Espacios completos. 8.1 Sucesiones de Cauchy

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1 Capítulo 8 Espacios completos 8.1 Sucesiones de Cauchy Definición (Sucesión de Cauchy). Diremos que una sucesión (x n ) n=1 en un espacio métrico (X, d) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe un n o tal que si n, m > n o se cumple que d(x n, x m ) < ε. El concepto de sucesión de Cauchy depende de la distancia d como se pone de manifiesto en los ejemplos siguientes. Además como vimos en el ejemplo ), tampoco es una propiedad topológica ya que no se conserva mediante homeomorfismos. Ejemplo (1) Las únicas sucesiones de Cauchy en un espacio métrico discreto son las de cola constante. (2) ( 1 n ) n=1 es de Cauchy tanto en (R, ) como en ((0, 1), ). (3) La sucesión (n) n=1 no es de Cauchy en (R, ). Proposición Si una sucesión (x n ) n=1 entonces (x n ) n=1 es de Cauchy. en un espacio métrico (X, d) converge a x X, Demostración. Como x n x, para todo ε > 0 existe un n o tal que si n > n o, entonces d(x n, x) < ε 2. Así, para todo n, m > n o se tiene d(x n, x m ) d(x n, x) + d(x, x m ) < ε 2 + ε 2 = ε El recíproco de este resultado no es cierto en general. 71

2 72 CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPLETOS Ejemplo La sucesión ( 1 n ) n N es de Cauchy en ((0, + ), ) y sin embargo no converge. Lema Si (x n ) n=1 es una sucesión de Cauchy en un espacio métrico (X, d) tal que existe una subsucesión (x nk ) k=1 que converge a x, entonces la sucesión (x n) n=1 también converge a x. Demostración. Como (x n ) n=1 es de Cauchy, dado ε > 0 existe un n 1 tal que para todo n, m > n 1 se cumple que d(x n, x m ) < ε 2. Por otra parte la subsucesión (x nk ) k es convergente a x, luego existe un k o tal que si n k > n ko se cumple d(x nk, x) < ε 2. Consideremos n o = max{n 1, n ko }, y tomemos n > n o y k tal que n k > n o, entonces y la sucesión (x n ) n=1 converge a x. d(x n, x) d(x n, x nk ) + d(x nk, x) < ε 2 + ε 2 = ε Proposición Toda sucesión de Cauchy en un espacio métrico (X, d) está acotada. Demostración. Consideremos ε = 1, por el hecho de ser de Cauchy existe n o tal que si m, n > n o se tiene que d(x n, x m ) < 1, de modo que si n > n o, x n B(x no+1, 1). Sólo quedan un número finito de términos que pueden estar fuera de esta bola. Sea Para todo n se cumple d(x n, x no+1) r. Así, r = max{d(x 1, x no ),..., d(x no, x no+1)} {x n : n = 1,..., } B(x no+1, r + 1) 8.2 Espacio métrico completo Definición (Espacio completo). Diremos que un espacio métrico (X, d) es completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. Ejemplo (1) Todo espacio métrico discreto es completo. (2) (0, ) no es completo con la distancia usual.

3 8.2. ESPACIO MÉTRICO COMPLETO 73 Proposición El espacio R n con cualquiera de las tres métricas d 1, d 2, d es completo. Demostración. Sea (x n ) n=1 una sucesión de Cauchy que, por la proposición anterior está acotada, luego está contenida en una bola cerrada, que por el teorema de Heine-Borel-Lebesgue , es compacto; entonces según este mismo teorema, dicha sucesión tiene una subsucesión convergente. Aplicando ahora el Lema (x n ) n=1 también es convergente. Proposición Todo espacio métrico compacto es completo. Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico compacto y sea (x n ) n=1 una sucesión de Cauchy en X. Como (X, τ d ) es compacto, también es secuencialmente compacto, luego existe una subsucesión de (x n ) n=1, (x n k ) k=1, convergente y como consecuencia del Lema (x n) n=1 también es convergente. La implicación recíproca no es cierta, pero sí que se cumple si se considera una hipótesis adicional, la de ser totalmente acotado. La demostración siguiente es algo complicada. Además, ésta propiedad justifica que los espacios métricos totalmente acotados reciban también el nombre de precompactos. Proposición Todo espacio métrico completo y totalmente acotado es secuencialmente compacto. Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico completo y totalmente acotado, sea (x n ) n=1 una sucesión en X. Vamos a construir una subsucesión de Cauchy que será convergente al ser X completo y por tanto X será secuencialmente compacto. Si la sucesión es finita no hay nada que probar, pues tiene infinitos términos iguales y ya tenemos la subsucesión convergente. Supongamos entonces que la sucesión S = (x n ) n=1 tiene infinitos términos distintos. Como X es totalmente acotado y S X, S también es totalmente acotado, por tanto dado 1 2 existe un número finito de bolas con este radio que recubren S. Como S es infinito, una de estas bolas contendrá infinitos puntos de dicha sucesión S, llamemos a esta bola B 1. Consideremos ahora B 1 S. Este conjunto es también totalmente acotado, de modo que si consideramos 1, B S estará recubierto por un número finito de bolas de radio 1 y de ellas, al 2 2 menos una, que llamaremos B 2, contendrá una cantidad finita de términos de la sucesión. Así sucesivamente hemos construido una sucesión de bolas B k de radio 1 2 k, cada una de las cuales tiene infinitos términos de la sucesión y que, según se han construido, dos a dos tienen intersección no vacía. Vamos a construir la subsucesión de la siguiente manera:

