LIMITES Y CONTINUIDAD

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1 Contenidos LIMITES Y CONTINUIDAD. Limite de una función en un punto.. Limite en el infinito. Asíntotas de una curva.. Calculo de límites..4 Función continua en un punto y en un intervalo..5 Operaciones con funciones continuas..6 Discontinuidades..7 El teorema del valor intermedio de Bolzano y el teorema de eistencia de etremos absolutos de Weierstrass.. Limite de una función en un punto. Una función f() tiene por límite L cuando tiende a "a", si es posible conseguir que f() se aproime tanto a L como queramos, cuando está suficientemente próimo a "a". a) A partir de entornos: * f() L ε >, δ > si E (a, δ ) a f() E(L, ε ) b) A partir de distancias: f() L ε >, δ > si < - a < δ f() - L < ε a Nótese que en la definición de límite sólo intervienen los valores que toma la función en la proimidad de a, pero no en el punto a, en el que la función puede tomar un valor cualquiera e incluso no estar definida.. Limites en el infinito. Asíntotas de una curva. - Límites infinitos: f() M >, δ > si < - a < δ f() > M. a f() M >, δ > si, < - a < δ f() < -M a - Límites en el infinito: f() L ε >, n > si, > n f() - L < ε f() L ε >, n < si, < n f() - L < ε - Asíntotas de una curva. Se dice que una curva tiene ramas infinitas si eisten puntos de la curva cuya distancia al origen de coordenadas es mayor que cualquier número prefijado. Si una curva tiene ramas infinitas, la recta (si eiste) a la cual se aproima la curva cada vez más sin

2 llegar a tocarla, se llama asíntota. Si la curva no tiene asíntotas, se dice que la curva tiene rama parabólica. a) Asíntota vertical o paralelas al eje OY. Son de la forma u siendo u los valores finitos de que hacen el siguiente límite f() ± ( u a, a, a - ) u Es conveniente estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota vertical, para ello se realizarán los límites laterales b) Asíntota horizontal o paralela al eje OX. Son de la forma yk siendo k ± f() k Es muy conveniente estudiar la posición de la curva respecto de la asíntota, bastará hallar el signo de f()-k para -> y ->-. Si f()-k es positivo la curva estará por encima de la asíntota y si es negativo estará por debajo. c) Asíntota oblicua f() m ± Son de la forma ymn m, n R n [f() - m] ± d) Ramas parabólicas. Se estudian solamente sí f() ó f() f() - Si la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OY. f() - Si la curva tiene una rama parabólica en la dirección del eje OX. f() - Si m y [f() - m] la curva tiene una rama parabólica en la dirección de la recta ym. Cálculo de límites. - Propiedades de los límites: º- Si una función tiene límite en un punto, éste es único. º- Si los límites laterales de una función en un punto son distintos, entonces la función no tiene límite en él. º- Sea f() y g() dos funciones tales que: f() L g() L entonces: º- [f() ± g()] L ± L º- f() g() L L a a f() L n n º- L 4º- (f() ) ( f() ) n ℵ - {} g() L a a a a n 5º- f() n f() n ℵ - {} 6º- ( log a a a b a f()) log ( f()) b a b R

3 a 7º- f() b b f() b R 8º- (f() ) a a g() g() f() a a - Indeterminaciones. Las indeterminaciones que se producen en el cálculo de límites son las siguientes:,,, -,,, En los casos en los que se produzca indeterminación, se procede a reducir dicha indeterminación transformando la epresión del límite mediante diversas estrategias: Estrategia de modificar la epresión del límite. Consiste en transformar la epresión del límite mediante transformaciones algebraicas de esta, por ejemplo multiplicar o dividir por una epresión, sumar y restar una epresión, simplificar la epresión... Estrategia de cambio de variable. Consiste en poner la variable de la epresión del límite en función de otra variable, de esta forma el límite se transforma en otro más sencillo de calcular en la nueva variable. Estrategia de cálculo diferencial. Consiste en aplicar la regla de L'Hôpital. Estrategia de infinitésimos equivalentes. Consiste en sustituir una función por otra función que cumple unas ciertas propiedades. * Indeterminación : En este caso, generalmente, se resuelven estos límites dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia. Para hacer un límite en el que - se cambian de signo todos los términos del límite y pasa a tender a. * Indeterminación - : Si aparecen raíces, el límite se hace aplicando el método de la conjugada. Si no aparecen raíces, primero se opera y después hacemos el límite que queda, que generalmente es de la forma. Ejemplo.- lím lím lím lím 4 lím * Indeterminación : Se resuelven descomponiendo en factores numerador y denominador. Hay casos en los que aparecen raíces y en ellos aplicamos también la conjugada. Ejemplo.- ( )( ) 5 lím lím lím Hallamos los límites laterales: ( ( ) ( ) ( )( ) )

