n x i n y i = 0 ,..., x n u)... exp 1 y 1 y y n u . Demuestre que i=1 Y n

Transcripción

1 47 Capítulo 9 Propiedades de los estimadores putuales y métodos de estimació ii Demuestre que para que esta relació sea idepediete de p, debemos teer x i y i = 0 o x i = y i. iii De acuerdo co el método de Lehma y Scheffé, cuál es el estadístico suficiete míimo para p? Cómo se compara este estadístico suficiete co el estadístico suficiete deducido e el Ejemplo 9.6 usado el criterio de factorizació? b Cosidere la desidad de Weibull estudiada e el Ejemplo 9.7. i Demuestre que L (x, x,..., x u)... L (y, y,..., y u) = x x x exp y y... y u x i y i. ii Demuestre que Y i es u estadístico suficiete míimo para u. *9.67 Cosulte el Ejercicio Supoga que se toma ua muestra de tamaño de ua població ormal co media m y variaza s. Demuestre que Y i, y Y i cojutamete forma estadísticos suficietes míimos para m y s. *9.68 Supoga que u estadístico U tiee ua fució de desidad de probabilidad que es positiva e el itervalo a u b y supoga que la desidad depede de u parámetro u que puede variar e el itervalo a u a. Supoga tambié que g(u) es cotiua para u e el itervalo [a, b]. Si E [(g(u) u] = 0 para toda u e el itervalo [a, a ] implica que g(u) sea idéticamete cero, etoces se dice que la familia de fucioes de desidad {f U (u u), a u a } está completa. (Todos los estadísticos que empleamos e la Secció 9.5 tiee familias completas de fucioes de desidad.) Supoga que U es u estadístico suficiete para u, y g (U) y g (U) so estimadores isesgados de u. Demuestre que, si la familia de fucioes de desidad para U está completa, g (U) debe ser igual a g (U), y etoces hay ua fució úica de U que es u estimador isesgado de u. Acoplada co el teorema de Rao Blackwell, la propiedad de completabilidad de f U (u u), juto co la suficiecia de U, asegura que hay u estimador isesgado úico de variaza míima (UMVUE) de u. 9.6 Método de mometos E esta secció estudiaremos uo de los métodos más atiguos para obteer estimadores putuales: el método de mometos. U método más refiado, el de verosimilitud máxima, es el tema de la Secció 9.7. El método de mometos es u procedimieto muy secillo para hallar u estimador para uo o más parámetros poblacioales. Recuerde que el k-ésimo mometo de ua variable aleatoria, tomado alrededor del orige, es m k = E(Y k ). El correspodiete k-ésimo mometo muestral es el promedio m k = Y k i. El método de mometos está basado e la idea de que los mometos muestrales debe dar bueas estimacioes de los mometos poblacioales correspodietes.

2 9.6 Método de mometos 473 Es decir, m k debe ser u bue estimador de m k, para k =,,... Etoces, debido a que los mometos poblacioales m, m,...,m k so fucioes de los parámetros poblacioales, podemos igualar los correspodietes mometos poblacioales y muestrales y despejar los estimadores deseados. E cosecuecia, el método de mometos se puede expresar como sigue. Método de mometos Escoja como estimacioes los valores de los parámetros que so solucioes de las ecuacioes m k = m k,, para k =,,..., t, dode t es el úmero de parámetros por estimar. EJEMPLO 9. Solució Ua muestra aleatoria de observacioes, Y, Y,..., Y se seleccioa de ua població e la que Y i, para i =,,...,, posee ua fució de desidad de probabilidad uiforme e el itervalo (0, u) dode u es descoocida. Use el método de mometos para estimar el parámetro u. El valor de m para ua variable aleatoria uiforme es m = m = u. El correspodiete primer mometo muestral es m = Y i = Y. Igualado la població correspodiete y el mometo muestral, obteemos m = u = Y. El estimador que se obtiee mediate el método de mometos para u es la solució de la ecuació aterior. Esto es, û = Y. Para las distribucioes que cosideramos e este texto, los métodos de la Secció 9.3 se puede utilizar para demostrar que los mometos muestrales so estimadores cosistetes de los mometos poblacioales correspodietes. Debido a que los estimadores obteidos co el método de mometos obviamete so fucioes de los mometos muestrales, suele ser estimadores cosistetes de sus respectivos parámetros. EJEMPLO 9. Solució Demuestre que el estimador û = Y, ecotrado e el Ejemplo 9., es u estimador cosistete para u. E el Ejemplo 9., demostramos que û = Y es u estimador isesgado para u y que V (û) = u / 3. Como lím S q V (û) = 0, el Teorema 9. implica que û = Y es u estimador cosistete para u.

