PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA II

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1 UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL Facultad Regoal Sa Ncolá PROBABILIDAD ESTADÍSTICA II UNIDAD Nº Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca Año 011 Mg. Lucía C. Sacco

2 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN UNIDAD Nº Varable aleatora bdmeoale dcreta. Correlacó regreó. Correlacó. Dagrama de dperó. Parámetro de ua dtrbucó bdmeoal. Eperaza matemátca varaza. Covaraza. Correlacó leal. Coefcete de correlacó leal. Coefcete de determacó. Regreó leal. Recta de regreó mímo cuadrátca. Fabldad de la recta de regreó. Propóto: Brdar oportudade para la cotruccó de herrameta que permta: - Utlzar lo dagrama de dperó para repreetar cojuto de dato de do varable. - Apreder el gfcado de correlacó etadítca. - Medr la depedeca etadítca co auda del coefcete de correlacó leal. - Calcular la recta de regreó emplearla para hacer etmacoe. Bblografía ugerda: Caavo, George. Probabldad Etadítca. Aplcacoe Método. Méco. McGraw Hll Meer Paul L. Probabldad Aplcacoe Etadítca. Méco. Addo Wele Iberoamercaa Walpole Roald, Mer Ramod. Probabldad Etadítca. Méco. Pearo Educacó Zlberberg, Alejadro. Probabldad Etadítca P(X). Nueva Lbrería. Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága

3 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN 1. Correlacó Al etudar dtrbucoe bdmeoale, el objetvo peregudo e determar ete relacó etadítca etre la do varable coderada. E decr, ver lo cambo e ua de la varable flue e lo cambo de la otra. Cuado ucede eto, dremo que amba varable etá correlacoada o que ha correlacó etre ella. S la varable crece cojutamete, la correlacó e drecta. S, por el cotraro, al aumetar ua de ella dmue la otra, la correlacó erá vera. La correlacó puede clafcare como fuerte cuado el grado de depedeca e alto; como débl e cao cotraro. S la correlacó e fuerte, a partr de ua varable puede etmare la otra co ua probabldad alta. S la correlacó e débl, la etmacó de ua varable a partr de otra e poco fable. Ejemplo a) La correlacó etre el úmero de zapato la etatura de la peroa e drecta fuerte. (La fábrca de zapato hace talla de zapato má grade e Sueca que e Japó, pue, e geeral, lo ueco o má alto que lo japoee. No obtate, ade e compra lo zapato por u etatura, todo el mudo e lo prueba!!). b) La varable temperatura el úmero de efermo de grpe etá veramete correlacoada: a meor temperatura má efermo de grpe. Quzá e trate, també, de ua correlacó fuerte. c) La varable altura cocete telectual de la peroa o etá correlacoada. d) La correlacó etre el úmero de errore cometdo tempo empleado e realzar ua tarea por u grupo de peroa o abemo cómo e; para determarla habría que teer dato cocreto Dagrama de dperó El prmer pao para determar el etdo el grado de la correlacó etre do varable cote e repreetar gráfcamete, e el plao carteao, lo pare de valore coocdo. Eto gráfco, que recbe el ombre de dagrama de dperó, permte vualzar la pocó de lo dato e el plao. La forma de la ube de puto aocada a cada dagrama o permtrá etablecer cojetura obre la correlacó etete etre la varable etudada. Ejemplo 1 Lo guete dato correpode a la vda útl a la velocdad de corte de ua herrameta: Velocdad de corte: Vda útl: Dado lo pare de valore (, ) etre lo cuale e deea etudar la relacó, e repreeta a lo mmo e u tema de eje carteao ortogoale, eleccoado ua ecala de modo que la lectura del dagrama reulte má fácl Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 3

