Capítulo V Análisis de regresión y correlación

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1 Capítulo V Aálss de regresó y correlacó Itroduccó E la vestgacó estadístca es muy frecuete ecotrar varables que está relacoadas o asocadas etre sí de algua maera, como se estudó e el capítulo ateror. Exste muchas varables, e especal cuattatvas, que se relacoa e algú grado de otras, etoces es posble que ua de las varables pueda expresarse matemátcamete e fucó de la otra. Por ejemplo, el peso de las persoas está relacoada co la estatura; el tempo de servco de trabajo actvo tee relacó co la edad, u trabajador que ha acumulado por ejemplo 3 años de servco tedrá mayor edad que otro co sólo 4 años de servcos; el greso o salaro está relacoado frecuetemete co el vel educatvo; el ahorro famlar tee relacó co los gresos; la demada de u producto depederá de los precos, etc. Estadístcamete teresa aalzar la relacó etre dos o más varables, sempre que se tega u dco que etre ellas exste por lo meos certo grado de depedeca o asocacó. Lo mportate es medr y expresar fucoalmete esta relacó medate ua fucó o modelo matemátco. E el efoque del aálss de regresó se trata de predecr o explcar el comportameto de ua varable Y a la que se deoma depedete o varable respuesta, e fucó de otras varables X,..., X deomadas depedetes o varable regre- k [] 3

2 soras; así como vestgar s ellas está asocadas o correlacoadas etre s. Aálss de regresó leal smple E muchos estudos se ecesta detfcar y cuatfcar algua relacó fucoal etre ua varable Y deomada depedete y otra varable X deomada depedete. Esto se puede platear así: Y f ( X ). Es mportate detfcar cuál es la varable depedete y cuál es la varable depedete. Esto depede de la lógca y de lo que el vestgador tete medr. Así, s el Decao de ua Facultad desea aalzar la relacó etre las otas de los estudates y el tempo que los estudates dedca al estudo, es lógco asumr que las otas depede del tempo dedcado al estudo. Por tato, "otas" es la varable depedete y "tempo" es la varable depedete. A la varable depedete també se le deoma varable respuesta y a la varable depedete també se le deoma explcatva o regresora. Dagrama de dspersó E el dagrama de dspersó se represeta los pares de observacoes e el plao y es habtual colocar la varable depedete e el eje horzotal. A cotuacó se preseta alguos tpos de dagramas de dspersó Y Y X... X a) Relacó leal Postva o Drecta b) Relacó leal Negatva o Iversa 4

3 Y Y X c) No hay Relacó leal d) Relacó No Leal etre X e Y... X Como se puede ver e el gráfco (a), los valores de Y se cremeta lealmete coforme X crece. Por ejemplo, al aumetar la partda presupuestal asgada por el gobero a u colego, aumeta la posbldad de ateder ua mayor demada escolar, gráfco (a). Es dferete e el gráfco (b), porque cuado los valores de X crece, los valores de Y decrece lealmete. Así por ejemplo, cuado aumeta el úmero de horas semaales que los estudates dedca al estudo, dsmuye el úmero de horas semaales que dedca a las dstraccoes. E el gráfco (c) o hay gua relacó etre X e Y; metras que el gráfco (d) muestra ua relacó curvlíea egatva etre X e Y. Tomemos como ejemplo, la relacó etre el valor de reveta de u edfco escolar y sus años de uso; e el prmer año, el valor de reveta puede sufrr u fuerte desceso e su preco orgal, luego, el valor de reveta dsmuye co mucha meos rapdez e los años sguetes. Los gráfcos propuestos so alguos tpos de gráfcos que se podría utlzar para represetar la relacó etre dos varables; s embargo, los dagramas de dspersó o so sufcetes para determar la relacó etre ellas. Es ecesaro que utlcemos procedmetos estadístcos para determar la relacó fucoal más apropada para u cojuto de datos ( x, y ) a los que se les deoma pares de observacoes. Este tpo de gráfco se utlza para la predccó. Es decr, a partr de la relacó etre dos varables, coocer e qué medda 5

4 se matee el aumeto o crecmeto de ua varable a partr del aumeto de otra varable o vceversa. Ajuste de ua fucó de regresó: método de mímos cuadrados Ajustar ua fucó de regresó sgfca buscar o defr la fucó que exprese co mayor precsó la relacó etre las varables X e Y. Gráfcamete será aquella fucó que mejor se adecue a la ube de putos ( x, y ). E este setdo, es recomedable como prmer paso costrur el "dagrama o ube de putos", luego aalzar su forma y decdr el tpo de fucó matemátca para la ecuacó de regresó usado el método de mímos cuadrados ordaros. Sólo so ecesaros dos putos para dbujar la líea recta que represeta esta relacó leal. La ecuacó de ua recta puede expresarse como L: y bx + a, e dode a es el tercepto y b es la pedete de la recta. Esta recta queda determada medate la estmacó de los parámetros a y b. U procedmeto matemátco utlzado para estmar estos valores se deoma el método de mímos cuadrados ordaros (MCO). El método de MCO producrá ua recta, Yˆ, que se extede por el cetro del dagrama de dspersó. Los valores de Yˆ represeta a los valores estmados de la varable depedete o respuesta. La dfereca etre los valores observados de Y, y,sus respectvos valores estmados de Yˆ, y, es el error. Debdo a que alguos errores so egatvos o alguos postvos, el MCO producrá ua recta tal que la suma de esos errores sea cero, es decr, ( y yˆ ). Obteemos la estmacó de a y b por el método MCO de tal maera que el valor de ( ) SSE y yˆ sea mímo, dode: Y: es la varable depedete o respuesta, b : es la pedete de la líea, llamada també coefcete de regresó para predecr la varable Y a : es la costate. 6

5 7 Se demuestra que los valores a y b que hace mímo SSE, satsface el deomado sstema de ecuacoes ormales: + x b a y + x b x a y x De ese sstema se deduce los sguetes valores para las costates a y b : x x y x x x y a, x x y x y x b a bx y + ˆ se deoma la recta de regresó de mímos cuadrados o recta de regresó ajustada por el método de mímos cuadrados. La líea de regresó (o recta de predccó) es la líea recta que mejor represeta la tedeca de los putos e u dagrama de dspersó. La recta de regresó os permte, basádoos e los datos muestrales, estmar el valor y de ua varable Y - y deotar co ŷ - correspodete a u valor dado x para ua varable X ; es sufcete reemplazar el valor de x e la líea de regresó y ecotraremos el correspodete valor estmado para ŷ. La ecuacó geeral de la recta de regresó estmada por el método de mímos cuadrados es la sguete: bx a Y + ˆ.

