Probabilidad. Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna. 1. Introducción 1

Transcripción

1 Probabilidad BENITO J. GONZÁLEZ RODRÍGUEZ DOMINGO HERNÁNDEZ ABREU MATEO M. JIMÉNEZ PAIZ M. ISABEL MARRERO RODRÍGUEZ ALEJANDRO SANABRIA GARCÍA Departameto de Aálisis Matemático Uiversidad de La Lagua Ídice 1. Itroducció 1 2. Espacio muestral y álgebra de sucesos Espacio muestral y sucesos Operacioes co sucesos Álgebra de sucesos Probabilidad Frecuecia de u suceso Probabilidad Ley de Laplace Teorema de Bayes Probabilidad codicioada Teorema de la Probabilidad Total Teorema de Bayes

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3 PROBABILIDAD 1/11 1. Itroducció E la aturaleza podemos distiguir dos tipos de feómeos: Feómeos determiistas. So aquellos que se rige por algua fórmula, de modo que siempre se puede predecir su resultado mediate la aplicació de dicha fórmula. Además, siempre que se repita el experimeto e idéticas codicioes se obtedrá el mismo resultado. Ejemplo: velocidad al llegar al suelo de u cuerpo e caída libre desde ua altura dada. Feómeos aleatorios. So aquellos cuyo resultado o se puede predecir mediate ua fórmula. Además, la repetició del experimeto e codicioes similares puede dar lugar a resultados muy distitos. Ejemplos: lazar ua moeda, lazar u dado, hereditariedad de determiadas características de los progeitores, tiempo de efectividad de u medicameto. Los feómeos aleatorios se clasifica e estáticos y diámicos; los primeros represeta ua situació real e u istate determiado, y los segudos estudia la evolució de dicha situació e el trascurso del tiempo. La herramieta matemática básica para la modelizació de los feómeos aleatorios estáticos es la variable aleatoria. El tratamieto de los feómeos aleatorios diámicos correspode a la teoría de procesos estocásticos, cuyo desarrollo excede el alcace de este curso. 2. Espacio muestral y álgebra de sucesos Al describir u experimeto aleatorio es esecial precisar qué aspecto del resultado os iteresa observar, a fi de dispoer de u criterio que os permita cosiderar dos resultados como diferetes. Esta especificació se logra mediate la itroducció del espacio muestral Espacio muestral y sucesos Defiició 2.1. Espacio muestral Ω asociado a u experimeto aleatorio es el cojuto formado por los posibles resultados (cosiderados como) diferetes del mismo. U espacio muestral puede ser fiito o ifiito (umerable o o). Ejemplo 2.2. Describir los espacios muestrales asociados a distitos experimetos aleatorios. RESOLUCIÓN.

4 2/11 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Lazar u dado: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Lazar ua moeda: Ω = {C,X}. Número de coches que pasa por u puete e u determiado lapso de tiempo: Ω = {0,1,2,...}. Elegir al azar u úmero real e el itervalo [0,1]: Ω = [0,1]. E lo que sigue os restrigiremos a espacios muestrales fiitos. Defiició 2.3. Supogamos que se realiza u experimeto aleatorio. Suceso del experimeto aleatorio es cualquier subcojuto del espacio muestral asociado. Suceso elemetal es cada uo de los elemetos del espacio muestral. Suceso compuesto es cualquier uió de sucesos elemetales. Destacamos dos sucesos especiales: Suceso seguro es todo el espacio muestral, Ω. Suceso imposible es el cojuto vacío, /0. Defiició 2.4. Al realizar u experimeto aleatorio, diremos que se ha verificado o que ha ocurrido el suceso A, si el resultado del experimeto es u elemeto de A. Ejemplo 2.5. Se cosidera el experimeto aleatorio «tirar u dado». Describir el espacio muestral y dar ejemplos de sucesos. RESOLUCIÓN. Experimeto aleatorio: tirar u dado. Espacio muestral: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Sucesos: S 1 = {sacar par} = {2,4,6}. S 2 = {sacar impar} = {1,3,5}. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

