UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA

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1 C u r s o : Matemática Material N 18 UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ECUACIÓN DE LA RECTA GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 15 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Para determinar la posición de los puntos de un plano usando coordenadas cartesianas rectangulares, se emplean dos rectas perpendiculares (ortogonales) el punto de intersección se considera como origen. Y Eje de las Ordenadas II Cuadrante III Cuadrante C B A I Cuadrante X Eje de las Abscisas IV Cuadrante OBSERVACIONES Los puntos destacados en la figura son; A = (4, 4), B = (0, 0) C = (-5, -). Los puntos que están en el eje, tienen ordenada igual a cero. Su forma es (, 0). Los puntos que están en el eje, tienen abscisa igual a cero. Su forma es (0, ). EJEMPLOS 1. Sean c d números enteros, de modo que d > c. Entonces, el punto P cuas coordenadas son (c d, d c) se ubica en A) el primer cuadrante. B) el segundo cuadrante. C) el origen del sistema. D) el tercer cuadrante. E) el cuarto cuadrante.

2 2. En qué cuadrante está el punto (-, -2)? A) Primero B) Segundo C) Tercero D) Cuarto E) Ninguna de las anteriores. Si los puntos (-, -1), (, -1) (2, ) son vértices de un trapecio isósceles, entonces el vértice que falta es el punto A) (, 2) B) (-, 2) C) (2, -) D) (-2, -) E) (-2, ) 4. Al unir los puntos del plano (, 1), (, ), (0, ) (-2, 1) el cuadrilátero que se forma es un A) trapecio isósceles. B) trapezoide. C) rectángulo. D) romboide. E) trapecio rectángulo. 5. En el triángulo cuos vértices son los puntos (-1, 0), (-1, 4) (5, 0) se traza el segmento cuos etremos son los puntos (2, 2) (-1, 0). Entonces, este segmento es A) transversal de gravedad. B) altura. C) mediana. D) bisectriz. E) simetral. 2

3 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS La distancia entre dos puntos (medida del segmento generado por dichos puntos), A( 1, 1 ) B( 2, 2 ), se determina mediante la epresión: d AB = 2 2 ( ) + ( ) B A COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Dados los puntos A( 1, 1 ) B( 2, 2 ), las coordenadas del punto medio del segmento AB son m = , m = m M B 1 A 0 1 m 2 EJEMPLOS 1. La distancia entre los puntos A = (-2, ) B = (4, -1) es A) 2 B) 2 2 C) 2 5 D) 2 1 E) El punto medio del trazo cuos etremos son los puntos A = (4, -8) B = (, -1) es A) ( 7, -9) B) ( 1, -7) 1 7 C), D), E) -, 2 2

4 . La intersección de las diagonales del rombo formado por los vértices que están en los puntos (0, 2), (5, 2), (-, -2) (2, -2) es el punto de coordenadas A) (0, 1) B) (1, 1) C) (0, 0) D) (0,-1) E) (1, 0) 4. Cuánto mide el diámetro de una circunferencia de radio PQ determinado por los puntos P(-1, 5) Q(7, -1)? A) 5 B) 10 C) 20 D) 50 E) Cuáles son las coordenadas del centro de una circunferencia cuo diámetro AB está determinado por los puntos A(-1, 5) B (7, -1)? A) (-4, -) B) -8, - 2 C) 8, 2 D) (, 2) E) (6, 4) 6. Si los puntos A(1, ), B(, 1), C(, 6) D(1, 5) son los vértices de un trapecio, entonces el área del trapecio es A) 5 u 2 B) 7 u 2 C) 8 u 2 D) 10 u 2 E) 12 u 2 4

5 PENDIENTE DE UNA RECTA Es la tangente trigonométrica del ángulo de inclinación (ángulo que forma la recta con el eje, en sentido antihorario, desde el eje hacia la recta) L B m = tg α = BP PA = A α 1 P α RELACIÓN ENTRE EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN Y LA PENDIENTE DE LA RECTA Sea α el ángulo de inclinación sea m la pendiente de la recta L. Entonces: (α = 0º) si sólo si (m = 0) (0º < α < 90º) si sólo si (m > 0) L L α 0 0 L es paralela al eje L tiene pendiente positiva (α = 90º), si sólo si (m no está definida) (90º < α < 180º) si sólo si m < 0) L L 0 α 0 α L es paralela al eje L tiene pendiente negativa EJEMPLOS 1. La pendiente de la recta pasa por los puntos A(2, -) B(-6, ) es A) - 4 B) C) 4 4 D) - 4 E) 0 5

