Análisis Matemático en la Economía: Optimización y Programación. Augusto Rufasto

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1 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón La optmzacón y la programacón están en el corazón del problema económco. Éstas se ocupan de los procesos que producen elementos deseables al msmo tempo que los costos que están asocados a ellos. En este capítulo veremos cómo es que operan la programacón matemátca y la optmzacón para plantear y resolver los problemas teórcos de economía. Tambén conoceremos otras herramentas de análss matemátco aplcables al análss económco. Optmzacón y programacón matemátca Los problemas en economía pueden ser formalzados como problemas de optmzacón y programacón matemátca. La optmzacón consste en la búsqueda de valores adecuados para una varable y una funcón, donde la funcón representa un objetvo de nuestro nterés. Recbe el nombre de optmzacón en razón de que óptmo, palabra provenente del latín, sgnfca lo mejor. El óptmo es el grado superlatvo de cualquer magntud. S nuestro objetvo es buscar el más alto nvel de benefcos, entonces es que buscamos el benefco óptmo. Y s buscamos el menor de los costos, estamos buscando el costo óptmo. La programacón matemátca da forma a la optmzacón. La programacón matemátca consste en en una sere de tareas de análss matemátco, todas ellas focalzadas en un objetvo cuantfcado y especal. Como ejemplo, veamos el sguente problema: max Λ [funcón objetvo] s.a: R X [restrccón] ( ) T Se trata de hallar un valor óptmo para la funcón Λ(X). La programacón mostrada está focalzada en la búsqueda del mayor valor posble para una funcón Λ(X). Esta funcón recbe el nombre de funcón objetvo, ya que el objetvo es encontrar un valor para esta funcón. X representa el nvel de actvdad económca y es tambén la varable de la cual depende la funcón Λ(X), y recbe en teoría de optmzacón y programacón el nombre de varable de decsón, ya que el proceso de programacón fnalza cuando se ha tomado una decsón sobre cuál es el valor más adecuado de X. El programador matemátco debe probar dferentes valores de X por medo de dversos procedmentos y técncas. Luego de probar los valores de X, puede decrse cuál es el valor de X que da máxmo valor para la funcón Λ(X).

2 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón Vemos que la programacón tambén ncluye un renglón de restrccón. La funcón R(X) expresa el costo económco de consegur un nvel de actvdad económca como X. Por otro lado, T representa una cantdad de recursos dsponbles y explotables. Se dspone así de una cantdad T de recursos prmos o brutos. De esa forma, no puede explotarse o transformarse una cantdad de recursos superor a T. El renglón de restrccón descrbe la stuacón del problema económco de que el nvel del costo ncurrdo R(X) no puede sobrepasar la dsponbldad total de recursos T. La economía como un problema de programacón matemátca Una síntess del problema económco ncluye sempre la cuestón de la optmzacón, la drectrz de deseo y necesdad, las relacones de transformacón de los recursos, la dsponbldad de éstos y el papel jugado por el dnero. En forma senclla, podemos expresar el problema económco central como: Donde: max Λ s.a: R X ( ) T = V ρ R Λ(X): Efecto postvo neto total generado por el ben. X: Cantdad de benes creada por la economía. V(X): Efecto postvo bruto total generado por los benes. R(X): Costo total de transformacón. ρ: Factor de conversón de undades de costo a undades de medcón del efecto postvo. T: Dsponbldad total de recursos de la economía. Λ(X) es la funcón a la que deseamos dar un valor óptmo, que en este caso es, además, un valor, máxmo. Esta funcón será llamada funcón de desempeño económco neto. V(X) es la funcón de desempeño, y puede representar, en el caso de una economía naconal, el benestar que el sstema económco genera para toda la socedad. X representa la cantdad de todos los productos que la economía elaborará u obtendrá. R(X) es una funcón que calcula los requermentos en recursos necesaros para la obtencón de X. T muestra la dsponbldad total de recursos brutos. ρ es un elemento matemátco extremafdamente mportante. En este enfoque, ρ es un factor de conversón. Por qué se requere un factor de conversón? La razón es la sguente: Los costos R(X) están expresados en una undad de medda de costos. Démosle una denomnacón a la undad de medda de los costos, como horas-factor. Por otro lado, la funcón de desempeño V(X) ndca el grado de benestar bruto alcanzado, y su undad de medda es generalmente dstnta a la de los costos de la actvdad. Dgamos que V(X) se mde en bonos o útles. La economía mostrada formalmente en la programacón elevará el benestar de la socedad, decdendo el valor más adecuado del volumen de produccón.

