Curvas en el espacio.

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1 Curvs en el espcio. Tod curv en el espcio R n se puede considerr como l imgen de un función vectoril r : [, b] R n, r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), que recibe el nombre de prmetrizción de l curv. Los puntos r() y r(b) son los extremos inicil y finl de l curv. En el cso de que r() = r(b), diremos que l curv es cerrd. Decimos que dos funciones ϕ : [, b] R n y ψ : [α, β] R n son equivlentes si existe un función λ : [, b] [α, β] biyectiv y continu tl que ψ λ = ϕ. L función λ recibe el nombre de cmbio de prámetro. Dos funciones equivlentes representn prmetrizciones distints de l mism curv y l función λ represent un cmbio en l rpidez del movimiento. - Si λ es creciente, se dice que ls prmetrizciones ϕ y ψ conservn l orientción de l curv. - Si λ es decreciente, ls prmetrizciones ϕ y ψ invierten l orientción de l curv. Por ejemplo, ls funciones f 1 (t) = (cos t, sen t), f 2 (t) = (cos t, sen t), f 3 (t) = (cos 2t, sen 2t), t [0, 2π], t [0, 2π], t [0, π], son equivlentes (tods ells describen l circunferenci unidd), pero f 1 y f 3 hcen que l curv se recorr en sentido ntihorrio, y f 2 en sentido horrio. Ls propieddes geométrics de un curv pueden describirse medinte ls propieddes de l función que l describe. Definimos continución ls principles operciones con funciones vectoriles y enuncimos sus propieddes básics, ls cules se plicn directmente l estudio de ls curvs en el espcio. Operciones con funciones vectoriles. Teniendo en cuent el hecho de que tod función vectoril f : R R n se puede descomponer en n funciones esclres, se pueden definir ls operciones lgebrics con dichs funciones de mner nálog ls correspondientes con funciones esclres. Dds f, g : R R n y u : R R, se definen 1. Sum: f + g : R R n como (f + g)(t) = f(t) + g(t). 2. Multiplicción por un función esclr: uf : R R n, como (uf)(t) = u(t) f(t). 1

2 3. Producto esclr: f g : R R n, como (f g)(t) = f(t) g(t). 4. Producto vectoril (pr n = 3): f g : R R n, como (f g)(t) = f(t) g(t). 5. Composición: f u : R R n, como (f u)(t) = f(u(t)). Límites y continuidd de funciones vectoriles. Si f = (f 1,..., f n ) : R R n es un función vectoril, se define ( ) lím f(t) = lím f 1 (t),..., lím f n (t). t t 0 t t 0 t t0 Un función vectoril es continu en t 0 si lím t t0 f(t) = f(t 0 ). Derivción de funciones vectoriles. Un función vectoril f : R R n es derivble en t 0 si existe Si f es derivble en t, entonces f f(t 0 + h) f(t 0 ) (t 0 ) = lím. t t0 h df dt = f (t) = (f 1(t),..., f n(t)). Dd un curv r(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), el vector r (t) (cso de ser no nulo) recibe el nombre de vector tngente l curv. Si r (t) = 0, no se define el vector tngente (en este cso el móvil está en reposo y puede hber un cmbio brusco de dirección). Denotmos por T (t) = r (t)/ r (t) l vector tngente unitrio. Llmmos tmbién rect tngente l curv r en P 0 l rect que ps por el punto P 0 = r(t 0 ) y tiene l dirección del vector r (t 0 ). Su ecución es, por tnto, f(λ) = r(t 0 ) + λ r (t 0 ). Observemos que el concepto de vector unitrio tngente no depende de l prmetrizción, pues si ϕ y ψ son prmetrizciones distints de l mism curv, entonces ψ λ = ϕ, de modo que ϕ (t) = ψ (λ(t)) λ (t) = ϕ (t) ϕ (t) = ψ (λ(t)) λ (t) ψ (λ(t)) λ (t) = ± ψ (λ(t)) ψ (λ(t)), donde el signo indic sólo si ls prmetrizciones mntienen o invierten l orientción de l curv. 2

