Índice general. I Introducción a la Lógica 3

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1 Índice general I Introducción a la Lógica 3 1 Demostraciones Argumentos rodeados de agua Argumentando Formalizando el argumento El teorema de Pitágoras En el Menón de Platón En los Elementos de Euclides Análisis de las demostraciones El sistema mg Definición del sistema Interpretaciones de mg Aquiles y la tortuga Una primera idea de lógica Lpo: unlenguajeparalalógica El análisis de Frege Constantes individuales Asignación Un problema y una aclaración Predicados Los conceptos para la Psicología cognitiva Idea, eîdos en Platón Predicados Términos funcionales Asignación Ampliación de las expresiones elementales Símbolos y expresiones elementales Conectivas Los símbolos lógicos de Lpo La negación vii

2 viii ÍNDICE GENERAL Conjunción, disyunción y condicional Propiedades de la conjunción y la disyunción Símbolos lógicos definidos Símbolos y expresiones de Lpo Omisión de paréntesis Formación de expresiones Árbol de descomposición Subexpresiones Un cálculo para Lpo Reglas básicas Disposición gráfica del cálculo Problemas deductivos Deducción de algunas reglas derivadas Reglas de interdefinición de conectivas binarias Conceptos básicos Necesidad de cerrar o cancelar las hipótesis Consecuencia lógica como derivación formal Demostración y deducción en Descartes Intuición y deducción Deducción Objeto simple e intuición Inferencia inmediata Los métodos axiomático y de deducción natural El meta-teorema de deducción Existen otros cálculos Árboles analíticos Árbol, nudo, camino, rama Características de los árboles analíticos Fundamento del cálculo de árboles analíticos Conectivas y Verdad Introducción Funciones veritativas Conceptos semánticos fundamentales Tautologías Consecuencia y verdad lógicas Equivalencia lógica Tablas de verdad Trabajando con tablas de verdad Tablas de verdad y conceptos fundamentales Otros problemas Métodos de decisión

3 ÍNDICE GENERAL ix 5.5. Interpretación y verdad El sentido de la definición de verdad de Aristóteles La definición de verdad según Tarski Cuantificación Introducción El universal y la predicación universal según Aristóteles La generalidad según Frege Conclusión Variables individuales en Lpo Variables libres y ligadas Fórmulas y sentencias Sustitución de variables libres Símbolos y expresiones de Lpo Ampliación del cálculo Nuevas reglas básicas Restricción en la introducción del generalizador Restricción en la eliminación del particularizador Propiedades y reglas de la = Problemas deductivos Ampliación del cálculo de árboles analíticos Reglas de transformación para cuantificadores Reglas de transformación para conectivas Problemas deductivos Los conceptos fundamentales Semántica de primer orden Una videoconferencia a tres bandas El punto de partida Las aulas de Buenos Aires, Madrid y Hamburgo Las estructuras de Buenos Aires, Madrid y Hamburgo Valoración de «algún alumno se sienta al lado de juan» Estructura Interpretación de signos no lógicos Interpretación Valoración de los signos lógicos Conceptos semánticos fundamentales Consecuencia y verdad lógicas Equivalencia lógica

4 x ÍNDICE GENERAL II Apuntes sobre Lógica y Teoría 159 i Pensar mediante Teorías Una aproximación histórica Problemas matemáticos en la Grecia clásica Ilustración y Política El hombre aristocrático Corrientes innovadoras El método socrático Platón Los objetos matemáticos La demostración matemática La diaíresis Problemas pendientes Lecturas ii La idea de Teoría Ciencia y demostración según Aristóteles Epistéme: esquemaspropuestospordiversosautores Demostraciones Analíticos segundos I, 6, 74b5 75a Analíticos segundos I, 4, 73a21 74a Proposición I de los Elementos La definición Analíticos segundos II, 19, 99b15-100b La definición en cuanto proposición Conclusiones respecto a la definición Cada ciencia un género Los principios de cada ciencia Lecturas Ciencia y Teoría según Descartes La Geometría Solución de ecuaciones cuadráticas El problema de Pappus Los libros segundo y tercero La Física Un mundo pleno de materia extensa Invarianza de la leyes naturales