3 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón Los dos procesos de transformacón En el ejemplo anteror hemos vsto que la programacón se centra en encontrar un valor adecuado para la varable de decsón, en orden de que este valor se transforme, vía las funcones V(X) y R(X), en el valor deseado para la funcón Λ(X), la que representa el benestar neto en una econompa naconal. Profundzaremos sobre las funcones V(X) y R(X), ya que éstas defnen a la funcón Λ(X), y así defnen tambén a la economía. Imagnemos un proceso que comporte produccón de benes para satsfacer la necesdad de las personas. Estaríamos hablando de dos procesos de transformacón: En el prmero, se converte materal bruto en artículos (lo llamaremos proceso Q). En el segundo, se converte artículos o benes termnados en satsfaccón (lo llamaremos proceso V). Proceso Q Éste es el prmer proceso de la cadena de transformacón en la economía. Se toma elementos en estado bruto y se les refna hasta transformárseles en artículos acabados. X = Q(L) L: Vector de recursos brutos llevados al proceso de transformacón. X: Vector de benes fnales obtendos. Q: Funcón matemátca que representa al proceso de transformacón. Veremos más adelante que R(X) corresponde a la funcón Q -. Así, R(X)=Q - (X). Proceso V Éste es el segundo proceso de la cadena de transformacón en la economía. Se toma los benes termnados y se les utlza o consume hasta transformárseles en benestar. U = V X: Vector de benes fnales consumdos o usados. U: Medda de la satsfaccón fnal obtenda. V: Funcón matemátca que representa al proceso de obtencón de benestar medante el consumo y uso de los benes.

4 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón Las funcones de transformacón En el análss económco nos nteresa transformar certos valores en otros. Como ya se vo, los procesos de transformacón que se usarán son dos: El proceso Q y el proceso V. Operatvdad de Q Q transforma recursos brutos de la economía en benes susceptbles de ser consumdos. Como ya se vo, responde a la sguente expresón: X = Q(L) Los benes producdos X se mden en undades de producto fnal (o, mejor aún, en canastas, ya que pueden se produce benes de dversos tpos, y no una sola clase de ben). Los recursos usados L se mden en horas-factor. Tanto X como L son vectores. Así, el output X es un vector de n componentes, ya que está conformado por los benes producdos de n tpos dstntos. El nput L es un vector de m componentes, ya que está conformado por los recursos brutos de m tpos dferentes. La actvdad de planeacón de la produccón lleva a plantear metas productvas y a evaluar los requermentos de recursos necesaros. Así, s X mde la meta de produccón y L el nvel de los requermentos, usaremos la sguente expresón para determnar el valor de L: L = Q Q - será la funcón de requermentos productvos necesaros para consegur X de produccón fnal. Q - será denotado como R. Así, tenemos: L = R La expresón mostrada nos ayudará a formular dversos problemas económcos usando como referenca a X. R(X) se mde en undades de costo de produccón, que pueden ser dólares (s hablamos de dnero), u horas-factor (s hablamos de la nversón de tempo requerda para producr el monto X). Operatvdad de V V transforma los benes consumdos en satsfaccón. Medremos a la satsfaccón en undades de satsfaccón o undades de benestar. Será necesaro dar un nombre a tales undades, y las llamaremos bonos o útles. Cualesquera benes consumdos en esta economía se transformarán, por efecto del proceso de consumo en bonos. Recordemos la expresón correspondente a V: U = V U estará meddo en bonos o útles, y su magntud reflejará el grado de satsfaccón de un ndvduo. 4

