CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.1. Límites de integración infinitos 9.2. Integrales con integrando que tiende a infinito 9.3. Observaciones a las

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1 CAPÍTULO 9. INTEGRALES IMPROPIAS 9.. Límies de inegrción infinios 9.. Inegrles con inegrndo que iende infinio 9.. Oservciones ls inegrles impropis

2 Cpíulo 9 Inegrles impropis f ( ) f ( ) f f ( ) () f() f ( ( ) ( ) )

3 Cpíulo 9 Inegrles impropis Volver l Índice Volver l Índice Hs hor hemos relizdo odo el esudio sore ls inegrles definids jo dos hipóesis fundmenles, el hecho de que los límies de inegrción ern finios y l coninuidd de l función inegrr, f(), en el inervlo de inegrción [, ]. Cundo lgun de ess dos condiciones no se cumple, se dice que l inegrl que resul es impropi. Esudiremos esos csos por seprdo, viendo como conclusión el cso generl en el que pudiern no cumplirse ess dos hipóesis l vez. 9.. Límies de inegrción infinios En ese primer cso, supondremos que l función inegrr, f(), esá definid y es coninu en un inervlo no codo. Es siución puede drse de res mners disins: que el límie superior de inegrción se infinio, que el límie inferior de inegrción se menos infinio, o que ninguno de los límies de inegrción se finio. Vemos cd un de ess res posiiliddes: ) Si f() es coninu en [, ) f ( ) lim f ( ) donde f ( ) es un inegrl definid. ) Si f() es coninu en (, ] f ( ) lim f ( ) donde f ( ) es un inegrl definid. ) Si f() es coninu pr odo rel y es un número rel culquier: f ( ) f ( ) f ( ) Cálculo Inegrl pr primeros cursos universirios. Alejndre - Alluev, hp://ocw.unizr.es

4 Inegrles impropis 9 y cd un de ls inegrles impropis del miemro de l derech, se clculrán según lo viso en los cso ) y ). Es decir, en culquier cso, pr clculr un inegrl impropi, primero psmos clculr un inegrl definid dependiendo de un prámero que hremos ender más o menos infinio, según el cso. Así pues, el cálculo del vlor de un inegrl impropi se reduce l cálculo de mner consecuiv de un inegrl definid y de un límie. Deido, precismene, l operción del cálculo del límie de un función, ese límie puede ser rel (convergenci) o puede ser infinio (divergenci). Es siución d lugr l siguiene clsificción en ls inegrles impropis: cundo los límies de ) y ) eisn, se dirá que ls inegrles convergen; si no eisen (son infinio), se dirá que divergen. En ) l inegrl de l izquierd se dice que converge si y solo si convergen ls dos de l derech (si un de ells diverge independienemene de l or, mién será divergene l de l izquierd). Ejemplos ) I 9 El límie superior de inegrción om vlor no finio. Así pues, según el cso ), enemos: 9 lim 9 Clculmos primero l inegrl definid con límie de inegrción superior igul : 9 9 [ rcg( ) ] rcg ( ) ( ) Por úlimo, clculmos el límie cundo iende más infinio de es función:

5 Inroducción l cálculo inegrl π lim rcg( ) π 6 π Por no, I es convergene y su vlor es I. 6 ) I El límie inferior de inegrción om vlor no finio. Así pues, según el cso ), enemos: lim - Clculmos primero l inegrl definid con límie de inegrción inferior igul : ( ) ( ) [ ] Por úlimo, clculmos el límie cundo iende menos infinio de es función: lim - ( ) Por no, I es divergene y su vlor es I. ) I En ese cso los dos límies de inegrción son no finios. Así pues, según el cso ), seprmos es inegrl en sum de ors dos por un puno culquier inermedio, por ejemplo, el cero:

6 Inegrles impropis Clculmos cd un de ess dos nuevs inegrles impropis según los csos ) o ). Por no: lim - lim - Log lim - Log Log Log lim lim Log lim Log Log Log Por no, I es convergene y su vlor es I. Log Log 9.. Inegrles con inegrndo que iende infinio Volver l Índice En ese segundo cso supondremos que l función inegrr, f(), iene un disconinuidd infini pr lgún vlor en el inervlo de inegrción cerrdo y codo, [, ]. Así, enemos res posiiliddes: ) Si f() es coninu en [, ), y f(), cundo, enonces: f ( ) lim f ( ) Cálculo Inegrl pr primeros cursos universirios. Alejndre - Alluev, hp://ocw.unizr.es

7 Inroducción l cálculo inegrl donde ( ) f es un inegrl definid. ) Si f() es coninu en (, ], y f(), cundo, enonces: donde ( ) f ( ) lim f ( ) f es un inegrl definid. ) Si f(), cundo c, con < c < y f() es coninu en odos los demás punos del inervlo [, ], enonces: f ( ) f ( ) f ( ) c donde cd un de ls inegrles impropis del miemro de l derech se clculn según lo viso en los csos ) y ) neriores. Al igul que en el cso en que precín límies de inegrción infinios, pr clculr un inegrl impropi en culquier de ess res siuciones mencionds, primero endremos que clculr un inegrl definid dependiendo de un prámero que poseriormene hremos ender l vlor rel donde se produce l disconinuidd infini de l función inegrr. Así pues, el cálculo del vlor de un inegrl impropi se reduce de nuevo l cálculo de mner consecuiv de un inegrl definid y de un límie. Tmién quí diremos que ls inegrles impropis convergen si eisen (son finios) los límies neriores, y se dirá que divergen en cso conrrio. En el cso ) l inegrl impropi de l izquierd se dice que converge si y solo si convergen ls dos de l derech (si un de ells diverge independienemene de l or, mién será divergene l de l izquierd). c

