Jesús Eduardo Pulido Guatire, marzo Diagrama de Dispersión y Correlación Lineal Simple

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1 Jesús Eduardo Pulido Guatire, marzo 0 Diagrama de Dispersión y Correlación Lineal Simple Hasta el momento el trabajo lo hemos centrado en resumir las características de una variable mediante la organización de sus datos en distribuciones de frecuencia, su representación gráfica, a través de los resultados obtenidos en las medidas de tendencia central, posición y de variabilidad. Pese al recorrido realizado por el conjunto de métodos estadísticos aún hay dudas por aclarar, tales como: si se conoce los resultados en una prueba de conocimientos en una determinada asignatura Estarán relacionadas las respuestas de los ítems pares con las de los impares?; si un grupo de alumnos presentan dos pruebas y se conocen sus resultados Habrá relación entre los resultados logrados por el grupo en las dos pruebas?; Habrá relación entre las estrategias metodológicas y el logro de los alumnos en un determinado curso?; Estarán relacionados el peso y la estatura?; Habrá relación en el rendimiento de los alumnos que son evaluados y reciben refuerzo con el de los que se evalúan pero no reciben refuerzo? etc. Cada uno de estos planteamientos apuntan hacia el análisis de la relación entre dos variables (bivariada), medidas en un nivel ordinal, por intervalos o de razón, es decir, se trata de la correlación; entendida como la medida de relación entre dos variables que indica hasta qué punto lo que le sucede al conjunto de datos que toma una variable le ocurre a los valores que toma la otra variable. Este concepto plantea la necesidad de expresar cuantitativamente el grado en que se relacionan dos variables. Este grado puede ser positivo o negativo, puede lograr un valor de más o menos uno (correlación perfecta), puede tender a uno (correlación moderada o fuerte), puede alejarse de uno y acercarse a cero (correlación débil) o, simplemente, no se evidencia relación (ausencia de relación). Esta expresión cuantitativa se representa mediante la letra ere (r ), en algunos casos aparece (r x y ), significa que se trata del coeficiente de correlación entre las variables X y Y. 1

2 Una correlación positiva, significa que los individuos mantienen la misma posición relativa en un par de variables; sujetos con valores altos en una variable tenderán a obtener valores altos en la otra variable. Cuando la correlación es negativa, el proceso se da a la inversa. En el siguiente ejemplo se ilustra lo expresado; supongamos que el Rendimiento de un grupo de estudiantes de 7 grado en cuatro asignaturas, durante su primer lapso, es el que se indica en el cuadro que se presenta seguidamente: Cuadro Distribución de calificaciones por asignaturas de los alumnos de 7º grado Alumnos Castellano (U) Historia de Venezuela (V) Geografía General (W) Inglés (X) En un sistema de coordenadas vamos a observar el comportamiento de las calificaciones en Castellano (U) e Historia de Venezuela (V), para ello se ubica U en el eje de las abscisas y V en el eje de ordenadas (se puede hacer a la inversa), posteriormente se ubican las calificaciones de acuerdo con cada par ordenado, por ejemplo, (, ); (9, 11);...; (15, 17), tal como se presenta en el gráfico.

3 1 HISTORIA CASTELLANO Gráfico 6. Asociación de las calificaciones en Castellano e Historia. En el gráfico se observa que el comportamiento de las calificaciones genera una nube de puntos ( pares ordenados) en forma lineal, que va creciendo desde el extremo inferior izquierdo hasta el extremo superior derecho; estamos en presencia de una correlación perfecta positiva (r UV = +1), porque todos los puntos están comprendidos en la línea recta y además, porque las calificaciones más altas en Castellano están asociadas con las más altas en Historia y a la inversa. Si se representa en el sistema de coordenadas las calificaciones de Historia (V) y Geografía (W) se obtiene el siguiente gráfico: 3

4 1 GEOGRAFÍA GENERAL HISTORIA DE VENEZUELA Gráfico 7. Asociación de las calificaciones en Historia y Geografía. En este caso, las calificaciones también están comprendidas en una línea recta, que se desplaza desde la parte superior izquierda hasta la parte inferior derecha, este comportamiento es un indicador de que las calificaciones tienen una relación perfecta negativa (r V W = - 1), porque las calificaciones bajas en Historia están asociadas con las calificaciones altas en Geografía y a las calificaciones altas en Historia le corresponden notas bajas en Geografía. Veamos lo que sucede cuando se representa en el sistema de coordenadas las calificaciones de Geografía General (W) e Inglés (X): 4

5 0 1 INGLÉS GEOGRAFÍA GENERAL Gráfico. Asociación de las calificaciones de Geografía e Inglés La disposición de la nube de puntos en el gráfico no evidencia una línea recta, pero si trazamos una línea de tal modo que por encima y por debajo de ella quede, aproximadamente, igual número de puntos obtenemos un gráfico como el siguiente 0 1 Inglés Geografía General El gráfico evidencia que la nube de puntos tiene, por aproximación, una tendencia lineal, que su relación no es perfecta, porque sólo tres puntos están 5