5 PROBABILIDAD 3/11 S 3 = {sacar < 4} = {1,2,3}. S 4 = {sacar egativo} = /0. S 5 = {sacar 6} = Ω Operacioes co sucesos A fi de dotar al espacio muestral de ua estructura matemática sobre la que defiir ua medida de la icertidumbre del feómeo aleatorio bajo estudio, itroducimos las siguietes operacioes co los sucesos. Defiició 2.6. Sea A y B dos sucesos de u cierto experimeto aleatorio. Uió de los sucesos A y B es el suceso A B que ocurre siempre que ocurre A, B ó ambos. Itersecció de los sucesos A y B es el suceso A B que ocurre siempre que ocurra A y B simultáeamete. Suceso complemetario o cotrario de A es el suceso que ocurre siempre que o ocurre A; se deota A c ó A. Nótese que Ω c = /0 y /0 c = Ω. Ejemplo 2.7. E el lazamieto de u dado: Si A = {1,2,3} y B = {1,4}, etoces A B = {1,2,3,4}. Si A = {1,2,3} y B = {2,5}, etoces A B = {2}. Si A = {1,3,5}, etoces A c = {2,4,6}. Defiició 2.8. Se dice que A implica (o está coteido e) B, y se escribe A B, si siempre que ocurre A, ocurre B. Ejemplo 2.9. E el lazamieto de u dado, si A = {4} y B = {sacar par}, etoces A B.

6 4/11 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Defiició Los sucesos A y B so icompatibles si o se puede verificar a la vez: A B = /0. Defiició Diferecia etre el suceso B y el suceso A es el suceso B \ A = B A c, que ocurre cuado se verifica B, pero o A. El siguiete ejemplo muestra que la diferecia de sucesos o es comutativa. Ejemplo E el lazamieto de u dado, si A = {4} y B = {sacar par}, etoces B \ A = {2,6}, A \ B = / Álgebra de sucesos Defiició Sea A cualquier familia de sucesos del espacio muestral Ω que verifica los siguietes axiomas: i) Ω A. ii) A,B A A B A. iii) A A A c A. Se dice etoces que A tiee estructura de álgebra de Boole, y la deomiaremos u álgebra de sucesos. Ejemplo El cojuto de todos los sucesos de u espacio muestral es u álgebra de sucesos. Otro ejemplo de álgebra de sucesos es A = {Ω, /0}, y, más e geeral, A = {Ω, /0,E,E c }, dode E es cualquier suceso del espacio muestral. Ejemplo E el experimeto de lazar u dado, co Ω = {1,2,3,4,5,6}, sea A = {sacar par}, B = {sacar 3}, C = {sacar 1 ó 5}. Calcular A B, A B, A c, B c, A \ B, A C. RESOLUCIÓN. Nótese que A = {2,4,6}, B = {3,4,5,6}, C = {1,5}. Ahora: OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

7 PROBABILIDAD 5/11 A B = {2,3,4,5,6}, A c = {1,3,5}, A \ B = {2}, A B = {4,6}, B c = {1,2}, A C = /0. Ejemplo Ua mujer portadora de hemofilia clásica da a luz tres hijos. Determiar el espacio muestral y los siguietes sucesos: A = {iguo hemofílico}, B = {al meos dos hemofílicos}, D = {al meos uo hemofílico}, C = {sólo dos hemofílicos}, E = {sólo uo hemofílico}. RESOLUCIÓN. Represetamos por s la ocurrecia de hemofilia y por la o ocurrecia de la misma. Se tiee: Ω = {sss,ss,ss,s,ss,s,s,}, B = {sss,ss,ss,ss}, D = {sss,ss,ss,s,ss,s,s}, A = {}, C = {ss,ss,ss}, E = {s,s,s}. 3. Probabilidad Nuestro objetivo es defiir ua fució sobre u álgebra de sucesos que permita medir el grado de icertidumbre e la ocurrecia cada uo de ellos Frecuecia de u suceso Defiició 3.1. Dado u suceso A, se defie la frecuecia absoluta de A, A, como el úmero de veces que ocurre A e ua serie de repeticioes del experimeto. El cociete f A = A