4 lím ; lím ( )( ) ( )( ) * Indeterminación : Sí f() y g() entonces Ejemplo.- lím a [f() ] a a g() e g ( )( f ( ) ) lím 5 5 lím e * Regla de L'HOPITAL. a) Indeterminación ( ) lím ( ) e e Supongamos que f() g() siendo g() en un entorno de a. a a f () f() f () Si a g () eiste, entonces g() a a g () b) Indeterminación La einación de este tipo de indeterminación eige un teorema análogo a la regla de L'Hôpital. Ejemplos.- sen cos a) lím lím sen cos e 5 b) ln lím lím lím lím lím - Infinitésimos equivalentes. Si en una epresión figura como factor o divisor una función, el límite de la epresión no varía al sustituir dicha función por otra equivalente. Tabla de infinitésimos. senk k, si, k * tagk k, si, k e k k - k,si, * a - k lna, si, 4

5 (k ) n - cos k, si, * a - lna, si, n n π π ln( k) k, si, * cotgk - k, si, m ( ) - m, si, * arcsenk k, si, arctagk k, si, f() - Si g() a f() y g() son infinitésimos equivalentes y se representan f() g(). * Límites que convienen conocer: sen no cos no sen no tg no cos no tg no ln - sen ln ln tg, si, a a >.4 Función continua en un punto y en un intervalo. La idea intuitiva de continuidad implica una variación suave de la función, sin saltos bruscos que rompan la gráfica de la misma. Una función real de variable real es continua en un punto "a" sí y solo sí : - eiste el valor de la función para a. - eiste el límite de f() cuando a. - f(a) f(). a - Definición métrica de continuidad: f() es continua en a <> ε >, δ > si, < - a < δ f() - f(a) < ε. - Continuidad en un intervalo. Una función es continua en un intervalo abierto (a,b) cuando es continua en todos y cada uno de los puntos del intervalo. Una función es continua en un intervalo cerrado [a,b] si lo es en todos y cada uno de los puntos de (a,b) y además es continua por la derecha en a y por la izquierda en b. - Continuidad lateral: Una función es continua por la derecha en un punto si eiste límite por la derecha en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto. f() es continua en a f() f(a) a 5

6 Una función es continua por la izquierda en un punto si eiste límite por la izquierda en él y coincide con el valor que toma la función en ese punto. - f() es continua en a f() f(a) - a Si una función es continua por la derecha y por la izquierda en un punto es continua en él..5 Operaciones con funciones continuas. Las operaciones con funciones continuas definidas en el mismo intervalo da como resultado otra función continua en él, siempre que tenga sentido la operación. - Teorema I.- La suma, diferencia y producto de funciones continuas es una función continua; el cociente de funciones continuas también es una función continua, ecepto para los valores de, que anulen el denominador. - Teorema II.- Si f() es una función continua en a y g() es continua en f(a) entonces la composición de estas dos funciones (g o f)() es una función continua..6 Discontinuidades. Una función es discontinua en punto cuando no eiste límite en él o, eistiendo, no coincide con el valor de la función en el mismo. Para la clasificación de las discontinuidades en un punto tendremos en cuenta la eistencia o no de los límites laterales en el mismo. a) Discontinuidad evitable. Una función es discontinua evitable en a cuando eiste límite en él y no coincide con el valor de la función en el mismo. El valor que deberíamos dar a la función en dicho punto para que fuera continua en él se llama verdadero valor de la función en el mismo. b) Discontinuidad de primera especie. * Finita : se produce cuando los dos límites laterales son finitos y distintos. En este caso, se puede calcular el salto. S f() - f() - a a * Infinita : se produce cuando alguno o los dos límites laterales son infinitos. También se le llama asintótica. c) Discontinuidad de segunda especie. Se produce cuando no eiste algún límite lateral. En las tres gráficas que a continuación se presentan se dan los tipos de discontinuidad más importantes. D. evitable D. de º especie D. asintótica. 6

