Los Teselados, Arte y Matemática

Transcripción

1 Los Teselados, Arte y Matemática José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. La matemática, como actividad humana, está desbordada de entes que son hermosos ante los ojos de aquellos que tienen la capacidad para entender sus procederes. No todos podemos ver tal belleza, y sin embargo ahí está, presente en muchos de sus teoremas o fórmulas. Acaso podría alguien en su sano juicio negar lo extraordinariamente bello que es el teorema de Pitágoras, tan simple, tan útil, tan equilibrado, como el mencionado existen muchos otros que podemos nombrar, mas será cosa de otro escrito, pues en este nos ocuparemos de estudiar o más bien conocer, aquellos objetos que, por su delicada armonía e incomparable belleza, nos hacen pensar que estamos ante verdaderas obras de arte muy alejadas de las ciencias exactas, algo totalmente ilusorio, pues forman parte de ella tanto como el algebra o los números. Los objetos matemáticos están tan presentes en nuestras vidas que muchas veces ni siquiera nos damos cuenta que estamos ante alguno de ellos. Los encontramos en las calles recubiertas de hermosos mosaicos que despiertan nuestros sentidos, en las llamativas catedrales o en las paredes que embellecen la ciudad. Nos detenemos a contemplarlos sin siquiera pensar ni por un instante que estamos ante la presencia de toda una rama perteneciente a las matemáticas. Dichos objetos son llamados teselados por los matemáticos.

2 En la imagen lindante podemos observar patrones geométricos que recubren el terreno sin sobreponerse o dejar huecos, a tales objetos se les llama teselas. Definición. Una superficie teselada es aquella que está cubierta por un patrón de figuras planas que encajan de tal manera que no se sobreponen ni dejan hueco alguno. Existen sólo tres figuras geométricas regulares con las que podemos teselar el plano: Triángulo, cuadrado, hexágono. Las teselaciones que se forman con dichas figuras se conocen como teselaciones regulares.

3 En la imagen contigua de arriba podemos observar un claro ejemplo de una superficie teselada por cuadrados, teselación regular. Figuras Coroisomorfas Dada una figura teselable, decimos que dicha figura es coroisomorfa si a su vez puede separarse en figuras iguales, pero diferentes a la dada, también teselables. Ejemplo de figuras coroisomorfas: Hexágono Cuadrado Como puede verse, el hexágono y el cuadrado pueden dividirse o fragmentarse en triángulos iguales, al ser el triángulo una figura teselable decimos entonces que el hexágono y el cuadrado son figuras coroisomorfas.

4 No todas teselan el plano Existen figuras que por sí solas no pueden teselar el plano, es decir que al juntarlas queda algún hueco o espacio sin ser llenado por ellas. Un ejemplo de figuras no teselables es el círculo. Si cubrimos el plano con círculos quedaran pequeñas áreas sin ser recubiertas por los mismos (espacio amarillo). De lo dicho concluimos que el círculo es una figura no teselable. Teselados topológicos Sabemos que existen figuras que no pueden teselar el plano, pero que tal si tomamos una de esas figuras y la estiramos, doblamos, comprimimos o alargamos un poco, será posible teselar el plano con el equivalente topológico de dicha figura? Dicen que una imagen vale más que mil palabras, entonces para dar respuesta le dejamos la siguiente:

5 Como se puede ver en la figura lindante de arriba, al juntar pompas de jabón no quedan huecos ni se sobreponen las mismas, sin embargo la forma esférica de cada pompa debe sufrir cierta transformación para que lo dicho ocurra. Desde el punto de vista de la topología las pompas aunque deformadas siguen siendo esferas. Teselados en la naturaleza Los teselados pueden ser vistos en la naturaleza. Los encontramos en el caparazón de una tortuga, la cascara de piña, en los panales de abejas, entre muchos otros. En la figura próxima de arriba podemos distinguir el plano teselado por las celdillas de cera hechas por las abejas.

6 Teselados en el campo y la ciudad