4 Vda útl Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN (geeralmete e codera la dfereca etre el mámo mímo de cada varable a ea dfereca e le aga la mma logtud e cada eje). S ua de la varable e puede coderar como la varable que caua, o eplca lo cambo obervado e la otra, a ea varable e la deoma eplcatva e la repreeta obre el eje. E ete cao, a la otra varable e la deoma varable repueta e la repreeta obre el eje. S o e quere dtgur etre varable eplcatva varable repueta, cualquera de la do puede repreetare e el eje de la abca. El guete dagrama de dperó correpode a lo dato obre la velocdad de corte vda útl de ua herrameta. 44,85 34,68 4,50 14,33 4,15 85,00 91,5 97,50 103,75 110,00 Velocdad Para terpretar u dagrama de dperó e ecearo recoocer prmero u apecto geeral que debe revelar la dreccó, la forma e tedad de la relacó etre la varable. A partr del dagrama de dperó e percbe ua relacó co tedeca leal pedete egatva. Valore uperore al promedo de la velocdad de corte etá e correpodeca co valore que o ferore al promedo de la vda útl valore ferore al promedo de velocdad de corte etá e correpodeca co valore que upera el promedo de la vda útl. E ete cao decmo que la varable etá relacoada egatvamete. Ammo decmo que do varable etá relacoada potvamete cuado lo valore que e repreeta obre el eje que upera u promedo tede a etar e correpodeca co lo valore que e repreeta obre el eje upera u promedo, lo valore ferore al promedo de cada varable també tede a ocurrr cojutamete. S ete ua fuerte relacó etre do varable, el coocmeto de ua de ella permte predecr el comportameto de la otra, pero cuado la relacó e débl, la formacó de ua de la varable o auda demaado a etraer cocluoe obre la otra. E geeral, depededo de la forma de la ube de puto, puede aegurare: Ua ube de puto alargada dca correlacó leal: lo puto e dtrbue e toro a ua líea recta. La etrechez de la ube eprea que la correlacó e fuerte. S la recta que e ajuta a la ube tee pedete potva, la correlacó erá drecta; al crecer la varable X, lo hace també la varable Y. Ua recta co pedete egatva, dca que la correlacó e vera, al crecer X, dmue Y. Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 4

5 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN Correlacó drecta fuerte Correlacó drecta débl Correlacó ula Actvdade: 1. Ocho peroa, co mlar detreza e mecaografía, teclearo 40 líea de teto e u ordeador. El tempo empleado, e muto, el úmero de errore cometdo, fuero: Tempo (X) Errore (Y) Qué tpo de correlacó e da etre la varable etudada?. Lo guete dato correpode al coumo de combutble de u auto a medda que aumeta u velocdad. Velocdad Coumo a) Dbuja u dagrama de dperó. Cuál codera que e la varable eplcatva? b) Decrbe la forma de la relacó. Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 5

6 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN. Parámetro de ua dtrbucó bdmeoal Lo dato de ua dtrbucó bdmeoal uele dare e forma de tabla. Lo dato correpodete a cada ua de la varable e llama dato margale. E el cao de tabla de doble etrada puede hablare de frecueca margale. Eto dato permte el cálculo de lo parámetro margale de cada ua de la varable..1. Meda La meda margale para cada ua de la varable X e Y vale repectvamete: El puto (, ) e llama cetro medo de la dtrbucó. E el cetro de gravedad (o cetro de maa) de la ube de puto... Varaza devacoe típca La varaza margale, que deotamo Para la varable X: Para la varable Y: ( ) ( ), vale: La devacoe típca margale, varaza. o la raíz cuadrada de la repectva.3. La covaraza La covaraza e u parámetro etadítco cojuto, pue, e u cálculo tervee la do varable a la vez. Se defe como la meda artmétca de lo producto de la dfereca de lo valore de cada varable repecto de u meda margal. Por tato, vale: ( ) ( ) La covaraza e u úmero tal que: 1. Su go dca el etdo de la correlacó etre la varable. S S 0, la correlacó e drecta. S S 0, la correlacó e vera.. U valor grade de S adverte que la correlacó etre la varable puede er fuerte. Pero a la covaraza le paa lo mmo que a la varaza: e ve afectada por la udad de medda e que vega lo dato. Por otra parte, la dtta aturaleza de lo feómeo etudado hace que la comparacó etre covaraza carezca de gfcado. E deftva, la covaraza ólo o da el Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 6