4 74 CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPLETOS El primer término será un término arbitrario de la sucesión que esté en B 1 y le llamamos x n1, como en B 2 hay infinitos términos de la sucesión, existe un término de la sucesión x n2 x n1 y con n 2 > n 1, así sucesivamente construimos una subsucesión (x nk ) k, tal que cada x nk B k. Veamos que esta subsucesión es de Cauchy. Si p, q N con p < q, como B p B q, tendremos que si y B p B q d(x np, x nq ) d(x np, y) + d(y, x nq ) 1 2 p q < 1 2 p p = 1 2 p 1 Por tanto, dado ε > 0, existe m tal que 1 2 m 1 < ε y si p, q > m (con p > q por ejemplo), entonces y la subsucesión es de Cauchy. d(x np, x nq ) < 1 2 p 1 < 1 2 m 1 < ε Teniendo en cuenta que todo espacio métrico compacto es secuencialmente compacto, podemos expresar los dos resultados anteriores en el siguiente teorema: Teorema Un espacio métrico (X, d) es compacto si, y sólo si (X, d) es completo y totalmente acotado. Proposición Todo subespacio cerrado de un espacio completo es completo. Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea H X cerrado. Sea (x n ) n=1 una sucesión de Cauchy en H. Evidentemente, también es sucesión de Cauchy en X. Por tanto, converge a un punto x X. Como H cerrado x H, y (x n ) n=1 converge a x en H. Proposición Todo subespacio completo de un espacio métrico es cerrado. Demostración. Sea (X, d) un espacio métrico y sea H X tal que (H, d H ) es completo. Veamos que H es cerrado comprobando que H = H. Si x H, entonces existe una sucesión en H, (x n ) n=1, que converge a x y por tanto es de Cauchy, tanto en X como en H. Como (H, d H) es completo la sucesión (x n ) n=1 converge en H a un punto x. Pero (X, d) es un espacio métrico y por tanto de Hausdorff y x = x. Es decir, x H. 8.3 Algunos resultados interesantes Teorema (Teorema de Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea {C n } n=1 una sucesión decreciente de cerrados en X, no vacíos y tales que la sucesión de sus diámetros converge a 0. Entonces n=1 C n es exactamente un punto.

