, las curvas tendrán la misma forma, pero estarán centradas en posiciones diferentes a lo largo del eje de la variable. 17. La función de densidad de una variable aleatoria normal es más chata y se extiende más sobre el eje de la variable (horizontal), mientras mayor sea su varianza. 18. La probabilidad de que una variable aleatoria normal tome el particular valor x 1, se puede leer en el eje de ordenadas, en f(x 1 ). 19. La probabilidad de que una variable aleatoria X N (x; μ, σ), tome valores entre los particulares valores x = x 1 y x = x 2, está representada por el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad comprendida entre x 1 y x No cualquier variable aleatoria X N (x; μ, σ) se puede transformar en otra variable aleatoria Z N (z; 0, 1). 21. La distribución de una variable aleatoria normal con media cero y varianza uno, se llama distribución normal estándar. 22. La probabilidad de que una variable aleatoria X N (x; μ = 4, σ = 2) tome valores entre 4,5 y 5,5 es igual a la probabilidad de que la variable aleatoria normal estándar tome valores entre 0,25 y 0, La probabilidad de que una variable aleatoria normal, con media seis y desviación estándar igual a dos, tome valores menores que seis, es igual a la probabilidad de que la misma variable tome valores menores o iguales que seis. 24. La curva de la función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por el valor de la media. 25. La función de distribución acumulada de una variable aleatoria normal, siempre y sin restricción alguna, toma el valor 0,5 para el valor particular de la variable igual a la media de la distribución. 26. * El percentil sesenta y siete de la una variable normal estándar es igual a 0, El quinto decil de una variable normal estándar es igual a 0,5. Distribuciones de variables aleatorias continuas 27

14 Autoevaluación UT El percentil treinta y tres de cualquier variable aleatoria normal es igual a 0, La probabilidad de que una variable aleatoria normal estándar tome valores mayores que uno, es igual a 0, Cuando se mantiene constante el valor de la media, a medida que la desviación estándar aumenta, la curva de la distribución normal va perdiendo simetría. 3. Aproximación normal a la distribución binomial a la normal 31. Dado que la distribución binomial siempre resulta simétrica, siempre se pueden obtener buenos resultados, calculando probabilidades binomiales utilizando la distribución normal. 32. Algunas veces, cuando la distribución binomial adquiere forma de campana simétrica, la distribución normal es una buena aproximación de la binomial. 33. La distribución binomial se aproxima bien por la normal cuando el tamaño de la muestra es suficientemente grande. 34. La aproximación normal es excelente para evaluar probabilidades binomiales cuando n es suficientemente grande, y muy buena, para valores pequeños de n, si p es razonablemente cercano a 0, En la práctica, si se cumple que np 5 y nq 5, la aproximación normal para evaluar probabilidades binomiales será aceptable. 36. Si X binomial (x; n = 15, p = 0,4) y se dan las condiciones para aproximar el cálculo de probabilidades utilizando la distribución normal, entonces se puede verificar que P(4 X < 8) = P(-1,318< Z <+0,791). 37. Para efectuar la aproximación normal a la binomial, es necesario efectuar la corrección por continuidad de la variable. 4. Distribución gamma y exponencial 38. La media y la varianza de la distribución gamma son αβ y αβ² respectivamente. 39. La distribución exponencial es un caso particular de la distribución gamma. 40. La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que tiene una distribución exponencial con parámetro β, es igual a uno para todo x < La función de densidad de probabilidad, f(x), de una variable aleatoria continua X que tiene una distribución exponencial, es simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media. 42. La media y la varianza de la distribución exponencial son, respectivamente, β y β². 43. La función de densidad de probabilidad f(x) = λ.e -λx es la función de densidad de probabilidad de la distribución exponencial con λ = 1/β. 44. Para β = 1, a medida que aumenta α, la distribución gamma tiende a cambiar su Distribuciones de variables aleatorias continuas 28

15 Autoevaluación UT3-3 forma: de sesgada a la derecha tiende a la simetría. 45. Para cualquier β = constante y α positivo, la distribución gamma resulta sesgada a la derecha. 5. Distribución Ji Cuadrada 46. La distribución ji-cuadrada se genera sumando variables aleatorias independientes distribuidas uniformemente. 47. La distribución ji-cuadrada es un caso particular de la distribución gamma. 48. La media y la desviación estándar de la distribución ji-cuadrada son ν y 2ν, respectivamente, siendo ν el número de g.d.l Si graficamos dos funciones de densidad de probabilidad de variables aleatorias con distribución ji-cuadrada, donde la media de la primera es menor que la media de la segunda, la curva de la segunda será más baja y se extenderá más lejos. 50. La distribución ji-cuadrada tiene un papel importante en la metodología y en la teoría de la inferencia estadística. 51. Los parámetros de la distribución ji-cuadrada son dos: el tamaño de la muestra, n, y el número de g.d.l., ν. 52. La distribución ji-cuadrada está definida, con valores distintos de cero, para valores de la variable aleatoria comprendidos entre y La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de parámetro igual a 30, tome valores menores que ( 13,787), es igual a 0, La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de parámetro igual a 25, tome valores mayores que ( 2), es igual a uno. 55. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución ji cuadrada, de parámetro igual a 10, tome valores menores o iguales que la media, es igual a 0, La suma de n variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, genera una variable aleatoria con distribución ji cuadrada de parámetro igual a n. 6. Distribución logarítmica normal 57. La distribución logarítmica normal se aplica en casos donde una transformación de logaritmo natural tiene como resultado una distribución normal. 58. La variable aleatoria continua X tiene una distribución logarítmica normal si la variable Y = ln (X) tiene una distribución normal con media μ y desviación estándar σ. 7. Distribución de Weibull Distribuciones de variables aleatorias continuas 29