8 6/11 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA se deomia frecuecia relativa de A y es u idicador de la proporció de veces que ha ocurrido A e relació al úmero de veces que se ha repetido el experimeto. Nótese que: 0 f A 1. f Ω = 1. f /0 = 0. A B = /0 A B = A + B f A B = A B = A + B = A + B = f A + f B. La abstracció del cocepto de frecuecia relativa de u suceso e ua larga serie de repeticioes del experimeto coduce a la defiició que euciamos a cotiuació Probabilidad Defiició 3.2. Dado u experimeto aleatorio, co espacio muestral Ω y álgebra de sucesos A, se defie la probabilidad como ua aplicació del álgebra de sucesos A e el itervalo [0, 1] que satisface los axiomas siguietes: i) P(Ω) = 1. ii) P(A B) = P(A) + P(B), siempre que A,B A y A B = /0. So cosecuecia de estos axiomas las siguietes propiedades de la probabilidad: P(A c ) = 1 P(A). P(/0) = 0. A B P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), para cualesquiera A,B A Ley de Laplace Cosideremos u espacio probabilístico (Ω, A, P), dode Ω es fiito y todos los sucesos elemetales so equiprobables: Ω = {x 1,x 2,...,x }, co P({x i }) = p (1 i ). Como Ω = {x 1 } {x 2 }... {x } y los OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

9 PROBABILIDAD 7/11 sucesos elemetales so icompatibles dos a dos, sigue que 1 = P(Ω) = i=1 P({x i }) = i=1 y para cualquier suceso A = {x i1,x i2,...,x ik } se tiee p = p = card(ω) p p = 1 card(ω), P(A) = k j=1 P({x i j }) = k p = k p = card(a) p = card(a) casos favorables = j=1 card(ω) casos posibles. Aquí, card(e) deota el cardial o úmero de elemetos del cojuto E. E defiitiva: Teorema 3.3 (Ley de Laplace). Sea (Ω,A,P) u espacio de probabilidad, dode Ω es fiito y todos los sucesos elemetales so equiprobables. Para cualquier A A, se tiee: P(A) = card(a) casos favorables = card(ω) casos posibles. Ejemplo 3.4. Calcular la probabilidad de cada uo de los sucesos cosiderados e el Ejemplo RESOLUCIÓN. De acuerdo co la Ley de Laplace la probabilidad de cada suceso elemetal es p = 1/8, ya que hay 8 casos posibles, todos equiprobables. Ahora: A = {} P(A) = 1 8 ; B = {sss,ss,ss,ss} P(B) = 4 8 = 1 2 ; C = {ss,ss,ss} P(C) = 3 8 ; D = {sss,ss,ss,s,ss,s,s} P(D) = 7 8 ; E = {s,s,s} P(E) = Teorema de Bayes 4.1. Probabilidad codicioada Cosideremos el experimeto de lazar u dado (espacio muestral fiito co sucesos elemetales equiprobables). La probabilidad del suceso A = {sacar 1} es P(A) = 1/6. Si queremos calcular la probabilidad de sacar 1 coociedo la iformació adicioal de que al realizar el experimeto ha salido u úmero impar, el

10 8/11 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA espacio muestral se ve reducido al cojuto {1,3,5}, de modo que la probabilidad de sacar 1 habiedo salido impar es de 1/3. Así pues, deotado por B = {sacar impar}, la probabilidad del suceso A codicioado a la verificació del suceso B es P(A/B) = 1/3. Más e geeral: Defiició 4.1. Dados dos sucesos cualesquiera A,B A, co P(B) > 0, se defie la probabilidad del suceso A codicioada al suceso B por P(A/B) = P(A B), P(B) lo que mide la probabilidad de que ocurra el suceso A sabiedo que ha ocurrido el suceso B. Ejemplo 4.2. E el lazamieto de u dado, si A = {1} y B = {sacar impar} = {1,3,5}, etoces P(A/B) = P({1} {1,3,5}) P({1,3,5}) = P({1}) P({1,3,5}) = = 1 3. E el Ejemplo 4.2, P(A) = 1/6 1/3 = P(A/B). Si embargo, puede ocurrir que P(A) = P(A/B), lo que ituitivamete parece sugerir que la realizació del suceso B o aporta iformació sobre la ocurrecia del suceso A. Por ejemplo, si lazamos ua moeda dos veces, la probabilidad de que e el segudo lazamieto salga cara es idepediete de lo que haya resultado e el primero. Defiició 4.3. Diremos que dos sucesos A, B so idepedietes si P(A/B) = P(A). E tal caso, P(A/B) = P(A B) P(B) = P(A) P(A B) = P(A) P(B). De forma aáloga, diremos que tres sucesos A, B, C so idepedietes cuado se tega: P(A B) = P(A) P(B), P(A C) = P(A) P(C), P(B C) = P(B) P(C), P(A B C) = P(A) P(B) P(C). Observació 4.4. Es importate teer presete que si (Ω, A, P) es u espacio de probabilidad, etoces tambié lo es (Ω,A,P( /B)), para cada B A. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