7 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN etdo de la correlacó: drecta e potva e vera u valor e egatvo. Actvdad: 3. S coderamo la dtrbucó que mde la altura de ño e cm de dferete año: Año (X) Etatura (Y) a. Realzar el dagrama de dperó b. Hallar u covaraza. c. Qué tpo de correlacó preeta la varable año etatura? qué mplca eto? 3. Cálculo de la correlacó leal E la dtrbucoe de ua ola varable, el coocmeto de la varaza (o la devacó típca) o bata para precar la dperó de la dtrbucó, o que e ecearo defr ua medda relatva de la varabldad: el coefcete de varacó. Algo parecdo ha que hacer co la dtrbucoe bdmeoale, pue tampoco la covaraza da ua medda objetva (comparable) de la correlacó de la varable Coefcete de correlacó leal El valor del coefcete de correlacó leal e el crtero que e utlza para medr la fuerza de la correlacó etre do varable. Ete coefcete, deotado, e defe aí Eto e, la razó etre la covaraza de la varable X e Y el producto de u devacoe típca margale. La propedade fudametale del coefcete de correlacó o: 1. El valor de o camba al hacerlo la ecala de medcó, pue la covaraza el producto de la devacoe típca varía e la mma proporcó.. El go de e el mmo que el de la covaraza, pue la devacoe típca empre o potva. Luego: S 0, la correlacó e drecta. S 0, la correlacó e vera. Ete coefcete mde ecluvamete la correlacó leal etre varable. Por tato, puede haber otro tpo de correlacó o detectada por. Por ejemplo, Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 7

8 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN o detectaría la correlacó epoecal perfecta que ha etre lo puto (-1, 0,5), (0,1), (1,) (4,16), que perteece todo a la gráfca de 3. El valor de etá etre -1 +1: S toma valore cercao a 0 por zquerda, la correlacó e débl (e vera). 5. S toma valore cercao a +1, la correlacó e fuerte ( drecta). El go de o determa la fuerza de correlacó: ólo el etdo. Tampoco dca la maor o meor pedete de la recta aocada a la ube de puto. 6. S 1, la correlacó e perfecta. Ha depedeca leal etre la varable X e Y. 7. S toma valore cercao a 0, la correlacó e débl. Lo dagrama guete aclara eta propedade. Actvdade: 4. Hallar el coefcete de correlacó etre el tempo empleado el úmero de errore cometdo por ocho peroa al realzar u trabajo de mecaografía (Actvdad 1). 5. Hallar el coefcete de correlacó de la dtrbucó dada por la guete tabla: X Y Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 8

9 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN 3.. Coefcete de determacó Cuado etá prómo a 1 (o a -1), la correlacó leal e fuerte. Eto gfca que lo cambo e la varable Y e eplca, e gra medda, por lo cambo de la varable X, e coecueca, e puede hacer etmacoe fable de Y a partr de X. Ua meda de eta fabldad e, edo el coefcete de correlacó, pue u valor dca la proporcó de la varacó e la varable Y que puede er eplcada por lo cambo de la varable X. A e le llama coefcete de determacó. S multplcamo por 100 e obtee el porcetaje de cambo de Y eplcado por X. Aí, 0, lo cambo e la varable eplca el 0 % de lo cambo e la varable Y, o ea, ada: la varable X e Y o lealmete depedete. Y 1 (o 1 ), la varacó de Y e eplca totalmete, al 100% por la varacó de la X; e ete cao, la varable X e Y o lealmete depedete. Fuera de eto límte, el porcetaje eplcado e 100. Ejemplo a) El coefcete de correlacó etre la edad la altura de ño (Actvdad 3), vale 0, 94. Por tato, el coefcete de determacó erá 0,94 0,88. Eto gfca que, e lo ño de uetro ejemplo, el 88% de u altura e eplca por la edad; el reto, hata el 100%, erá debdo a otra caua: altura de u padre, deta, etc. b) El coefcete de determacó etre el tempo empleado el úmero de errore cometdo por ocho peroa (Actvdad 1), vale ( 0,764) 0,584. O ea, el tempo empleado eplca el 58,4% de la dfereca de errore. El 41,6% de la varacó retate e debe a caua decoocda por ootro. 4. Regreó leal Hata ahora o hemo lmtado, a decr cuádo do varable etá correlacoada. Prmero, repreetábamo el dagrama de dperó decíamo que, cuado ua recta e ajutaba be a la ube de puto, etoce la correlacó era fuerte. Depué, co el coefcete, dábamo ua medda del etdo fuerza de la correccó. E eta ocaó, acaremo el mámo provecho a la correlacó, hallado qué recta e la que mejor e ajuta a la ube de puto. Eta recta o permtrá calcular qué valor de Y e el que cabe eperar para u valor coocdo de X. O ea, podremo hacer etmacoe de ua varable a partr de la otra Recta de regreó mímo cuadrátca La recta de regreó e la recta que mejor e ajuta a la ube de puto. E ua recta deal que agaría a cada valor de la varable X el promedo de lo correpodete a. E coecueca, debe paar por el puto (, ) gravedad de la dtrbucó bdmeoal., cetro de Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 9

