Ejercicios resueltos y comentados de los boletines correspondiente a la asignatura de Física 1 para todos los grados de ingeniería industrial

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1 Física 1 Industriales Ejercicios resueltos y comentados de los boletines correspondiente a la asignatura de Física 1 para todos los grados de ingeniería industrial Juan Leyva Boletín 5 Boletines /Industriales/ Universidad Vigo

2 1. Una bola de acero tiene una masa m y se mueve en línea recta con una velocidad de módulo v = 14 m/s. La bola impacta en el bloque de masa M, inicialmente en reposo en una superficie sin rozamiento, quedando incrustada en él. Tras el choque el conjunto se desplaza por el plano de la figura, donde el tramo inclinado AB es un tramo con rozamiento. a) Calcular la velocidad del sistema bola-bloque después de la colisión. b) Determinar el coeficiente de rozamiento en el tramo AB si el conjunto separa al llegar al punto B. a) Como las masas m y M salen juntas, el choque es totalmente inelástico. Se conserva el momento lineal del sistema, pero no la energía cinética. P i = P f P i = mv P f = (m + M)V V = mv (m + M) b) W roz = E m W roz + E A = E B F r h sen(α) + (U A + K A ) = (U B + K B ) h F r + [0 + 1 (mv) (m + M) sen(α) (m+m) ] = [(m + M)gh + 0] ; h μ k (N) sen(α) + [1 (mv) ] = (m + M)gh ; (m + M) h μ k (m + M)gcos(α) sen(α) = (m + M)gh [1 (mv) (m + M) ] h μ k (m + M)g tan (α) = (m + M)gh [1 (mv) (m + M) ] μ k = tan(α) [ 1 m v (m + M) gh tan(α)] ; μ k = [ 1 m v (m + M) tan(α)] tan (α) gh μ k = tan (α) [ 1 m v (m + M) gh 1] Física Industriales Página 1 31/10/015

3 . El disco de hockey B descansa sobre una superficie de hielo liso y es golpeado por otro disco A de la misma masa. A viaja inicialmente a 15,0 m/s y es desviado 5,0 con respecto a su dirección original. Suponga un choque perfectamente elástico. Calcule la rapidez final de cada disco y la dirección de la velocidad de B después del choque. Como en el plano (XY) la resultante de las fuerzas externas sobre el sistema es: F ext = 0 P i = P f m A v A1 = m A v A + m B v B Como m A = m B v A1 = v A + v B (1) Por ser un choque perfectamente elástico: k i = k f 1 m Av A1 = 1 m Av A + 1 m Bv B v A1 = v A + v B () De las ecuaciones (1) y () se concluye que las velocidades v A y v B forman un ángulo de 90 0 entre sí; por tanto v B forma un ángulo de θ = 65,0 0 con la horizontal (cuarto cuadrante). P i = P f P xi = P xf P yi = P yf m A v A1 = m A v A cos(α) + m B v B cos(θ) v A1 = v A cos(α) + v B cos(θ) (3) 0 = m A v A sen(α) m B v B sen(θ) v A sen(α) = v B sen(θ) (4) De (3) y (4): v A1 = v A cos(α) + v A ( sen(α) sen(θ) cos(θ)) v A1 = 1,103v A v A = 13,6 m s v B = 6,34 m s Física Industriales Página 31/10/015

4 3. Imagine que está de pie en una plancha de cemento que descansa sobre un lago congelado. Suponga que no hay fricción entre la plancha y el hielo. La plancha pesa cinco veces más que usted. Si usted comienza a caminar a,00 m/s en relación con el hielo, con qué rapidez relativa al hielo se moverá la plancha? La resultante de las fuerzas externas sobre el sistema (persona Plancha) en la dirección horizontal es nula, por tanto, el momento lineal del sistema se conserva en esa dirección: F ext = dp dt = 0 P = M v cm = cte. v cm = cte. M v cm = m p v p + m pc v pc = 0 v pc = m pv p m pc = m pv p 5m p = v p 5 v pc = v p 5 =,00 m s 5 = 0,400 m/s En el sentido opuesto al de la persona Física Industriales Página 3 31/10/015