6 Ejemplo 5. Co los datos de la Tabla Nº 5., se hace el dagrama de dspersó y se utlza el método de mímos cuadrados para ecotrar el coefcete de regresó leal. Cuál será el redmeto e educacó superor (Y) para u estudate co ota promedo de redmeto e secudara (X)?. Tabla 5.: Redmeto académco e secudara y e educacó superor de u grupo de alumos ESTUDIANTES Notas e secudara Redmeto e x educacó superor y Solucó Usado los comado del SPSS hacemos el dagrama de dspersó presetado e la Fgura Nº 5.. a) Creamos la base de datos co las dos varables y seleccoamos los comados sguetes. b) GRAPHS/INTERATIVE/SCATTER/colocar e el eje X la varable NOTAS DE SECUNDARIA y e el eje Y la varable RENDIMIENTO EN EDUCACIÓN SUPERIOR/ FIT/ e FIT LINE escoger TOTAL/ACEPTAR. 8

7 Fgura Nº 5.: Dagrama de dspersó de redmeto e secudara y redmeto e superor de u grupo de alumos Redmeto e secudara Redmeto e superor c) Se realza los cálculos ecesaros para estmar a y b : x y x x y a 8 8 y 8 x x 8 x 8 8 x x y , 8 44 ( 6) b x y x ( 6) x x y , 9

8 y luego la recta de regresó estmada por el método de mímos cuadrados, de Y sobre X es la sguete: Yˆ X S u estudate obtee u redmeto de e secudara, etoces su redmeto esperado e educacó secudara se obtee reemplazado el valor dado para X ( ) e la recta defda, es decr: Yˆ Etoces, podemos estmar que u estudate que obtuvo u redmeto e secudara de, obtedrá aproxmadamete.83 e educacó superor. Ejemplo 5. Se trata de u estudo sobre el redmeto escolar. Se desea ajustar la recta de regresó etre los años de escolardad de la madre (X) y las calfcacoes de sus hjos e ua prueba de matemátcas. Los datos so los sguetes: Estudates Años de escolardad de Calfcacoes de los hjos la madre e ua prueba de ( x ) Matemátca ( y )

9 Solucó a) El dagrama de dspersó os dca que exste ua buea relacó etre las varables. Años de escolardad de la madre y calfcacoes de los hjos e ua prueba de matemátca Calfcacoes e matemátca Años de escolardad de la madre Se observa que exste ua relacó drecta y postva etre los años de escolardad de la madre y las calfcacoes e ua Prueba de matemátca de los hjos. b) E el sguete cuadro se preseta los cálculos auxlares para ecotrar los coefcetes de la ecuacó de regresó. Estudates x y x y x y Totales

10 y x x x y a 8 8 x x (48)(83) (9(9) 5.5 5(83) (9) x y x y (5)(9) (9)(48) b.78. 5(83) (9) x x La ecuacó de regresó que va a servr para predecr el desempeño de los hjos e fucó de los años de escolardad de la madre es la sguete: Yˆ X. Ejemplo 5.3 Resolveremos el ejemplo 5. co el auxlo del SPSS. Solucó Presetamos la solucó co el auxlo del SPSS, pero prevamete se tee que crear la base de datos. a) Para hacer el dagrama de dspersó se ejecuta los sguetes comados: GRAPHS/INTERATIVE/SCATTER/colocar e el X la varable AÑOS DE ESCOLARIDAD y e el eje Y la varable REN- DIMIENTO/ FIT/ e FIT LINE escoger TOTAL/ACEPTAR. b) Para ecotrar la ecuacó de la recta de regresó, los comados so los sguetes: ANALYZE / REGRESSION/LINEAR/ e DEPENDENT escoger CALIFICACIONES y e INDEPENDENT escoger AÑOS DE ESCOLARIDAD/ STATISTICS/ actvar ESTIMA- TES y MODEL FIT/OK.

11 El output del SPSS muestra lo sguete. Lear Regresso y * X R-Square.8 Y X Coeffcets a Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets Model B Std. Error Beta t Sg. (Costat) Años de escolardad de la madre a. Depedet varable: Calfcacoes e ua prueba de matemátca b a La recta de regresó leal smple ajustada por el método de mímos cuadrados es: Yˆ X, 3

12 dode, mateedo costate la varable años de escolardad de la madre au podemos estmar la calfcacó promedo de los hjos e la prueba de matemátca, e 5.54 putos. U cremeto e los años de escolardad de la madre de u año, por ejemplo, es acompañado por u cremeto e la calfcacó de sus hjos e la prueba de matemátca e.784 putos. Pruebas de hpótess La ecuacó de regresó leal smple dca que el valor medo o esperado de y es ua fucó leal de X : E ( y) a + bx. S el valor de b o es gual a cero, llegamos a la coclusó de que las dos varables se relacoa. Así, para probar s hay algua relacó mportate debemos efectuar ua prueba de hpótess para determar s el valor de b o es gual a cero. Exste dos pruebas que se usa co más frecueca. E ambas se requere ua estmacó de σ. Prueba t La prueba t se utlza para probar la sgfcaca de los parámetros e el modelo de regresó leal smple. Usaremos los datos de la muestra para obteer las sguetes hpótess acerca del parámetro b : Paso : Se platea como hpótess ula que el coefcete b es gual a cero y la hpótess alteratva ega dcho eucado. H : b H : b Paso : La estadístca de prueba bˆ t tee dstrbucó t ( ) S b ˆ 4

13 dode: bˆ : estmador del parámetro b. S S ˆ es la desvacó estádar de b bˆ. X X ( ) Co los datos de la muestra se ecuetra el valor de la estadístca de prueba, t c. Paso 3: [ ] α. E la ta- Para u vel de sgfcaca α, P t( ) < t bla - t-studet se obtee t teórco. Paso 4: teórco Rechazamos H s t c < t α / o t c > t α /. Co el valor p - valor: Rechazamos H s el valor p - valor < α, dode t α / se basa e ua dstrbucó t co grados de lbertad. S se Rechaza H la coclusó será que b y que hay ua relacó estadístcamete sgfcatva etre las dos varables. S embargo, s o se puede rechazar H, o tedremos la evdeca sufcete para decr que exste ua relacó sgfcatva. Resume de las hpótess, estadístca de prueba y regla de decsó: Hpótess Estadístca de prueba Regla de decsó Rechazar la hpótess ula, s: H : b H : b > H : b H : b < H : b H : b t bˆ t c > t( α ) S b ˆ t t bˆ S b ˆ bˆ t c < t S b ˆ ( α ) t c < t α / o t c > t α / 5

14 Ejemplo 5.4 Utlzado la formacó del ejemplo 5.3 realzaremos la pruebas de hpótess acerca del parámetro b. Solucó Paso : E la hpótess ula se postula que el grado de escolardad de la madre o explca el comportameto de las calfcacoes de los estudates: H : b H : b Paso : El valor de la estadístca de prueba se calcula co los resultados del SPSS, Coeffcets a Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets Model B Std. Error Beta t Sg. (Costat) ESCOLARI a. Depedet varable: CALIFICA b a Sb ˆ Sa ˆ El valor de la estadístca de prueba es: t c bˆ S bˆ, ,8 6

15 [ ] 975 < teórco Paso 3: Para α,5, P t() 5 t.. E la tabla t co 5 grados de lbertad se ecuetra el valor de t c Paso 4: Como t c > t, , rechazamos H y coclumos que es sgfcatvo e el modelo, cosderado u vel de sgfcacó de.5. Aálss de correlacó leal Tpos de correlacó leal Y Y X X a) Correlacó postva b) Correlacó egatva Y c) Correlacó ula Correlacó postva o drecta Se dce que la correlacó etre dos varables X e Y es postva o drecta, cuado al aumetar la medda de ua de las varables, la otra varable també aumeta, esto se puede observar e el gráfco (a). 7

