Práctico 9 - Cálculo de integrales. 1. Teorema fundamental y regla de Barrow

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1 Universidd de l Repúblic Cálculo Fcultd de Ingenierí - IMERL Segundo semestre 6 Práctico 9 - Cálculo de integrles. Teorem fundmentl y regl de Brrow. Utilizndo los resultdos del ejercicio 9 del práctico 5 sección Derivción, clculr: () b sin (t)dt b log(t) dt,b R + b d (d) + b b d,,b [,] d,,b [,]. Clculr l derivd de ls siguientes funciones () e t + t 3 t 7 dt G() = dt H() = 3 + sin(t) + t + t 4 dt 3. ) Demueste que los vlores de ls siguientes epresiones no dependen del vlor de () b) Clcule (f ) () pr + t dt + dt + t sin() cos() t dt, (, π ) c) Hlle un función g tl que () f () = + sin(sin(t))dt f () = cos(cos(t)) dt () g(t)t dt = + g(t)t dt = + 4. Se f : [,b] R un función positiv y derivble, probr que ) b b) b f (t) dt = log(f ) log(f ()) f (t) f (t) f (t) dt = f f () c) b f (t)f (t)dt = f f d) Clculr ls siguientes integrles () π 3 tn(t) dt b n n + d π 3 sin(t) cos(t) dt (d) b n n + rctg d (f) + b cos() sin() d (g) π 3 sec () + b tn() d

2 5. ) Hllr l primitiv F de l función que verific F() =. f () = tg()log(cos()), pr π < < π b) Clculr el primer término no nulo en el desrrollo de Tylor de F lrededor de. c) Clculr 6. Clculr: (i) () rctg d 3 d (f) cos d (j) tg d F() lím 4 3 d (g) cos d (k) cos d 4 + d e d (l) + e (d) (h) e e d ( 4 + 5) d sen3 ( + log)d 7. Se A(t) el áre de l región del plno comprendid entre l elipse de ecución 4 + y =, l rect horizontl y = y l rect verticl = t, con t [, ] ) Epresr A(t) (no clculrl). b) Clculr los vlores máimo y mínimo bsolutos de A(t) en el intervlo [, ]. 8. Se F : R R l función definid por F() = et dt. ) Clculr el polinomio de Tylor en de orden 4. b) Determinr F(,5) con un error menor 5.. Metodos de integrción. Integrr usndo el método de sustitución: () ( + 3) 7 d d (f) + 9 (i) + 3d d + 8 d e5 (g) (j) n sin( n )d sen cos 3 d 3 d (k) (h) (d) e d. Clculr ls siguientes integrles plicndo el cmbio de vrible que se indic () 5 d d = t + ; log d e e d + d = 4sin (t) 3. Se f : [,8] R continu con derivd continu y tl que f () = f () =. Determinr si son verdders ls siguientes igulddes: () 8 f ()d = 3 f ( 3 ) d () e f ()d = e f ()d

3 4. Si se plic l sustitución = sin(t) l integrl π t3 cos(t)dt = (rcsin())3 d = Por que es equivocdo este rzonmiento? 5. Clculr integrndo por prtes: () sen d d e d (d) rctg d log d (f) log d (g) sen d (h) cos sen d (i) e α cos(β)d (j) ( ) rctn d (k) cos () d (l) log ()d 6. Clculr, utilizndo frcciones simples, ls siguientes integrles de funciones rcionles: () d d (h) + + d + d (f) d (d) ( + )( + )( + 3) d (g) (i) 4 ( + )( + )( + 3) d 4 d ( + )( ) ( + ) d 3. Cálculo de integrles. Se f continu. Demostrr que π f (sen)d = π π f (sen)d. Clculr π sen +cos d.. Clculr ls integrles () 3 d e e d cos d (d) cos() d e d (f) + e + b d 3. ) Probr que m ( ) n d = n ( ) m d m,n N. Clculr b) Se f un función continu. Probr que π f (sin())d = π c) Demostrr que ( ) n d = π cosn ()d, n N 4. Clculr ls siguientes integrles ( ) 3 d. π f (sin())d, y clculr π sin() +cos () d () e sin3 ( + log())d 4 d ( + )( ) 5. ) Se I n = d n N. Integrndo por prtes deducir l fórmul de recurrenci ( +) n ( ) I n = (n ) ( + ) n + (n 3)I n () n N 3

4 b) Clculr ( d (d) + 9) + 3 ( + 9) ( ) d 6. Clculr ls siguientes integrles indefinids: () Recordr que sec() = cos(). sec + tg d tg 3 ( + )sec ( + )d 4. Modelos. Hllr el áre encerrd entre los gráficos de ls siguientes funciones ) f () = e y g() = en el intervlo [,] b) f () = + y g() = en el intervlo [,4] c) f () = y g() = + en el intervlo [,]. Clculr el áre del círculo de rdio r. Clculr el áre de l elipse de de ejes de medid y b 3. Un móvil se desplz por un cmino recto y su celercion en el instnte t est dd por (t) = t(t ). En el instnte inicil el móvil estb en l posición s y su velocidd inicil er m/s. Cul es l posición s(t) pr < t <? 4. El volumen de un cuerpo de revolución se puede clculr usndo l formul b V = πr() d donde r() es el rdio del círculo obtenido l girr l figur lrededor del eje de revolución. Usndo est fórmul clculr los siguientes volúmenes: ) volumen de l esfer de rdio R; b) volumen del cono recto de bse circulr de rdio R y ltur h; c) volumen de l cop (o prboloide elíptico): + y = z (en l intersección con el plno = se tiene prábol z = y ). 5. Diseño de un plomd. Se le h pedido que diseñe un plomd que pese lrededor de 9g. Pr cumplir su cometido decide que su form debe ser similir l sólido de revolución generdo por l funcion f de l figur. Determine el volumen de l plomd. Si pr su fbricción elgie un lton que tiene densidd de 8,5g/cm 3. Cuánto pesrá l plomd? 4

5 6. (Segundo prcil primer semestre 4) Tenemos un cono de ltur h y rdio en l bse r. ) Sbemos (no se pide demostrr) que el áre de revolución engendrd por el giro de l curv y = f (), [,b], lrededor del eje O es: b A = π f () + (f ()) d Clculr el áre de l superficie del cono de revolución (sin bse) de ltur h y rdio de l bse igul r. b) Deducir l fórmul del volumen del cuerpo de revolución que result de girr l curv y = f (), [,b], lrededor del eje O. c) Clculr el volumen del cono de revolución de ltur h y rdio de l bse igul r. d) Un mrc fmos de heldos está lnzndo un nuevo cono heldo. El cono debe llevr 5π cm 3 de heldo (y no puede sobreslir del cono). El mteril que se us pr hcer el envoltorio es costoso, por tnto se quiere que el cono teng l menor superficie posible. Clculr h y r del nuevo cono heldo. 7. Recordemos que l longitud de rco de un curv f () pr b está dd por l fórmul L = b ) Clculr l integrl indefinid + [f ()] d. d + usndo l sustitución y = + +. b) Probr que l longitud del rco de l prábol f () = pr un R y el intervlo [,b] es igul b + 4 b + 4 ln b b. Sugerenci: usr integrción por prtes, luego sumr y restr en el lugr propido de l integrl obtenid y terminr plicndo l prte ). 8. Eplicr por que el recorrido es l integrl de l velocidd. Sugerenci: Recordr que l firmción es vlid si l velocidd es constnte. 9. El trbjo W invertido sobre un sistem por un genteque ejerce un fuerz constnte sobre el sistem es el producto de l mgnitud F de l fuerz, l mgnitud r de desplzmiento del punto de plicción de l fuerz y cos(θ), donde θ es el ángulo entre los vectores fuerz y desplzmiento es W = F r cos(θ) En el cso de que de que l fuerz se vrible en dirección y sentido pero l dirección del desplzmiento no, digmos que v desde hst b, entonces el trbjo es W = b F()cos(θ())d. Conjeturr sobre el por que de est definición, prtir de l definición pr fuerz constnte. 5