5 4. Un cohete de fuegos artificiales se dispara verticalmente hacia arriba. En su altura máxima de 80,0 m, estalla y se divide en dos fragmentos, uno con masa de 1,40 kg y otro con masa de 0,8 kg. En la explosión, 860 J de energía química se convierte en energía cinética de los dos fragmentos. a) Qué rapidez tiene cada fragmento inmediatamente después de la explosión? b) Se observa que los dos fragmentos caen al suelo al mismo tiempo. Qué distancia hay entre los puntos en los que caen? Suponga que el suelo es horizontal y que la resistencia del aire es despreciable. a) Como la trayectoria del cohete es vertical, justo antes de la explosión está en su altura máxima (velocidad nula) y su energía cinética es nula, por lo que la energía cinética que adquieren los fragmentos proviene de la energía química de la explosión. b) 860J = 1 m 1v m v (1) Como los dos fragmentos caen al suelo al mismo tiempo, la velocidad que adquieren justo después de choque debe ser horizontal. Como en la dirección horizontal la resultante de las fuerzas externas sobre el sistema es nula, el momento lineal en esa dirección se conserva: F ext = dp dt = 0 P = cte. P i = P f = 0 = m 1 v 1 + m v () De (1) y (): 860 J = 1 m 1v m ( m 1v 1 ) 860J = 1 m m 1v 1 (1 + m 1 ) v m 1 = 14,3 m s v = 71,6 m s c) Para calcular el tiempo que tardan en alcanzar el suelo: Y = Y 0 + v 0y t + 1 gt 80,0 = 1 gt t = 4,04s Durante este tiempo los dos fragmentos se mueven horizontalmente en sentidos opuestos, por lo que su distancia de separación al llegar al suelo es: X = X 1 + X X = v 1 t + v t X = 346,9m Física Industriales Página 4 31/10/015

6 5. Se tiene un sistema de partículas formado por tres masas puntuales de valores m 1 =m, m =3m y m 3 =m. La posición de las masas en el instante inicial y las fuerzas externas a las que se ven sometidas (de módulo constante F) son las que se muestran en la figura. El centro de masas (CM) se está trasladando con una velocidad v CM = (3m s )i con respecto a O. a) Puede el CM describir una trayectoria curva? Calcular el momento lineal del sistema con respecto a O, es constante?, Se conserva el momento angular del sistema con respecto a O? b) Si en un instante dado las velocidades de las masas m 1 y m son respectivamente v 1 = 1j y v = 6i + 8j (en m), calcular la energía cinética interna del sistema en ese instante. c) Calcular el vector posición del CM en función del tiempo. d) Si además actuase sobre m otra fuerza externa de valor F = Fi, calcular la aceleración del CM. Razonar si se conserva entonces el momento lineal y el momento angular del sistema. a) F ext = Ma CM F ext = Fj Fj = 0 a CM = 0 Al ser la aceleración del CM nula, la componente normal de la aceleración normal es nula y por tanto el CM no puede describir una trayectoria curva. P = Mv CM P = (m 1 + m + m 3 )v CM P = (6m)(3 m s )i P = (18m) m s i ; F ext = 0 a CM = 0 P = cte. M ext O = dl 0 dt Mext = (4i x Fj ) + (3j x Fj ) M ext = 4Fk 0 O O Como el momento resultante de las fuerzas externas respecto al punto O no es nulo, el momento angular del sistema respecto al mismo punto O no se conserva. b) K = K CM + K inc K CM = 1 Mv CM K = 1 m 1v m v + 1 m 3v 3 v CM = 3 m s v 1 = 1 m s v = 10 m s v 3 =? Para hallar v 3 : Mv CM = m 1 v 1 + m v + m 3 v 3 m 3 v 3 = Mv CM (m 1 v 1 + m v ) v 3 = Mv CM (m 1 v 1 + m v ) m 3 (18m) m v 3 = s i [( 1m) m s j + (18m) m s i + (4m) m s j ] m 3 Física Industriales Página 5 31/10/015