16 Ejemplo 5.5 E la Tabla Nº 5.3 os muestra las putuacoes e Lteratura (X), y las putuacoes e Leguaje (Y ) de u grupo de alumos de u Cetro Educatvo. Haremos el dagrama de dspersó de estas dos varables. Tabla Nº 5.3: Putuacoes e Lteratura vs Putuacoes e Leguaje de u grupo de alumos Nº SUJETO x y Solucó Dseñado el dagrama de dspersó para las varables e estudo teemos: Fgura Nº 5. Putuacoes e Lteratura y Leguaje de u grupo de alumos Putuacoes e Lteratura Putuacoes e Leguaje 8

17 Como se puede observar, cuado aumeta el valor de la varable X també aumeta el valor de la varable Y, de esto se cocluye que exste correlacó postva o drecta etre las putuacoes e Lteratura y putuacoes e Leguaje. Correlacó egatva o versa Se dce que la correlacó etre dos varables X e Y es versa o egatva, cuado al aumetar la medda de ua de las varables, los valores de la otra dsmuye, esto se puede observar e el gráfco (b). Ejemplo 5.6 La Tabla Nº 5.4, os muestra las putuacoes e Lteratura (X) y las putuacoes e Matemátca (Y) de u grupo de alumos de u determado Cetro Educatvo. Haremos el dagrama de dspersó. Tabla Nº 5.4: Putuacoes e Lteratura vs Putuacoes e Matemátca de u grupo de alumos alumos x y

18 Solucó Realzamos el dagrama de dspersó de las putuacoes e matemátca y lteratura; el output del SPSS os muestra la sguete fgura. Fgura Nº 5.3 Putuacoes e Lteratura y Matemátca de u grupo de alumos Putuacoes e Lteratura Putuacoes e Matemátca Como se puede aprecar, frete al aumeto de las putuacoes e lteratura (X ) dsmuye las putuacoes e matemátca (Y ), etoces la correlacó etre X e Y es egatva o versa. Correlacó ula La correlacó es ula, cuado las varables o está correlacoadas etre sí, esto lo podemos observar e el gráfco (c). Ejemplo 5.7 E la Tabla Nº 5.5 la varable X correspode a las putuacoes e Deporte y la varable Y correspode a las putuacoes e Matemátca de u grupo de alumos. 3

19 Tabla Nº 5.5: Putuacoes e deporte vs. putuacoes e matemátca de u grupo de alumos Nº sujeto x y Solucó Realzado el dagrama de dspersó para las varables X e Y teemos: Fgura Nº 5.4: Putuacoes e Deporte e Matemátca de u grupo de alumos Putuacoes e Deporte Putuacoes e Matemátca Como se puede aprecar o exste ua relacó leal etre las putuacoes e deporte (X ) y las putuacoes e matemátca (Y ). 3

20 Coefcete de correlacó de Pearso (r) Obtecó del coefcete El objetvo del aálss de correlacó de Pearso es medr la tesdad de la asocacó observada etre dos varables cuattatvas. També, represeta la magtud de la relacó leal etre dos varables. Promedo de los valores estadarzados Alguas pregutas que puede respoderse co el coefcete de correlacó de Pearso so las sguetes: Los estudates que lee más rápdo que otros, tede també a teer mejor redmeto e el curso de matemátcas?. Se relacoa drectamete el tempo de servcos e la doceca de los profesores co el salaro promedo que recbe?. Los alumos que tee altos coefcetes de telgeca tede a teer otas altas e los cursos de leguaje y lteratura?. El coefcete de correlacó de Pearso se utlza e el aálss de formacó cuattatva cuado se desea medr la asocacó leal etre dos varables cuattatvas. Sus valores varía etre + y -. El valor de +, dca ua relacó leal drecta y perfecta; el valor -, ua relacó leal versa y perfecta. El valor, dca auseca de relacó leal. Para obteer este coefcete hay ua gra varedad de expresoes matemátcas que so equvaletes destacado las sguetes: a ) Para putuacoes drectas Sea { x,..., x } e { y,..., y } cojuto de pares de observacoes de las varables X e Y. A cotuacó, e forma geeral se preseta los cálculos auxlares que faclta la obtecó del coefcete de correlacó de Pearso y que posterormete se lustarará co ejemplos. 3

21 Idvduos x y x x y x x y x 3 x3 y3 x 3 y x y y x y y x y y3 x 3 y x y y x Totales x y x x y y x y Luego, la fórmula para calcular el coefcete de correlacó de Pearso es la sguete: r x y ( x )( y ) [ x ( x ) ] y ( y ) [ ] b) Para putuacoes Z (putuacoes típcas) S los valores observados de la muestra prevamete ha sdo tpfcados segú las sguetes fórmulas: z y y y dode sy x x, y y, s x ( x x), s y z x x x y sx ( y y) el coefcete de correlacó de Pearso toma la sguete forma: r z x z y 33

22 luego, medate ua prueba de hpótess, comprobar s es mayor de lo que podría esperarse solamete por casualdad. Propedades El valor de r va de - a +, de dode se deduce que: a) S r >, exste correlacó drecta postva, b) S r <, exste correlacó versa egatva, c) S r +, exste ua correlacó perfecta postva, d) S r -, exste ua correlacó perfecta egatva, e) S r, o exste correlacó o los datos está correlacoados. Para los valores termedos etre y, se deduce por ejemplo que s: a) r <,, la correlacó es muy baja, b), r <, 4, exste ua correlacó baja, c),4 r <, 7, exste ua buea correlacó postva, d),7 r <,, exste muy buea correlacó postva, e) r,, exste ua perfecta correlacó postva, f). r <. 7, exste muy buea correlacó versa, g) r,, exste ua perfecta correlacó versa. Prueba de hpótess para el coefcetes de correlacó de Pearso Luego de obteer el coefcete de correlacó de Pearso, el vestgador puede platearse pregutas como la sguete: Es estadístcamete sgfcatva la relacó etre el coefcete de telgeca de u estudate y su redmeto académco?. A cotuacó se preseta los pasos a segur para realzar pruebas de hpótess relatvas al coefcete de correlacó de Pearso. Paso : Postular la hpótess de vestgacó como la hpótess alteratva, jutamete co otra hpótess que la ega y a la que se deoma hpótess ula. 34