6 ) Un prtícul se desplz sobre un dirección desde { = m hst = 4m. Est prticul se encuentr sometid un únic fuerz F dd por F() =,5 si 6 (,5)( ) si > Clculr el trbjo relizdo por F b) Un pelot de,37kg de ms se lnz verticlmente hci rrib con un velocidd de 4m/s, y lcnz su ltur mim 8,4m del punto de lnzmiento. ) Hlle el trbjo relizdo por l fuerz de fricción del ire sobre l pelot desde que se lnz hst que se lcnz l máim ltur ) Suponiendo que l fricción del ire reliz el mismo trbjo durnte l cid clcule el módulo de l velocidd de l pelot cundo vuelve l punto de prtid. El centro de grvedd de un superficie pln se define, conceptulmente, de l siguiente mner: Un trozo de crtón rígido, plno y horizontl, permnecer en equilibrio si se sostiene en un punto determindo. Este punto de poyo es el centro de grvedd de l superficie pln del crton. Clrmente pr un cudrdo, un rectngulo, un circunferenci y un tringulo equiltero el centro de grvedd coincide con el centro geometrico de l figur. Si se pegn rectngulos como en el de l figur entonces el centro de grvedd es centro totl. Pr un superficie como l de l figur el centro de grvedd es (M,M y ), donde M y = b f () d y M = b f ()d. Bosquejr un rgumento sobre est fórmul prtir del cso de los rectángulos. ) Hllr el centro de grvedd de l superficie comprendid bjo un rcd de l sinusoide (f () = sin()) b) Clculr el centro de grvedd de l figur comprendid entre l prábol y el eje O. Repetir l cuent pr l figur nterior intersección el primer cudrnte. c) Clculr el centro de grvedd de un semicírculo. Clculr el centro de grvedd de un semi elipse 6

7 5. Complementrios. Clculr el áre encerrd entre: ) l prábol y = y l rect + 3. b) l curv y = e, l curv y = e y l rect =. c) l rect y = + 5 y l prábol +.. Supong que f es integrble en [,] y que f () =. Demuestre que pr todo [,] se verific f () Demuestre que l hipotesis f () = es necesri. f () d 3. Integrles de funciones trigonometrics rcionles Recordndo que sin() = sin()cos() y cos() = cos () sin (), epresr sin(), cos() y tn() en función de tn ( ). ) Probr que integrles de l form R(sen(),cos())d donde R es un funcion rcionl, pueden ser reducids medinte sustitución u = tn( ) integrles de l form r(u)du, donde r es tmbien es un funcion rcionl. Clculr () d cos() + sin() y π b) Idem con R(, ) y l sustitucion = sin(t). Clculr d c) Idem con R(, + ) y l sustitución = sinh(t). Clculr d 4 + d) Idem con R(, + ) y l sustitucion = cosh(t). Clculr 4 sin()d + cos() + sin() 4. Se f : [,8] R continu con derivd continu y tl que f () = f () =. Indicr si ls siguientes firmciones son verdders o flss 8 f ()d = 3 f (3 ) d e f ()d = e f ()d 5. ) Demuestre que si f es continu entonces f (u)( u)du = ( u ) f (t)dt du 7

8 b) Demuestre que si f es continu f (u)( u) du = 6. ) Integrndo por prtes deducir l formul sin n ()d = sinn ()cos() n ( u + n n (f (t)dt)du )du sin n ()d n b) Hllr un formul de recurrenci pr cos n ()d c) Clculr π sin ()d ; π sin 4 ()d ; π cos 3 ()d d) Por definicion el doble fctoril es n!! = πk= m (n k) donde m = n y!! =. Se n = π sinn ()d. Probr que n = (n )!! (n)!! ; y que n+ (n)!! (n + )!! e) Mostrr que n n+ + n. Deducir que π = lím n n( (n )!! (n )!! ) y concluir que π = lím n (n!) n (n)! n f ) Clculr ls integrles () sin n ()cos m+ ()d sin n ()cos m ()d 7. Relize un list de fmilis de funciones que sbe integrr, por ejemplo: polinomios, sin (), etc. Revisr cunts de ls integrles del práctico estn incluidos en es fmili. 8

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