7 v 3 = ( 1m) m s j m ; v 3 = 6 m s j ; v 3 = 6 m s K = 1 Mv CM + ( 1 m 1v m v + 1 m 3v 3 ) K CM = 7m m s m K = (7m + 150m + 36m) s = (58m) m s K int = K K CM = (31m) m c) r CM = v CM dt = v CM t + r 0 ; r 0 = r CM (t = 0) s r 0 = m 1r 01 + m r 0 + m 3 r 03 M = m(3j ) + 3m( j ) + m(4i ) m 6m r 0 = ( 4 3 i 1 j ) m r CM = [(3t ) i 1 j ] m d) F ext = Ma CM a CM = Fi 6m = Fi 3m F ext = dp dt 0 Por lo que el momento lineal no se conserva. M ext O = dl 0 dt M ext O = (4i x Fj ) + (3j x Fj ) + ( j x Fi ) = 0 M ext = 0 L 0 = cte. O Física Industriales Página 6 31/10/015

8 6. Un patinador de masa M y una patinadora de masa m (con m<m) están de pie sobre una superficie helada sin fricción. Inicialmente están separados una distancia d y agarran fuertemente una cuerda de masa despreciable. La patinadora tira de la cuerda con una fuerza constante de modo que ambos acaban chocando. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas? a) La patinadora se mueve con respecto al hielo; el patinador no. b) El módulo de la aceleración del patinador es menor que el módulo de la aceleración de la patinadora. c) Antes de chocar, la rapidez de la patinadora es mayor que la del patinador. d) Mientras se están moviendo, el vector cantidad de movimiento del patinador es igual al vector cantidad de movimiento de la patinadora. e) Mientras se están moviendo, el módulo de la cantidad de movimiento del patinador es igual al módulo de la cantidad de movimiento de la patinadora. a) Falsa. La fuerza que la esquiadora ejerce sobre el esquiador (a través de la cuerda) es la misma que el esquiador ejerce sobre la esquiadora. Esto se muestra en la figura 1, donde se ve que F A = F' A y F B = F' B por la tercera ley de Newton. La segunda ley aplicada a la cuerda nos da que F A = F B pues la masa de la cuerda es despreciable. Así, ambos esquiadores se ven sometidos a la misma fuerza neta y, por tanto, ambos deben moverse. b) Verdadera. Ambos están sometidos a la misma fuerza neta, pero la masa del esquiador es mayor, por lo que su aceleración debe ser menor. c) Verdadera. La aceleración de la patinadora es mayor que la del patinador; como ambos parten del reposo, la rapidez final de ella será mayor que la de él. d) Falsa. La cantidad de movimiento es una cantidad vectorial. La cantidad de movimiento del esquiador y de la esquiadora tienen la misma magnitud, pero sentidos opuestos. e) Verdadera Física Industriales Página 7 31/10/015

9 7. Dos masas m1 y m se sueltan del reposo en un tazón hemisférico liso de radio R desde las posiciones mostradas en la figura. Se puede despreciar la fricción entre las masas y la superficie del tazón. Si se pegan cuando chocan, qué altura h, medida desde el fondo del tazón, alcanzarán las masas después de chocar? Si las masas son idénticas, cuánto valdrá h? Podemos distinguir tres momentos bien diferenciados: a) Movimiento de m 1 hasta justo antes de chocar con m. No hay fricción, conservación de la energía mecánica. b) Choque. No actúan fuerzas en X. Aparte de la fuerza de intersección entre m 1 y m, que es interna al sistema formado por ambas masas. Se conserva la cantidad del movimiento. c) Momento de m 1 y m hasta la altura h. No hay fricción. Conservación de la Energía mecánica. a) K ini + U ini = K ini + U fin para masa m 1 m 1 gr = 1 m 1v 1 v 1 = gr b) DIBUJO P 1,ini + P,ini = P 1,fin + P,fin ; m 1 v 1 = (m 1 + m )v 1 v 1 = m 1 m 1 v m 1 + m 1 = gr m 1 + m c) K ini + U ini = K fin + U fin para m 1 + m 1 (m 1 + m )(v 1) = (m 1 + m )gh ; 1 (m 1 + m ) [ (m 1 + m ) gr] = (m 1 + m )gh h = m 1 (m 1 +m ) R = ( m 1 m 1 +m ) R = ( 1 1+ m m1 m 1 ) R si m m 1 h = 0 m m 1 h = R m = m 1 h = R 4 Física Industriales Página 8 31/10/015