23 E la hpótess ula se postula que o exste asocacó etre las varables, y e la hpótess alteratva: se postula que exste asocacó etre las varables. La represetacó es la sguete: H : ρ H : ρ dode ρ es el coefcete de correlacó poblacoal etre las dos varables. Paso : Se sabe que la sguete estadístca está e fucó del coefcete de correlacó muestral y bajo la hpótess ula tee dstrbucó t-studet co ( ) grados de lbertad. t r r ~ t ( ), por lo que se usa como la estadístca de prueba para cotrastar la hpótess ula frete a la hpótess alteratva. Deotemos co t c el valor de la estadístca de prueba. Paso 3: Como la hpótess alteratva es de la forma " ", la prueba de hpótess que se está plateado es blateral y la regó crítca será el tervalo (-,-t teórco )U( t teórco, ) y dode " t teórco " es la abcsa de la dstrbucó t-studet co ( ) de lbertad, de maera que P ( t( ) < tteórco) α. Así por ejemplo, s se elge el vel de sgfcacó α.5 y el tamaño de muestra es 3, se cumple P ( t( ) < t teórco ) Luego, e la tabla t-studet se ecuetra que el valor de t teórco es.8, por lo que la regó de rechazo de la hpótess ula es el tervalo (-,-.8)U(.8, ). Paso 4: Decsó: Rechazar la hpótess ula de que o exste relacó etre las varables cuado c t cae e la regó de rechazo de la hpótess ula. 35

24 Ejemplo 5.8 E la sguete tabla se tee la formacó para ua muestra aleatora de estudates que estudaro el prmer año de secudara e el colego Cabrera Tapa el año. El prmer día de clases a todos ellos se les aplcó ua prueba para obteer sus coefcetes de telgeca (X) e la escala Staford-Bet y al térmo del año se les aplcó ua prueba de 35 tems para evaluar su redmeto e Matemátcas. α.5. Dcha tabla se acompaña co los cálculos ecesaros para obteer el coefcete de correlacó de Pearso. Solucó X: putajes obtedos e la prueba Staford- Bet Y: redmeto e matemátcas Tabla Nº 5.7 Redmeto de los estudates e matemátcas y putajes obtedos e la prueba Staford- Bet Estudate CI Putaje x y x y x y Totales

25 Obteemos el coefcete de correlacó de Pearso r r (993) 369(9) ( (56859) ( 369) ) (37) ( 9) ( ),953 E la muestra se observa muy buea correlacó drecta y postva etre coefcete de telgeca y el redmeto académco e el curso de matemátcas. Es estadístcamete dferete de cero el valor ecotrado?. Respoderemos la preguta co la metodología de pruebas de hpótess. Solucó Paso : No exste asocacó etre el coefcete de telgeca y el redmeto académco es la hpótess ula, y la hpótess alteratva ega esa afrmacó. H : ρ H : ρ Paso : Para el coefcete de correlacó muestral r.953 y tamaño de muestra, el valor de la estadístca de prueba es: t c Paso 3: Para ecotrar la regó crítca, se tee e cueta que α.5, y P ( t( ) < t teórco ) Por tato, e la tabla t- Studet se ecuetra el valor de t teórco.8. La regó de rechazo de la hpótess ula es el tervalo (-,-.8)U(.8, ). Paso 4: Como el valor de c t 9.93 cae e la regó de rechazo de la hpótess ula, la decsó es rechazar la hpótess de que o exste asocacó etre el redmeto académco y los coefcetes de telgeca, para u vel de sgfcacó.5. 37

26 Ejemplo 5.9 Obtedremos el valor del coefcete de correlacó para los datos ejemplo 5.7 usado la fórmula de varables estadarzadas. Prevamete los valores de la varable será estadarzados. a) La estadarzacó de las varables se realza co el auxlo del SPSS, para lo que, prevamete, co los datos del ejemplo 5, se crea la base de DATOS9-pearso. Los comados so los sguetes: Abrr la base de DATOS9-pearso y ejecutar los comados/ ANALYZE/DESCRIPTIVE STATISTICS/DESCRIPTIVE/seleccoar las varables COEFICIENTE DE INTELIGENCIA y RENDIMIENTO ACADÉMICO/actvar SAVE STANDAR- DIZED VALUES AS VARIABLES/OK. E el edtor del SPSS juto a los valores de las varables X e Y se ha creado dos columas co los valores de las varables orgales estadarzadas, z z. x y x y zx z y b) Para calcular el coefcete de correlacó, ejecutar los sguetes comados del SPSS: ANALYZE/CORRELATE/BIVARIATE/ seleccoamos las varables orgales y las varables estadarzadas/actvar PEARSON/ OK. 38

27 E el output del SPSS se lee: redmeto Zscore: redmeto ( z y ) coefcete de telgeca Pearso Correlato Zscore: coefcete de telgeca ( z ) Pearso Correlato y r z x z y.953. El valor del coefcete de correlacó etre las varables estadarzadas cocde co el ya ecotrado maualmete e el ejemplo ateror co los valores orgales y co el també muestra el output del SPSS para las varables orgales coefcete de telgeca y redmeto. E lo que correspode a pruebas de hpótess, los pasos y resultados so smlares a los del ejemplo ateror. Ejemplo 5. Se trata de u estudo sobre el redmeto escolar. Se desea saber s exste correlacó etre los años de escolardad de la madre y las calfcacoes de sus hjos e ua prueba de matemátcas. Los datos so los sguetes. Tabla Nº 5.6 Años de escolardad de la madre y calfcacoes e ua prueba de matemátcas Estudates Años de escolardad Calfcacoes de los hjos e de la madre ( X ) ua prueba de Matemátca ( Y )

28 E el sguete cuadro se preseta los cálculos auxlares: Estudates x y x y x y Reemplazado los valores obtedos e la ecuacó de r para putuacoes drectas obteemos: r 5( 9) ( 9)( 48) [ 5( 83) ( 9) ][]( 5 47) ( 8) 58 74x56,9 El valor de +,9 sgfca ua alta correlacó postva, es decr, el vel de escolardad de la madre está asocado lealmete al redmeto académco de sus hjos e matemátca. Ejemplo 5. E la Tabla Nº 5.8 se tee formacó de ua muestra aleatora de 5 alumos del Cetro Educatvo "Teresa Gozales de Fag". La ecuesta fue aplcada a 5 estudates e Abrl de 998. Se desea obteer el coefcete de correlacó etre las varables putajes obtedos e artmétca y leguaje. 4

29 Tabla Nº 5.8: Redmeto y Edades de ua muestra de estudates del Colego Teresa Gozales de Fag, 998 Estud. Artmétca Leguaje Edad Redmeto Promedo Se lustra los cálculos auxlares del coefcete de correlacó de Pearso co los valores observados de las varables otas e artmétca (X ) y otas e leguaje (Y ). Estudates x y x x y y Totales x 93 y 4 x 553 x y 69 y 856 4

30 Luego reemplazado e la fórmula, el coefcete de correlacó etre las otas de artmétca y leguaje vale: r 5 5( 69) 93( 4) ( 553) ( 93) 5( 856) ( 4),878 Se observa ua correlacó alta y postva etre los putajes obtedos e los cursos de artmétca y leguaje. Es estadístcamete sgfcatvo el coefcete de correlacó ecotrado?. Respoderemos co la metodología de pruebas de hpótess. Paso : E la hpótess ula postulamos que o exste asocacó etre las otas de matemátcas y leguaje y la hpótess alteratva ega esa afrmacó. H : ρ H : ρ Paso : Para el coefcete de correlacó muestral r.878 y tamaño de muestra 5, el valor de la estadístca de prueba es: t c Paso 3: Para ecotrar la regó crítca, se tee e cueta que α.5, 5 y P ( t( 3) < t teórco ) Por tato, e la tabla t-studet se ecuetra el valor de t teórco.6. La regó de rechazo de la hpótess ula es el tervalo (-,-.6)U(.6, ). Paso 4: Como el valor de c t 6.6 cae e la regó de rechazo de la hpótess ula, la decsó es rechazar la hpótess de que o exste asocacó etre las otas de matemátcas y leguaje, a u vel de sgfcacó.5. 4