6 2. Cuál de los siguientes gráficos muestra una recta de pendiente negativa? A) B) C) D) E). Cuál de las siguientes rectas tiene pendiente -? A) B) C) D) E) Si los puntos A(-, -2), B(-6, 4) C(-5, b) son colineales, entonces b = A) 6 B) 2 C) 1 D) -4 E) Dados los puntos A( 6, 2), B( 2, 2), C(6, 2) D(k, 1), cuánto debe ser el valor de k para que las pendientes de AB CD sean iguales? A) -7 B) -5 C) 5 D) 7 E) 8 6

7 ECUACIÓN PRINCIPAL DE LA RECTA = m + n donde m = pendiente n = coeficiente de posición ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR UN PUNTO Y TIENE PENDIENTE DADA. ( 1 ) = m( 1 ) ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS. 2 1 ( 1 ) = 2 1 ( 1 ) CASO PARTICULAR Ecuación de la recta que pasa por dos puntos que están en los ejes. + a b = 1 (a, 0) es el punto del eje X (0, b) es el punto del eje Y EJEMPLOS 1. La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -5) tiene pendiente es A) = 0 B) 4 5 = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos 5, 1 4 -, -1 4 es A) = 1 2 B) = 1 4 C) = D) = 1 E) =

8 . Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-, 4) tiene pendiente -1? A) + = 1 B) = 7 C) + = -1 D) + = -7 E) 1 = 1 4. Cuál es la ecuación que representa a la recta de la figura 1? A) 4 + = 12 B) 4 = 6 C) 4 = -12 D) 4 = 12 E) 4 = 12 4 fig Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (, -5) tiene pendiente 0? A) + = B) 5 = 0 C) = 8 D) = 0 E) + 5 = 0 6. El punto P(b + 2, b) pertenece a la recta de ecuación 2 = 6. Entonces, las coordenadas de P son A) (4, 2) B) (1, -2) C) (2, 2) D) (2, 0) E) (0, -2) 8

9 RECTAS PARALELAS Dos rectas son paralelas si sólo si sus pendientes son iguales. Sean L 1 L 2 rectas de pendientes m 1 m 2 respectivamente (fig. 1). Entonces: L 1 // L 2 si sólo si m 1 = m 2 L 2 fig. 1 L 1 0 α α RECTAS PERPENDICULARES Dos rectas son perpendiculares si sólo si el producto de sus pendientes es -1. Sean L 1 L 2 rectas de pendientes m 1 m 2 respectivamente (fig. 2). Entonces: L 1 L 2 si sólo si m 1 m 2 = -1 L 1 L 2 fig. 2 0 EJEMPLOS 1. Qué valor debe tener k para que las rectas k 5 = 0 2 = 6 sean paralelas? A) - 10 B) C) D) - 15 E) 10 9

10 2. Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -) es perpendicular a la recta + 8 = 0? A) = 0 B) 9 = 0 C) + + = 0 D) + = 0 E) 9 = 0. Cuál de estas rectas es paralela a la recta de ecuación 4 8 = 5? A) = -5 B) 2 = 5 C) 4 2 = 1 D) 4 2 = 0 E) = 2 4. Cuál de estas ecuaciones representa una recta paralela a la recta de ecuación = 1? A) 2 5 = 4 B) 5 = -1 C) = -2 D) = 0 E) 2 = - 5. Si una recta tiene ecuación 4 + = 2, cuál es la ecuación de una recta perpendicular a ella que pasa por el punto (-4, -6)? A) 4 = -12 B) 4 + = 12 C) 4 + = -2 D) 4 = 12 E) + 4 = La recta que pasa por los puntos (-2, -) (, -2) tiene igual pendiente que la recta que pasa por los puntos A) (1, -4) (, -5) B) (0, 2) (, -7) C) (6, -2) (2, -6) D) (0, 4) (-4, 0) E) (-1, -2) (4, -1) 10

11 EJERCICIOS 1. Cuál de los siguientes puntos pertenece a la recta de ecuación = 0? A) (2, 1) B) (1, 2) C) (-2, -2) D) (2, ) E) (2, 2) 2. Qué valor debe tener k para que la recta (k + ) + (1 2k) + 2 = 0 pase por el punto (, -1)? 1 A) 2 B) -2 C) 4 D) E) 2. En el gráfico de la figura 1, ABCD es un rectángulo en que sus vértices A, B, C D tienen por coordenadas (-2, -2), (2, -2), (2, 4) (-2, 4), respectivamente. Cuál es el valor de la pendiente de la diagonal BD? A) - 2 B) 2 C) - D) -2 D C fig. 1 E) - 2 A B 4. Con respecto a las rectas L 1, L 2 L de la figura 2, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La pendiente de L 1 es indeterminada. II) La pendiente de L 2 es positiva. III) La pendiente de L es negativa. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III L 2 0 L L 1 fig. 2 11