10 8. En un instante determinado dos partículas de masa m1 = 1 kg y m = kg se desplazan por la misma recta alejándose en sentidos opuestos con el mismo módulo del momento lineal. Se aplican sobre ellas sendas fuerzas con sentidos opuestos y el mismo módulo para frenarlas completamente. Señale la/s afirmación/es verdadera/s: a) El trabajo realizado por la fuerza de frenado sobre cada partícula es el mismo. b) El trabajo realizado por la fuerza de frenado sobre la partícula 1 es mayor que sobre la. c) El tiempo empleado para frenar la partícula es mayor que la 1. d) Antes de aplicar las fuerzas de frenado el centro de masas del sistema formado por ambas partículas no se mueve. e) Durante el tiempo de frenado el centro de masas del sistema formado por ambas partículas no se mueve. Del enunciado sabemos que p 1 = p, donde p 1 = m 1 v 1 y m p = m v. El teorema trabajo-energía cinética nos dice que W= K. Ambas partículas tienen la misma energía cinética final, que es cero, pero distintas energías cinéticas iniciales, que podemos comparar a partir del dato de que las partículas tienen el mismo módulo de la cantidad de movimiento: m 1 v 1 = m v v 1 = m m 1 v v 1 = v. Entonces, las energías cinéticas iniciales de las partículas cumplen la relación: K 1 = 1 m 1v 1 = 1 m 1( m v m ) = m 1 1 m 1 m v = m K m = K. 1 La fuerza que frena a la partícula m 1 tiene que realizar el doble de trabajo que la que frena a la partícula m, de modo que a) es falsa y b) es verdadera. La c) es falsa. Lo podemos argumentar recordando que el impulso lineal sobre una partícula es igual al cambio de su cantidad de movimiento p. Ambas partículas experimentan, en módulo, el mismo cambio de cantidad de movimiento (de p 1 = p a 0), de modo que el impulso lineal que han experimentado ha tenido que ser el mismo. Como las fuerzas son constantes, podemos escribir I=F t y, como las fuerzas tienen el mismo módulo, se deduce que t tiene que ser el mismo para que el impulso sea el mismo. De la definición de centro de masas de un sistema de puntos sabemos que v CM = m iv i m i = p i m i. Las partículas tienen, antes de frenar, cantidades de movimiento de igual módulo y sentidos opuestos, de modo que p i = 0 y v CM = 0, por lo que d) es verdadera. Física Industriales Página 9 31/10/015

11 Las fuerzas de frenado tienen el mismo módulo y sentidos opuestos, por lo que la fuerza neta externa que actúa sobre ambas partículas es cero dp =0 se conserva la cantidad de movimiento del sistema en todo momento P = P ini p i = p i,ini = 0 v CM = 0 en todo momento durante el frenado, por lo que e) es verdadera. dt Física Industriales Página 10 31/10/015

12 9. Dos alumnos de masas m 1 = 75, 0 kg y m = 45, kg están de pie en una plataforma montada sobre raíles rectos sin fricción, de mas m p = 15kg. Cada uno de ellos salta horizontalmente de la plataforma con una rapidez u=4,00 m s relativa a la plataforma. Con qué rapidez (medido con respecto a un sistema de referencia inercial fijo al suelo) retrocede la plataforma si a) ambos alumnos saltan simultáneamente en el mismo sentido; b) salta primero el alumno de masa m 1 y unos segundos después el de masa m, ambos en el mismo sentido; c) salta primero el de masa m y unos segundos después el de masa m 1, ambos en el mismo sentido? Planteamos que se conserva la cantidad de movimiento en la dirección x. Sea v a/s la velocidad del alumno que salta, medida con respecto a un sistema de referencia inercial fijo al suelo, u la velocidad del alumno con respecto a la plataforma y v p/s la velocidad de la plataforma con respecto al suelo. Se cumple que v a/s = u + v p/s. a. Ambos alumnos saltan a la vez. Estado inicial: el sistema alumnos + plataforma está en reposo. Estado final: los alumnos han saltado hacia adelante (sentido +x) con rapidez u relativa a la plataforma mientras que la plataforma se mueve hacia atrás (sentido x) con rapidez v p/s. La cantidad de movimiento inicial del sistema es cero, de modo que p ini = p fin 0 = (m 1 + m ) v a/s + m p v p/s 0 = (m 1 + m ) (u v p/s ) + m p ( v p/s ) que finalmente da v p/s = m 1 + m m 1 + m + m p u (1) v p/s = m s = 3,56 m s v p/s = 3,56 m s = 3,56 m s i Física Industriales Página 11 31/10/015