8 Inegrles impropis Ejemplos ) I 6 L función inegrr en ese cso presen un disconinuidd infini denro del inervlo de inegrción en el puno. Así pues, según el cso ), enemos: 6 lim 6 Clculmos primero l inegrl definid con límie de inegrción superior igul : 6 ( ) [ rcsen( ) ] rcsen ( ) rcsen rcsen( ) Por úlimo, clculmos el límie cundo iende por l izquierd de es función: π lim ( rcsen ( ) ) π Por no, I es convergene y su vlor es I. ) I En ese cso, l función inegrr presen un disconinuidd infini denro del inervlo de inegrción en el puno. Así pues, según el cso ), enemos:

9 Inroducción l cálculo inegrl lim Clculmos primero l inegrl definid con límie de inegrción superior igul : ( ) ( ) [ ] Por úlimo, clculmos el límie cundo iende por l derech de es función: lim [ ] Por no, I es convergene y su vlor es I. ) I En ese cso, l función inegrr presen un disconinuidd infini denro del inervlo de inegrción en el puno. Así pues, según el cso ), enemos: Cd un de ls inegrles del miemro de l derech se clcul según lo viso pr el cso ) o ). lim lim ( )

10 Inegrles impropis 5 [ lim ( ) lim [ ] lim ( ) lim ( ) ] Por no, I es convergene y su vlor es I Volver l Índice 9 ( ) Oservciones ls inegrles impropis Oservción : Los csos que se hn comendo en los prdos neriores se hn referido siuciones simples. En generl, vris de ess siuciones se pueden producir l vez en un mism inegrl. Es posile que en un mism inegrl prezc lgún límie de inegrción infinio y que l función inegrr pose un disconinuidd infini en lgún puno denro del inervlo de inegrción. Pr deerminr si converge o no es inegrl impropi hy que seprrl como l sum de ns inegrles impropis como se necesrio, de form que cd un de ells solmene pose un puno de impropiedd en lgún límie de inegrción. Es seprción, ovimene, se relizrá rvés de punos ineriores del inervlo, en los cules l función inegrr se coninu. Si convergen ods ls inegrles impropis en que se hy seprdo l inegrl originl, enonces és será convergene. Si, l menos, lgun de ells es divergene, enonces mién lo será l originl. Ejemplos ) I 6 ( ) En ese cso enemos un límie de inegrción no finio, juno con un vlor numérico,, en el cul l función inegrr presen un disconinuidd infini. Así pues, l descomponemos como sigue: Cálculo Inegrl pr primeros cursos universirios. Alejndre - Alluev, hp://ocw.unizr.es

11 6 Inroducción l cálculo inegrl 6 ( ) ( ) ( ) ( ) donde se h elegido el puno inerior, de coninuidd de l función, pr seprr l inegrl. Clculemos cd un de ells por seprdo: lim - ( ) ( ) lim 6 ( ) lim - - lim - lim ( ) ( ) lim lim ( ) lim Como es inegrl es divergene, no es necesrio clculr l ercer inegrl de l descomposición, y se que se concluye que I es divergene. Log ) I Aquí eisen dos vlores numéricos denro del inervlo,,, en el cul l función inegrr presen un disconinuidd infini. Así pues, l descomponemos como sigue: Log Log Log donde se h elegido el puno inerior /, de coninuidd de l función, pr seprr l inegrl. Vmos clculr en primer lugr l inegrl indefinid de l función:

12 Inegrles impropis 7 Log u Log dv ( ) du v Log Clculemos l nuev inegrl indefinid que nos h precido pre: { d} d d d C Log Log C ( ) Log C Log Log C Por lo no, Log Log F() C Log Log C Así, procedemos hor clculr ls dos inegrles impropis en que hemos seprdo l inegrl originl I:

13 8 Inroducción l cálculo inegrl Log lim Log lim [ Log Log Log] F lim [ Log Log Log] F Log Log lim Log lim lim [ Log Log Log] [ ] Log Log Log F F Finlmene, I Log. Oservción : Or oservción imporne que deemos hcer esá dirigid l error sne frecuene consisene en: f ( ) lim f ( ) L operción correc, como hemos comendo en l oservción, serí relizr l seprción en dos inegrles impropis de l form:

14 Inegrles impropis 9 f ( ) f ( ) f ( ) donde dee ser un puno de coninuidd pr l función f(). Cd un de ess inegrles impropis se clculrá como en los csos neriores. Oservción : L seprción ( f ( ) g( ) ) f ( ) g( ) sólo se puede relizr en inegrles impropis si son convergenes ls dos inegrles de l derech. Oservción : Cundo eise un puno de disconinuidd infini de l función inegrr esricmene inerior l inervlo de inegrción, hy que llevr cuiddo de prir l inegrl por ese puno. Si no se procede de es mner, se puede llegr resuldos flsos. Por ejemplo, se I, donde el vlor de, esricmene inerior l inervlo, es el único puno de disconinuidd infini de l función inegrr. L mner correc de proceder serí: I Clculmos l primer de ess inegrles impropis: lim lim lim Por no, I es divergene. Si no nos dmos cuen de que es impropi y l inenmos clculr como definid, llegremos : I 8 8

15 Inroducción l cálculo inegrl que es sne diferene l resuldo correco oenido neriormene. Ejercicios propuesos π ) I Log( ) ) I Log 9 ) I π ) I π 5) I ( ) > 6) I Log 7) I 5 8) I e e π

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