31 Ejemplo 5. Para ua muestra aleatora de 7 docetes uverstaros de la Facultad de Derecho de ua uversdad prestgosa se dspoe de la sguete formacó co respecto a sus sueldos y el tempo de servco e la doceca. Obtedremos la relacó etre esas varables y veremos s la correlacó ecotrada es estadístcamete sgfcatva. Solucó X: Años de servco de los docetes Y: Sueldos de los docetes a) Obteemos el coefcete de correlacó co la fórmula orgal, para lo cual realzamos los sguetes cálculos auxlares: profesor Años de sueldos servco x x y y x y Totales x y x y x y x y ( x )( y ) [ x ( x ) ] y ( y ) [ ] r 7(57576) (4)(9686) [ 7(98) 4 ][ 7(349578) 9686 ]

32 El valor obtedo os dca ua correlacó ula etre las varables volucradas. Es decr, para la muestra aalzada las varables años de servco y sueldos o está correlacoadas. Ejemplo 5.3 Usado la base DATOS-educacó se ajusta la recta de regresó etre las varables redmeto promedo y redmeto e el curso de álgebra, usado el método de mímos cuadrados. Se obtee el coefcete de correlacó y el dagrama de dspersó. Solucó Para el dagrama de dspersó, ajuste de la recta, el gráfco de la recta de regresó ajustada por el método de mímos cuadrados, y el coefcete de correlacó, ejecutamos los sguetes comados: a) Abrr el archvo de DATOS-educacó. GRAPHS/INTERATIVE/SCATTER/colocar e el X la varable ALGEBRA y e el eje Y la varable RENDIMIENTO PRO- MEDIO/ FIT/ e FIT LINE escoger TOTAL / ACEPTAR. b) Para ecotrar la ecuacó de la recta de regresó, los comados so los sguetes: ANALYZE / REGRESSION/LINEAR/ e DEPENDENT escoger RENDIMIENTO PROMEDIO y e INDEPENDENT escoger ÁLGEBRA/ STATISTICS/ actvar ESTIMATES y MO- DEL FIT/OK. c) ANALYZE / CORRELATE /BIVARIATE/ seleccoamos las varables orgales y las varables estadarzadas/actvar PEARSON/ OK. El output del SPSS os muestra lo sguete: 44

33 a) El dagrama de dspersó y el gráfco de la recta de regresó ajustada por el método de mímos cuadrados. Notas de álgebra y calfcacó promedo de profesores de educacó secudara Notas promedo Notas álgebra Observamos que las otas de álgebra y las calfcacoes promedo de profesores que partcparo e el programa de capactacó, tee ua relacó drecta y postva. b) El coefcete de correlacó de Pearso: Model Summary Adjusted Std. Error of Model R R Square R Square the Estmate.95ª a. Predctors: (Costat), NOTAS de ÁLGEBRA r,95 Coefcete de correlacó leal Se tee ua correlacó alta y postva etre las otas de álgebra y las calfcacoes promedo que alcazaro los profesores que partcparo e el programa de capactacó. 45

34 c) Los coefcetes de la recta de regresó so: Coeffcets a Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets Model B Std. Error Beta t Sg. (Costat) NOTAS DE ÁLGEBRA a. Depedet varable: NOTAS PROMEDIO a b y la recta de regresó ajustada por el método de mímos cuadrados es: Yˆ X, dode, mateedo costate la varable otas de álgebra aú podemos estmar la calfcacó promedo e putos. U cremeto e la otas de álgebra de u puto, por ejemplo, es acompañado por u cremeto e la calfcacó promedo de los profesores de educacó secudara e.78 putos. Regresó leal múltple Itroduccó E u modelo de regresó leal múltple, la varable depedete o respuesta (Y ) es ua fucó de dos o más varables depedetes o regresoras. U modelo de regresó co k varables depedetes o regresoras se puede expresar así: ( X X, X ) Y f,...,, 3 X k 46

35 Explcaremos el aálss de regresó leal múltple co los datos de la sguete tabla, e la que se muestra los coefcetes de telgeca (IQ), los promedos de calfcacoes y el tempo que estudates dedca al estudo. Se desea predecr el promedo de las calfcacoes de estos estudates e fucó de sus coefcetes de telgeca y de los tempos que dedca al estudo. Se puede observar que se tee dos varables, coefcete de telgeca y tempo dedcado al estudo, para explcar el comportameto de las calfcacoes promedo de los estudates. Para el problema descrto se postula la forma geeral del modelo de regresó leal múltple: dode: Y β + β X + X + e β Y: varable aleatora deomada varable depedete, β, β, β : parámetros del modelo de regresó leal múltple, X, X : varables depedetes, e: error aleatoro, mde el desajuste etre la realdad y el modelo, Esta ecuacó es muy smlar a la utlzada e la regresó leal smple, excepto que agregamos otra varable depedete. Para estmar los parámetros β, β, β se toma ua muestra de los valores ( y, x, x ),...,, y para cada dvduo se tee el sguete sstema de ecuacoes, y β + βx + βx + e, dode y es el -ésmo valor de la varable Y, x, x, los -ésmos valores de las varables depedetes X, X, por lo que e y β βx βx. Luego, se usa el método de mímos cuadrados, es decr se busca los valores de β, β, β que haga míma la suma de cuadrados de los errores, es decr, que mmce e. La solucó coduce a u sstema de ecuacoes deomadas ecuacoes ormales, a partr de las cuales, utlzado co- 47

36 ceptos de álgebra matrcal se ecuetra los estmadores de los parámetros β, β, β tema que escapa de los objetvos del curso y que o será abordado aquí. Los problemas de regresó múltple será resueltos co el soporte del SPSS, puesto que e la mayoría de las vestgacoes el úmero de observacoes y el úmero de varables es grade, lo que dfculta el trabajo maual. Así, Yˆ β ˆ ˆ ˆ + βx + β es las ecuacó de la recta de regresó múltple ajustada por el método de mímos cuadrados. Ejemplo 5.4 Para ua muestra de estudates se tee la formacó adjuta e la sguete tabla. Vamos a ajustar la recta de regresó múltple usado el método de mímos cuadrados. Promedo de calfcacoes, coefcete telectual y tempo dedcado al estudo Estudate IQ Tempo de Promedo de Y Número ( ) X estudo ( X ) calfcacoes ( ) Solucó Postulamos el modelo Y β + βx + β X + e, para estudar la relacó etre las varables. 48