6 alineados y cinco están fuera de la recta de regresión (tres por encima y dos por debajo); de igual modo, el gráfico indica que la correlación es de signo negativo, pero no se puede aseverar que su fuerza de asociación sea por ejemplo, 0,9; 0,60; 0.43; 0,30 ó 0,0045. Este coeficiente para conocerlo hay que determinarlo. De los ejemplos se puede concluir, en primer término, que el coeficiente de correlación establece la correspondencia que hay entre los valores que toman las dos variables, la cual se evidencia en la nube de puntos y, en segundo término, que el coeficiente de correlación puede tomar valores que van desde menos uno hasta más uno 1 r 1. Mientras más próximo a más o menos uno ( 1) esté el coeficiente de correlación más fuerte es su relación y mientras más se aleje de este valor más débil es su relación. Los gráficos presentados anteriormente se denominan diagramas de dispersión y es el primer paso que se debe dar cuando se desea analizar la relación entre dos variables; si el nivel de medición de las variables es por lo menos de intervalo y tienen comportamiento lineal, la magnitud del coeficiente de correlación se obtiene por el método de Pearson, conocido también como producto-momento; este es un coeficiente de orden cero porque no controla el efecto que puede producir otras variables en la correlación. Garrett (196) y Hamdan-González (1994) presentan una fórmula práctica para calcular el coeficiente: r xy = N X N XY X X * Y N Y Y Sus términos significan: r xy : Coeficiente de correlación entre las variables X y Y. X: Variable con nivel de medición de intervalo o razón. Y: Variable con nivel de medición de intervalo o razón. N: Número de casos en las variables a ser correlacionados. 6

7 Cuando la relación entre las variables no es lineal, se aplica el modelo matemático que se corresponda con el comportamiento de los puntos en el diagrama de dispersión (logarítmica, cúbica, potencia, exponencial, etc). Veamos el proceso para determinar, por el método de Pearson, el coeficiente de correlación ( r xy en Geografía General e Inglés: Alumnos ) a las calificaciones obtenidas por los alumnos Geografía General (W) Inglés (X) Pasos a seguir: 1. Construir el diagrama de dispersión y analizarlo para verificar la posible existencia de una tendencia lineal en los datos; si la condición se cumple se procede con los siguientes pasos.. Adecuar los términos de la fórmula a los símbolos adoptados para las variables a estudiar: r wx = n w n w* x w n w x x x 3. Incorporar al cuadro de las variables (WX) las columnas con los términos que permitan desarrollar la fórmula sin inconvenientes, tal como se explicó cuando utilizamos la fórmula para calcular la media aritmética (ver material sobre Medidas de Tendencia Central). 7

8 4. Sustituir los resultados de las columnas en la fórmula y hacer las operaciones matemáticas correspondientes (restas, productos, raíz cuadrada y división). Veamos el proceso en la práctica: El diagrama de dispersión ya se construyó; sabemos que los datos de las variables Geografía e Inglés (nivel de medición de intervalo), por aproximación, tienen una tendencia lineal y su relación es negativa (o inversa); dicho en otros términos, existe una relación negativa o inversa entre las dos variables. Las columnas adicionales se especifican en el siguiente cuadro: Alumnos Geografía ( w) Inglés ( X ) W* X W X Con base en los resultados obtenidos en el cuadro, se procede a sustituir los componentes de la fórmula, de la siguiente manera: r wx = *1500 *09 r wx = *64 6 r 176 wx = r 176 wx = r 176 wx = , 919 r w x = - 0,44.

9 El signo del resultado corrobora la disposición de las calificaciones en el diagrama de dispersión (relación inversa). Es probable que de este resultado (r wx = 0, 44 ) emerja una duda en torno a cómo se interpreta este coeficiente; hasta ahora se sabe que en la medida que un coeficiente se acerca a 1 su relación es alta y en la medida que se aleja, el coeficiente es débil; este valor tiende alejarse de menos uno (-1), entonces, Se puede calificar de débil? En verdad que no es lo más aconsejable, existen clasificaciones que orientan la interpretación del significado de los coeficientes de correlación, entre otras está la de Hamdan-González (1994). Valores del coeficiente Nivel de correlación (grado de relación entre variables) < 0,0 Correlación insignificante (muy poca relación) 0,0 a 0,40 Correlación baja (relación muy débil) 0,40 a 0,70 Correlación moderada (relación significativa) 0,70 a 0,90 Correlación alta (relación fuerte) 0,90 a 1,00 Correlación muy alta (relación casi perfecta) Precisa el autor, En el caso de que la correlación sea de sentido negativo o inversa, pueden establecerse igualmente niveles similares a los anteriores (p.4). Según esta clasificación, existe una relación significativa inversa entre las calificaciones obtenidas por los alumnos en Geografía e Inglés. Si en lugar de 0,44 el resultado es 0,40, se hubiese presentado una dificultad para interpretarlo, porque este valor está tanto en la categoría de relación muy débil como de relación significativa; esta limitante se presenta igualmente para los coeficientes 0,70 y 0,90. Esta ambigüedad que se presenta en la clasificación de Hamdan, se puede superar modificando los intervalos de los coeficientes de correlación en la siguiente forma: 9

10 Nivel de correlación Valores del coeficiente (grado de relación entre variables) r < 0,0 Correlación insignificante (muy poca relación) 0,0 r < 0,40 Correlación baja (relación muy débil) 0,40 r < 0,70 Correlación moderada (relación significativa) 0,70 r < 0,90 Correlación alta (relación fuerte) 0,90 r 1,00 Correlación muy alta (relación casi perfecta) Modificación hecha por Pulido, J. E. (006) Referencias Bibliográficas Garrett, H. (196). Estadística en psicología y educación. Buenos Aires: Editorial Paidos. Hamdan-González, N (1994). Métodos estadísticos en educación. Caracas: Ediciones de la Biblioteca.