3 Ejemplos. 1. Si r(t) = (x 0 + t, y 0 + bt, z 0 + ct) es un rect, su rect tngente coincide con l propi rect r. 2. Si r(t) C = es l ecución de un circunferenci (con centro C y rdio ), l rect tngente en un punto P = r(t) es perpendiculr r(t) C (vector que une el punto P con el centro C). 3. Si r(t) represent el vector de posición (como función del tiempo t) de un prtícul móvil en el espcio, entonces v(t) = r (t) y (t) = r (t) representn los vectores velocidd y celerción de l prtícul en el instnte t, respectivmente. El vector velocidd tiene l dirección de l rect tngente l curv. Csos prticulres (se dej como ejercicio l comprobción de los hechos que se citn): ) El movimiento rectilíneo viene ddo por el vector de posición r(t) = P +u(t) A, de modo que l velocidd v(t) = u (t) A y l celerción (t) = u (t) A tienen l mism dirección del movimiento. b) El movimiento circulr en el plno viene ddo por r(t) = (ρ cos u(t), ρ sen u(t)). Entonces v(t) = ρ u (t), donde u (t) represent l velocidd ngulr. Por ejemplo, si u(t) = ωt (ω > 0), el movimiento tiene sentido contrrio l de ls gujs del reloj y (t) = ω 2 r(t) es un vector que tiene sentido contrrio r(t) (de hí que recib el nombre de celerción centrípet). c) El movimiento helicoidl viene definido por el vector de posición r(t) = ( cos ωt, sen ωt, bt) y represent un hélice circulr en donde l componente z es proporcionl l ángulo de giro ϑ = ωt y l proyección sobre el plno XY es un circunferenci. En este cso, el vector celerción (t) = ω 2 ( cos ωt, sen ωt, 0) es prlelo l plno XY y v dirigido hci el eje Z. Además, los vectores velocidd y celerción son perpendiculres en todos los puntos del recorrido. Propieddes. Si f, g : R R n y u : R R son derivbles, demás de ls propieddes nálogs ls correspondientes con funciones esclres, se verificn ls siguientes: 1. d dt (f(t) g(t)) = f(t) g (t) + f (t) g(t). 3

4 2. 3. d dt (f(t) g(t)) = f(t) g (t) + f (t) g(t). d dt (f(u(t)) = u (t) f (u(t)). 4. Si f es derivble y tiene longitud constnte en un intervlo bierto I, entonces f(t) f (t) = 0, t I. (Bst observr que f(t) 2 = f(t) f(t) = c.) Integrción de funciones vectoriles. Un función vectoril f : R R n es integrble cundo lo son tods sus componentes. Se define sí: b ( b b ) f(t) dt = f 1 (t) dt,..., f n (t) dt. Propieddes. t 1. Si f : R R n es continu en R y g(t) = f(s) ds, entonces g es derivble y g (t) = f(t), t. b b 2. Si f y f son integrbles en [, b], entonces f(t) dt f(t) dt. Longitud de rcos de curvs. Un función vectoril ϕ : [, b] R n se dice que es regulr si ϕ C (1) ([, b]) y ϕ (t) 0, t [, b]. Llmmos entonces un curv regulr l que dmite lgun prmetrizción regulr. En generl, un curv regulr trozos es quell que dmite un prmetrizción ϕ regulr trozos, es decir cundo existe un prtición P de [, b] tl que l restricción de ϕ cd subintervlo bierto de P es regulr. Por ejemplo, l poligonl ϕ(t) = (t, t 1 ), t [0, 2], y l stroide x 2/3 + y 2/3 = 1 son curvs regulres trozos. Un plicción λ : [, b] [α, β] es un cmbio regulr de prámetro si i) λ es biyectiv. ii) λ C (1) [, b]. iii) λ (t) > 0, t (, b). 4

5 Por ejemplo, ϕ(t) = (t 3 + 1, t 3 ), t [ 1, 1], y ψ(t) = (t, t 1 ), t [0, 2], son prmetrizciones de l curv y = x 1 y l función λ(t) = t 3 + 1, t [ 1, 1] no es un cmbio regulr pues λ (0) = 0. Esto es debido que ϕ no es un prmetrizción regulr pues ϕ (0) = (0, 0). Proposición. Sen ϕ, ψ dos prmetrizciones equivlentes, con ψ λ = ϕ. ) Si ψ es regulr y λ un cmbio regulr de prámetro, entonces ϕ es regulr. b) Si ϕ, ψ son regulres, entonces λ es un cmbio regulr. L curv C es simple cundo ϕ es inyectiv (slvo quizás en los extremos). Así, por ejemplo, l curv definid por l función ϕ 1 (t) = (cos t, sen t), t [0, 2π], es simple pero si definimos ϕ 2 (t) = (cos 2t, sen 2t), t [0, 2π], entonces l curv obtenid no es simple. Dd un curv C con vector de posición r(t), se define l longitud de rco de curv entre los puntos r() y r(b) l supremo de ls longitudes de ls poligonles inscrits l curv entre dichos puntos, cso de existir. En este cso, se dice que l curv es rectificble. De form más precis, podemos dr l siguiente definición. Definición. Dd un función ϕ : [, b] R n, se llm vrición de ϕ con respecto un prtición P = {t 0, t 1,..., t m } de [, b] V (ϕ, P ) = ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ). Llmmos vrición totl de ϕ en [, b] V (ϕ) = sup V (ϕ, P ), P cso de que exist. L función ϕ es de vrición cotd cundo V (ϕ) <. En este cso escribiremos ϕ VA[, b]. Por l propi definición, es clro que l(c) = V (ϕ). Propieddes. 1. ϕ VA[, b] si y sólo si cd un de sus componentes es de vrición cotd en [, b]. Bst observr que ( n 2 ϕ j (t i ) ϕ j (t i 1 ) 2 ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) 2 ϕ j (t i ) ϕ j (t i 1 ) ). j=1 5

