VP = 1 VF. Anualidad: conjunto de pagos iguales realizados a intervalos iguales de tiempo.

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1 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes UNIDAD II. FACTORES USADOS EN LA INGENIERÍA ECONÓMICA Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Saber: Descrbr los factores de valores presente, futuro, gradentes artmétcos geométrco y seres unformes, tasas de nterés, nomnales y efectvas y requstos para la utlzacón de modelos computaconales Hacer: Calcular los factores económcos, tasas de nterés desconocdas, nomnales y efectvas, número de perodos, utlzando modelos computaconales para la posteror evaluacón de alternatvas. Factores de equvalenca A contnuacón veremos factores de equvalenca mas usados. Factor de cantdad compuesta de pago únco. Este factor sale de la ecuacón de nterés compuesto vsta en temas pasados, la cual tene la sguente estructura: MC 1 ( + ) n Dado que el monto se le conoce como valor futuro y el captal como valor presente podemos defnr la sguente ecuacón: VFVP 1 ( + ) n Dado que se realza un solo pago (VF) a partr de una deuda únca (VP) bajo una tasa de nterés () podemos defnr el sguente factor o razón VF/VP: Ahora de forma nversa obtenemos: VP 1 VF ( + ) -n FACTOR DE VALOR PRESENTE DE PAGO ÚNICO (VP/VF,, n) Factores de equvalenca para seres de pagos unformes. Para pagos guales en el tempo, podemos defnr dos grupos: los pagos antcpados y los vencdos; ambos se conocen como anualdades Anualdad: conjunto de pagos guales realzados a ntervalos guales de tempo. No necesaramente se refere a perodos anuales, se ha conservado el nombre de anualdad por costumbre en dchas operacones; pero ejemplos de anualdades son: Pagos mensuales por la renta de un local o departamento Cobro quncenal de sueldos Pagos anuales a las pólzas de seguro Intervalo o perodo de pago: tempo que transcurre entre un pago y otro. Plazo: Tempo que trascurre entre el prmer pago y el últmo. Tpos de anualdades. La varacón en los elementos de las anualdades hace que exstan dferentes tpos de ellas, por lo tanto se clasfcan de la sguente manera. VF 1 VP ( + ) n FACTOR DE VALOR FUTURO DE PAGO ÚNICO (VF/VP,, n) Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 1

2 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Crtero Tpo Descrpcón Tempo (fecha de nco y fn) Certas Anualdades certas. Sus fechas son fjas y se estpulan de antemano. Ejemplo: al realzar una compra a crédto se fja tanto la fecha en que se debe hacer el prmer pago, como la fecha para efectuar el últmo pago. Contngentes Anualdad contngente. La fecha del prmer pago, la fecha del últmo pago, o ambas no se fjan de antemano. Ejemplo: Una renta vtalca que se oblga a un cónyuge tras la muerte del otro. El nco de la renta se da al morr el cónyuge, que no se sabe exactamente cuándo. Intereses Generales Anualdad general. Son aquellas que el perodo de pago no concde con el perodo de captalzacón. Ejemplo: el pago de una renta semestral con ntereses al 30% anual captalzable trmestralmente. Smples Anualdad smple. Cuando el perodo de pago concde con el de captalzacón de los ntereses. Ejemplo: el pago de una renta mensual con ntereses al 18% captalzable mensualmente. Pagos Vencdas Anualdad vencda. Las anualdades vencdas u ordnaras son aquellas en que los pagos se efectúan a su vencmento, es decr, al fnal de cada perodo. Antcpadas Antcpadas. Los pagos se efectúan al prncpo de cada perodo. Incacón Inmedatas Anualdades nmedatas. Es el caso más común. La realzacón de los cobros o pagos tene lugar en al perodo nmedatamente sguente a la formalzacón del trato. Ejemplo: se compra un artculo a crédto hoy, que se va a pagar con mensualdades, la prmera de las cuales habrá de realzarse en ese momento o un mes después de adqurda la mercancía (puede ser así, antcpada o vencda). Dferdas Dferdas. La realzacón de los cobros o pagos se hace tempo después de la formalzacón del trato (se pospone). Ejemplo: Se adquere hoy un artculo a crédto para pagar con abonos mensuales; el prmer pago habrá de hacerse 6 meses después de adqurda la mercancía. Dado que entre cada tpo de crtero de clasfcacón (tempo, ntereses, pagos, ncacón) no son mutuamente excluyentes; la dversdad de anualdades puede ser de la sguente manera: Anualdades Smples Generales Certas Contngentes Certas Contngentes Vencdas Antcpadas Vencdas Antcpadas Vencdas Antcpadas Vencdas Antcpadas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Inmedatas Dferdas Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 2