3 474 Capítulo 9 Propiedades de los estimadores putuales y métodos de estimació Au cuado el estimador û obteido e el Ejemplo 9. es cosistete, o es ecesariamete el mejor estimador para u. De hecho, el criterio de factorizació da Y () = máx(y, Y,..., Y ) como el mejor estadístico suficiete para u. Etoces, de acuerdo co el teorema de Rao Blackwell, el estimador que se obtega mediate el método de mometos tedrá variaza más grade que u estimador isesgado basado e Y (). De hecho, se demostró que este es el caso e el Ejemplo 9.. EJEMPLO 9.3 Solució Ua muestra aleatoria de observacioes Y, Y,..., Y, se seleccioa de ua població e la que Y i, para i =,,...,, posee ua fució de desidad de probabilidad gamma co parámetros a y b (véase la Secció 4.6 para la fució de desidad de probabilidad gamma). Ecuetre los estimadores por el método de mometos para los parámetros descoocidos a y b. Debido a que buscamos estimadores para dos parámetros a y b, debemos igualar dos pares de mometos poblacioales y muestrales. Los primeros dos mometos de la distribució gamma co parámetros a y b so (si es ecesario, vea al fial de este libro) m = m = ab y m = s + m = ab + a b. Ahora iguale estas catidades co sus correspodietes mometos muestrales y despeje â y bˆ. Así, m = ab = m = Y, m = ab + a b = m = De la primera ecuació, obteemos ˆb = Y / â. Sustituyedo e la seguda ecuació y despejado a, ˆ, obteemos â = Y Y i / Y = Sustituyedo â e la primera ecuació, obteemos Y i. Y (Y i Y ). ˆb = Y â = (Y i Y ) Y. Los estimadores del método de mometos â y ˆb del Ejemplo 9.3 so cosistetes. Y coverge e probabilidad e E(Y i ) = ab y (/ ) Y i coverge e probabilidad e E(Yi ) = ab + a b. Por lo tato, â = Y Y i Y es u estimador cosistete de (ab) ab + a b (ab) = a, y ˆb = Y â es u estimador cosistete de ab a = b.