37 dode: X : Coefcete telectual (IQ). X : Tempo de estudo. Y: Promedo de calfcacoes e : error β, β, β : parámetros a estmar. Usamos las opcoes del SPSS Actvar el SPSS y crear los datos e u archvo de ombre: COEFICIENTE. E VARIABLE VIEW defr las sguetes varables: IQ, TIEMPO y CALIFICA y e DATA VIEW colocar los datos de la tabla. Ejecutar ANALYZE/ REGRESSION/LINEAR/ gresar e DEPENDENT la varable CALIFICA y e INDEPENDENT las varables IQ TIEMPO/OK. El output del SPSS es el sguete: Coeffcets a Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets Model B Std. Error Beta t Sg. (Costat) IQ, TIEMPO a. Depedet varable: CALIFICA ˆβ βˆ βˆ Las estmacoes de los parámetros so: β ˆ 5.49 β ˆ.49 βˆ.8 49

38 dode: X : X : Coefcete telectual (IQ). Tempo dedcado al estudo. A partr de los resultados aterores se ecuetra la ecuacó de la recta de regresó múltple ajustada por el método de mímos cuadrados: Y ˆ X +. 8X, dode, mateedo costate la varable tempo de estudo, u cremeto e el coefcete telectual (IQ) de u puto, por ejemplo, es acompañado por u cremeto e el promedo de calfcacoes de.49 putos. E forma smlar, mateedo costate la varable coefcete telectual, u cremeto de hora e el tempo de estudo, es acompañado por u cremeto e el promedo de calfcacoes de.8 putos. Coefcete de determacó El coefcete de determacó, R, multplcado por, dca el porcetaje de la varacó de la varable depedete que es explcado por las varables depedetes del modelo. Se puede demostrar que la suma de cuadrados del total, y, se puede dvdr e dos compoetes: la suma de, y la suma de cua- ( y ) cuadrados debdo a la regresó, ( yˆ y) drados debdo al error ( ˆ ) y dode: y. Es decr: SCT SCR + SCE, SCT: suma de cuadrados del total. SCR: suma de cuadrados debdo a la regresó. SCE: suma de cuadrados debdo al error. 5

39 El térmo coefcete de determacó múltple mde la bodad de ajuste para la ecuacó de regresó múltple. Este coefcete se calcula como sgue: SCR R SCT E uestro ejemplo, la varable depedete es el promedo de calfcacoes de u alumo y las varables depedetes so el coefcete de telgeca y el tempo dedcado al estudo. El valor del coefcete de determacó es.9, valor que sgfca que, el 9% de las varacoes observadas e la calfcacó promedo de los alumos so explcables por las varacoes del coefcete de telgeca y del tempo dedcado al estudo. El valor.9 -.9, llamado coefcete de aleacó, dca que el 9% de las varacoes observadas e la calfcacó promedo de los alumos o so explcables por el modelo (e este caso por las varacoes e el IQ y tempo de estudo). Pruebas de hpótess Las pruebas de hpótess co respecto a los parámetros de la ecuacó de regresó múltple se basa e las estadístcas t de Studet y F de Sedecor. La prueba F se usa para determar s hay ua relacó sgfcatva etre la varable depedete y el cojuto de todas las varables depedetes. E estas codcoes se deoma prueba de sgfcacó global. La prueba t de Studet se aplca para determar s cada ua de las varables depedetes so sgfcatvas. Se hace ua prueba de hpótess por separado para cada varable depedete e el modelo a cada ua de esas pruebas de hpótess se deoma prueba de sgfcacó dvdual. A cotuacó explcaremos la prueba F y la prueba t, y aplcaremos para cada ua el ejemplo sobre el coefcete telgeca de estudates. 5

40 Prueba F Ates de descrbr los pasos de la prueba F ecestamos coocer el cocepto de cuadrado medo. Cosderado que el modelo de regresó múltple tee k varables depedetes. El cuadrado medo (CMR, CME) es ua suma de cuadrados dvdda etre sus grados de lbertad correspodete. E el caso de la regresó múltple, la suma de cuadrados del total tee - grados de lbertad, la suma de cuadrados de regresó (SCR) tee k grados de lbertad y la suma de cuadrados del error tee - k - grados de lbertad. SCR CMR k CME S SCE k El cuadrado medo del error es u estmador sesgado de σ. Prueba F para la sgfcaca global S el modelo geeral es: Y β + βx + βx βk X k + e, etoces: H : β β... βk H : Al meos uo de los parámetros o es gual a cero Estadístca de prueba CMR F CME Regla de decsó Co el estadístco de prueba: Rechazar H o s F c > F α. Co el valor p - value: Rechazar H o s el valor p - value < α. dode F α es la abcsa de la dstrbucó F co k grados de lbertad e el umerador y - k - grados de lbertad e el deomador. 5

41 Tabla de aálss de Varaza (ANOVA) La tabla de aálss de varaza, proporcoa la descomposcó de la suma de cuadrados de la regresó, los grados de lbertad asocados a cada suma de cuadrados, los cuadrados medos y los resultados de la prueba F para el modelo de regresó múltple. El valor del estadístco de la prueba F aparece e la últma columa y se puede comparar co Fα co k grados de lbertad e el umerador y ( - k - ) e el deomador (valor obtedo de la tabla F-Sedecor) cuado la hpótess ula es: H : β β... β k para el modelo Y β + β X + β X β X e k k +. Tabla ANOVA Regresó múltple co k varables depedetes Fuete Suma de Grados de Cuadrado cuadrados lbertad Medo Regresó SCR k Error SCE - k - Total SCT - SCR CMR k SCE CME k CMR F CME Ejemplo 5.5 Usado la formacó del ejemplo 5.4 vamos a hacer la prueba de hpótess referete a los dos parámetros poblacoales del modelo Y β + β X + X + e. Solucó Paso : β Las hpótess se formula como sgue: H β β H : al meos uo de los parámetros es gual a cero. : 53

42 Paso : El valor de la estadístca de prueba,, lo vamos a obteer utlzado los comados del SPSS: Crear el archvo: COEFICIENTE Defr las varables e VARIABLE VIEW, por ejemplo, IQ, TIEMPO y CALIFICA.Ejecutar: ANALYZE/ REGRESSION/LINEAR/ Seleccoar/ gresar e DEPENDENT CALIFICA y e INDEPENDENT las varables IQ TIEMPO/OK. El output del SPSS muestra lo sguete: ANOVA b Model Sum of df Mea F Sg. squares Square Regresso a Resdual E- Total 7. a. Predctors: (Costat), TIEMPO, IQ b. Depedet Varable: CALIFICA CME CMR F Estadístca de prueba F c CMR CME Paso 3: [ ] 5 Para α.5, k ; - k - 9, P F(,9) > F teórco. e la tabla - Sedecor se ecuetra el valor de F teórco La regó de rechazo de la hpótess ula es el tervalo (4.6; ). 54