3 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Las anualdades vencdas son aquellas que sus pagos guales ocurren al fnalzar cada perodo, un dagrama de flujo de caja de dchas anualdades se muestra a contnuacón: Las anualdades antcpadas ocurren al nco de cada perodo de tempo, el dagrama de flujo de caja de estas anualdades es el sguente: La ecuacón que relacona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualzado (R), una tasa de nterés () además de una cantdad determnada de perodos de tempo (n) es: Para anualdades smples, certas, vencdas e nmedatas: ( 1+) n La ecuacón que en lugar del Monto relacona el captal (C) o valor presente, con el pago anualzado (R), una tasa de nterés () además de una cantdad determnada de perodos de tempo (n) es: 1 ( 1+ ) -n CR Donde R representa cada pago y los números en el eje horzontal son los perodos de tempo transcurrdos. La ecuacón que relacona un valor futuro o Monto (M) con el valor del pago anualzado (R), una tasa de nterés () además de una cantdad determnada de perodos de tempo (n) es: Para anualdades smples, certas, antcpadas e nmedatas: n ( 1+) ( 1+) Esta ecuacón equvale a la usada para anualdades vencdas, solo que se le añade un perodo (1+) ya que el monto total se captalza un perodo más. En el caso del captal la ecuacón queda: 1 ( 1+ ) -n+1 CR1 + Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 3

4 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Entonces a partr de las ecuacones anterores podemos defnr los sguentes factores: Para anualdades smples, certas, vencdas e nmedatas: ( 1+) n Pasando M VF y R A para ser consstente con el resto de los autores, tenemos: VFA VF A n 1+ n 1+ 1 Invrtendo tenemos: A VF 1+ 1 n FACTOR DE PAGO ÚNICO EN EL FUTURO DE UNA CANTIDAD COMPUESTA PARA UNA SERIE UNIFORME DE PAGOS VENCIDOS (VF/A, %, n) FACTOR DE UNA SERIE UNIFORME DE PAGOS VENCIDOS SOBRE UN PAGO ÚNICO EN EL FUTURO (A/VF, %, n) Relaconándolo con el valor presente, tenemos: 1 ( 1+ ) -n CR Pasando VP C y R A, nos queda: 1 ( 1+ ) -n VPA FACTOR DE PAGO ÚNICO EN EL PRESENTE VP 1 ( 1+ ) -n DE UNA CANTIDAD COMPUESTA PARA UNA A SERIE UNIFORME DE PAGOS VENCIDOS (VP/A, %, n) Invrtendo la ecuacón tenemos: FACTOR DE UNA SERIE UNIFORME DE A PAGOS VENCIDOS SOBRE UN PAGO ÚNICO VP EN EL PRESENTE (A/VP, %, n) -n Cómo quedarían entonces las ecuacones para anualdades vencdas? EL ALUMNO ELABORARÁ LOS FACTORES DE EQUIVALENCIA PARA LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS. Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 4