4 Ejercicios 475 Usado el criterio de factorizació podemos demostrar que Y i y el producto Y i so estadísticos suficietes para la fució de desidad gamma. Como los estimadores del método de mometos aˆ y ˆb o so fucioes de estos estadísticos suficietes, podemos hallar más estimadores eficietes para los parámetros a y b. No obstate, es cosiderablemete más difícil aplicar otros métodos para hallar estimadores de estos parámetros. Para resumir, el método de mometos permite geerar estimadores de parámetros descoocidos al igualar los correspodietes mometos muestrales y poblacioales. El método es fácil de emplear y proporcioa estimadores cosistetes, pero los estimadores obteidos por este método e ocasioes o so fucioes de estadísticos suficietes. E cosecuecia, es frecuete que los estimadores del método de mometos o sea eficietes y e muchos casos sea sesgados. Las virtudes básicas de este método so su facilidad de aplicació y que a veces proporcioa estimadores co propiedades razoables. Ejercicios 9.69 Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de la fució de desidad de probabilidad f (y u) = (u + )yu, 0 < y < u >, 0, e cualquier otro puto. Ecuetre u estimador para u por el método de mometos. Demuestre que el estimador es cosistete. El estimador es ua fució del estadístico suficiete l(y i) que podemos obteer del criterio de factorizació? Qué implicacioes tiee esto? 9.70 Supoga que Y, Y,..., Y costituye ua muestra aleatoria de ua distribució de Poisso co media l. Ecuetre el estimador del método de mometos para l. 9.7 Si Y, Y,..., Y deota ua muestra aleatoria de la distribució ormal co media coocida m = 0 y variaza descoocida s, ecuetre el estimador de s por el método de mometos. 9.7 Si Y, Y,..., Y deota ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s, ecuetre los estimadores de m y s por medio del método de mometos Ua ura cotiee u bolas egras y N u bolas blacas. Ua muestra de bolas se ha de seleccioar si restitució. Sea Y el úmero de bolas egras de la muestra. Demuestre que (N/)Y es el estimador del método de mometos para u Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de la fució de desidad de probabilidad dada por f (y u) = u (u y), 0 y u, 0, e cualquier otro puto. a Ecuetre u estimador para u usado el método de mometos. b Este estimador es u estadístico suficiete para u? 9.75 Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de la fució de desidad de probabilidad dada por f (y u) = u) [ ] (yu )( y) u, u 0 y, 0, e cualquier otro puto. Ecuetre el estimador de u por el método de mometos.

5 476 Capítulo 9 Propiedades de los estimadores putuales y métodos de estimació 9.76 Sea X, X,..., X variables aleatorias de Beroulli idepedietes tales que P (X i =) = p y P (X i = 0) = p para cada i =,, 3, Co la variable aleatoria Y deote el úmero de itetos ecesario para obteer el primer éxito, es decir, el valor de i para el cual X i = ocurre primero. Etoces Y tiee ua distribució geométrica co P (Y = y) = ( p) y p, para y =,, 3, Ecuetre el estimador del método de mometos para p basado e esta úica observació de Y Sea Y, Y,..., Y variables aleatorias uiformes idepedietes y distribuidas idéticamete e el itervalo (0, 3u). Deduzca el estimador del método de mometos para u Sea Y, Y,..., Y variables aleatorias idepedietes y distribuidas idéticamete de ua familia de distribució de potecias co parámetros a y u = 3. Etoces, como e el Ejercicio 9.43, si a > 0, f (y a) = aya / 3 a, 0 y 3, 0, e cualquier otro puto.. Demuestre que E (Y ) = 3a/(a + ) y deduzca el estimador del método de mometos para a. *9.79 Sea Y, Y,..., Y variables aleatorias idepedietes y distribuidas idéticamete de ua distribució de Pareto co parámetros a y b, dode b es coocida. Etoces, si a > 0, f (y a, b) = aba y (a+), y b, 0, e cualquier otro puto. Demuestre que E (Y i ) = ab/(a ) si a > y E (Y i ) o está defiida si 0 < a <. Etoces, el estimador del método de mometos para a o está defiido. 9.7 Método de máxima verosimilitud E la Secció 9.5 presetamos u método para obteer u estimador isesgado de variaza míima (MVUE) por u parámetro objetivo: usado el criterio de factorizació juto co el teorema de Rao Blackwell. El método requiere que ecotremos algua fució de u estadístico suficiete míimo que es u estimador isesgado para el parámetro objetivo. Au cuado teemos u método para hallar u estadístico suficiete, la determiació de la fució del estadístico suficiete míimo que proporcioa u estimador isesgado puede ser e gra medida ua cuestió de azar. La Secció 9.6 cotiee ua exposició del método de mometos. El método de mometos es ituitivo y fácil de aplicar, pero por lo geeral o lleva a los mejores estimadores. E esta secció presetamos el método de máxima verosimilitud que co frecuecia proporcioa estimadores isesgados de variaza míima (MVUE). Usamos u ejemplo para ilustrar la lógica e la que está basado el método de máxima verosimilitud. Supoga que teemos ua caja que cotiee tres pelotas. Sabemos que cada ua de las pelotas puede ser roja o blaca, pero o sabemos el úmero total de cualquiera de los colores. No obstate, podemos muestrear aleatoriamete dos de las pelotas si restitució. Si uestra muestra aleatoria cotiee dos pelotas rojas, cuál sería ua buea estimació del úmero total de pelotas rojas e la caja? Obviamete, el úmero de pelotas rojas e la caja debe ser dos o tres (si hubiera cero o ua pelota roja e la caja, sería imposible obteer dos pelotas rojas cuado se hace muestreo si restitució). Si hay dos pelotas rojas y ua pelota blaca e la caja, la probabilidad de seleccioar aleatoriamete dos pelotas rojas es 3 0 = 3.