43 Paso 4: Como F c > Fteórco 4. 6 etoces rechazamos H y coclumos que al meos uo de los parámetros es dferete de cero. Prueba t S la prueba F ha mostrado que la relacó etre la varable depedete y los regresores es estadístcamete sgfcatvo, se puede hacer ua prueba t para determar la sgfcaca de cada uo de los parámetros dvduales. Así para cualquer parámetro β se platea lo sguete: Paso : Para cualquer parámetro Paso : β H : β H : La dstrbucó de la estadístca de prueba es: βˆ t ~ t( ) s Paso 3: βˆ β α Para el vel de sgfcacó α, P t( ) < tteórco, e la tabla t ( ) se obtee el valor teórco de t, t teórco. La regó de rechazo es el tervalo (, t( teórco) ) U ( t ( teórco), ). Paso 4: [ ] S teórco t cae e la regó de rechazo, etoces se rechaza la hpótess ula. 55

44 S retomamos el ejemplo ateror y queremos saber s es estadístcamete sgfcatvo platearemos las sguetes hpótess. Paso : H : β H : Usado comados del SPSS obteemos la sguete tabla: β Coeffcets a Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets Model B Std. Error Beta t Sg. (Costat) IQ, TIEMPO a. Depedet varable: CALIFICA β ˆ β ˆ S βˆ S βˆ dode β ˆ, 49 s. y el valor de la estadístca de prueba βˆ es: βˆ.49 t c 4.9 sβ.. El valor de la t de Studet co 9 grados de lbertad y α /.5 /.5 es, t. 69. Paso 3:.9755 E la tabla el valor de la de Studet co 9 grados de lbertad y α /.5 /.5 es, t Para α,5 se ecuetra que t teórco t, 69.,975 56

45 Paso 4: Como t c 4.9 > t rechazamos la hpótess ula a u vel de sgfcacó de.5 y coclumos que la varable Coefcete Itelectual (IQ) explca el comportameto de las calfcacoes de los estudates. Trabajado co la msma metodología para el parámetro β, se ecuetra la sguete tabla. Coeffcets a Ustadardzed Coeffcets Stadardzed Coeffcets Model B Std. Error Beta t Sg. (Costat) IQ, TIEMPO a. Depedet varable: CALIFICA β ˆ β ˆ S βˆ S βˆ c de dode el valor de la estadístca de prueba es: t c βˆ s β y uevamete se rechaza la hpótess ula ( β ) 4. t >.69, co u vel de sgfcacó de.5., porque Pruebas o paramétrcas E los temas estudados a lo largo de este lbro hemos poddo otar el mportate lugar que le correspode a la dstrbucó 57

46 ormal e la teoría estadístca. S embargo, co frecueca e muchas stuacoes o se cooce s la dstrbucó desde la cual se ha seleccoado la muestra es tal que sea aplcable el teorema del límte cetral o s la aproxmacó a la dstrbucó ormal es lo sufcetemete adecuada como para que los tervalos de cofaza resultates y las pruebas de hpótess basadas e la teoría ormal tega valdez. E tales stuacoes se ecesta de métodos estadístcos cuya aplcacó sea depedete de la forma de la desdad. Estos métodos se deoma métodos o paramétrcos. Los métodos o paramétrcos que se desarrollará e esta seccó se aplca a famlas muy extesas de dstrbucoes e vez de famlas caracterzadas por ua forma fucoal partcular. La estructura de la mayoría de los métodos o pramétrcos descasa e las estadístcas de orde. Las estadístcas de orde represetadas por: X (), X (),,X () so la cosecueca de haber ordeado la muestra aleatora orgal X, X,,X e forma ascedete. Es decr: X (), es la más pequeña e magtud de todas las X's X (), es la seguda más pequeña e magtud de todas las X's... X (), es la más grade e magtud de todas las X's Se trabajará bajo el supuesto de que la muestra aleatora provee de ua dstrbucó cotua. Esto mplca que la probabldad que dos observacoes muestrales sea guales es cero. Es decr, co probabldad ua las observacoes maestrales será ordeadas desde la más pequeña a la más grade s teer e este ordeameto dos valores guales. E la práctca, frecuetemete observamos e la muestra dos o más valores guales deomados empates (tes); para lo cual depededo de la prueba se utlzará u factor de correccó por empates. Poscó y dspersó 58

47 E el caso paramétrco hemos utlzado la meda y la desvacó estádar poblacoales como meddas de poscó y dspersó respectvamete, pero los métodos o paramétrcos utlza como medda de poscó a la medaa M, que es el puto que dvde e dos partes guales el área lmtada por la fucó de desdad f(x), tal como se grafca a cotuacó. E ua dstrbucó cotua P ( X M ) P( X M ). f(x) 5% del área 5% del área La medaa poblacoal M, se estma medate la medaa muestral m. Para la obtecó de la medaa como es coocdo prmero debe orgazarse los datos e forma ascedete, la medaa será el valor cetral s el úmero de datos es mpar y será la semsuma de los valores cetrales s se cueta co u úmero par de datos. Es decr, x( k m x( k + ) ) + x M ( k+ ) s k + s k La medaa muestral o es u estmador sesgado de la medaa poblacoal, pero este sesgo tede a cero al aumetar el tamaño de la muestra. Como medda de dspersó se emplea etre otras el rago tercuartl, la dfereca etre el cuartl 3 y el cuartl : R Q 3 Q Ejemplo

48 Se cueta co los sguetes valores: x.6, x.98, x 3 ;.3, x.8, x los cuales correspode a 5 valores observados de 5 esayos depedetes de u expermeto. Se determará la medaa muestral. E prmer lugar se ordea e forma ascedete las observacoes: x.3 < x.53 < x.6 < x.8 < x.98 () () (3) (4) (5) Como se cueta co u úmero mpar de observacoes la medaa muestral es x. 6. (3) E esta seccó estudaremos los sguetes métodos o paramétrcos: Para ua poblacó: Prueba de Wlcoxo. Para dos poblacoes depedetes: Prueba de MaWhtey Para tres o más muestras depedetes: Prueba de Kruskall Walls Prueba de bodad del ajuste: Prueba de Kolmogorov Prueba de Wlcoxo E alguas vestgacoes se requere probar ua hpótess ula co respecto a la meda poblacoal, pero la dstrbucó bajo estudo o es la dstrbucó ormal. E tal stuacó u procedmeto estadístco adecuado es la prueba de Wlcoxo, la cual utlza las magtudes de las dferecas etre las medcoes y el valor de la medaa poblacoal propuesta e la hpótess ula. Supuestos La prueba de Wlcoxo se basa e los sguetes supuestos.. La muestra X,X,..,X es ua muestra aleatora. La varable e estudo es cotua 6

49 3. La poblacó se dstrbuye smétrcamete 4. La escala de medcó es al meos de tervalo Hpótess Se platea a cotuacó la hpótess ula co su respectva hpótess alteratva I. H : M M H : M M II. H : M M H : M < M III. H : M M H : M > M E cada uo de los casos co u vel de sgfcacó α. Procedmeto para la obtecó de la estadístca de prueba Cuado se utlza la prueba de Wlcoxo se realza los sguetes cálculos.. Se obtee las dferecas D X -M,,,,. S algú X es gual a M, éste es elmado y como cosecueca el tamaño de la muestra dsmuye.. Se ordea las dferecas D e forma ascedete s cosderar el sgo de la dfereca. Es decr, se ordea las dferecas e valor absoluto, D. S dos o más de los D so guales, se obtee el promedo de los ragos que ocupa las dferecas empatadas y este valor es asgado a cada ua de las observacoes empatadas. 3. Se retoma el sgo de la dfereca D y es asgado al rago respectvo. 4. Se obtee y T + y T -, que represeta a la suma de ragos co sgo postvo y egatvo respectvamete. La suma total de los ragos es: + ( + ) T T Estadístca de prueba ( +), etoces 6