7 Ejemplo Calcula el valor de a para que la siguiente función sea continua: f ( ) a a ln si si > Dominio R Si f () es continua, pues está formada por funciones continuas. En : lím f ( ) lím ( a ) a lím f ( ) lím ( a ln ) a () f a Para que f () sea continua en, ha de ser: a a a a.7 El teorema del valor intermedio de BOLZANO y el teorema de eistencia de etremos absolutos de WEIESTRASS. - Teorema del signo (positivo). Si f() es una función continua en un punto a siendo f(a)>, entonces eiste un entorno de a en el que para todo valor de que pertenezca al entorno, f() es positiva. Simbólicamente: f() continua en a, f(a)> E(a, δ ), E(a, δ ), f()> - Teorema del signo (negativo). Si f() es una función continua en un punto a siendo f(a)<, entonces eiste un entorno de a en el que todos sus elementos tienen imagen negativa. - Teorema de BOLZANO (78-848). Si una función es continua en un intervalo [a,b] y toma valores de distinto signo en los etremos, entonces eiste al menos un punto interior "c" del intervalo en el que f(c). Interpretación geométrica: F(b) F(a) a c b 7

8 Intuitivamente significa que la gráfica de la función corta el eje X ya que pasa de un punto situado por debajo de él a otro que se encuentra encima, o recíprocamente. Ejemplo Demuestra que la ecuación e 4 tiene, al menos, una solución real en el intervalo [, ]. Consideramos la función f () e 4, continua en R, pues es suma de funciones continuas. En particular, será continua en [, ]. Por otra parte, tenemos que: f ( ) < signo de f ( ) signo de f ( ) f () e > Por el teorema de Bolzano, podemos asegurar que eiste, al menos, un c (, ) tal que f (c). La raíz de la ecuación es c. - Teorema de DARBOUX o del valor intermedio (84-97) Si una función es continua en [a,b], entonces la función toma todos los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Interpretación geométrica: F(b) F(a) a b - Teoremas de ACOTACIÓN: a) En un punto.- Si una función es continua en un punto a entonces está acotada en un entorno de este punto. b) En un intervalo.- Si una función es continua en [a,b], entonces esta función está acotada en dicho intervalo. - Teorema de WEIERSTRASS (85-897). Si una función es continua en [a,b], entonces la función tiene máimo absoluto y mínimo absoluto en [a,b]. Intuitivamente, esto significa que la gráfica de la función debe tener un punto más alto o igual que los demás y otro más bajo o igual que los restantes. Este teorema implica evidentemente que la función continua definida en el intervalo [a,b] está acotada PROBLEMAS. º- Probar que f() - y g() son infinitésimos equivalentes cuando 8

9 º- Calcular los siguientes límites a) 4 c) 4 4 e) 4 g) b) d) f) h) i) j) 6 º- Calcular el siguiente límite: - 4 e 4º- Hallar los límites laterales de f() arctg cuando 5º- Hallar las asíntotas de la función f ( ) ln 6º- Calcular los siguientes límites: sen sen5 sen( - ) ( - ) 6. - π π cotg sen 6.6 e sen - cos - e ln() - cos - 7º- Calcular el valor de n para que el límite siguiente tg - sen n sea un número finito. 8º-Calcular los siguientes límites: 8. -() sen ( - - ) 9

10 8.4 n ( ) - sen e (a)a a - a 8.8 a 9º- