De preferencia aquella que tenga algún 1 como elemento. Mejor aún si conteniendo el 1 también tiene elementos iguales a cero.

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1 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN O MÁS PREGUNTA Clculr los determinntes siguientes ) ) c) RESOLUCIÓN Pr resolver el determinnte de un mtriz cudrd de orden o más es recomendle plicr el método de Reducción del orden o tmién llmdo método del pivote. Expondremos el método en los csos ) y ). ) ro. Escogemos un fil o column culquier. De preferenci quell que teng lgún como elemento. Mejor ún si conteniendo el tmién tiene elementos igules cero. Escogemos l fil do. Escogemos el pivote de l fil o column considerd. Siempre es recomendle escoger como pivote l. Ciertmente se puede escoger culquier número como pivote, sin emrgo ls operciones se fcilitn si escogemos l. Escogemos el elemento = como pivote. ro. Apoyándonos del pivote hcemos operciones con fils o columns con l intención de uscr ceros en l fil o column escogid. Tener en cuent Si usco ceros en un fil, DEBO hcer operciones con columns; y si usco ceros en un column, DEBO hcer operciones con fils Buscmos ceros en l fil, pr ello relizremos ls siguientes operciones c + c, c c. Recuerde que l hcer operciones con fils o columns, por ejemplo c c, esto signific tres coss i) A l column le vmos restr el dole de l column. ii) El resultdo de dich operción v ir en l column. iii) L column no cmi.

2 + () Operndo + + () () = + () to. Un vez logrdos los ceros en l fil o column escogid, plicmos l siguiente regl (regl ) (PIVOTE)(COFACTOR DEL PIVOTE) Recuerde que el cofctor de un elemento ij se clcul multiplicndo el fctor (-) i+j por el determinnte menor. El determinnte menor es quel que result l eliminr l fil y column correspondiente l elemento que se nliz. En tnto l sum de i+j solo puede tomr vlores pres o impres, el fctor (-) i+j resultrá igul o -. Si i+j es pr el fctor será, si i+j es impr el fctor será -. Esto hce ver que el cofctor resultrá igul l determinnte menor, si l posición del elemento es tl que i+j es pr. Y el cofctor resultrá igul l determinnte menor con signo cmido, si l posición del elemento es tl que i+j es impr. En nuestro cso, el pivote está en l posición, con lo cul i+j = + = es pr. Luego el cofctor del pivote será igul su determinnte menor. Luego, plicndo l regl podemos escriir () Es decir plicndo l Regl de Srrus (teorí ásic). Aplicndo otenemos, el mismo que siendo de orden se puede resolver ) Pr resolver este cso, plicremos el método descrito en ) pr jr primero - l orden. Un vez logrdo esto, plicremos el mismo procedimiento pr jr l orden. Llegdo este orden plicremos l regl de Srrus. ro. Escogemos un fil o column culquier. Escogemos l fil do. Escogemos el pivote de l fil o column considerd. Escogemos el elemento = como pivote.

3 ro. Apoyándonos del pivote hcemos operciones con fils o columns con l intención de uscr ceros en l fil o column escogid. Buscmos ceros en l fil, pr ello relizremos ls siguientes operciones c - c, c c, c c, c c. ( ) ( ) ( ) ( ) () Operndo () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) to. Un vez logrdos los ceros en l fil o column escogid, plicmos l regl (PIVOTE)(COFACTOR DEL PIVOTE) En nuestro cso, el pivote está en l posición, con lo cul i+j = + = 8 es pr. Luego el cofctor del pivote será igul su determinnte menor. Luego, plicndo l regl podemos escriir () Es decir Como se puede notr hemos otenido el determinnte de un mtriz de orden. Volvemos plicr el método pr reducirlo l orden. Aunque est vez lo hremos en form revid. Escogiendo el elemento = como pivote, uscremos ceros en l column. Pr ello hremos f + f Operndo 8 8 El pivote está en l posición, con lo cul i+j = + = es impr. Luego el cofctor del pivote será igul su determinnte menor con signo cmido, o lo que es lo mismo - por el determinnte menor.

