Aplicación de las funciones al estudio de mosaicos y poliedros

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1 Febrero 00,.- licació de las fucioes al estudio de osaicos y oliedros Este artículo resode a la siguiete reguta: Cóo se uede obteer todos los osibles osaicos regulares, los osaicos seirregulares, los oliedros regulares, los risas y atirisas forados co olígoos regulares y los oliedros arquiediaos utilizado sólo coociietos de fucioes corresodietes al currículu de bachillerato y u graficador de fucioes secillo? his aer aswers the followig questio: How ca be obtaied all the ossible regular tessellatios, the seiregular tessellatios, the regular olyhedros, the riss ad atiriss fored with regular olygos ad the archiedea olyhedros? Usig oly kowledge about fuctios corresodig to the high school currículu ad a sile fuctio grahig software. L a ivestigació que se reseta a cotiuació tiee su orige e i fució de director de trabajos de ivestigació realizados or aluos de segudo de bachillerato ( años) de la Couidad utóoa de Cataluya. E dicha couidad, los aluos de º de bachillerato debe cursar la asigatura treball de recerca, la cual cosiste e la realizació de u trabajo idividual de ivestigació dirigido or u tutor. Este trabajo suele durar seis eses aroxiadaete. La elecció del tea de ivestigació o está deteriado a riori y uede ser sugerido tato or los aluos coo or el deartaeto de ateáticas de los cetros. Ua ora habitual es que los deartaetos de ateáticas de los cetros tega que ofrecer a sus aluos ua selecció de osibles teas que erita ua trabajo de ivestigació a los aluos. De esta aera, los deartaetos tiee que reflexioar sobre qué tio de robleas, suscetibles de geerar ua rica ivestigació ateática, uede ser resueltos or los roios aluos bajo la tutela del rofesor ecargado. Este artículo tiee su orige e el diseño revio de uo de dichos trabajos de ivestigació. E cocreto, se retedía averiguar si los aluos de º de bachillerato odría cotestar a la siguiete reguta: Cóo obteer todos los osibles osaicos regulares, los osaicos seirregulares, los oliedros regulares, los risas y atirisas forados co olígoos regulares y los oliedros arquiediaos? ara ello, se teía que cotestar a esta reguta utilizado sólo coociietos ateáticos corresodietes al currículu de la eseñaza o uiversitaria. Es decir, se teía que diseñar u caio que, a artir de los coociietos que se odía suoer a los aluos, eritiera resoder a la reguta aterior. ara resoder a la reguta se diseñó ua estrategia de deostració que artía de los coociietos revios de los aluos sobre fucioes e ilicaba el uso de u graficador de fucioes secillo. ara obteer todos los osibles osaicos regulares, los osaicos seirregulares, los oliedros regulares, los risas y atirisas forados co olígoos regulares y los oliedros arquiediaos hay que estudiar los diferetes casos que se uede dar al cosiderar las caras que cocurre e u vértice, lo cual ilica hallar las solucioes eteras ositivas que cule ua iecuació del tio F(x,..., x ) < 0, o ua ecuació del tio F(x,..., x ) = 0, dode x,..., x idica los lados de los olígoos regulares que cocurre e u vértice. ogaos u ejelo ara ilustrar la afiració aterior. Suogaos que quereos hallar todos los osibles osai- Viceç Fot Moll Uiversitat de arceloa. arceloa.