12 5. En la figura, OABC es un cuadrado de diagonales OB AC. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) AC OB tienen igual pendiente. II) BC tiene maor pendiente que AC. III) La pendiente de OB es igual a 1. C B fig. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I Y II D) Sólo II III E) I, II III O A 6. Cuál de los siguientes gráficos podría representar a la recta + 2 = 0? A) B) C) D) E) 7. Si la pendiente de una recta es 5 su coeficiente de posición es, su ecuación general es A) -5 + = 0 B) 5 = 0 C) = 0 D) -5 + = 0 E) 5 = 0 12

13 8. Cuáles son, respectivamente, los valores de la pendiente del coeficiente de posición de la recta 4 2 = 0? A) 2 2 B) -2 2 C) 2-2 D) E) Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) con respecto a la recta + = 0? I) Intersecta a la recta = en el punto (-, ). II) Pasa por el punto (5, -5). III) La pendiente de la recta es negativa. A) Sólo III B) Sólo I II C) Sólo I III D) Sólo II III E) I, II III 10. El área del triángulo formado por los ejes coordenados la recta de ecuación 5 = 15 es A) 5 B) 6,5 C) 7 D) 7,5 E) La ecuación de la recta que pasa por el punto (2, -) de pendiente 2 5 es A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) 5 11 = 0 1

14 12. La ecuación de la recta que pasa por los puntos A(1, -) B(2, -5) es A) = 0 B) 2 1 = 0 C) = 0 D) 2 1 = 0 E) = 0 1. Según el gráfico de la figura 4, la ecuación de la recta L es A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) + 5 = L fig En la figura 5, OA = 6 AB = 10, entonces cuál es la ecuación de la recta L? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) 4 24 = 0 B L fig. 5 A Cuál de los siguientes gráficos corresponde a la recta de ecuación + 1 = 0? A) B) C) D) E)

15 16. Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2 7 = 0 que pasa por el punto (-, 4)? A) = 4 B) = 4 C) + = 0 D) 2 7 =0 E) + =0 17. El punto Q de abscisa 2 está en la recta cua pendiente es 2 que pasa por el punto A(-5, -2). Entonces, la ordenada de Q es A) -10 B) 10 C) 12 D) -4 E) Dada las rectas de ecuación, L 1 : = 0, L 2 : = 0 L : = 0. Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s)? I) L 1 L 2. II) L 1 L 2 se cortan en el punto 2, III) L 2 // L. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I II D) Sólo I III E) I, II III 19. Con respecto a la ecuación de la recta (k 2) + (k + 1) + k 1 = 0, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Si k = 1 la recta pasa por el origen. II) Si k = -1 la recta es perpendicular al eje de las abscisas. III) Si k = -2 la recta es perpendicular al eje de las ordenadas. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I II E) I, II III 15

16 20. Qué valor debe tener k para que las rectas (k 1) + 4 = = 0 sean paralelas? A) -11 B) C) 7 4 D) E) Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (-, 2) que es perpendicular a la recta que une los puntos (5, 1) (-, -)? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = Cuál es la ecuación de la simetral al segmento AB determinado por los puntos A(-, ), B(7, -5)? A) = 0 B) = 0 C) = 0 D) = 0 E) = 0 2. En una prueba la relación para convertir los puntos (P) en nota (N) es lineal. A cero puntos le corresponde nota uno, a sesenta puntos le corresponde nota siete. Cuál de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) La fórmula para convertir puntos en nota es N = 1 10 P + 1. II) A 25 puntos le corresponde nota,5. III) Para obtener nota 5,8 se requieren 48 puntos. A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I II E) I, II III 16

17 24. Las rectas L 1 : = a + b L 2 : = 2a + b se intersectan en el punto (1, 1), entonces 2b + a = A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) Cuál(es) de las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s) respecto a la recta L: 12 = 0? I) La recta L pasa por el origen. II) La recta L intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 4). III) La recta L intersecta al eje de la abscisas en el punto (12, 0) A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I II E) I, II III 26. Las rectas L 1 pasa por el punto (1, ) tiene pendiente 2. Si una recta L 2, perpendicular con L 1, contiene al punto (-2, 4), entonces la ordenada del punto donde se cortan L 1 con L 2 es A) B) C) D) E) Se puede determinar la pendiente de una recta L si : (1) La recta L forma con el eje de las abscisas un ángulo obtuso. (2) La recta L corta al eje de las ordenadas en el punto (0, -5). A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 17

18 28. La ecuación de la recta L se conoce si : (1) L es perpendicular a la recta + 5 = 0. (2) L pasa por el origen. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 29. El ángulo que la recta a b c = 0, forma con el eje de las abscisas es agudo si : (1) a 0 (2) b > 0 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional 0. La recta a + b c = 0 forma con los ejes coordenados un triángulo de área 6 u 2 si : (1) a = (2) b = 4 c = 12 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) (2) D) Cada una por si sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional DMDMA18 Puedes complementar los contenidos de esta guía visitando nuestra web 18

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