10 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN Al er ua recta deal o tee por que paar por guo de lo puto dado, pero í lo má cerca poble de todo ello. De cualquer maera, empre e cometerá errore e la etmacó. Obvamete, lo que e pretede e que eto errore ea lo má pequeño poble. La recta que mejor e ajuta a eto propóto e la recta de regreó mímo cuadrátca, que e aquella que mmza la uma de lo cuadrado de lo errore. Eto e, la ecuacó de eta recta e, lo puto dado o a b, ),, ),, ) ( 1 1 ( cumplre que la uma valor dado, mmo : (, debe e1 e... e, correpodete a ea míma, edo e la dfereca etre el a b, el valor deducdo e por la recta para ee Co eta codcoe, lo valore de la pedete a de la ordeada al orge b de ea recta vale: a b Luego, la ecuacó de la recta de regreó e: ( ) Sedo e la meda margale de la varable X e Y, la varaza de X la covaraza. Eta recta de regreó e llama Y obre X, pue e utlza para Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 10

11 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN predecr (etmar) lo valore de Y a partr de lo de X. S lo que e deea e etmar lo valore de X partedo de lo de Y, e empleará la ecuacó de la recta de regreó de X obre Y, que e: Actvdade: ( ) 6. Co lo dato de la Actvdad 1: a) hallar la ecuacó de la recta de regreó que permta etmar lo errore a partr del tempo. b) repreetar la recta lo puto dado. c) etmar el úmero de errore de ua peroa que tardae 11 muto e teclear la 40 líea. d) Ídem para otra peroa que tardae 9 muto. Compararlo co dato del problema. 7. a) Hallar la recta que mejor e ajute a la dtrbucó dada por la guete tabla: X Y b) medate la recta obteda, etmar el valor para Y para = = Fabldad de la recta de regreó La fabldad de la etmacoe hecha a partr de la recta de regreó depede fudametalmete de: 1. El valor del coefcete de correlacó Ua correlacó alta ( prómo a 1), aegura etmacoe fable. El úmero de dato coderado La fabldad aumeta al aumetar lo dato. Ua recta obteda a partr de poco dato geera grade rego, auque ea mu alto. 3. La promdad del valor 0, para el que e quere hacer la etmacó, a la meda La etmacó de 0 para u 0 dado e má fable cuado 0 etá prómo a ; a medda que 0 e aleja de la etmacó e hace má arregada. Se oberva e la guete fgura como la líea de puto determa ua bada alrededor de la recta de regreó. Eta bada dca lo márgee del valor etmado dado. E ete cao, la bada e ha geerado para ua probabldad 0, para cada 0 de acerto del 95%. Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 11

12 Lcecatura e Eeñaza de la Matemátca FRSN - UTN Obervacoe obre la recta de regreó 1. La bada e eacha a medda que o alejamo de la meda. Eto dca que la etmacó deea hacere para valore alejado de la meda, la probabldad de acerto e meor.. La bada e eacha má rápdamete cuado el coefcete de correlacó e meor. 3. Para la mma dtrbucó, la etmacó erá má fable aumeta lo dato de la muetra coderada Lmtacoe de la recta de regreó La recta de regreó debe uare para hacer etmacoe e valore prómo a lo coderado. Preteder ua etmacó e puto lejao puede coducr a olucoe aburda. Por ejemplo, co la recta que obtuvmo para la Actvdad 1 etmamo el úmero de errore que cometería ua peroa que tardae 30 muto e teclear 40 líea, e obtedría: 3,511, ,519-7 errore? Aburdo! Probabldad Etadítca II Udad Nº Mg. Lucía Sacco Pága 1