2 SUM Febrero 00 cos forados or tres olígoos regulares. Co tres olígoos regulares de lados, y resectivaete se ha de culir la siguiete ecuació ara teselar el lao: que silificada queda: Esta igualdad a su vez se uede trasforar e la igualdad siguiete: ++-=0, co lo que se obtiee ua exresió del tio F(x,..., x ) = 0. El úero de icógitas tiee que ser ayor que uesto que co uo o dos olígoos o se uede forar igú osaico i igú oliedro, i uede ser ayor que ya que triágulos equiláteros cocurriedo e u vértice sua ás de 0º. Ua aera de hallar las solucioes de F(x,..., x ) < 0 o de F(x,..., x ) = 0 cosiste e hacer ciertas cosideracioes sobre los olígoos que cocurre e u vértice de aera que e lugar de hallar las solucioes de la iecuació o de la igualdad aterior, tegaos que hallar las solucioes de iecuacioes del tio F(x, y) < 0 o de igualdades del tio F(x, y) = 0. odeos ilustrar esta afiració cotiuado co el ejelo citado ateriorete de los tres olígoos regulares que cocurre e u vértice. Si suoeos que hay dos olígoos iguales ( = ). La igualdad: se covierte e: = = ( ) = ( ) ( ) 0 que es equivalete a + - = 0, es decir F(x, y) = 0. hora bie, utilizado u uto de vista fucioal se uede resolver gráficaete las iecuacioes co dos icógitas. asta alicar la siguiete técica: Dada la iecuació F(x, y) 0, se uede hacer ua artició del cojuto de utos del lao e tres clases:. el cojuto de utos que so solució de F(x, y) = 0,. el cojuto de utos que so solució de F(x, y) < 0,. el cojuto de utos que so solució de F(x, y) > 0. El cojuto de utos que cule F(x, y) = 0 se uede ecotrar haciedo la reresetació gráfica. Los otros dos cojutos de utos tabié se uede hallar sustituyedo x e y or las coordeadas de deteriados utos que o fora arte de la gráfica de F(x, y) = 0. Esta técica de resolució sólo uede utilizarse e la ráctica si teeos osibilidades de reresetar gráficaete F(x,y)=0 co cierta facilidad y raidez. or ejelo, si odeos utilizar u graficador de fucioes coo el agraher. cotiuació alicareos esta técica utilizado las osibilidades gráficas que erite u graficador secillo coo el agraher. El rocediieto que seguireos será estudiar los diferetes casos que se uede dar al cosiderar las caras que cocurre e u vértice, y e cada uevo caso sólo cosiderareos las osibilidades que o ha aarecido al estudiar los casos ateriores. Resolució del roblea lateado utilizado u graficador de fucioes Uo y Dos olígoos e u vértice Co uo o dos olígoos o se uede forar igú osaico i igú oliedro. res olígoos e u vértice Co tres olígoos regulares de lados, y resectivaete se ha de culir la siguiete ecuació ara teselar el lao: ( ) ( ) que silificada queda: = Suogaos que hay dos olígoos iguales ( = ). La igualdad aterior se covierte e: ( ) = 0

3 SUM Febrero 00 que es equivalete a = Si reresetaos la fució? el úero de lados de los dos olígoos iguales () aarece e el eje de ordeadas y el úero de lados del otro olígoo e el eje de abscisas. Los utos de coordeadas eteras que so de la gráfica de la fució os da osibles teselacioes, ietras que los que se ecuetra or debajo de la grafica so osibles oliedros siere que x e y sea ayores o iguales a tres. (,,) Cubo trucado (,,) etraedro trucado (,,) Octaedro trucado (,,) Icosaedro trucado (,,) Dodecaedro trucado x x (,,)Mosaico (,,)Mosaico (,,)Mosaico (,,)Cubo (,,)etraedro (,,)Dodecaedro Ifiitos risas (,,) Si los tres olígoos so iguales aarece las siguietes osibilidades: (,, ) tetraedro, (,, ) cubo y (,, ) dodecaedro. Si de los tres olígoos hay dos iguales y uo diferete, los rieros ha de teer u úero ar de lados. Esta codició ilica eliiar todos los utos de coordeadas eteras co la seguda coordeada u úero iar diferete de la riera coordeada. ara deostrar que las caras iguales o uede ser olígoos de u úero iar de lados cosiderareos riero u caso articular: u hetágoo. E cada vértice del iso cocurre tres caras y, or tato, tres aristas (dos so del hetágoo). Las siete caras que liita co el hetágoo deberá ser, de aera altera, u hetágoo y u olígoo de lados. al coo se observa e la figura siguiete, si eezaos e el vértice y seguios el setido de las agujas del reloj, el hecho de que el úero de lados sea iar obliga a reetir cara e?. ero, or otra arte, la cara? o uede ser i ya que, o habría u vértice o uo. or tato, las dos caras iguales ha de ser olígoos ares. Fácilete se observa que el razoaieto aterior se uede geeralizar a cualquier olígoo iar. La gráfica os erite ver que, adeás del gruo de los tres sólidos latóicos co tres olígoos cocurriedo e u vértice (tetraedro, cubo y dodecaedro), aarece u gruo de olígoos seirregulares corresodiete a la failia de los trucados. E los vértices de estos oliedros cocurre tres olígoos y se obtiee físicaete de los oliedros regulares trucado or los vértices. abié odeos observar que hay tres solucioes que so osaicos. Ua corresode a u osaico regular (,, ) y las otras dos corresode a osaicos seirregulares (,, y,, ). or últio, aarece la failia ifiita de los risas regulares. Gráficaete se ve que hay ifiitas solucioes uesto que la recta y = es ua asítota horizotal de la fució. Cosidereos ahora el caso de tres olígoos diferetes: = Suogaos u valor fijo y rereseteos la fució ara u valor fijado reviaete de, los utos de coordeadas eteras os da los dos olígoos que juto al olígoo de lados cocurre e u vértice y sua 0º, los utos que se ecuetra e la arte iferior de la grafica os da ua sua iferior a 0º. E esta gráfica los resultados se reite ya que el uto (, ) os ifora que si e u vértice cocurre u olígoo de lados, u hexágoo y u decágo- x ( ) x