6 9.7 Método de máxima verosimilitud 477 Por otra parte, si hay tres pelotas rojas e la caja, la probabilidad de seleccioar aleatoriamete dos pelotas rojas es 3 =. 3 Parece razoable escoger el tres como la estimació del úmero de pelotas rojas e la caja porque esta estimació maximiza la probabilidad de obteer la muestra observada. Desde luego que es posible que la caja cotega sólo dos pelotas rojas, pero el resultado observado cofiere más crédito a que haya tres pelotas rojas e la caja. Este ejemplo ilustra u método para hallar u estimador que puede aplicarse a cualquier situació. La técica, llamada método de máxima verosimilitud, seleccioa como estimacioes los valores de los parámetros que maximiza la verosimilitud (la fució de probabilidad cojuta o fució de desidad cojuta) de la muestra observada (vea la Defiició 9.4). Recuerde que os referimos a este método de estimació e el Capítulo 3 dode, e los Ejemplos 3.0 y 3.3 y e el Ejercicio 3.0, ecotramos las estimacioes de máxima verosimilitud del parámetro p co base e observacioes idividuales e variables aleatorias biomiales egativas, biomiales y geométricas, respectivamete. Método de máxima verosimilitud Supoga que la fució de verosimilitud depede de k parámetros u, u,..., u k. Escoja como estimacioes los valores de los parámetros que maximice la verosimilitud L (y, y,..., y u, u,...,u k ). Para destacar el hecho de que la fució de verosimilitud es ua fució de los parámetros u, u,..., u k, a veces expresamos la fució de verosimilitud como L(u, u,..., u k ). Es comú referiros a estimadores de máxima verosimilitud como a los MLE, por sus siglas e iglés. Ilustramos el método co u ejemplo. EJEMPLO 9.4 U experimeto biomial cosistete e esayos resultó e las observacioes y, y,..., y, dode y i = si el i-ésimo iteto fue u éxito y y i = 0 e cualquier otro puto. Ecuetre el MLE de p, la probabilidad de u éxito. Solució La verosimilitud de la muestra observada es la probabilidad de observar y, y,..., y. E cosecuecia, L ( p) = L (y, y,..., y p) = p y ( p) y, dode y = y i. Ahora deseamos determiar el valor de p que maximice L (p). Si y = 0, L (p) = ( p) y L (p) se maximiza cuado p = 0. Aálogamete, si y =, L ( p) = p y L ( p) se maximiza cuado p =. Si y =,,...,, etoces L (p)= p y ( p) y es cero cuado p = 0 y p = y es cotiua para valores de p etre 0 y. Etoces, para y =,,...,, podemos determiar el valor de p que maximice L (p) al igualar a cero la derivada d L (p)/d p y despejado p. Usted otará que l[l (p)] es ua fució creciete e forma mootóica de L (p). E cosecuecia, tato l[l (p)] como L (p) se maximiza para el mismo valor de p. Como L (p) es u

7 478 Capítulo 9 Propiedades de los estimadores putuales y métodos de estimació producto de fucioes de p y hallar la derivada de productos resulta laborioso, es más fácil hallar el valor de p que maximice l[l (p)]. Teemos l[l( p)] = l p y ( p) y = y l p + ( y) l( p). Si y =,,...,, la derivada de l[l (p)] co respecto a p, es d l[l ( p)] dp = y p + ( y) p. Para y =,,...,, el valor de p que maximice (o miimice) l[l (p)] es la solució de la ecuació y ˆp y ˆp = 0. Resolviedo, obteemos la estimació ˆp = y/. Se puede verificar