APUNTES ACERCA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA

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1 Introducción APUNTES ACERCA DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA Se denomina solución de una ecuación al valor o conjunto de valores de la(s) incógnita(s) que verifican la igualdad. Así por ejemplo decimos que x 6 es solución de la ecuación 5x 7 11 ya que x 6 verifica dicha igualdad. Para determinar si un número real es solución de una ecuación bastará con reemplazar la incógnita por dicho número. Si la igualdad se verifica diremos que el número es solución de la ecuación dada. Ejemplo 1: Determinar si x 3, y 2 son soluciones de la ecuación 5x 4y 7 0. Resolución En la ecuación 5x 4y 7 0 reemplazamos las incógnitas por x 3, y 2: Dado que para x 3, y 2 se verifica la igualdad entonces esta pareja de valores es solución de la ecuación 5x 4y 7 0. En general decimos que una pareja de valores x a, y b será solución de una ecuación de la forma Ax By C 0 si es que dichos valores verifican la igualdad a Bb C 0 A. Una ecuación lineal de dos incógnitas Ax By C 0, donde A y B no son nulos a la vez, tiene infinitas soluciones. Es decir, existen infinitos pares de la forma x,y tales que al ser reemplazados en la ecuación la verifican. Para encontrar algunas de estas parejas soluciones podemos emplear el método de la tabulación. Este método consiste en asignar libremente un valor para una de las incógnitas y a partir de este, reemplazando en la ecuación, encontrar el valor de la otra incógnita. Ejemplo 2

2 Encontrar cinco soluciones de la ecuación 3y 6 0 Resolución Tenemos la ecuación: 3y 6 0 Si x 0 : 2 0 3y 6 0 3y 6 y 2 Luego x 0, y 2 es solución de la ecuación 3y 6 0 Si y 0 : 6 x Luego x 3, y 0 es solución de la ecuación 3y 6 0 Si x 3: 2 3 3y 12 y 4 3y 6 0 Luego x 3, y 4 es solución de la ecuación 3y 6 0 Si y 2 : x Luego x 6, y 2 es solución de la ecuación 3y 6 0 Si y 1: x 3 / Luego x 3/ 2, y 1 es solución de la ecuación 3y 6 0 Al aplicar el método de tabulación debe quedar claro que uno puede asignar libremente valores a una cualquiera de las incógnitas: - Podemos dar valores a x y obtener los correspondientes valores de y, o - Podemos dar valores a y y obtener los correspondientes valores de x. Tenga en cuenta que estas son solo algunas de las infinitas soluciones de la ecuación 3y 6 0, además que estas no siempre corresponderán a una

3 pareja de números enteros. Si bien lo recomendable es asignar valores enteros a una de las incógnitas ( x o y ) el estudiante debe tener claro que esto no garantiza que el resultado correspondiente ( y o x ) también sea entero. A partir de lo obtenido en el ejemplo 2 podemos construir la siguiente tabla: 3y 6 0 x y x,y 0 2 0, , , , 2 3/ / 2, 1 Si graficamos en un sistema cartesiano los pares ordenados de la forma x,y soluciones de la ecuación 3y 6 0 tenemos: x Podemos notar que la gráfica de las soluciones de esta ecuación forma una secuencia alineada de puntos. De haber obtenido más soluciones tendríamos más puntos y el comportamiento lineal sería más evidente. Idealmente, si graficamos todas las soluciones, tendríamos infinitos puntos que formarían una línea recta como la que se muestra a continuación.

4 x La figura anterior muestra claramente la gráfica de una línea recta. De dónde salió esta recta? De unir un conjunto de puntos. Y de dónde salieron esos puntos? Todos ellos son soluciones de la ecuación 3y 6 0. De lo anterior podemos decir que la ecuación 3y 6 0 corresponde a la recta graficada anteriormente. Esto muestra la relación que existe entre el álgebra y la geometría. Una ecuación es un concepto algebraico mientras que la recta es un concepto geométrico. Representar algebraicamente, o en general por medio de un modelo matemático, gráficas de puntos que representan la relación entre dos variables es de gran ayuda en el estudio de dicha relación. A manera de conclusión diremos que: Una ecuación lineal de dos incógnitas Ax By C 0, donde A y B no son nulos a la vez, representa la ecuación de una recta. Así por ejemplo las siguientes ecuaciones son ejemplos de ecuaciones de rectas: 7x 2y 3 0 ; 4x y 5 ; 0. 3x 0. 1y ; y 6x 7 0 ; 2 y x 5 3 5

5 Existen algunas rectas cuyas ecuaciones no contienen ambas variables x e y. Estas son las rectas paralelas al eje X (horizontales) o rectas paralelas al eje Y (verticales). Así por ejemplo las siguientes ecuaciones corresponden a rectas horizontales (pendiente igual a cero): y 3 0, y 5 0, 2y 7 0. L 1: y 3 0 L 2: y 5 0 L 3: 2y 7 0 Corta al eje vertical en 3 Corta al eje vertical en 5 Corta al eje vertical en 7/ 2 Y las siguientes ecuaciones corresponden a rectas verticales (pendiente no existe): x 2 0, x 4 0, 3x 7 0. L 1: x 2 0 L 2: x 4 0 L 3: 3x 7 0 Corta al eje horizontal en 2 Corta al eje horizontal en 4 Corta al eje horizontal 7/ 3

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