4 SUM Febrero 00 o, la sua de los águlos iteriores es iferior a 0º. Esta isa iforació os la da el uto de coordeadas (, ). ha salido ateriorete. Sólo queda dos osibilidades ara forar oliedros y ua ara forar osaicos. or otra arte si es iar las otras dos caras ha de ser iguales. ara deostrarlo, cosiderareos riero u etágoo. E cada vértice cocurre tres caras y, or tato, tres aristas (dos so del etágoo). Las cico caras que liita co el etágoo deberá ser, de aera altera, los otros dos olígoos. al coo se observa e la figura siguiete, si eezaos e el vértice V y seguios el setido de las agujas del reloj, el hecho de que el úero de lados sea iar obliga a reetir cara e?. (,,) Gra Robicuboctaedro (,,)Mosaico (,,) Gra Robicosidodecaedro? V ara = vuelve a salir las tres osibilidades ateriores y o se añade igua ueva osibilidad. ara = vuelve a salir la osibilidad (,, ) y igua ueva osibilidad, ietras que ara = vuelve a salir la osibilidad (,, ) y igua ueva osibilidad. Estas tres gráficas, auque o añade igua ueva osibilidad, os erite suoer que al auetar la fució tiee las iágees eores que la fució aterior. Es decir, os hace suoer que teeos ua sucesió de fucioes f tales que f (x) > f + (x) ara cualquier valor de x. E efecto, ara cualquier valor de (siedo u úero ar ayor o igual que ) se cule: La úica osibilidad ara que e u vértice cocurra las isas caras es que =. or tato, si uo de los tres olígoos es iar los otros dos tiee que ser iguales. Fácilete se observa que el razoaieto aterior se uede geeralizar a cualquier olígoo iar. deás, si es iar, al teer que ser las otras dos caras iguales, resulta que las solucioes ya ha aarecido e el caso aterior. or lo tato, os odeos liitar a estudiar los casos e que es u úero ar ayor que. Suogaos =. La fució es x x or sietría solo estudiareos las solucioes que se ecuetra e la regió deliitada or la bisectriz del rier cuadrate, la gráfica de la fució y el eje de abscisas. odeos eliiar todos los utos co algua de las coordeadas eor que. abié odeos eliiar los utos co algua coordeada igual a ya que e este caso tedríaos dos olígoos iguales y obtedríaos solucioes que ya ha aarecido ateriorete. abié odeos dejar de cosiderar todos los utos co algua de las coordeadas iares, ya que, tal coo se ha visto ates, e este caso los otros dos olígoos ha de ser iguales y, or tato, so solucioes que ya Este resultado os erite asegurar que ara igú valor de > se uede ecotrar igua ueva solució. E efecto, ara = o hay igua solució co los tres olígoos diferetes: x ( + ) x > ( ) x x ( + ) y ara > taoco hay solució ya que se cule x x < ( ) x x or tato, ara tres olígoos diferetes las úicas osibilidades so el gra robicuboctaedro (,, ), el gra robicosidodecaedro (,, ) y el osaico (,, ) que so las solucioes que aarece e las gráficas co igual a,, y.

