GEOMETRÍA ANALÍTICA EN EL ESPACIO

Transcripción

1 GEOMETRÍ NLÍTI EN EL ESPIO PRODUTO ESLR a b a b cosx (uando sepamos el ángulo que foman a y b). a ba b a b a b (uando sepamos las coodenadas de a y b ). uando los ectoes son pependiculaes su poducto escala seá (eo). PRODUTO VETORIL Dados lo ectoes u (x,y,z) y (x',y',z') ux i j k x y z x' y' z' (El ecto que esulta de este deteminante es pependicula a u y, y su módulo coincide con el ÁRE DEL PRLELOGRMO que foman u y ). OORDENDS DE UN VETOR LIRE Dados los puntos (a,b,c ) y (d,e,f ) el ecto con oigen en y extemo en se calcula estando - - EUIONES DE L RET EN EL ESPIO. Paa halla la ecuación de una ecta es necesaio conoce UN PUNTO Y EL VETOR DIRETOR de la misma. Una ecta, [obtenida a pati de un PUNTO (x, y,, z ) y un VETOR (,, ) ], se puede expesa de las siguientes fomas:.- EUIÓN VETORIL: (x,y,z) (x, y,, z ) t (,, ).- EUIONES PRMÉTRIS : x y z x y z t t t.- EUIÓN ONTINU: x x y y z z 4.- E. GENERL DE L RET (Intesección de dos planos): x y z D x y z D

2 NOT: Paa halla el ecto de una ecta expesada como intesección de dos planos basta con hace el poducto ectoial axb. siendo a(,,) y b(,, ). Paa halla un punto sólo hay que dale a la x o a la y o a la z un alo abitaio, sustituilo en el sistema y despeja las otas dos incógnitas. EUIONES DEL PLNO Paa halla la ecuación de un plano es necesaio conoce UN PUNTO Y DOS VETORES DIRETORES del mismo. Un plano, [Obtenido a pati de un PUNTO (x, y, z ) y DOS VETORES V (,, ) y W (w, w, w ) ], se puede expesa de las siguientes fomas:.- EUIÓN VETORIL: ( x,y,z) (x, y,, z ) t (,, ) s(w,w,w ).- EUIONES PRMÉTRIS x y z x y z t t t s w s w s w.- EUIÓN GENERL O IMPLÍIT: x y z D NOT: Paa hallala sólo hay que ealiza este deteminante e igualalo a ceo. x - x y - y z - z w w w 4.- EUIÓN SEGMENTRI: x a y z b c Los aloes a, b y c se denominan, espectiamente, abscisa, odenada, y cota en el oigen. 5.- OTR FORM DE HLLR L EUIÓN DE UN PLNO: Un plano también se puede halla sabiendo UN PUNTO Y SÓLO UN VETOR, siempe y cuando ese ecto sea pependicula al plano (llamado ecto nomal), las coodenadas de ese ecto coinciden con los coeficientes (,,) del plano; paa halla el témino independiente ( D ) del plano, sólo hay que sustitui las coodenadas del punto que nos den y despeja D.

3 Ej/. Vecto nomal (, 4, 5) π: x y z D O

4 Posición elatia DE DOS PLNOS. POSIIONES RELTIVS. π: x y z D π : x y z D M ' ' ' Rango de M Rango de M* Posición de DOS PLNOS aso Planos secantes aso Planos paalelos y distintos aso Planos coincidentes M* D ' ' ' D' secantes paalelos coincidentes ' ' ' D D' ' ' ' D D' ' ' ' D D' Posición elatia DE TRES PLNOS M ' ' ' '' '' '' D M* ' ' ' D' '' '' '' D'' π : x y z D π : x y z D π : x y z D Rango Rango Posición de TRES PLNOS de M de M* aso Planos secantes en un punto. aso aso aso 4 aso 5 Planos coincidentes. a) Planos secantes dos a dos foman una supeficie pismática. ( SE) b) Dos planos paalelos cotados po el oto. ( PRL. y SE) a) Plano distintos y se cotan en una ecta. ( SE) b) Dos coincidentes y el oto los cota. ( OIN. y SE.) a) Planos paalelos y distintos dos a dos. ( PRL.) b) Dos son coincidentes y el oto paalelo a ellos y distinto. ( OIN. y PRL.) 4

5 aso : aso : a) b) aso : a) b) aso 4: a) b) aso 5: Posición elatia DE PLNO Y RET. Si la ecta nos la dan de la foma geneal: x y z D : ' x ' y ' z D' Y el plano de la siguiente foma α " x " y " z D" 5

