FORMULARIO TEORIA DE FILAS

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1 FORMULARIO TEORIA DE FILAS Proceso geeral de acimieto y muerte. Tasas de etrada: λ 0,λ 1,..., λ 1 clietes or uidad de tiemo. Tasas de salida: µ 1,µ 2,..., µ clietes or uidad de tiemo. =1, 2,... Razó etrada/salida: C 0 =1 C = λ 0 λ 1... λ 1 µ 1 µ 2... µ [ ] 1 C Probabilidad de que haya clietes e el sistema (=0,1,2...): = C 0 L f = =s ( s) L s = L L f = s 1 + s =s L = L s + L f = W s = Ls W = L Dode = λ es la tasa efectiva de llegada. 1

2 Modelo de Filas de esera M/M/1 Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales, 1 servidor. Factor de utilizació: ρ = (ρ <1) 1 ρ =(1 ρ) ρ L f = ρ2 1 ρ L s = ρ L = ρ 1 ρ W f = λ µ(µ λ) W s = 1 µ W = 1 µ λ 2

3 Probabilidades de tiemos de esera. Prob(w f =0)=1 ρ Prob(w f >t)=ρ ex[ (µ λ) t)] si t>0 Prob(w >t)=ex[ (µ λ) t)] si t>0 Modelo M/M/s, s>1 Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales, s servidores. Tasa de llegada: Tasa de servicio: Factor de utilizació: (ρ <1) λ clietes or uidad de tiemo. µ clietes or uidad de tiemo. ρ = λ s µ [ s 1! ] 1 + s s!(1 ρ) =! 0 si0 <<s s!s s 0 si s 3

4 L f = s ρ s!(1 ρ) 2 0 L s = L = L f + L s λ W s = 1 µ W = W f + W s Probabilidades de tiemos de esera. Prob(w f =0)= s 1 Prob(w f >t)=ex[ (sµ λ)t][1 Prob(w f =0)] sit>0 Prob(w >t)=ex[ (µt)] [1+ s s!(1 ρ) ] 1 ex[ µ(s 1 )t] 0 s 1 si t>0 4

5 Modelo (M/M/1):(G/Q/ ). Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales, 1 servidor, úmero máximo de clietes e el sistema Q. Factor de utilizació: Caso ρ 1. ρ = λ/µ 1 ρ 1 ρ Q+1 = { 1 ρ ρ si 0 Q 1 ρ Q+1 0 si >Q L f = L (1 0 )= 1 QρQ 1 +(Q 1)ρ Q (1 ρ)(1 ρ Q+1 ) ρ 2 L s =1 ρ(1 Q )=ρ L = ρ 1 ρ (Q+1)ρQ+1 1 ρ Q 1 ρ Q+1 = 1 (Q+1)ρQ +Qρ Q+1 1 ρ Q+1 (1 ρ)(1 ρ Q+1 ) ρ = L f λ(1 Q ) = L f µ(1 0 ) W s = 1 µ W = L = L λ(1 Q ) Dode = λ(1 Q )=µ(1 0 )=λ 1 ρq 1 ρ Q+1 es la tasa efectiva de llegada. 5

6 Modelo (M/M/1):(G/Q/ ) Caso ρ =1. = { 1 si 0 Q Q+1 0 si >Q L f = Q(Q 1) 2(Q+1) L s = Q Q+1 L = Q 2 = Q 1 2λ W s = 1 µ W = L = Q+1 2λ Tasa efectiva de llegada: = λq Q+1 6

7 Modelo (M/M/s):(G/Q/ ), 1 <s Q. Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales, s servidores, úmero máximo de clietes e el sistema Q. Factor de utilizació: Caso ρ 1. ρ = λ sµ [ s! + s s! Q =s+1 ρ s ] 1 = [ s 1! ] + s 1 1 ρq s+1 s!(1 ρ)! 0 si =1, 2,..., s = s!s s 0 si = s +1,s+2,...Q 0 si >Q L f = s ρ s!(1 ρ) 2 [ 1 ρ Q s (Q s)ρ Q s (1 ρ) ] 0 L s = s 1 + s [ 1 s 1 ] L = L f + L s W s = 1 µ W = L Tasa efectiva de llegada: = λ(1 Q ). 7

8 Modelo (M/M/s):(G/Q/ ), 1 <s Q. Casoρ =1. [ s 1! ] 1 + s (Q s +1) s!! 0 si =1, 2,..., s = s!s s 0 si = s +1,s+2,...Q 0 si >Q L f = s (Q s)(q s+1) 2s! 0 L s = λe µ =(1 0) L = L f + L s = L f +(1 0 ) W s = 1 µ W = L Tasa efectiva de llegada: = λ(1 Q ) 8

9 Modelo (M/M/1):(G/ /M). Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales, 1 servidor, caacidad de fila ifiita, oblació de clietes fiita tamaño M. Factor de utilizació: ρ = (ρ <1) [ M ( M )! ] 1 ( ) M! = 0 si 0 <M 0 si >M L f = M ( 1+ µ λ) (1 0 ) L s =1 0 L = L f +1 M µ λ (1 0) = L f λ(m L) = L f µ(1 0 ) W s = Ls = 1 0 λ(m L) = 1 µ W = L = L λ(m L) = L µ(1 0 ) Tasa efectiva de llegada: = λ(m L) =µ(l L f )=µ(1 0 ) 9

10 Modelo (M/M/s):(G/ /M), s>1. Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales, s servidores, caacidad de fila ifiita, oblació de clietes fiita tamaño M. Factor de utilizació: ρ = (uede tomar cualquier valor). [ s 1 ( M ) + M =s ( M ) ] 1! s!s s = L f = L s + L = ( ) M 0 si 0 <s ( ) M! s!s s 0 si s M 0 si >M [ s 1 L s = L L f = s [ s 1 (s ) ( M ( M [ s 1 ) ] 0 (s ) ( M ) ( ) ] λ µ 0 ) ( ) ( λ µ + 1 M M s! =s ) (! λ s s µ ) ] 0 = L f λ(m L) W s = Ls = Ls λ(m L) = 1 µ W = L = L λ(m L) Tasa efectiva de llegada: = λ(m L) =µ(l L f ). 10

11 Modelo (M/M/ ). Autoservicio. Tiemos etre llegadas y de servicio exoeciales. Cada cliete es u servidor: El úmero de servidores es ifiito. e λ/µ = e λ/ µ λ/µ! L f =0 L s = λ/µ L = λ/µ W f =0 W s = 1 µ W = 1 µ 11