fácilmete que esta solució se preseta cuado l[l (p)] [y por tato L (p)] alcaza u máximo. Debido a que L (p) se maximiza e p = 0 cuado y = 0, e p = cuado y = y e p = y/ cuado y =,,...,, cualquiera que sea el valor observado de y, L (p) se maximiza cuado p = y/. El MLE, ˆp = Y/, es la fracció de éxitos e el úmero total de itetos. Por tato, el MLE de p es e realidad el estimador ituitivo para p que usamos e todo el Capítulo 8. EJEMPLO 9.5 Solució Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s. Ecuetre los estimadores de máxima verosimilitud (MLE) de m y s. Como Y, Y,..., Y so variables aleatorias cotiuas, L (m, s ) es la desidad cojuta de la muestra. Así, L (m, s ) = f (y, y,..., y m, s ). E este caso, L(m, s ) = f (y, y,..., y m, s ) = f (y m, s ) f (y m, s )... f (y m, s ) =... s p exp (y m) s = ps / exp s (y i m). [Recuerde que exp(w) es sólo otra forma de escribir e w.] Además, l L(m, s ) = l s l p s s p exp (y m) s (y i m). Los MLE de m y s so los valores que hace l[l (m, s ) u máximo. Evaluado derivadas co respecto a m y s, obteemos {l[l(m, s )]} = (y m s i m)

8 9.7 Método de máxima verosimilitud 479 y {l[l(m, s )]} s = + s s 4 (y i m). Igualado a cero estas derivadas y resolviedo simultáeamete, obteemos de la primera ecuació (y ŝ i ˆm) = 0, o y i ˆm = 0, y m ˆ = y i = y. Sustituyedo y por ˆm e la seguda ecuació y despejado ŝ, teemos ṋ s + ŝ 4 (y i y) = 0, o ŝ = (y i y). Etoces, Y y ŝ = (Y i Y ) so los MLE de m y s, respectivamete. Observe que Y es isesgada para m. Au cuado ŝ o está isesgada para s, se puede ajustar fácilmete al estimador isesgado S (vea el Ejemplo 8.). EJEMPLO 9.6 Solució Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de observacioes de ua distribució uiforme co fució de desidad de probabilidad f (y i u) = /u, para 0 y i u e i =,,...,. Ecuetre el MLE de u. E este caso, la verosimilitud está dada por L(u) = f (y, y,..., y u) = f (y u) f (y u)... f (y u)... = u u u = u, si 0 y i u, i =,,...,, 0, e cualquier otro puto. Obviamete, L(u) o está maximizado cuado L(u) = 0. Usted otará que /u es ua fució de u que decrece e forma mootóica. Por tato, e igua parte del itervalo 0 < u < q es d[/u ]/du igual a cero. No obstate, /u aumeta cuado u dismiuye y /u se maximiza al seleccioar u ta pequeña como sea posible, sujeto a la restricció de que todos los valores de y i esté etre 0 y u. El valor más pequeño de u que satisface esta restricció es la máxima observació del cojuto y, y,..., y. Esto es, û = Y () = máx(y, Y,..., Y ) es el MLE para u. Este MLE para u o es u estimador isesgado de u, pero se puede ajustar para ser isesgado, como se muestra e el Ejemplo 9.. Hemos visto que los estadísticos suficietes que mejor resume los datos tiee propiedades deseables y co frecuecia se puede usar para determiar u estimador isesgado de variaza míima (MVUE) para parámetros de iterés. Si U es cualquier estadístico suficiete para la estimació de u parámetro u, icluyedo el estadístico suficiete obteido del uso óptimo del criterio de factorizació, el MLE es siempre algua fució de U. Esto es, el MLE depede de las observacioes muestrales sólo mediate el valor de u estadístico suficiete.