5 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón Estructuras funconales que representan los procesos de transformacón Para el análss de los dos procesos de transformacón haremos uso de dversas estructuras funconales. Las funcones que presentaremos transformarán un vector x en una magntud y, usando una funcón f(x): y = f ( x) Es decr, x representará el nput e y el output. Una característca muy mportante de las estructuras funconales es el rato o cocente entre los requermentos de nput y de output necesaros para producr una undad de output. Este rato puede ser constante o varable. S se trata de un rato constante, esto es descrto como una stuacón de complementaredad absoluta o perfecta entre los elementos de nput. Esto quere decr que una undad de output sólo puede ser conseguda medante una únca combnacón de undades nput. S se trata de un rato varable, los elementos de nput son susttubles entre sí. Esto sgnfca que dstntas combnacones de elementos nput pueden producr una undad de output. Estructura Cobb-Douglas con decrecente velocdad de crecmento La sguente es una funcón con estructura Cobb-Douglas: y = = n = a x Una funcón Cobb-Douglas con decrecente velocdad de crecmento, por otro lado, ncorpora las sguentes condcones: y = = n = = n = a a x {,..., n}, a ] 0,[ ] 0,[ Defnmos la varable s j, a la que llamaremos mportanca o peso en la funcón del componente j de la sguente manera: s a j j = = n a =

6 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón La mportanca representa el grado de nfluenca que tene el j-ésmo componente de un conjunto de n componentes que son nputs para una funcón de tpo Cobb-Douglas. La mportanca o peso de un compnente sobre un grupo de componentes sólo puede alcanzar valores que estén entre 0 y, o sea entre 0% y 00%: s j ] 0,[ La suma de todas las mportancas es gual a la undad: = n = s = = 00% El concepto de mportanca o peso puede aparecer en contextos que ncluyan a funcones dferentes de la Cobb-Douglas, pero he encontrado que es muy útl en el análss de problemas referdos a funcones Cobb-Douglas. El concepto de peso o mportanca ayudará a formular conclusones mportantes en la teoría del consumdor. Estructura Leonteff La sguente es una funcón con estructura Leonteff: { a x, a x, K, a x, a x } y = mn K n La sguente regla permte optmzar muchos casos de análss relatvos a una funcón Leonteff: y = a x = a x = K = a x = K = a j j n n x Tal regla será denomnada regla de cero excedentes, ya que permte que todos los componentes se establezcan en valores que concden en que todos son guales al valor de referenca, el mínmo. Estructura lneal en los componentes del vector Una funcón con estructura lneal en los componentes del vector responde a la sguente expresón: y = = n = a x n El valor del rato de requermentos nput responde a un tratamento partcular del problema de optmzacón. 6

7 El factor de conversón ρ Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón El factor de conversón ρ partcpa en la funcón de valor neto de desempeño, Λ(X), que defne al problema de una undad económca. El problema orgnal es: max V s.a: R X ( ) T Y transformamos este problema a: Donde: max Λ s.a: R X ( ) T = V ρ R Λ(X): Desempeño neto generado por la actvdad, en nvel X. X: Nvel de actvdad. V(X): Desempeño bruto generado por la actvdad, en nvel X. R(X): Costo del nvel de actvdad X. ρ: Factor de conversón de undades de costo a undades de desempeño. T: Dsponbldad total de recursos de la undad económca. En este análss, nos ocuparemos de estudar a ρ. Aparte de haber sdo ntroducdo y defndo como un factor de conversón, nos nteresa conocer la estructura, funconaldad y sgnfcado de ρ. Dos ejemplos de análss: el prmer ejemplo Veamos dos ejemplos para análss de optmzacón. En prmer lugar, tenemos una undad económca cuyo desempeño corresponde a X / S el costo de llegar a X vene dado por R(X) = X, y sólo se dspone de un total de 00 undades de recursos, podemos expresar este problema como: V = s.a.: R X = X max X ( ) 00 Veamos gráfcamente el problema: 7

8 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón La solucón del problema económco es hacer uso de las 00 undades de recursos. Esto permte llegar a un nvel de actvdad X gual a 00 y generar un desempeño tal como.8. Tambén podemos expresar el problema como: max X X Λ = s.a.: R X = X ( ) 00 ρ El operador Λ(X) ahora ncluye el desempeño bruto V(X) y el costo de operacón relatvo a X, es decr, R(X). S buscamos un valor crítco para Λ(X), dervamos Λ(X) e gualamos ello a cero: Λ Esto equvale a: V V R = ρ R = ρ = 0 Las funcones dan forma a esta ecuacón. δv(x)/δx es gual a /(X / ), mentras que δr(x)/δx es gual a. Tenemos así: X Gráfcamente: = ρ 8