16 Autoevaluación UT Los parámetros de la distribución de Weibull son su media y su varianza. 60. La confiabilidad de un componente o producto, se define como la probabilidad de que funcione apropiadamente por lo menos un tiempo específico, bajo condiciones experimentales específicas. 61. Una de las distribuciones de aplicación en problemas de confiabilidad de componentes que forman los sistemas, es la distribución de Weibull. 62. La función de densidad de una variable aleatoria con distribución de Weibull, es siempre simétrica respecto de un eje vertical que pasa por la media. 8. Distribución t Abrev. g.d.l.: grados de libertad 63. Sea Z una variable aleatoria normal estándar y sea V una variable aleatoria que sigue una distribución ji cuadrada con ν g.d.l. Si Z y V son independientes, entonces la distribución de la variable aleatoria T se conoce como la distribución t, con ν g.d.l., donde T = Z V. ν 64. Una variable aleatoria con distribución t se define como el cociente entre una variable aleatoria normal estándar y la raíz cuadrada del cociente entre una variable aleatoria con distribución ji cuadrada y su número de g.d.l., siendo las variables independientes. 65. La distribución de una variable aleatoria T, con distribución t, difiere de la distribución de una variable normal estándar Z, en que la varianza de T depende del tamaño de la muestra n y siempre es mayor que uno. Sólo cuando el tamaño de la muestra tiende a infinito (n ) las dos distribuciones coincidirán. 66. Si bien la distribución de T y la distribución de Z tiene forma de campana, la distribución de t es más variable que la de Z, debido al hecho de que los valores de T dependen de las fluctuaciones de dos cantidades, X y S², mientras que los valores de Z dependen sólo de los cambios de X de una muestra a otra. 67. Si graficamos dos variables aleatorias con distribución t, donde ν 1 es el número de g.d.l. de la primera y ν 2 el de la segunda, y ν 1 < ν 2, entonces la primera se extenderá más sobre el eje horizontal. 68. * El valor de t con ν = 10 g.d.l. que deja a su izquierda y debajo de la curva un área igual a 0,975 y a su derecha un área igual a 0,025 es igual a 2, Cuando n, las distribución t y la distribución normal estándar coincidirán. 70. El uso de la distribución t de Student NO tiene restricciones respecto de la distribución de la población muestreada. Distribuciones de variables aleatorias continuas 30

17 Autoevaluación UT Distribución F Abrev. g.d.l.: grados de libertad 71. La estadística F se define como el cociente entre dos variables aleatorias ji cuadradas independientes, divididas, cada una, por su número de g.d.l Si U y V son variables aleatorias normalmente distribuidas, con ν 1 y ν 2 g.d.l., respectivamente, entonces la estadística F = [(U/ν 1 ) / (V/ν 2 )] tiene una distribución F, con ν 1 g.d.l. en el numerador y ν 2 g.d.l. en el denominador. 73. Para graficar la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria F se necesita conocer el número de g.d.l. del numerador, ν 1, y el número de g.d.l. del denominador, ν * Utilizando la notación ( f α; ν 1 ; ν 2 ), donde f es un valor particular de una variable aleatoria que sigue una distribución F, con ν 1 g.d.l. en el numerador y ν 2 g.d.l. en el denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede verificar que f 0,05; 15; 10 = 2, * Utilizando la notación ( f α; ν 1 ; ν 2 ), donde f es un valor particular de una variable aleatoria que sigue una distribución F, con ν 1 g.d.l. en el numerador y ν 2 g.d.l. en el denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede verificar que f 0,95; 19; 20 = 0, * Utilizando la notación ( f α; ν 1 ; ν 2 ), donde f es un valor particular de una variable aleatoria que sigue una distribución F, con ν 1 g.d.l. en el numerador y ν 2 g.d.l. en el denominador, que deja a su derecha un área bajo la curva igual a α, se puede verificar que f 0,01; 24; 12 = 3, Algunas aplicaciones de la distribución F tienen que ver con la comparación de varianzas muestrales y con la inferencia acerca de las varianzas poblacionales. 78. La estadística F se define como la suma del cuadrado de variables normales estándar independientes. 79. La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución F que tiene 5 g.d.l. en el numerador y siete en el denominador, tome valores menores que 3, es igual a uno. 80. * La probabilidad de que una variable aleatoria con distribución F con ν 1 = 10 y ν 2 = 8 tome exactamente el valor 3,35 es igual a 0,05. Distribuciones de variables aleatorias continuas 31