9 480 Capítulo 9 Propiedades de los estimadores putuales y métodos de estimació Para demostrar esto, sólo ecesitamos observar que si U es u estadístico suficiete para u, el criterio de factorizació (Teorema 9.4) implica que la verosimilitud puede ser factorizada como L(u) = L(y, y,..., y u) = g(u, u) h(y, y,..., y ), dode g (u, u) es ua fució de sólo u y u y h (y, y,..., y ) o depede de u. Por tato, se deduce que l[l(u) ] = l[g (u, u) ] + l[h (y, y,..., y )]. Observe que l[h (y, y,..., y )] o depede de u y por tato maximizar l[l (u)] co respecto a u es equivalete a maximizar l[g (u, u)] co respecto a u. Como l[g (u, u)] depede de los datos sólo mediate el valor del estadístico suficiete U, el MLE para u es siempre algua fució de U. E cosecuecia, si u MLE para u parámetro se puede hallar y luego ajustar para ser isesgado, el estimador resultate es co frecuecia u MVUE del parámetro e cuestió. Los MLE tiee alguas propiedades adicioales que hace que este método de estimació sea particularmete atractivo. E el Ejemplo 9.9 cosideramos la estimació de u, ua fució del parámetro u. Fucioes de otros parámetros tambié puede ser de iterés. Por ejemplo, la variaza de ua variable aleatoria biomial es p ( p), ua fució del parámetro p. Si Y tiee ua distribució de Poisso co media l, se deduce que P(Y = 0) = e l ; podemos desear calcular esta fució de l. E geeral, si u es el parámetro asociado co ua distribució, e ocasioes estamos iteresados e calcular algua fució de u, por ejemplo t(u), e lugar de u misma. E el Ejercicio 9.94 usted demostrará que si t(u) es ua fució biuívoca de u y si û es el MLE para u, etoces el MLE de t(u) está dado por t(u) = t(û). Este resultado, a veces coocido como la propiedad de ivariaza de los MLE, tambié se cumple para cualquier fució de u parámetro de iterés (o sólo fucioes biuívocas). Véase más detalles e la obra de Casella y Berger (00). EJEMPLO 9.7 Solució E el Ejemplo 9.4, ecotramos que el estimador de máxima verosimilitud (MLE) de ua proporció biomial p está dado por ˆp = Y/. Cuál es el MLE para la variaza de Y? La variaza de ua variable aleatoria biomial Y está dada por V (Y) = p ( p). Como V (Y) es ua fució del parámetro biomial p, por ejemplo, V(Y) = t(p) co t(p) = p ( p), se deduce que el MLE de V(Y) está dado por V (Y ) = t( p) = t( ˆp) = Y Y. Este estimador o está isesgado, pero, usado el resultado del Ejercicio 9.65, podemos fácilmete ajustarlo para hacerlo isesgado. E realidad, Y Y = Y Y es el estimador isesgado úico de variaza míima (UMVUE) para t(p) = p( p).