5 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Para los sguentes ejemplos el alumno calculará los factores de equvalenca que aplquen. Ejemplo 1. Un trabajador deposta $250 en una cuenta de ahorros al nco de cada mes; s dcha cuenta paga 1.3% de nterés mensual captalzable al mes Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año? Solucón: se realza el dagrama de flujo de caja para vsualzar los pagos: R $250 R R R R R R R R R R R R Entonces los datos son: R $250; n, 1.3% mensual captalzable al mes M? Cuando se cumplan los perodos mensuales se cumple el año; por lo cual la susttucón de la ecuacón queda de la sguente forma: n ( 1+) ( 1+) ( ) M250 ( ) $3, Ejemplo 2. Determne el valor del monto al cual equvalen 6 pagos semestrales antcpados de $14,500 s el nterés es del 19% anual captalzable semestralmente. Solucón: Los datos son: M? n 6 R $14,500 19% anual captalzable al semestre n 1+ ( 1+) M$14, $0, Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 5

6 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Ejemplo 3. Un comercante alqula un local para su negoco y acuerda pagar $2,750 de renta por antcpado. Como desearía lberarse del compromso mensual, decde proponer una renta anual antcpada. S los ntereses son del 15.6% anuales convertbles mensualmente Cuánto debería ser la renta anual antcpada? Solucón: C? R$2, % anual captalzable al mes n meses 1 ( 1+ ) -n+1 CR C$2, $30, Ejemplo 4. Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer depóstos bmestrales en una cuenta de nversón que rnde 4.2% bmestral Cuál debe ser el valor de los depóstos s hoy realza el prmero? Solucón: n bmestral M $90,000 R? n ( 1+) 1 ( 1+) Despejando queda: RM ( 1+ ) ( 1+) n RM $90,000 n ( 1+) ( 1+) 1 ( ) ( ) 1 R $5, Ejemplo 5. En un almacén se vende un mueble por $4,600 al contado o medante pagos mensuales antcpados de $511.69; s el nterés es del 29.4% convertble mensualmente Cuántos pagos se requeren hacer? Solucón: C $4,600 R$ % anual convertble mensualmente. n? Se requere despejar el valor de n de la ecuacón: -n+1 1 ( 1+ ) CR1 + -n+1 -n CR C C R -n+1 C +1 ( 1+ ) R -n+1 C ( 1+ ) --1 R -n+1 C ( 1+ ) +1- R -n+1 C Log ( 1+ ) Log +1- R C (-n+1) Log ( 1+ ) Log+1- R C Log +1- R -n+1 Log 1 ( + ) Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 6

7 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes C Log +1- R -n 1 Log 1 ( + ) C Log +1- R n1- Log 1 ( + ) $4, Log +1- $ n Log 1+ Por lo tanto deberían ser 10 pagos. Ejemplo 6. Una persona desea obtener $500,000 medante depóstos mensuales de $1,000 en una cuenta bancara que paga 1.25% mensual; Cuántos pagos o perodos mensuales se requeren para alcanzar dcha suma s el prmer depósto lo hace el día de hoy? Solucón: M $500,000 R$1, % mensual n? n 1+ ( 1+) Ahora hay que despejar el valor de n de la ecuacón mostrada. EL ALUMNO PROPONE LA SOLUCIÓN A ESTE PROBLEMA. Ejemplo 7. A que tasa de nterés anual, 6 depóstos anuales antcpados de $25,000 equvalen a un valor actual de $75,000. Solucón:? n 6 R $25,000 C $75,000 -n+1 CR1 + C 1 + R -n+1 -n C 1 R $75,000 1 $25, Ahora se realza un proceso de teracón, buscando obtener el valor 2. Puede ncar con 0.5 RESPUESTA 0.41 o 41% Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 7

