Regresión Lineal Simple y Correlación

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1 4 Regresón Lneal Smple y Correlacón 4.1. Fundamentos teórcos Regresón La regresón es la parte de la estadístca que trata de determnar la posble relacón entre una varable numérca, que suele llamarse varable dependente, y otro conjunto de varables numércas,,,, n, conocdas como varables ndependentes, de una msma poblacón. Dcha relacón se refleja medante un modelo funconal y = f(x,, x n ). El caso más sencllo se da cuando sólo hay una varable ndependente, y entonces se habla de regresón smple. En este caso el modelo que explca la relacón entre e es una funcón de una varable y = f(x). Dependendo de la forma de esta funcón, exsten muchos tpos de regresón smple. Los más habtuales son los que aparecen en la sguente tabla: Famla de curvas Lneal Cuadrátca Cúbca Potenca Exponencal Logarítmca Inversa Compuesto Crecmento G (Curva-S) Ecuacón genérca y = b + b x y = b + b x + b x y = b + b x + b x + b x y = b x b y = b e b x y = b + b ln x y = b + b x y = b b x y = e b +b x y = e b + b x

2 Boestadístca Aplcada con SPSS Para elegr un tpo de modelo u otro, se suele representar el dagrama de dspersón, que consste en dbujar sobre unos ejes cartesanos correspondentes a las varables e, los pares de valores (x, y j ) observados en cada ndvduo de la muestra. Ejemplo En la fgura 4.1 aparece el dagrama de dspersón correspondente a una muestra de 30 ndvduos en los que se ha meddo la estatura en cm () y el peso en kg (). En este caso la forma de la nube de puntos refleja una relacón lneal entre la estatura y el peso. Dagrama de dspersón de Estaturas y Pesos Peso (Kg) (179, 85) Estatura (cm) Fgura 4.1: Dagrama de dspersón. El punto (179,85) ndcado corresponde a un ndvduo de la muestra que mde 179 cm y pesa 85 Kg. Según la forma de la nube de puntos del dagrama, se elge el modelo más apropado (fgura 4.2), y se determnan los parámetros de dcho modelo para que la funcón resultante se ajuste lo mejor posble a la nube de puntos. El crtero que suele utlzarse para obtener la funcón óptma, es que la dstanca de cada punto a la curva, medda en el eje, sea lo menor posble. A estas dstancas se les llama resduos o errores en (fgura 4.3). La funcón 44

3 Regresón Lneal Smple y Correlacón Sn relacón Relacón lneal Relacón parabólca (a) Snrelacón. (b) Relacón lneal. (c) Relacón polnómca. Relacón exponencal Relacón logarímca Relacón nversa (d) Relacón exponencal. (e) Relacón logarítmca. (f) Relacón nversa. Fgura 4.2: Dagramas de dspersón correspondentes a dstntos tpos de relacones entre varables. que mejor se ajusta a la nube de puntos será, por tanto, aquella que hace mínma la suma de los cuadrados de los resduos. * Rectas de regresón En el caso de que la nube de puntos tenga forma lneal y optemos por explcar la relacón entre e medante una recta y = a + bx, los parámetros a determnar son a (punto de corte con el eje de ordenadas) y b (pendente de la recta). Los valores de estos parámetros que hacen mínma la suma de resduos al cuadrado, determnan la recta óptma. Esta recta se conoce como recta de regresón de sobre y explca la varable en funcón de la * El cuadrado es para evtar que se compensen los resduos postvos con los negatvos. 45

4 Boestadístca Aplcada con SPSS y j f(x ) e j = y j f(x ) (x, y j ) x Fgura 4.3: Resduos o errores en. El resduo correspondente a un punto (x, y j ) es la dferenca entre el valor y j observado en la muestra, y el valor teórco del modelo f(x ), es decr, e j = y j f(x ). varable. Su ecuacón es y = y + s xy (x x) donde s xy es un estadístco llamado covaranza que mde el grado de relacón lneal, y cuya fórmula es s xy = 1 n,j s x (x x)(y j y)n j Ejemplo En la fgura 4.4 aparecen las rectas de regresón de Estatura sobre Peso y de Peso sobre Estatura del ejemplo anteror. La pendente de la recta de regresón de sobre se conoce como coefcente de regresón de sobre, y mde el ncremento que sufrrá la varable por cada undad que se ncremente la varable, según la recta. Cuanto más pequeños sean los resduos, en valor absoluto, mejor se ajustará el modelo a la nube de puntos, y por tanto, mejor explcará la relacón 46

5 Regresón Lneal Smple y Correlacón Rectas de regresón entre Estaturas y Pesos Peso (Kg) Estatura sobre Peso ( x, y) Peso sobre Estatura Estatura (cm) Fgura 4.4: Rectas de regresón de Estatura sobre Peso y de Peso sobre Estatura. Las rectas de regresón sempre se cortan en el punto de medas ( x, y) entre e. Cuando todos los resduos son nulos, la recta pasa por todos los puntos de la nube, y la relacón es perfecta. En este caso ambas rectas, la de sobre y la de sobre concden (fgura 4.5(a)). Por contra, cuando no exste relacón lneal entre las varables, la recta de regresón de sobre tene pendente nula, y por tanto la ecuacón es y = y, en la que, efectvamente no aparece x, o x = x en el caso de la recta de regresón sobre, de manera que ambas rectas se cortan perpendcularmente (fgura 4.5(b)) Correlacón El prncpal objetvo de la regresón smple es construr un modelo funconal y = f(x) que explque lo mejor posble la relacón entre dos varables (varable ndependente) e (varable dependente) meddas en una msma muestra. Generalmente, el modelo construdo se utlza para realzar nferencas predctvas de en funcón de en el resto de la poblacón. Pero aunque la regresón garantza que el modelo construdo es el mejor posble, 47

6 Boestadístca Aplcada con SPSS Relacón lneal perfecta Sn relacón lneal sobre = sobre y sobre sobre (a) Dependenca funconal lneal. x (b) Independenca lneal. Fgura 4.5: Dstntos grados de dependenca. En el prmer caso, la relacón es perfecta y los resduos son nulos. En el segundo caso no exste relacón lneal y la pendente de la recta es nula. dentro del tpo de modelo elegdo (lneal, polnómco, exponencal, logarítmco, etc.), puede que aún así, no sea un buen modelo para hacer predccones, precsamente porque no haya relacón de ese tpo entre e. Así pues, con el fn de valdar un modelo para realzar predccones fables, se necestan meddas que nos hablen del grado de dependenca entre e, con respecto a un modelo de regresón construdo. Estas meddas se conocen como meddas de correlacón. Dependendo del tpo de modelo ajustado, habrá dstntos tpos de meddas de correlacón. Así, s el modelo de regresón construdo es una recta, hablaremos de correlacón lneal; s es un polnomo, hablaremos de correlacón polnómca; s es una funcón exponencal, hablaremos de correlacón exponencal, etc. En cualquer caso, estas meddas nos hablarán de lo bueno que es el modelo construdo, y como consecuenca, de s podemos farnos de las predccones realzadas con dcho modelo. La mayoría de las meddas de correlacón surgen del estudo de los resduos o errores en, que son las dstancas de los puntos del dagrama de dspersón a la curva de regresón construda, meddas en el eje, tal y como se 48

7 Regresón Lneal Smple y Correlacón muestra en la fgura (4.3). Estas dstancas, son en realdad, los errores predctvos del modelo sobre los propos valores de la muestra. Cuanto más pequeños sean los resduos, mejor se ajustará el modelo a la nube de puntos, y por tanto, mejor explcará la relacón entre e. Cuando todos los resduos son nulos, la curva de regresón pasa por todos los puntos de la nube, y entonces se dce que la relacón es perfecta, o ben que exste una dependenca funconal entre e (fgura 4.5(a)). Por contra, cuando los resduos sean grandes, el modelo no explcará ben la relacón entre e, y por tanto, sus predccones no serán fables (fgura 4.5(b)). Varanza resdual Una prmera medda de correlacón, construda a partr de los resduos es la varanza resdual, que se defne como el promedo de los resduos al cuadrado s,j e j n j,j (y j f(x )) n j ry = = n n Cuando los resduos son nulos, entonces s ry = 0 y eso ndca que hay dependenca funconal. Por otro lado, cuando las varables son ndependentes, con respecto al modelo de regresón ajustado, entonces los resduos se converten en las desvacones de los valores de con respecto a su meda, y se cumple que s ry = s y. Así pues, se cumple que 0 s ry s y Según esto, cuanto menor sea la varanza resdual, mayor será la dependenca entre e, de acuerdo al modelo ajustado. No obstante, la varanza tene como undades las undades de al cuadrado, y eso dfculta su nterpretacón. Coefcente de determnacón Puesto que el valor máxmo que puede tomar la varanza resdual es la varanza de, se puede defnr fáclmente un coefcente a partr de la comparacón de ambas meddas. Surge así el coefcente de determnacón que se defne como Se cumple que R = 1 s ry s y 0 R 1 49

8 Boestadístca Aplcada con SPSS y además no tene undades, por lo que es más fácl de nterpretar que la varanza resdual: R = 0 ndca que exste ndependenca según el tpo de relacón planteada por el modelo de regresón. R = 1 ndca dependenca funconal. Por tanto, cuanto mayor sea R, mejor será el modelo de regresón. S multplcamos el coefcente de determnacón por 100, se obtene el porcentaje de varabldad de que explca el modelo de regresón. El porcentaje restante corresponde a la varabldad que queda por explcar y se corresponde con el error predctvo del modelo. Así, por ejemplo, s tenemos un coefcente de determnacón R = 0,5, el modelo de regresón explcaría la mtad de la varabldad de, y en consecuenca, s se utlza dcho modelo para hacer predccones, estas tendrían la mtad de error que s no se utlzase, y se tomase como valor de la predccón el valor de la meda de. Coefcente de determnacón lneal En el caso de que el modelo de regresón sea lneal, la fórmula del coefcente de determnacón se smplfca y se converte en r = s xy s xs y que se conoce como coefcente de determnacón lneal. Coefcente de correlacón Otra medda de dependenca bastante habtual es el coefcente de correlacón, que se defne como la raíz cuadrada del coefcente de determnacón: R = ± 1 s ry s y tomando la raíz del msmo sgno que la covaranza. La únca ventaja del coefcente de correlacón con respecto al coefcente de determnacón, es que tene sgno, y por tanto, además del grado de dependenca entre e, tambén nos habla de s la relacón es drecta (sgno +) o nversa (sgno -). Su nterpretacón es: 50

9 Regresón Lneal Smple y Correlacón R = 0 ndca ndependenca con respecto al tpo de relacón planteada por el modelo de regresón. R = 1 ndca dependenca funconal nversa. R = 1 ndca dependenca funconal drecta. Por consguente, cuanto más próxmo esté a -1 o a 1, mejor será el modelo de regresón. Coefcente de correlacón lneal Al gual que ocurría con el coefcente de determnacón, cuando el modelo de regresón es lneal, la fórmula del coefcente de correlacón se converte en r = s xy s x s y y se llama coefcente de correlacón lneal. Por últmo, convene remarcar que un coefcente de determnacón o de correlacón nulo, ndca que hay ndependenca según el modelo de regresón construdo, pero puede haber dependenca de otro tpo. Esto se ve claramente en el ejemplo de la fgura 4.6. Fabldad de las predccones Aunque el coefcente de determnacón o de correlacón nos hablan de la bondad de un modelo de regresón, no es el únco dato que hay que tener en cuenta a la hora de hacer predccones. La fabldad de las predccones que hagamos con un modelo de regresón depende de varas cosas: El coefcente de determnacón: Cuando mayor sea, menores serán los errores predctvos y mayor la fabldad de las predccones. La varabldad de la poblacón: Cuanto más varable es una poblacón, más dfícl es predecr y por tanto menos fables serán las predccones del modelo. El tamaño muestral: Cuanto mayor sea, más nformacón tendremos y, en consecuenca, más fables serán las predccones. Además, hay que tener en cuenta que un modelo de regresón es váldo para el rango de valores observados en la muestra, pero fuera de ese rango no tenemos nformacón del tpo de relacón entre las varables, por lo que no deberíamos hacer predccones para valores que estén lejos de los observados en la muestra. 51

10 Boestadístca Aplcada con SPSS y = 0,02x + 4,07 r = y = 0,25x 2,51x + 8,05 r = 0, (a) Dependenca lneal débl. (b) Dependenca parabólca fuerte. Fgura 4.6: En la fgura de la zquerda se ha ajustado un modelo lneal y se ha obtendo un R =, lo que ndca que el modelo no explca nada de la relacón entre e, pero no podemos afrmar que e son ndependentes. De hecho, en la fgura de la derecha se observa que al ajustar un modelo parabólco, R =,, lo que ndca que cas hay una dependenca funconal parabólca entre e Ejerccos resueltos 1. Se han meddo dos varables A y B en 10 ndvduos obtenendo los sguentes resultados: Se pde: A B a) Crear las varables A y B e ntroducr estos datos. b) Dbujar el dagrama de dspersón correspondente.. 1) Selecconar el menú Gráfcos. Cuadros de dálogo antguos. Dspersón/Puntos..., elegr la opcón Dspersón smple y hacer clck sobre el botón Defnr. 52

11 Regresón Lneal Smple y Correlacón 2) Selecconar la varable B en el campo Eje del cuadro de dálogo. 3) Selecconar la varable A en el campo Eje del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. En vsta del dagrama, qué tpo de modelo crees que explcará mejor la relacón entre B y A? c) Calcular la recta de regresón de B sobre A.. 1) Selecconar el menú Analzar. Regresón. Lneales... 2) Selecconar la varable B en el campo Dependentes del cuadro de dálogo. 3) Selecconar la varable A en el campo Independentes del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. 4) Para escrbr la ecuacón de la recta, observaremos en la ventana de resultados obtenda, la tabla denomnada Coefcentes, y en la columna B de los Coefcentes no estandarzados, encontramos en la prmera fla la constante de la recta y en la segunda la pendente. d) Dbujar dcha recta sobre el dagrama de dspersón.. 1) Edtar el gráfco realzado anterormente hacendo un doble clck sobre él. 2) Selecconar los puntos hacendo clck sobre alguno de ellos. 3) Selecconar el menú Elementos. Lnea de ajuste total (Tambén se podría usar en lugar del menu, la barra de herramentas) 4) Cerrar la ventana Propedades. 5) Cerrar el edtor de gráfcos, cerrando la ventana. e) Calcular la recta de regresón de A sobre B y dbujarla sobre el correspondente dagrama de dspersón. 53

12 Boestadístca Aplcada con SPSS. Repetr los pasos de los apartados anterores pero escogendo como varable Dependente la varable A, y como varable Independente la varable B. f ) Son grandes los resduos? Comentar los resultados. 2. En una lcencatura se quere estudar la relacón entre el número medo de horas de estudo daras y el número de asgnaturas suspensas. Para ello se obtuvo la sguente muestra: Se pde: Horas Suspensos Horas Suspensos Horas Suspensos 3,5 1 2,2 2 1,3 4 0,6 5 3,3 0 3,1 0 2,8 1 1,7 3 2,3 2 2,5 3 1,1 3 3,2 2 2,6 1 2,0 3 0,9 4 3,9 0 3,5 0 1,7 2 1,5 3 2,1 2 0,2 5 0,7 3 1,8 2 2,9 1 3,6 1 1,1 4 1,0 3 3,7 1 0,7 4 2,3 2 a) Crear las varables horas y suspensos e ntroducr estos datos. b) Calcular la recta de regresón de suspensos sobre horas y dbujarla.. 1) Selecconar el menú Analzar. Regreson. Lneales... 2) Selecconar la varable suspensos en el campo Dependentes del cuadro de dálogo. 3) Selecconar la varable horas en el campo Independentes del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. 4) Para escrbr la ecuacón de la recta, observaremos en la ventana de resultados obtenda, la tabla denomnada Coefcentes, y en la columna B de los Coefcentes no estandarzados, encontramos en la prmera fla la constante de la recta y en la segunda la pendente. 54

13 Regresón Lneal Smple y Correlacón 5) Selecconar el menú Gráfcos. Cuadros de dálogo antguos. Dspersón/Puntos..., elegr la opcón Dspersón smple y hacer clck sobre el botón Defnr. 6) Selecconar la varable suspensos en el campo Eje del cuadro de dálogo. 7) Selecconar la varable horas en el campo Eje del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. 8) Edtar el gráfco realzado hacendo un doble clck sobre él. 9) Selecconar los puntos hacendo clck sobre alguno de ellos. 10) Selecconar el menú Elementos. Lnea de ajuste total (Tambén se podría usar en lugar del menu, la barra de herramentas) 11) Cerrar la ventana Propedades. 12) Cerrar el edtor de gráfcos, cerrando la ventana. c) Indcar el coefcente de regresón de suspensos sobre horas. Cómo lo nterpretarías?. El coefcente de regresón es la pendente de la recta de regresón, que este caso vale 1,23 e ndca que por cada hora de estudo adconal se obtenen 1,23 suspensos menos. d) La relacón lneal entre estas dos varables, es mejor o peor que la del ejercco anteror? Comentar los resultados a partr las gráfcas de las rectas de regresón y sus resduos.. La relacón lneal entre estas dos varables es peor que la del ejercco anteror, pues en este caso hay resduos. e) Calcular los coefcentes de correlacón y de determnacón lneal. Es un buen modelo la recta de regresón? Qué porcentaje de la varabldad del número de suspensos está explcada por el modelo?. Observaremos en la ventana de resultados obtenda la tabla denomnada Resumen del modelo, y en ella encontramos los valores 55

14 Boestadístca Aplcada con SPSS del coefcente de correlacón lneal R y del coefcente de determnacón lneal R cuadrado. f ) Utlzar la recta de regresón para predecr el número de suspensos correspondente a 3 horas de estudo daras. Es fable esta predccón?. 1) Crear una nueva varable valores e ntroducr los valores de las horas de estudo para los que queremos predecr. 2) Selecconar el menú Transformar. Calcular varable... 3) Introducr el nombre de la nueva varable predccon en el campo Varable de destno del cuadro de dálogo. 4) Introducr la ecuacón de la recta en el campo Expresón numérca, utlzando los coefcentes calculados anterormente y la varable valores y hacer clck sobre el botón Aceptar. g) Según el modelo lneal, cuántas horas daras tendrá que estudar como mínmo un alumno s quere aprobarlo todo?.. Segur los msmos pasos de los apartados anterores, pero escogendo como varable dependente horas, y como ndependente suspensos. 3. Después de tomar un ltro de vno se ha meddo la concentracón de alcohol en la sangre en dstntos nstantes, obtenendo: Tempo después (mnutos) Concentracón (gramos/ltro) 1,6 1,7 1,5 1,1 0,7 0,2 2,1 Se pde: a) Crear las varables tempo y alcohol e ntroducr estos datos. b) Calcular el coefcente de correlacón lneal e nterpretarlo.. 1) Selecconar el menú Analzar. Correlacones. Bvaradas... 2) Selecconar ambas varables en el campo Varables del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. 56