10 Ejercicios 48 E la siguiete secció (opcioal), resumimos alguas de las propiedades útiles y coveietes de los MLE co muestras grades. Ejercicios 9.80 Supoga que Y, Y,..., Y deota ua muestra aleatoria de la distribució de Poisso co media l. a Ecuetre el MLE ˆl para l. b Ecuetre el valor esperado y la variaza de ˆl. c Demuestre que el estimador del iciso a es cosistete para l. d Cuál es el MLE para P(Y = 0) = e l? 9.8 Supoga que Y, Y,..., Y deota ua muestra aleatoria de ua població distribuida expoecialmete co media u. Ecuetre el MLE de la variaza poblacioal u. [Sugerecia: recuerde el Ejemplo 9.9.] 9.8 Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de la fució de desidad dada por f (y u) = ry r e yr /u, u > 0, y > 0, u 0, e cualquier otro puto, dode r es ua costate positiva coocida. a Ecuetre u estadístico suficiete para u. b Ecuetre el MLE de u. c El estimador del iciso b es u MVUE para u? 9.83 Supoga que Y, Y,..., Y costituye ua muestra aleatoria de ua distribució uiforme co fució de desidad de probabilidad f (y u) =, u + 0 y u +, 0, e cualquier otro puto. a Obtega el MLE de u. b Obtega el MLE para la variaza de la distribució subyacete Cierto tipo de compoete electróico tiee ua duració Y (e horas) co fució de desidad de probabilidad dada por f (y u) = u ye y/u, y > 0, 0, e cualquier otro puto. Esto es, Y tiee ua distribució gamma co parámetros a = y u. Co û deote el MLE de u. Supoga que tres de tales compoetes, probados idepedietemete, tuviero duracioes de 0, 30 y 8 horas. a Ecuetre el MLE de u. b Ecuetre E(û) y V (û). c Supoga que u e realidad es igual a 30. Proporcioe u límite aproximado que pudiera esperarse para el error de estimació. d Cuál es el MLE para la variaza de Y?

11 48 Capítulo 9 Propiedades de los estimadores putuales y métodos de estimació 9.85 Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de la fució de desidad dada por dode a > 0 es coocida. f (y a, u) = y a e y/u, y > 0, a a u 0, e cualquier otro puto, a Ecuetre el MLE û de u. b Ecuetre el valor esperado y la variaza de û. c Demuestre que û es cosistete para u. d Cuál es el mejor (míimo) estadístico suficiete para u e este problema? e Supoga que = 5 y a =. Use el míimo estadístico suficiete para costruir u itervalo de cofiaza de 90% para u. [Sugerecia: trasforme e ua distribució x.] 9.86 Supoga que X, X,..., X m, que represeta la producció por acre para la variedad A de maíz, costituye ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s. Tambié, Y, Y,..., Y, que represeta la producció para la variedad B de maíz, costituye ua muestra aleatoria de ua distribució ormal co media m y variaza s. Si las X y las Y so idepedietes, ecuetre el MLE para la variaza comú s. Supoga que m y m so descoocidas Ua muestra aleatoria de 00 votates seleccioados de ua població grade reveló que 30 está a favor del cadidato A, 38 a favor del cadidato B y 3 a favor del cadidato C. Ecuetre los MLE para las proporcioes de votates e la població que está a favor de los cadidatos A, B y C, respectivamete. Calcule la diferecia etre las fraccioes que está a favor de A y B y poga u límite de desviació estádar de e el error de estimació Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de la fució de desidad de probabilidad f (y u) = (u + )yu, 0 < y <, u >, 0, e cualquier otro puto. Ecuetre el MLE para u. Compare su respuesta co el estimador del método de mometos hallado e el Ejercicio Se sabe que la probabilidad p de obteer ua cara al lazar al aire ua moeda desbalaceada es /4 o 3/4. La moeda es lazada dos veces al aire y se observa u valor para Y, el úmero de caras. Para cada valor posible de Y, cuál de los dos valores para p (/4 o 3/4) maximiza la probabilidad de que Y = y? Depediedo del valor de y observado realmete, cuál es el MLE de p? 9.90 Veiticico hombres que forma parte de ua muestra aleatoria de 00 hombres está a favor de ua cotrovertida propuesta. De ua muestra aleatoria idepediete de 00 mujeres, u total de 30 estaba a favor de la propuesta. Supoga que p M es la verdadera proporció subyacete de hombres que está a favor de la propuesta y que p W es la verdadera proporció subyacete de mujeres que está a favor de la propuesta. Si e realidad es cierto que p W = p M = p, ecuetre el MLE de la proporció comú p. *9.9 Ecuetre el MLE de u co base e ua muestra aleatoria de tamaño de ua distribució uiforme e el itervalo (0, u). *9.9 Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de ua població co fució de desidad f (y u) = 3y u, 3 0 y u, 0, e cualquier otro puto. E el Ejercicio 9.5 se demostró que Y () = máx(y, Y,..., Y ) es suficiete para u. a Ecuetre el MLE para u. [Sugerecia: vea el Ejemplo 9.6.] b Ecuetre ua fució del MLE e el iciso a que sea ua catidad pivote. [Sugerecia: vea el Ejercicio 9.63.] c Use la catidad pivote del iciso b para determiar u itervalo de cofiaza de 00( a)% para u.