6 M ' " ' " ' " D M* ' ' ' D' Entonces se estudian los angos de M y M': " " " D" Rango de M Rango de M* Posición de ecta y plano Gáficamente aso Recta y plano secantes aso Recta y plan paalelos aso Recta contenida en el plano Posición elatia DE DOS RETS. Dadas dos ectas y s po sus ecuaciones geneales: x y z D "x "y "z D" ' ' ' : s : M ' x ' y ' z D' '" x '" y '"z D'" M " " " ' " ' " ' " Se estudian los angos de M y M': Rango de M Rango de M* Posición de DOS RETS aso 4 ectas cuzadas aso ectas secantes aso ectas paalelas aso 4 ectas coincidentes ' " ' ' " ' " " ' " ' " D D' D" D' " Dadas dos ectas y s, de las que conocemos el ecto diecto y un punto de cada una: VETORES V(,, ), W (w, w, w ) y PUNTOS (x, y,, z ), (x, y,, z ) M V M w V w X X V V w w V w V w Z Y Y Z Rango de M Rango de M* Posición de DOS RETS aso ectas cuzadas aso ectas secantes aso ectas paalelas aso 4 ectas coincidentes 6

7 Ángulo de DOS RETS: Sean u y los ectoes de dos ectas y s. os x u u x Ángulo ente DOS PLNOS: Sean u y los ectoes nomales de dos planos π π u os x x u Ángulo ente PLNO Y RET. Sea N el ecto nomal del plano el ecto diecto de la ecta. α β N N os El ángulo β que hay que halla NO N es β sino α que se calcula: α 9º - β Distancia ENTRE DOS PUNTOS ( a, a, a ) ( b, b,b ) ( ) d, (b a ) (b a ) (b a ) Distancia DE UN PUNTO UN RET d(p, ) P X V P( a, a, a ) Q R 7

8 Distancia DE UN PUNTO UN PLNO P( x, y, z ) π: x y z D ( ) dp, π x y z D Distancia ente DOS RETS QUE SE RUZN. d(, s) det(p P,u s,us) u xu s PERPENDIULR OMÚN DOS RETS RUZDS Se llama pependicula común de dos ectas cuzadas a la ecta que cota otogonalmente a cada una de ellas. det p : det ( X,u,uXus ) ( sx,us,uxus ) p 8

9 VOLUMENES Y ÁRES ÁRE DEL PRLELOGRMO: ( ) S X ÁRE DEL TRINGULO: ( ) S X VOLUMEN DEL PRLELEPÍPEDO: det (,,D) V D VOLUMEN DEL TETREDRO: det (,, D) V 6 D x a y b z c SUPERFIIE ESFÉRI: ( ) ( ) ( ) 9

10 ÁLULO DE L ISETRIZ DE UN ÁNGULO DE DOS RETS QUE SE ORTN. Llamamos bisectiz, b, del ángulo que foman las ectas y' a la ecta que diide a dicho ángulo en dos pates iguales. Hay que obsea que son dos las bisectices que podemos taza, paa hallalas utilizaemos los ectoes diectoes de las ectas y'. Sean y ' dos ectas secantes en un punto P, con ectoes diectoes u y, es deci: : X P λ u y ': X P µ - Si los ectoes diectoes de las ectas tuiesen el mismo módulo, al sumalos fomaíamos un ombo, en el cual el ecto suma y el ecto difeencia seían las diagonales mayo y meno, espectiamente. En este caso, las diagonales del ombo son las bisectices de los ángulos inteioes, po tene los cuato lados iguales y sus ángulos iguales dos a dos. - Si los ectoes no tienen el mismo módulo, nomalizándolos obtenemos ectoes diectoes de las ectas de módulo uno, y los ectoes diectoes de las bisectices seían el ecto suma y el ecto difeencia de los nomalizados. Po tanto, las ecuaciones de sus bisectices seán: b : X siendo u ' y ' los ectoes unitaios de u y Ejemplo P λ ( u' ' ) y : X P µ ( u' ' ). b Vamos a halla las ecuaciones de las bisectices de los ángulos que foman las ectas x y z : y s : ( x, y, z) (,, ) λ(,, ). on λ R Si hallamos la posición elatia de las ectas, obtenemos que se cotan en el punto P(,,-). Sea u (,, -) el ecto diecto de de módulo u y (,,) el ecto diecto de s, de módulo. Nomalizando u y, obtenemos u ',, y ' (,,) : luego las ecuaciones de las bisectices son: 4 b : ( x,y,z) (,, ) λ,, b : ( x,y,z) (,, ) µ,,