9 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón La estructura de ρ para este prmer ejemplo El tratamento algebraco servrá para conocer la estructura de ρ. Esta expresón nos ayudará a encontrar la estructura de ρ: V ρ = R = X Esta estructura ndca que ρ tende a dsmnur a medda que aumenta el valor de X. El sgnfcado y funconaldad de ρ El valor ρ es un rato construdo como el cocente entre una calfcacón postva al rendmento margnal de la actvdad relatvo al desempeño (es el numerador δv(x)/δx) y una calfcacón negatva al costo margnal de la actvdad (es el denomnador δr(x)/δx). Recordemos la forma de ρ: 9

10 ρ = V R Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón Queda muy claro que la ρ es una nota que debe recbr el n vel de actvdad X. Una buena nota mplca buen rendmento margnal para el desempeño y bajo costo margnal de la actvdad. El valor ρ ha sdo ntroducdo como factor de conversón. Las undades de medda de ρ pueden ser vstas en la sguente forma de expresar ρ: grados desempeño ρ = K undad costo El valor ρ tene otro sgnfcado especal: ρ es gual a la capacdad de una undad de costo de generar un desempeño postvo y deseable. A manera de ejemplo, en el problema del consumdor ρ es gual a la capacdad de un dólar de generar satsfaccón (la que está especfcada por la funcón de utldad U(X)). S nuestro prmer ejemplo fuera un problema del consumdor, habríamos encontrado que la capacdad de generar satsfaccón de un dólar es gual a 0.09 grados de satsfaccón por cada dólar. De forma nversa, el valor ρ - será gual al costo en dólares de alcanzar un grado de satsfaccón. Alcanzar un grado de satsfaccón en este caso es gual a 0. dólares por grado de satsfaccón. Pero lo más mportante relatvo a ρ es su funconaldad, la que se manfesta en tener ρ una cualdad de nstrumento de asgnacón económca. Medante la ntroduccón de ρ podemos resolver problemas de asgnacón económca de recursos y/o de actvdades. Dversos problemas de asgnacón podrán ser resueltos sólo gracas a la utlzacón de ρ. Tal es el caso de nuestro segundo ejemplo de análss. El segundo ejemplo de análss Una undad de gestón proyectos debe decdr la mezcla de nversón, la que consdera X proyectos de nfraestructura con gasto total X y X proyectos de capactacón con gasto total X. S se dspone de 00 mllones de dólares para ello y la funcón de desmpeño de la mezcla de nversón es conocda y tene la forma V(X,X ), encuéntrese la mezcla de nversón que optmza el desempeño de la undad de proyectos, así como la mezcla de gastos en nversón. Como datos tenemos a V(X) y R(X): ( X, X ) = X X ( X, X ) = X X V R + Como esta undad económca dspone de 00 mllones de dólares, su problema toma la forma: 0

11 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón max X X s.a.: X + X 00 Plantearemos las ecuacones para determnacón de ρ. Éstas son: ( X, X ) V ρ = R ( X, X ) V ρ = R ( X, X ) ( X, X ) X = = X X 4 X Estas dos ecuacones son ndependentes y sólo pueden ser construdas gracas a la presenca del elemento ρ. Los lados derechos de las dos ecuacones pueden ser gualados: 4 X = X X 0X De donde surge una mportante relacón que servrá para dar forma a la mezcla de nversón: X X = 6 De acuerdo a esta relacón, la mezcla óptma dedca a la capactacón /6 de la actvdad dedcada a la nfraestructura. Por el lado de los costos, R (X ) es X, mentras que R (X ) es gual a X. Así, la relacón entre los costos es la sguente: R = R Los costos por la mezcla de nversón pueden ser en total 00 mllones de dólares. R + R 00 =

12 Análss Matemátco en la Economía: Optmzacón y Programacón El gasto en nvertr en nfraestructura resulta sendo 7 mllones de dólares, mentras que el gasto en nvertr en capactacón termna sendo mllones de dólares. Hemos llegado fnalmente a la solucón del problema de asgnacón que tenía esta undad económca dedcada a los proyectos de nversón. Este análss sólo ha poddo ser llevado a cabo medante la nclusón de ρ y de su defncón algebraca. La asgnacón de n actvdades Cuando la undad económca debe resolver un problema de asgnacón de n actvdades, puede formular n ecuacones del tpo: V ρ = R

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