11 PROBABILIDAD 9/ Teorema de la Probabilidad Total Defiició 4.5. Ua familia de sucesos {A i } i=1 forma u sistema completo si i) Ω = i=1 A i. ii) A i A j = /0 (1 i, j, i j). Sea {A i } i=1 u sistema completo de sucesos, co P(A i) > 0 (1 i ). Para cada suceso B A se tiee B = B Ω = (B A i ), i=1 y como {A i } i=1 so disjutos dos a dos, resulta que {B A i} i=1 tambié lo so. Surge así el siguiete resultado. Teorema 4.6 (Teorema de la Probabilidad Total). Sea (Ω,A,P) u espacio de probabilidad, y sea {A i } i=1 u sistema completo de sucesos e Ω. Para cada B A, se verifica: P(B) = i=1 P(B A i ) = i=1 P(B/A i ) P(A i ). Ejemplo 4.7. Se dispoe de dos uras umeradas. La ura úmero 1 cotiee tres bolas blacas y dos egras. La ura úmero 2 cotiee dos bolas blacas y tres egras. Se elige ua ura al azar y se extrae de ella ua bola. Cuál es la probabilidad de que sea blaca? RESOLUCIÓN. Sea A 1 ={elegir la ura úmero 1}, A 2 ={elegir la ura úmero 2}; ótese que A 1 A 2 = Ω y A 1 A 2 = /0. Sea tambié B = {extraer bola blaca}. Ya que B = (B A 1 ) (B A 2 ), se tiee: P(B) = P(B A 1 ) + P(B A 2 ) = P(B/A 1 ) P(A 1 ) + P(B/A 2 ) P(A 2 ).

12 10/11 B. GONZÁLEZ, D. HERNÁNDEZ, M. JIMÉNEZ, I. MARRERO, A. SANABRIA Como P(A 1 ) = P(A 2 ) = 1 2, P(B/A 1) = 3 5, P(B/A 2) = 2 5, cocluimos: P(B) = 1 ( ) = Teorema de Bayes Sea {A i } i=1 u sistema completo de sucesos, co P(A i) > 0 (1 i ). Supogamos que estamos iteresados e coocer la probabilidad de que, ocurrido el suceso B, la causa que lo haya producido sea A k, es decir, queremos calcular P(A k /B). E este caso iterviee el teorema siguiete, debido al matemático britáico Thomas Bayes ( ). Teorema 4.8 (Bayes). Sea {A i } i=1 u sistema completo de sucesos e u espacio de probabilidad (Ω,A,P), co P(A i ) > 0 (1 i ), y sea B A, co P(B) > 0. Se tiee: P(A k /B) = P(A k B) P(B) = P(B/A k) P(A k ) P(B) = P(B/A k) P(A k ) i=1 P(B/A i) P(A i ). Para escribir la última igualdad, hemos aplicado e el deomiador el Teorema de la Probabilidad Total (Teorema 4.6). Ejemplo 4.9. E el Ejemplo 4.7 supogamos que, realizada la extracció, la bola que aparece resulta ser blaca. Cuál es la probabilidad de que la ura de la cual se haya extraído sea la úmero 1? RESOLUCIÓN. Por el Teorema de Bayes, P(A 1 /B) = 1 P(B/A 1 ) P(A 1 ) P(B/A 1 ) P(A 1 ) + P(B/A 2 ) P(A 2 ) = = 3 5. OCW-ULL 2013 MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA

13 PROBABILIDAD 11/11 Observació Los resultados estudiados e esta secció se iterpreta como sigue: Teorema de la Probabilidad Total. La probabilidad de u suceso B puede recostruirse a partir de las probabilidades de los sucesos de u sistema completo y de las de B codicioadas a los sucesos de dicho sistema. Teorema de Bayes. La probabilidad a priori de u suceso (P(A k )) puede eriquecerse a partir de datos muestrales (P(B)) mediate la verosimilitud (P(B/A k )), dado lugar a la probabilidad a posteriori (P(A k /B)).