6 2. Si ϕ, ψ son continus, entonces son equivlentes si y sólo si V (ϕ) = V (ψ). Lem. Si C es un curv rectificble y ϕ : [, b] R n un prmetrizción de C, entonces ε, δ > 0, P prtición de [, b] con diámetro menor que δ tl que l(c) V (ϕ, P ) < ε. Teorem. Si C es un curv regulr, entonces es rectificble y su longitud es l(c) = b ϕ (t) dt, donde ϕ : [, b] R n es un prmetrizción regulr de C. Si un curv es regulr trozos, su longitud se clcul sumndo ls longitudes de cd trmo regulr. Demostrción. L función ϕ (t) es continu, por tnto integrble. Si llmmos l = b ϕ (t) dt, debemos probr que l(c) l < ε, ε > 0. Por un prte, ddo ε > 0, existe δ > 0 tl que, si P es un prtición de diámetro menor que δ, P = {t 0, t 1,..., t m } y τ i [t i 1, t i ] es rbitrrio, l ϕ (τ i ) (t i t i 1 ) < ε/3. Por otr prte, si σ/2 = mín t b ϕ (t), como ϕ (t) > 0, pr todo t, entonces σ > 0. Ls componentes ϕ j son uniformemente continus en [, b]. Por tnto, existe δ j > 0 tl que (ϕ j(t )) 2 (ϕ j(t )) 2 < σ ε 6n(b ), si t t < δ j. Se δ = mín{δ, δ 1,..., δ n }. Por el lem nterior, existe un prtición P de diámetro menor que δ tl que l(c) V (ϕ, P ) < ε/3. 6

7 Agrupndo todo, result: m l(c) l l(c) V (ϕ, P ) + V (ϕ, P ) ϕ (τ i ) (t i t i 1 ) + ϕ (τ i ) (t i t i 1 ) l ε < 3 + [ ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) ϕ (τ i ) (t i t i 1 )] + ε 3. Pr cotr el término intermedio, hcemos lo siguiente: [ ϕ(t i ) ϕ(t i 1 ) ϕ (τ i ) (t i t i 1 )] n = ϕ j (t i ) ϕ j (t i 1 ) 2 ϕ (τ i ) (t i t i 1 ) j=1 n = ϕ j (s i) 2 ϕ (τ i ) (t i t i 1 ) j=1 n = j=1 ( ϕ j(s i ) 2 ϕ j(τ i ) 2 ) n (t i t i 1 ) j=1 ϕ j (s i) 2 + ϕ (τ i ) n j=1 (t i t i 1 ) = ε 3. σε 6n(b ) σ/2 Ejemplo. L curv f : [0, 1] R 2 definid por f(t) = (t, t cos π/(2t)) no es rectificble. Pr comprobrlo, bst elegir l prtición P = {0, 1/(2n), 1/(2n 1),..., 1/2, 1}. Prámetro rco. L longitud de rco permite definir un prmetrizción nturl de ls curvs. Se pues C un curv regulr y ϕ : [, b] R n un prmetrizción regulr de C. Si llmmos l l longitud de C, podemos definir s : [, b] [0, l] como s(t) = t 7 ϕ (u) du.

8 Clrmente, s() = 0 y s(b) = l. Por el teorem fundmentl del cálculo integrl, s (t) = ϕ (t) > 0, de modo que s es un función creciente y represent un cmbio regulr de prámetro. Definimos entonces l prmetrizción χ : [0, l] R n por χ = ϕ s 1, l cul recibe el nombre de representción prmétric intrínsec de l curv C. Es fácil demostrr hor que χ(u) = 1, u [0, l] (el vector tngente es unitrio en todo el recorrido de l curv). En efecto, como χ = ϕ s 1, entonces χ (u) = ϕ (s 1 (u)) (s 1 ) (u) = ϕ (s 1 (u)) s (s 1 (u)) = ϕ (s 1 (u)) ϕ (s 1 (u)). Ejemplo. Si ϕ(t) = (cos mt, sen mt) (0 t 2π, m N), entonces ϕ (t) = m, pr todo t. Bst definir s(t) = mt; de este modo, s 1 (u) = u/m y χ(u) = ϕ(u/m) = (cos u, sen u) es l representción intrínsec de l curv. Ejercicio. Identificr y clculr l longitud de ls curvs definids por ls funciones siguientes: () ϕ(t) = (t 3 4t, t 2 4), t [ 5/2, 5/2]. ( t (b) ϕ(t) = 2 t, ), 3 t [ 1, 1]. 1+t 2 1+t 2 (c) ϕ(t) = (t sen t, 1 cos t), t [0, 2π]. (d) ϕ(t) = (cos 3 t, sen 3 t), t [0, 2π]. (e) ϕ(t) = ( t, t 1/2 ), t [ 1, 1]. (f) ϕ(t) = (ch t, sh t, t), en [0, t]. (g) ϕ(t) = (cos t, sen t, t), en [0, t]. 8

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