15 Regresón Lneal Smple y Correlacón c) Dbujar el dagrama de dspersón junto con la recta ajustada correspondente a alcohol sobre tempo. Exste algún ndvduo con un resduo demasado grande? S es así, elmnar dcho ndvduo de la muestra y volver a calcular el coefcente de correlacón. Ha mejorado el modelo?. 1) Selecconar el menú Gráfcos. Cuadros de dálogo antguos. Dspersón/Puntos..., elegr la opcón Dspersón smple y hacer clck sobre el botón Defnr. 2) Selecconar la varable alcohol en el campo Eje del cuadro de dálogo. 3) Selecconar la varable tempo en el campo Eje del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. 4) Edtar el gráfco realzado anterormente hacendo un doble clck sobre él. 5) Selecconar los puntos hacendo clck sobre alguno de ellos. 6) Selecconar el menú Elementos. Lnea de ajuste total (Tambén se podría usar en lugar del menu, la barra de herramentas) 7) Cerrar la ventana Propedades. 8) Cerrar el edtor de gráfcos, cerrando la ventana. 9) S exste algún ndvduo con un resduo demasado grande, r a la ventana del Edtor de datos, y elmnarlo. 10) Repetr los pasos del apartado anteror. d) S la concentracón máxma de alcohol en la sangre que permte la ley para poder conducr es 0,5 g/l, cuánto tempo habrá que esperar después de tomarse un ltro de vno para poder conducr sn nfrngr la ley? Es fable esta predccón?. 1) Selecconar el menú Analzar. Regresón. Lneales... 2) Selecconar la varable tempo en el campo Dependentes del cuadro de dálogo. 3) Selecconar la varable alcohol en el campo Independentes del cuadro de dálogo y hacer clck sobre el botón Aceptar. 57

16 Boestadístca Aplcada con SPSS 4) Para escrbr la ecuacón de la recta, observaremos en la ventana de resultados obtenda, la tabla denomnada Coefcentes, y en la columna B de los Coefcentes no estandarzados, encontramos en la prmera fla la constante de la recta y en la segunda la pendente. 5) Crear una nueva varable valores e ntroducr los valores que queremos estudar. 6) Selecconar el menú Transformar. Calcular varable... 7) Introducr el nombre de la nueva varable predccon en el campo Varable de destno del cuadro de dálogo. 8) Introducr la ecuacón de la recta en el campo Expresón numérca, utlzando los coefcentes ctados anterormente y la varable valores y hacer clck sobre el botón Aceptar Ejerccos propuestos 1. Se determna la pérdda de actvdad que expermenta un medcamento desde el momento de su fabrcacón a lo largo del tempo, obtenéndose el sguente resultado: Se desea calcular: Tempo (en años) Actvdad restante ( %) a) La relacón fundamental (recta de regresón) entre actvdad restante y tempo transcurrdo. b) En qué porcentaje dsmnuye la actvdad cada año que pasa? c) Cuándo tempo debe pasar para que el fármaco tenga una actvdad del 80 %? Cuándo será nula la actvdad? Son gualmente fables estas predccones? 2. Al realzar un estudo sobre la dosfcacón de un certo medcamento, se trataron 6 pacentes con doss daras de 2 mg, 7 pacentes con 3 mg y otros 7 pacentes con 4 mg. De los pacentes tratados con 2 mg, 2 curaron al cabo de 5 días, y 4 al cabo de 6 días. De los pacentes tratados con 3 mg daros, 2 curaron al cabo de 3 días, 4 al cabo de 5 días y 1 al cabo de 6 días. 58

17 Regresón Lneal Smple y Correlacón de los pacentes tratados con 4 mg daros, 5 curaron al cabo de 3 días y 2 al cabo de 5 días. Se pde: a) Calcular la recta de regresón del tempo de curacón con respecto a la doss sumnstrada. b) Calcular los coefcentes de regresón. Interpretar los resultados. c) Determnar el tempo esperado de curacón para una doss de 5 mg daros. Es fable esta predccón? d) Qué doss debe aplcarse s queremos que el pacente tarde 4 días en curarse? Es fable la predccón? 59

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