5 SUM Febrero 00 Cuatro olígoos Si iterviee cuatro olígoos regulares de lados,,, y q resectivaete se ha de culir la siguiete ecuació ara teselar el lao: que silificada queda: Cosideraos riero el caso e que hay olígoos iguales. La codició: se covierte e Si reresetaos la fució q q q ( ) ( ) ( ) ( ) q q 0 Suogaos ahora que e u vértice cocurre dos ares de olígoos diferetes. La codició: se covierte e Si reresetaos la fució obteeos la siguiete gráfica: q q x x (,,,)Cuboctaedro (,,,)Icosidodecaedro (,,,)Mosaico obteeos la siguiete gráfica: (,,,) Octaedro x x (,,,)equeño Robicuboctaedro (,,,) Mosaico tirisas(,,,)... Ifiitos Veos que aarece el equeño robicuboctaedro, el osaico forado or rectágulos y la failia, ifiita, de los atirisas. or ejelo la solució (,,, ) sería el atirisa de base hexagoal y caras laterales que so triágulos equiláteros. abié veos que el tetraedro se uede cosiderar coo u atirisa de base u triágulo equilátero. Heos obteido el cuboctaedro y el icosidodecaedro. abié odeos observar que hay ua solució que corresode a u osaico. Vaos a cosiderar el caso de u ar de olígoos iguales y de dos olígoos diferetes. La ecuació: se covierte e q = Suogaos u valor fijo ara y cosideraos la fució x x ( )

6 SUM Febrero 00 Si fijaos =, resulta que co dos triágulos, estos o uede ser adyacetes y los otros dos olígoos ha de ser iguales, co lo que estaríaos e el caso aterior. Suogaos dos triágulos adyacetes y dos olígoos diferetes cocurriedo e. l cosiderar e el vértice el iso orde que e teeos que e el vértice C tiee que cocurrir triágulos, lo cual o uede ser. or tato, los dos triágulos tiee que ser ouestos or el vértice. Si los dos triágulos so ouestos or el vértice, los otros dos olígoos ha de ser iguales. E efecto, e el vértice cocurre y adeás de los dos triágulos, e tabié, ero e C cocurre dos triágulos y dos. La úica osibilidad es que =. C Que o añade igua ueva osibilidad ero que os erite suoer que al auetar la ueva fució tiee las iágees eores que la fució aterior. E efecto, se cule que x < x ( ) ( ) ( ) + x x ara cualquier valor de (siedo u úero ayor o igual que ). Este resultado os erite asegurar que ara igú valor de suerior a se uede ecotrar igua ueva solució. Si suoeos que los olígoos so diferetes, o hay igua osibilidad ya que la cobiació íia (,,, ) ya sua ás de 0º. Cico olígoos Si iterviee cico olígoos regulares de lados,,, q, y r resectivaete se ha de culir la siguiete ecuació ara teselar el lao: C ara = se obtiee los resultados siguietes: Seguios el roceso y reresetaos la fució ara = : (,,,)equeño Roboicosidodecaedro (,,,)Mosaico que silificada queda: Si hay olígoos diferetes, la sua de los águlos iteriores de cico olígoos suera los 0º, or lo tato co cico olígoos sólo uede haber de dos clases diferetes. Cabe las siguietes osibilidades: y ó y. Cosideraos el caso de olígoos iguales. E este caso la codició: se covierte e ( ) ( ) ( q ) ( r ) = 0 q r = q r = q r ( ) +

7 SUM Febrero 00 Si reresetaos la fució obteeos la gráfica siguiete (la ordeada idica el úero de lados de los olígoos iguales): x x (,,,,)Cubo roo (,,,,)Dodecaedro roo (,,,,)Mosaico (,,,,)Icosaedro deás del icosaedro aarece dos oliedros uevos (el cubo roo y el icosaedro roo) y u osaico. Cosideraos ahora el caso de olígoos iguales. E este caso la codició: obteeos la gráfica siguiete (la ordeada idica el úero de lados de los olígoos iguales): x x (,,,,)Mosaico Co relació a esta solució hay que teer resete que hay dos osibles osaicos seirregulares que se uede forar co tres triágulos y dos cuadrados. Seis olígoos E este caso la úica osibilidad es (,,,,, ). Es decir triágulos equiláteros que fora osaico. = q r se covierte e Si reresetaos la fució Coclusioes Cosideraos que e este artículo heos dado suficietes arguetos ara justificar que el estudio de los osibles osaicos regulares, los osaicos seirregulares, los oliedros regulares, los risas y atirisas forados co olígoos regulares y los rouestos e el aartado aterior, erite que la distacia etre el roblea rouesto y los recursos co los que cueta el aluo ara resolverlos o sea isalvable si hay ua iterveció adecuada del tutor que facilite su ivestigació.

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