8 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Actvdad 2.1. Factores de equvalenca anualdades antcpadas. Realza los sguentes ejerccos, además calcula los factores de equvalenca que aplquen: 1.- Para un proyecto de construccón se requeren $15,000 al nco de cada mes durante 6 meses que dura la construccón. Cuánto se debe depostar al comenzo de las obras en un banco que paga una tasa de nterés del 23.7% anual compuesto mensualmente? 2.- Cuanto se acumula en una cuenta de ahorros s se realzan 15 depóstos quncenales vencdos de $500 y la tasa de nterés es del 34.5% quncenal? Puede envar el documento fnal por correo electrónco a las sguentes dreccones: y Recuerde envar dcho correo con copa a usted msmo y en asunto colocar 2.1. Factores de equvalenca anualdades antcpadas. 3.- Cuanto debe depostar una persona al nco de cada mes durante 20 meses para que se dsponga de $,000 al fnal del plazo, suponendo que se gana una tasa de nterés del 26% anual captalzable semanalmente. 4.- Se abre una cuenta bancara con un depósto ncal de $8,500 y después deposta la msma cantdad por cada mes transcurrdo; Cuánto logra acumular en dcha cuenta en un año s se le paga una tasa de nterés de 18.24% anual captalzable mensualmente? 5.- Realce el msmo problema anteror, pero el depósto ncal camba ahora a $30, Cuántos pagos antcpados de $ se requeren mensualmente para alcanzar un monto acumulado de $15,000 s el dnero rnde: a) 2.97% de nterés anual captalzable mensualmente b) 2.97% mensual captalzable mensualmente. 7.- Cuántos pagos antcpados de $ se requeren mensualmente para cubrr una deuda ncal de $150,000 s el dnero rnde: a) 2.97% de nterés anual captalzable mensualmente b) 2.97% mensual captalzable mensualmente. 8.- Cuál es la tasa de nterés que se paga en la compra de una computadora que se ofrece medante 96 pagos antcpados quncenales de $285 pesos s su valor de contado es de $17,710.75? Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, sguendo las rúbrcas ndcadas en la dreccón: Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 8

9 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Ejemplo 8. Un trabajador deposta $250 en una cuenta de ahorros al FINAL de cada mes; s dcha cuenta paga 1.3% de nterés mensual captalzable al mes Cuánto habrá ahorrado al cabo de un año? Solucón: se realza el dagrama de flujo de caja para vsualzar los pagos: R $250 R R R R R R R R R R R R Entonces los datos son: R $250; n, 1.3% mensual captalzable al mes Cuando se cumplan los perodos mensuales se cumple el año; por lo cual la susttucón de la ecuacón queda de la sguente forma: ( 1+) n ( ) M250 $3, Ejemplo 9. Determne el valor del monto al cual equvalen 6 pagos semestrales de $14,500 que ocurren al fnal de cada semestre s el nterés es del 19% anual captalzable semestralmente. Solucón: Los datos son: M? n 6 R $14,500 19% anual captalzable al semestre n M$14,500 $110, Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 9

10 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Ejemplo 10. Un comercante alqula un local para su negoco y acuerda pagar un servco prvado de vglanca en $2,750 de renta vencda. Como desearía lberarse del compromso mensual, decde proponer una renta anual antcpada. S los ntereses son del 15.6% anuales convertbles mensualmente Cuánto debería ser la renta anual que debería pagar al nco de cada año? Solucón: C? R$2, % anual captalzable al mes n meses 1 ( 1+ ) -n CR C$2,750 $30, Ejemplo 11. Un trabajador debe pagar $90,000 dentro de 2 años, para lo cual desea hacer depóstos bmestrales en una cuenta de nversón que rnde 4.2% bmestral Cuál debe ser el valor de los depóstos s el prmer pago se hace dentro de un bmestre? Solucón: n bmestral M $90,000 R? ( 1+) n Despejando queda: RM ( 1+ ) n RM $90,000 n ( 1+) 1 ( ) 1 R $5, Ejemplo. En un almacén se vende un mueble por $4,600 al contado o medante pagos mensuales vencdos de $524.23; s el nterés es del 29.4% convertble mensualmente Cuántos pagos se requeren hacer? Solucón: C $4,600 R$ % anual convertble mensualmente. n? Se requere despejar el valor de n de la ecuacón: -n 1 ( 1+ ) CR ( + ) -n -n CR C C R -n C 1 ( 1+ ) R -n C ( 1+ ) -1 R -n C 1 1- R -n C Log ( 1+ ) Log 1- R C -nlog ( 1+ ) Log1- R C Log 1- R -n Log 1 ( + ) Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 10