50 Depededo de la hpótess alteratva plateada se cosdera como estadístca de prueba a { + + T m T, T }, T o T. S la hpótess ula H es verdadera, es decr, s la medaa poblacoal, M, es gual a la medaa hpotétca, M, y se cumple los supuestos, la probabldad de observar ua dfereca D postva es gual a la probabldad de observar ua dfereca egatva. Etoces al repetr el muestreo, el valor esperado de T + es gual al valor esperado de. E ua muestra específca o sucede que T + sea exactamete gual a T -. S embargo, cuado H es verdadera o esperamos ua gra dfereca etre ambos valores. Esto trae como cosecueca que u valor sufcetemete pequeño de T + o T - causa el rechazo de H. Valores crítcos E la Tabla G del Apédce se ecuetra los valores crítcos d de la estadístca de prueba de Wlcoxo para muestras de tamaño 4 hasta y dsttos veles de sgfcacó. Regó crítca La regó crítca depede de la hpótess alteratva plateada. E la sguete tabla se resume los tres casos de la prueba de hpótess respecto de la medaa de ua poblacó. Ejemplo 5.7 Hpótess Estadístca de Prueba Regla de decsó Rechazar, H : M M s I. II. H : M M H : M M H : M M H : M < M { T + } T m, T + T T d T + d III. H : M M H : M > M T T d E cada caso co u vel de sgfcacó α. 6

51 U pscólogo está teresado e teer evdeca sufcete para coclur que las calfcacoes de destreza maual promedo e estudates dscapactados es dferete de 45 putos. Para llevar a cabo su estudo seleccoa ua muestra aleatora de 5 estudates dscapactados y regstra sus calfcacoes de destreza maual. La formacó que obtee es la sguete: Los datos so cocordates co la propuesta del pscólogo?. Utlce α Solucó. Paso : Se platea las hpótess Se trata de u problema de fereca estadístca acerca de la medaa poblacoal M : "calfcacó meda de la destreza maual de ua poblacó de estudates dscapactados" Hpótess ula: La calfcacó meda es M 45, dode M 45 putos. Es decr, H : M 45 Hpótess alteratva: La calfcacó meda es dferete de 45 putos. Es decr, H : M 45 Paso : E base a la muestra aleatora se realza los cálculos para obteer la estadístca de prueba. 5 63

52 Obs x D rago sg ra Obs x D rago sg ra ( D ) ( D ) ( D ) ( D ) ,5 4, ,5, ,5 8, ,5 4,5 34-8,5 8, ,5 6,5 35-6,5 6,5 4 47,5, ( + ) 5(6) Suma total de ragos: 35 + Suma de ragos postvos: T 63. 5, Suma de ragos egatvos: T 6. 5 Estadístca de prueba: + {, T } mí{ 63.5, 6.5} T mí T. Paso 3. Obtecó de la regó crítca E la tabla G del Apédce, el valor de d. La regó crítca está coformada por T d y para uestro ejemplo la regó crítca es: T <. Paso 4. Decsó 64

53 Regó de rechazo T El valor de T 63. 5, se ecuetra e la regó de rechazo. Es decr, T 63.5 < d, lo cual mplca el rechazo de la hpótess ula. Es decr, e base a las observacoes muestrales, el pscólogo ecuetra u soporte a su afrmacó de que el putaje medo de las calfcacoes de la destreza maual de la poblacó de estudates dscapactados bajo estudo, es dferete de 45 putos. Aálss por computadora usado el SPSS Debe señalarse que el SPSS o tee el aálss para probar la medaa poblacoal e base a ua muestra. Cueta co el aálss para muestras relacoadas. Adaptaremos este procedmeto a uestro caso procededo de la sguete forma:. Utlzar el artfco de crear ua varable que ha sdo deomada Meda, la cual cotee el valor de la medaa propuesta bajo la hpótess ula.. Crear la varable Destrez, la cual cotee las 5 medcoes de destreza maual de cada uo de los estudates. 3. Proceder a ejecutar los sguetes comados: Aalyze/ Noparametrc Test/ Related Smples / Seleccoar las varables Meda y Destrez/ Test Tpe actvar Wlcoxo/ clck OK. A cotuacó mostramos el edtor y el output. EDITOR OUTPUT 65

54 E Test Statstcs el p-value Wlcoxo.8 <.5, Sged etoces Raks Test se rechaza H. Raks N Mea Sum of Rak Raks destrez - Negatve 8(a) medaa Raks Postve 7(b) Raks Tes (c) Total 5 a destrez < medaa b destrez > medaa c destrez medaa Test Statstcs(b) destrez - medaa Z -.666(a) Asymp. Sg. (-taled).8 a Based o postve raks. b Wlcoxo Sged Raks Test Prueba de MANN-WHITNEY Cuado el supuesto de que cada ua de las poblacoes e estudo se dstrbuye ormalmete o se cumple, las pruebas de hpótess para cotrastar que las medas poblacoales so guales o puede ejecutarse. Como alteratva se cueta co u método o paramétrco, la prueba de Ma-Whtey, que es ua prueba apropada para cotrastar la hpótess de que las medaas de dos poblacoes depedetes so guales, y dode la forma fucoal de estas poblacoes o está especfcada. Este método se basa e datos geerados por dos muestras aleatoras depedetes, seleccoadas de cada ua de las poblacoes de terés. Estas muestras so depedetes e dos aspectos. Uo de ellos es que exste depedeca etre muestras y el otro aspecto es que 66

55 detro de cada muestra las observacoes que la coforma també so depedetes. Esta prueba fue propuesta por Ma y Whtey (947), además se tee refereca que Wlcoxo (945), propuso u procedmeto semejate. Es por ello que també es coocda como la prueba de Wlcoxo-Ma-Whtey. Supuestos Las muestras aleatoras, X,., X y X,., X, utlzadas para el aálss so seleccoadas depedetemete de sus respectvas poblacoes. La varable de terés es cotua. La escala de medcó observada es al meos ordal. Las dos poblacoes e estudo dfere sólo co respecto a su poscó. Hpótess Se platea a cotuacó la hpótess ula co su respectva hpótess alteratva I. H : M H : M M M II. H : M H : M M < M III. H : M H : M M > M Dode M y M represeta las medaas de la poblacó y poblacó respectvamete. E cada uo de los casos las pruebas se realza co u vel de sgfcacó α. Procedmeto para la obtecó de la estadístca de prueba Para calcular la estadístca de prueba se procede de la sguete forma.. Se comba las dos muestras (de tamaños y ).. Las + observacoes so orgazadas e forma asce- 67

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