13 b. Primero salta el alumno de masa m1. Estado inicial: el sistema plataforma + alumnos está en reposo. Estado final: el alumno de masa m 1 ha saltado hacia adelante (sentido +x) con rapidez u relativa a la plataforma mientras que la plataforma y el alumno de masa m se mueven hacia atrás (sentido x) con rapidez v p/s. La cantidad de movimiento inicial del sistema es cero, de modo que p ini = p fin 0 = m 1 v a/s + (m + m p ) v p/s 0 = m 1 (u v p/s ) + (m + m p )( v p/s ) Que da v p/s = v p/s = m 1 m 1 + m + m p u () m s =, m s v p/s =, m s =, m s i Después salta el alumno de masa m. Estado inicial: el sistema plataforma + alumno de masa m se mueven hacia atrás con rapidez v p/s. Estado final: el alumno de masa m ha saltado hacia adelante con rapidez u relativa a la plataforma y la plataforma se mueve hacia atrás con rapidez v p/s p ini = p fin (m + m p ) v p/s = m v a/s + m p v p/s ; (m + m p )( v p/s ) = m (u v p/s ) + m p ( v p/s ) Sustituyendo v p/s por la expresión calculada antes se obtiene m 1 (m + m p ) u = m m 1 + m + m (u v p/s ) + m p ( v p/s ) p Reordenando términos (m + m p )v p/s = m u + m 1(m + m p ) u m 1 + m + m p Física Industriales Página 1 31/10/015

14 Que finalmente da v p/s v p/s m = ( + m + m p m 1 m 1 + m + m p ) u = (3) 45 = ( ) 4m/s v p/s = 5, m s = 5, m s i c. Usamos la ecuación 3 intercambiando los valores de m 1 y m, o sea, con m 1 = 45,0 k g y m =75 k g. Se obtiene v p/s = 4,67 m s = 4,67 m s i Física Industriales Página 13 31/10/015

15 10. Se lanza una pelota contra una pared vertical perfectamente lisa. Inmediatamente antes de tocar la pared la pelota tiene una velocidad de 10 m s en una dirección que forma un ángulo de 30 0 con la horizontal, hacia arriba. Determine la velocidad de la pelota cuando rebota en la pared suponiendo un choque perfectamente elástico. Se trata de un choque elástico oblicuo. Las componentes de la velocidad inicial son: v 1x = v 1 cos 30º = 8,66 m/s { v 1y = v 1 sen 30º = 5,00 m/s Como la pared es lisa, el impulso que ejerce la reacción de la pared sobre la pelota es normal a la pared, por tanto, sólo tiene la componente horizontal. En consecuencia, se conserva la componente vertical de la velocidad: v 1y = v 1y = 5 m/s Si llamamos m p a la masa de la pelota, la conservación del momento lineal en la componente x nos da: m p v 1x = m p v x v x = v 1x = 8,66 m/s Como la pared está en reposo y no se desplaza con el impacto no interviene en la ecuación de conservación del momento lineal, por lo que la componente x de la velocidad de la pelota también se conserva. La pelota rebota con la misma velocidad y formando el mismo ángulo θ = 30 con la horizontal. Física Industriales Página 14 31/10/015