5 8.3. ALGUNOS RESULTADOS INTERESANTES 75 Demostración. Que la sucesión de cerrados es decreciente quiere decir que C 1 C 2 C n.... Sea (x n ) n=1 una sucesión en X de manera que x n C n para cada n N. Veamos que esta sucesión es de Cauchy: Como los diámetros de (δ(c n )) n forman una sucesión que tiende a 0, tendremos que dado ε > 0, existe n o N tal que si n > n o, δ(c n ) < ε. Por tanto, como la sucesión de cerrados es decreciente, tenemos que si n, m > n o, con m > n, x n, x m C n y entonces d(x n, x m ) < δ(c m ) < ε y la sucesión es de Cauchy. Entonces, como X es completo (x n ) n es convergente a un punto x X. Veamos que x n N C n. Supongamos que no fuera así, entonces existe k N tal que x / C k y como C k es cerrado, tenemos que d(x, C k ) = r > 0, con lo que la bola B(x, r 2 ) y C k no tienen puntos comunes, pero si n > k, x n C k (la sucesión de cerrados es decreciente), lo que implica que x n / B(x, r 2 ), lo cual es imposible puesto que x n x. Veamos por fin que este punto es el único en la intersección. Supongamos que existe otro punto y n N C n, entonces d(x, y) δ(c n ) para todo n N y como lim n δ(c n ) = 0, ha de ser d(x, y) 0, pero d es una distancia, luego d(x, y) = 0. Por tanto x = y. Teorema (Baire). Sea (X, d) un espacio métrico completo y sea {A n } n=1 una sucesión de abiertos de X tales que A n es denso en X para cada n N. Entonces se cumple que n=1 A n es denso en X. Demostración. Es suficiente probar que todo abierto no vacío de X corta a n=1 A n. Sea A X un abierto. Como A 1 es denso, A A 1 es no vacío y por tanto x 1 A A 1 y A A 1 es abierto, luego existe r 1 < 1 tal que la bola cerrada B(x 1, r 1 ) A A 1. Como la bola B(x 1, r 1 ) es abierto y no vacío y A 2 es denso resulta que B(x 1, r 1 ) A 2 es no vacío y por tanto existe x 2 B(x 1, r 1 ) A 2 y es abierto luego existe r 2 < 1 2 tales que B(x 2, r 2 ) B(x 1, r 1 ) A 2 A A 1 A 2 Así, por inducción se puede construir una sucesión de bolas {B(x n, r n )} n=1 tales que para cada n N, r n < 1 n, y B(x n, r n ) A A 1... A n. Si consideramos las bolas cerradas, la familia {B(x n, r n )} n=1 cumple la hipótesis del Teorema de encaje de Cantor, y por tanto su intersección es un único punto: n=1b(x n, r n ) = {x}, x X Así, tal y como se han construido estas bolas, x A ( n=1 A n) y n=1 A n es denso.

6 76 CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPLETOS 8.4 Completado de un espacio métrico Definición (Espacio completado). Diremos que un espacio métrico (X, d) es el completado de un espacio métrico (X, d) si (X, d) es completo y X es isométrico a un subconjunto denso de X. Ejemplo (R, ) es un completado de (Q, ). Teorema Sea X un conjunto cualquiera. Entonces el espacio métrico (B(X, R), d ) con B(X, R) = {f : X R : f acotada} y d (f, g) = sup{ f(x) g(x) : x X}, es un espacio métrico completo. Demostración. Sea (f n ) n=1 una sucesión, de funciones, de Cauchy en (B(X, R), d ). Entonces para cada x X la sucesión de números reales (f n (x)) n=1, es una sucesión de Cauchy en (R, ). Como (R, ) es completo se tiene que, para cada x X, (f n (x)) n=1 converge a un punto en R que llamaremos f(x). A partir de estos límites definimos una función, f : X R, tal que a cada x X le hace corresponder el límite de la sucesión (f n (x)) n=1, que hemos llamado f(x). Veamos que (f n ) n converge a f. Como la sucesión es de Cauchy, tendremos que para todo ε > 0, existe n o tal que si m, n > n o, entonces d (f n, f m ) = sup{ f n (x) f m (x) : x X} < ε. En particular, si tomamos n > n o fijo y p N, tendremos que d(f n, f n+p ) = sup{ f n (x) f n+p (x) : x X} < ε Entonces tendremos que para todo x X, se cumple que f n (x) f n+p (x) < ε Si ahora tomamos límites cuando p, tendremos que, para todo x X f n (x) f n+p (x) f n (x) f(x) lo que implica que f n (x) f(x) < ε y por tanto la conclusión es que si n > n o entonces lo que implica que (f n ) n converge a f. d (f n, f) = sup{ f n (x) f(x) : x X} < ε Esto también implica que f B(X, R), es decir, está acotada, pues como (f n ) n es de Cauchy, por la proposición 8.1.6, está acotada, luego existe M > 0 tal que (f n ) n B(0, M), con 0 la función