4 Luego, plicndo l regl podemos escriir ()(-) 8 8 Lo que resolviendo (plicndo Srrus) nos llev l respuest 8. OBSERVACIONES Antes de proponer l resolución del siguiente ejercicio vle l pen hcer cierts precisiones. El método de reducción del orden que se plicó en los csos ) y ) se sustent ásicmente en ests dos propieddes de los determinntes Propiedd En un mtriz cudrd si los elementos de un fil (o column) se le sumn (o restn) los elementos de otr fil (o column) multiplicdos por un constnte conveniente, el determinnte no cmi su vlor. Propiedd En un mtriz cudrd si los elementos de un fil (o column) son todos nulos excepto uno de ellos, el determinnte es igul l producto del elemento no nulo por su respectivo cofctor. Como se pudo ver el método consiste ásicmente en psr del determinnte de un mtriz de orden ddo otr de orden inmedito inferior. Esto se hce de mner sucesiv hst llegr l orden donde se puede plicr l Regl de Srrus. Pr logrr est reducción se plicn repetids veces ls propieddes nteriormente citds. De lo nterior se desprende que un desventj del método se present cundo se trjn determinntes de orden myor. Y que si ien se puede plicr el método, este result en extremo trjoso. Por otro ldo, es frecuente encontrr determinntes de mtrices de orden myor, en los cules sus elementos se encuentrn distriuidos de un mner prticulr. (Vénse ls distriuciones de los elementos en ls pregunts c,, y de este documento). En estos csos lo recomendle serí esforzrse en llegr un mtriz tringulr. Superior o inferior, no import. Por qué?, Qué gno con esto? Es que de es mner podrímos plicr l siguiente propiedd de los determinntes Propiedd El determinnte de un mtriz tringulr es igul l producto de los elementos de su digonl principl. No existe un estrtegi únic pr formr l mtriz tringulr. Est depende de l mner prticulr en que se encuentren distriuidos los elementos de l mtriz que se nliz. Lo importnte es llegr formr l mtriz tringulr. Cómo llegmos ell?, Ahí está el reto. En los siguientes ejercicios se muestrn lguns estrtegis tener en cuent. c)

5 Oserve l mtriz cudrd. Nótese l distriución de los elementos. Todos son ceros excepto los de ls digonles. Es como si ellos formrn un equis (X) en l mtriz. Vése demás que todos los elementos de l digonl principl son igules entre sí () y todos los elementos de l digonl secundri tmién son igules entre sí (-). Encontrmos quí un distriución prticulr de los elementos de l mtriz que se nliz, y siendo est de orden myor (), uscremos entonces un mtriz tringulr inferior. Recuerde que en un mtriz tringulr inferior los elementos que se encuentrn POR ENCIMA DE LA DIAGONAL PRINCIPAL deen ser todos CEROS. Bstrá con hcer cero los elementos, y. Hcemos ls operciones c + c, c + c, c + c Como se puede notr, tenemos el determinnte de un mtriz tringulr inferior. Por tnto será igul l producto de los elementos de l digonl principl Luego PREGUNTA ij ( ) tl que RESOLUCIÓN ij = i = j i + j = ; Hllr A otrocso Construimos l mtriz cuyo determinnte es desconocido. Nótese l distriución de los elementos. H visto lgun situción precid ntes?, No es verdd que los elementos están distriuidos en form de X?. Encontrmos quí un cso similr l estudido en el ejercicio nterior (c). Por es rzón seguiremos ls misms recomendciones. Buscremos un mtriz tringulr inferior. Hremos operciones que hgn cero los elementos, y. Hcemos ls operciones c - c, c - c, c - c

6 Lo que result Como se puede notr, tenemos el determinnte de un mtriz tringulr inferior. Por tnto será igul l producto de los elementos de l digonl principl. A = Luego ) ( A = PREGUNTA Si [ ij ] es un mtriz de orden nn tl que = = j i si j i si ij ; Hllr A. RESOLUCIÓN Construimos l mtriz cuyo determinnte es pedido. Oserve l mtriz cudrd. Nótese l distriución de los elementos. Los elementos de l digonl principl son igules entre sí () y todos los demás elementos tmién son igules entre sí (-). Encontrmos quí un distriución prticulr de los elementos de l mtriz que se nliz, y siendo est de orden myor (nn), uscremos un mtriz tringulr inferior.

7 Tl como se mencionó nteriormente, l sugerenci es llegr un mtriz tringulr, el sunto es como llegmos ell. Proponemos los siguientes psos Hcemos l operción f + (f + f + + fn) (n ) (n ) (n ) (n ) (n ) Fctorizmos -(n-) de l primer fil (n ) Buscmos ceros en l f. Hcemos ls operciones c c, c c,, cn c (n ) Tenemos el determinnte de un mtriz tringulr inferior. Entonces (n )( ) (n ) ( n ) n n PREGUNTA Dd l mtriz ( ij ) nn tl que RESOLUCIÓN ij j = j i < j i = j =, Hllr A i = j i > j

8 Tenemos (n ) (n ) (n ) (n ) n n n n Hcemos f + f, f + f,, fn + f (n ) (n ) (n ) (n ) n n n n n Tenemos el determinnte de un mtriz tringulr superior. Aplicndo l propiedd ( (n ) n) ( (n ) n) ( ) n! n

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