16 11. Considere dos objetos A y B de masas m A y m B que se desplazan en el plano XY en direcciones oblicuas con velocidades v A y v B. Demuestre que si se produce un choque perfectamente inelástico entre ellas la pérdida de energía cinética es: E c = m Am B (v A v B ) (m A + m B ) Este resultado es independiente del material o estructura del que están hechos los objetos que colisionan entre sí, por tanto, podemos afirmar que la energía necesaria para producir la deformación plástica en el choque es independiente del material del que están hechos, por qué? Si llamamos V CM a la velocidad del centro de masas del conjunto de los dos objetos pegados después del choque, la ecuación de conservación del momento lineal para un choque perfectamente inelástico nos queda: m A v A + m B v B = ( m A + m B )v CM Si descomponemos esta ecuación vectorial en sendas ecuaciones escalares para las componentes x e y podemos despejar las componentes de la velocidad final de los dos objetos pegados: m A v Ax + m B v Bx = ( m A + m B )v CMx v CMx = m Av Ax + m B v Bx m A + m B m A v Ay + m B v By = ( m A + m B )v CMy v CMy = m Av Ay + m B v By m A + m B Entonces la velocidad final del conjunto es: v CM = (m Av Ax + m B v Bx )i + (m A v Ay + m B v By )j m A + m B Física Industriales Página 15 31/10/015

17 La energía cinética del sistema antes del choque es: E c1 = 1 m Av A + 1 m Bv B = 1 m A(v Ax + v Ay ) + 1 m B(v Bx + v By ) La energía cinética del sistema después del choque es: E c = 1 (m A + m B ) v CM = 1 (m A + m B ) (m Av Ax + m B v Bx ) + (m A v Ay + m B v By ) ( m A + m B ) E c = (m Av Ax + m B v Bx ) + (m A v Ay + m B v By ) ( m A + m B ) Calculamos la pérdida de energía cinética como la energía inicial menos la final. (Fíjese que la notación Ec se utiliza normalmente para la variación de energía cinética, es decir, energía final menos inicial. En este caso particular la utilizamos para denotar la pérdida de energía que tiene signo contrario): E c = E c1 E c E c = 1 m A(v Ax + v Ay ) + 1 m B(v Bx + v By ) (m Av Ax + m B v Bx ) + (m A v Ay + m B v By ) = ( m A + m B ) ( m A + m B )m A (v Ax + v Ay ) + ( m A + m B )m B (v Bx + v By ) (m Av Ax + m B v Bx ) + (m A v Ay + m B v By ) ( m A + m B ) ( m A + m B ) m A (v Ax + v Ay ) + m A m B (v Ax + v Ay ) + m A m B (v Bx + v By ) + m B (v Bx + v By ) ( m A + m B ) m A v Ax + m B v Bx + m A m B v Bx v Ax + m A v Ay + m B v By + m A m B v By v Ay = ( m A + m B ) = m Am B (v Ax + v Ay ) + m A m B (v Bx + v By ) ( m A + m B ) m Am B v Bx v Ax + m A m B v By v Ay ( m A + m B ) = Física Industriales Página 16 31/10/015

18 = m Am B v A + m A m B v B ( m A + m B ) m A m B v B v A = m Am B (v A + v B v B v A ) = ( m A + m B ) ( m A + m B ) E c = m Am B ( v A v B ) ( m A + m B ) Como se quería demostrar. Efectivamente, se comprueba que la energía cinética perdida en la colisión perfectamente inelástica sólo depende de las masas y velocidades iniciales de los objetos que colisionan. No depende de su estructura o del material del que están hechos. Si consideramos que la energía cinética perdida se ha transformado en el trabajo de deformación plástica necesario para que los dos objetos se deformen y queden unidos, el resultado obtenido puede ser inesperado. Podríamos pensar que, dado que es más fácil deformar un objeto blando que uno duro, sería mayor la pérdida de energía cinética al colisionar dos objetos duros que dos blandos. Por el contrario, no es esta propiedad de los objetos la que determina el trabajo de deformación plástica realizado, sino que son sus masas y velocidades iniciales, junto con la condición impuesta para una colisión inelástica (que ambos queden unidos tras la colisión), las que determinan el trabajo de deformación realizado. Entonces, se deforman igual en una colisión inelástica dos objetos duros que otros dos objetos más blandos con las mismas masas y velocidades iniciales? La respuesta es obviamente no: lo que nos indica el resultado obtenido en este ejercicio es que los trabajos de deformación plástica son iguales en ambos casos. La diferencia es que los objetos blandos se deformarán más que los duros. La condición de deformación inelástica impuesta en ambos casos es la que determina como se van a deformar: se deforman de manera diferente los duros que los blandos, pero en ambos casos se consume el mismo trabajo, pues éste es el resultado impuesto por la condición de colisión inelásticas Física Industriales Página 17 31/10/015