11 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes C Log 1- R -n Log 1 ( + ) C Log 1- R n- Log 1 ( + ) $4,600 Log1- $ n Log 1+ Por lo tanto deberían ser 10 pagos. Ejemplo 13. Una persona desea obtener $500,000 medante depóstos mensuales de $1,000 en una cuenta bancara que paga 1.25% mensual; Cuántos pagos o perodos mensuales se requeren para alcanzar dcha suma s el prmer depósto lo hace el dentro de un mes a partr del día de hoy? Solucón: M $500,000 R$1, % mensual n? ( 1+) n Ahora hay que despejar el valor de n de la ecuacón mostrada. EL ALUMNO PROPONE LA SOLUCIÓN A ESTE PROBLEMA. Ejemplo 14. A que tasa de nterés anual, 6 depóstos anuales vencdos de $25,000 equvalen a un valor actual de $75,000. Solucón:? n 6 R $25,000 C $75,000 1 ( 1+ ) -n CR C R -n -n C R -6 $75,000 $25, Ahora se realza un proceso de teracón, buscando obtener el valor 2. Puede ncar con 0.5 Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez 11

12 Ingenería Económca Tema 2.1. Factores de equvalenca y seres de gradentes Actvdad 2.2. Factores de equvalenca anualdades vencdas. Realza los sguentes ejerccos y calcula los factores de equvalenca que aplquen: 1.- Para un proyecto de construccón se requeren $15,000 al FINAL de cada mes durante 6 meses que dura la construccón. Cuánto se debe depostar al comenzo de las obras en un banco que paga una tasa de nterés del 23.7% anual compuesto mensualmente? 2.- Cuanto se acumula en una cuenta de ahorros s se realzan 15 depóstos quncenales ANTICIPADOS de $500 y la tasa de nterés es del 34.5% quncenal? Puede envar el documento fnal por correo electrónco a las sguentes dreccones: y Recuerde envar dcho correo con copa a usted msmo y en asunto colocar 2.2. Factores de equvalenca anualdades vencdas. 3.- Cuanto debe depostar una persona al fnal de cada mes durante 20 meses para que se dsponga de $,000 al fnal del plazo, suponendo que se gana una tasa de nterés del 26% anual captalzable semanalmente. 4.- Se abre una cuenta bancara en la que se depostan $8,500 al fnal de cada mes transcurrdo; Cuánto logra acumular en dcha cuenta en un año s se le paga una tasa de nterés de 18.24% anual captalzable mensualmente? 5.- Realce el msmo problema anteror, pero los depóstos camban ahora a $30, Cuántos pagos vencdos de $ se requeren mensualmente para alcanzar un monto acumulado de $15,000 s el dnero rnde: a) 2.97% de nterés anual captalzable mensualmente b) 2.97% mensual captalzable mensualmente. 7.- Cuántos pagos vencdos de $ se requeren mensualmente para cubrr una deuda ncal de $150,000 s el dnero rnde: a) 2.97% de nterés anual captalzable mensualmente b) 2.97% mensual captalzable mensualmente. 8.- Cuál es la tasa de nterés que se paga en la compra de una computadora que se ofrece medante 96 pagos vencdos quncenales de $285 pesos s su valor de contado es de $17,710.75? Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, sguendo las rúbrcas ndcadas en la dreccón: Elaboró: MC. Marcel Ruz Martínez

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