5 ÍNDICE GENERAL xi Leyes de la Naturaleza Categorías ontológicas Res extensa Res cogitans:evidencia,intuiciónydeducción Conclusiones Lecturas Metodología de las ciencias deductivas Los Fundamentos de la Geometría de Hilbert Comparación con los Elementos de Euclides Consistencia Independencia Frege crítico de Hilbert Tarski: metodología de las ciencias deductivas Un ejemplo de teoría deductiva Modelo e interpretación de una teoría deductiva Ley de deducción Propiedades de las teorías deductivas formalizadas Ciencias empíricas Lecturas iii El desarrollo de la Lógica La Silogística El Órganon Problemas cronológicos Criterios cronológicos Cronología de las obras del Órganon Las obras Las formas de los enunciados Los enunciados compuestos El modus operandi de Aristóteles Las leyes lógicas fundamentales: primera Figura El modo barbara El modo celarent Los modos darii y ferio Las reglas de transformación La conversión simple de E en E La conversión simple de I en I La conversión accidental de A en I Problemas deductivos El modo cesare de la segunda figura

6 xii ÍNDICE GENERAL El modo baroco de la segunda figura El modo darapti de la tercera figura El modo felapton de la tercera figura Revisión del cálculo Las reglas de la contradicción Las conectivas Frege ( ) Obras de Frege Frege: El prólogo al Begriffsschrift Necesidad de un lenguaje formal El Begriffsschrift Dos tipos de signos Juicio y contenido Función y argumento vs. sujeto y predicado Conclusiones Función y concepto El valor lógico de la referencia La función: una expresión incompleta De funciones a enunciados Objetos Generalización Conclusiones Concepto y objeto El concepto según Frege Relaciones entre conceptos: inclusión Relaciones entre conceptos: subordinación Conclusiones Sobre sentido y referencia El decir poético La objetividad del significado La oración asertórica Conclusiones La lógica de Frege en síntesis Sintaxis Cálculo Semántica Aristóteles y Frege: una comparación Platón: El Sofista El análisis de Aristóteles de los enunciados Lo que no permite el análisis de Aristóteles Relaciones formales

7 ÍNDICE GENERAL xiii Las reglas de transformación El análisis de Frege de los enunciados Consecuencia del análisis de Frege: mayor expresividad Relaciones formales Signos lógicos primitivos y definidos Conclusiones iv Ente y Verdad La axiomática del ente Constituyentes del pensar teórico Reglas constitutivas y práctica social La ciencia del ente El principio de no contradicción Defensa del principio de no contradicción El principio de identidad El principio de tercero excluido Tesis de la axiomática del ente Lecturas La verdad según Aristóteles Platón La República: elmitodelacaverna El Sofista El Teeteto Aristóteles El lógos apophantikós ylaoracióndeclarativa Simploké yeldejarverunacosauna El ser-verdadero como predicado Lo que el alma conoce Lecturas La definición de verdad según Tarski Truth and Proof El sentido de la correspondencia Generalizando la idea anterior Verdad y teoría El criterio de verdad o Verdad por demostración The Semantic Conception of Truth Condiciones de la adecuación material: la convención T La paradoja del mentiroso

8 xiv ÍNDICE GENERAL La semántica de un lenguaje teórico La definición de verdad: un esbozo The Concept of Truth in Formalized Languages Problemas con el término adaequatio Una aproximación mediante un ejemplo Lecturas Tarski Otros autores v Meta-teoría Meta-teoría El teorema de corrección Planteamiento de la prueba Dos casos de la prueba El teorema de completitud Planteamiento de la prueba Una prueba que no lo es Las piezas de la prueba Conjuntos formalmente consistentes Conjuntos formalmente completos Conjuntos satisfacibles funcional-veritativamente Recapitulando El teorema de compacidad Lecturas El teorema de incompletitud de Gödel El punto de partida Numeración gödeliana Aritmetización de las proposiciones meta-teóricas Definiciones recursivas Una aproximación Funciones recursivas primitivas El teorema de incompletitud ω-consistencia Las conclusiones del Teorema VI Lecturas