18 Autoevaluación UT Combinaciones lineales de variables aleatorias Abrev. g.d.l.: grados de libertad 81. La distribución normal posee la propiedad reproductiva, esto es, la suma de variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, es una variable aleatoria normal. 82. Si X 1, X 2, X 3,, X i,, X n, son variables aleatorias independientes que tienen, respectivamente, distribuciones ji cuadrada con ν 1, ν 2, ν 3,, ν i,, ν n, g.d.l., entonces la variable aleatoria que resulta de la suma de las variables independientes: W = X 1 + X 2 + X X i + + X n, tiene una distribución normal con media igual a la suma de las medias de las variables y varianza igual a la suma de las varianzas de las variables X i. 83. La suma del cuadrado de variables aleatorias normales estándar independientes, tiene una distribución ji cuadrada, con parámetro igual al número de variables normales estándar cuyos cuadrados se suman. 84. Dada la variable aleatoria X distribuida normalmente con media igual a 50 y desviación estándar igual a 2, y la variable aleatoria Y distribuida normalmente con media igual a 20 y desviación estándar igual a 4, siendo X e Y variables aleatorias independientes, entonces la variable W = X Y tendrá una distribución normal con media igual a 30 y desviación estándar igual a Dada la variable aleatoria X que tiene una distribución ji cuadrada con 3 g.d.l. y la variable aleatoria Y que tiene una distribución ji cuadrada con 5 g.d.l., siendo X e Y variables aleatorias independientes, entonces la variable W = X + Y tendrá una distribución ji cuadrada con media igual a 8 y varianza igual a Distribuciones de probabilidad conjunta Abrev. g.d.l.: grados de libertad 86. Los resultados de un experimento estadístico pueden dar lugar al estudio de una o más variables aleatorias. 87. Para el caso de dos variables aleatorias discretas, X e Y, la función de probabilidad conjunta f(x,y), da la probabilidad de que ocurran los valores x e y al mismo tiempo. 88. Sea Y la variable aleatoria que da el número de licencias por enfermedad solicitadas por los empleados de una empresa en un mes cualquiera del año, y Z el mes del año en que la solicitan, expresado en números del uno al doce. Si la función de probabilidad conjunta de Y y Z toma el valor f(5,12) = 0,45, debe interpretarse que la probabilidad de que cinco empleados soliciten licencia por enfermedad en el mes de diciembre, es por lo menos igual a 0, Cualquier función f(x,y) que cumpla la condición de que x 0 y que y 0, es función de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y. 90. Si las variables Y y Z son variables aleatorias continuas, con función de densidad conjunta f(y,z), la representación gráfica de la misma dará una superficie sobre el plano yz, y se puede medir la P[(Y, Z) A], donde A es cualquier región en el plano yz, en la escala graduada de un eje perpendicular al plano yz. Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta 32

19 Autoevaluación UT Las variables aleatorias continuas Y y Z, con función de densidad conjunta f(y,z), no pueden tomar valores menores que cero. 92. Dada la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas X y Y, es posible obtener las distribuciones marginales de X y Y, a partir de f(x,y). 93. Sean Y y Z variables aleatorias discretas con función de probabilidad conjunta f(y,z). Siempre se cumple que la suma de los valores de la distribución marginal de cualquiera de las variables sobre todos los valores de la misma, es igual a uno. 94. Las distribuciones marginales de las variables aleatorias continuas Y y Z, son en realidad las distribuciones de probabilidad de las variables individuales Y y Z solas. Independencia estadística 95. La simbología f(x, y) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoria X tome el particular valor x y que la variable aleatoria Y tome el particular valor y. 96. La simbología f (x y) debe leerse: probabilidad de que la variable aleatoria X tome el particular valor x, dado que la variable aleatoria Y toma el particular valor y. 97. Cuando f (y z) depende de z, la distribución condicional de la variable aleatoria Y dado que Z = z, es igual a la distribución marginal de la variable aleatoria Y. 98. Si f (x y) no depende de y, se cumple que f (x y) = g(x) y f(x, y) = g(x). h(y). 99. Las variables aleatorias discretas Y y Z son estadísticamente independientes, si y sólo si, la función de distribución de probabilidad conjunta de las mismas es igual al producto de las distribuciones marginales, para toda (y, z) dentro de sus rangos Si se verifica algún punto (y, z) para el que f(y,z) g(y).h(z), las variables aleatorias discretas Y y Z no son estadísticamente independientes Si se cumple que f(x, y) = P(X=x, Y=y), para todo (x, y), entonces las variables aleatorias discretas X, Y, son estadísticamente independientes Dadas las variables aleatorias discretas Y y Z, con f(2,1) = 7/5; g(2)=4/5 y h(1)=3/5, se puede afirmar que las variables aleatorias discretas Y y Z son estadísticamente independientes. Combinaciones lineales de v.a. - Probabilidad conjunta 33