12 9.8 Alguas propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud co muestras grades 483 *9.93 Sea Y, Y,..., Y ua muestra aleatoria de ua població co fució de desidad u f (y u) = y, 3 u < y < q, 0, e cualquier otro puto. E el ejercicio 9.53 se demostró que Y () = mí(y, Y,..., Y ) es suficiete para u. a Ecuetre el MLE para u. [Sugerecia: véase el ejemplo 9.6.] b Ecuetre ua fució del MLE obteido e el iciso a que sea ua catidad pivote. c Utilice la catidad pivote obteida e el iciso b para ecotrar u itervalo de cofiaza de 00 ( a)% para u. *9.94 Supoga que û es el MLE para u parámetro u. Sea t(u) ua fució de u que posee ua iversa úica [es decir, si b = t(u), etoces u = t (b)]. Demuestre que t(û) es el MLE de t(u). *9.95 Ua muestra aleatoria de piezas se seleccioa de etre u úmero grade de piezas producidas por cierta líea de producció e u día. Ecuetre el MLE de la relació R, la proporció de piezas defectuosas dividida etre la proporció de piezas bueas Cosidere ua muestra aleatoria de tamaño de ua població ormal co media m y variaza s, pero descoocida. Deduzca el MLE de s La fució de masa de probabilidad geométrica está dada por p (y p) = p ( p) y, y =,, 3,... Ua muestra aleatoria de tamaño se toma de ua població co ua distribució geométrica. a Ecuetre el estimador del método de mometos para p. b Ecuetre el estimador de máxima verosimilitud (MLE) para p. 9.8 Alguas propiedades de los estimadores de máxima verosimilitud co muestras grades (opcioal) Los estimadores de máxima verosimilitud tambié tiee propiedades iteresates cuado se trabaja co muestras grades. Supoga que t(u) es ua fució derivable de u. E la Secció 9.7 afirmamos por la propiedad de ivariaza que si û es el MLE de u, etoces el MLE de t(u) está dado por t(û). E alguas codicioes de regularidad que se cumple para las distribucioes que cosideraremos, t(û) es u estimador cosistete para t (u). Además, para tamaños muestrales grades, t(û) t(u) Z = t(u) u E l f (Y u) u tiee aproximadamete ua distribució ormal estádar. E esta expresió, la catidad f (Y u) del deomiador es la fució de desidad correspodiete a la distribució cotiua de iterés, evaluada e el valor aleatorio Y. E el caso discreto, el resultado aálogo se cumple co la fució de probabilidad evaluada e el valor aleatorio Y, p (Y u) se sustituye por la desidad f (Y u). Si deseamos u itervalo de cofiaza para t (u), podemos usar a Z como la catidad pivote. Si cotiuamos como e la Secció 8.6, obteemos el siguiete itervalo de