7 8.5. EJERCICIOS 77 idénticamente nula, es decir d (0, f n ) < M para todo n N. Entonces, dado 1 > 0, como (f n ) n converge a f, existe un n 1 tal que si n > n 1, entonces d (f n, f) < 1. Por tanto podemos poner d (0, f) d (0, f n ) + d (f n, f) < M + 1 Proposición Existe un completado de cualquier espacio métrico (X, d). Demostración. Sea a X fijo. Definimos la aplicación ψ : X B(X, R) como ψ x : X R, tal que ψ x (y) = d(y, x) d(y, a). ψ x B(X, R) puesto que d (0, ψ) = sup{ ψ x (y) : y X} = sup{ d(y, x) d(y, a) : y X} = d(x, a) Además ψ es una isometría puesto que d (ψ x, ψ z ) = sup{ d(y, x) d(y, z) : y X} = d(x, z) Si ahora consideramos la adherencia ψ(x) en B(X, R), con la distancia inducida, tenemos que por la proposición 8.2.7, ψ(x) es completo por ser cerrado en B(X, R) que es completo. Ya hemos encontrado un completado de X. 8.5 Ejercicios 1. Pruebe que toda sucesión de Cauchy en un espacio métrico es totalmente acotada.[lipschutz], pag Sea (X, d) un espacio métrico. Una aplicación f : X X se llama contractiva, si existe k R con 0 k < 1, tal que para todo x, y X, d(f(x), f(y)) kd(x, y). Pruebe: a) Si f es contractiva, entonces f es continua. b) Si f es contractiva y (X, d) es completo, existe x X tal que f(x) = x (Teorema del punto fijo) [Lipschutz], pag En el teorema de punto fijo del ejercicio anterior, las hipótesis son necesarias: a) Completitud. Demuestre que la aplicación f : (0, 1 3 ) (0, 1 3 ) dada por f(x) = x2 es una contractiva y que no tiene punto fijo. b) Contractiva. Demuestre que la aplicación f : [1, ) [1, ) dada por f(x) = x + 1 x no cumple f(x) f(y) < x y y no tiene punto fijo. 4. El Teorema de Encaje de Cantor necesita de todas las hipótesis:

8 78 CAPÍTULO 8. ESPACIOS COMPLETOS a) Espacio métrico completo. Demuestre que {(0, 1 n ]} n=2 es una sucesión de conjuntos cerrados de ((0, 1), ) tales que sus diámetros convergen a 0 y, sin embargo, su intersección es el vacío. b) Conjuntos cerrados. Demuestre que {(0, 1 n )} n=1 es una sucesión de conjuntos no cerrados en R tales que sus diámetros convergen a cero y su intersección es el vacío. c) Sucesión de diámetros convergente a 0. Demuestre que {[n, )} n=1 es una sucesión decreciente de conjuntos cerrados en R tales que su intersección es el vacío. 5. Sea (X, d) un espacio métrico. Demuestre que si A, B X son completos, entonces A B también es completo. [Fleitas], pag Sea (x n ) n una sucesión en un espacio métrico (X, d) y sea la sucesión de conjuntos A 1 = {x 1, x 2,... }, A 2 = {x 2, x 3,... },..., A n = {x n, x n+1,... } Pruebe que (x n ) n es una sucesión de Cauchy si, y sólo si la sucesión de los diámetros (δ(a n )) n, converge a 0. [Lipschutz], pag. 199 REFERENCIAS [Lipschutz]: Topología General. Autor: S. Lipschutz. Serie Schaum. Ed. McGraw-Hill [Fleitas]: Problemas de Topología General. Autores: G. Fleitas y J. Margalef. Ed. Alhambra 1983

9 Índice General 1 Preliminares Conjuntos Aplicaciones Numerabilidad Espacios Métricos Distancias y espacios métricos Bolas Abiertos. Propiedades Cerrados Espacios topológicos Espacio topológico Cerrados Entornos Subespacios topológicos Espacios topológicos metrizables Subconjuntos notables de un Espacio Topológico Adherencia Subconjuntos densos

10 80 ÍNDICE GENERAL Puntos aislados y puntos de acumulación Interior y frontera Sucesiones Continuidad Continuidad en un punto Continuidad en todo el espacio Continuidad uniforme. Isometrías Espacios conexos Conexos Conexos en R Conexión y continuidad Espacios compactos Espacios compactos Subconjuntos compactos Compactos en R y R n Compactos en R Compactos en R n Compactos en un espacio métrico Compactos en R n de nuevo Compactos y funciones continuas Propiedad de la intersección finita Espacios completos Sucesiones de Cauchy Espacio métrico completo Algunos resultados interesantes

11 ÍNDICE GENERAL Completado de un espacio métrico Ejercicios

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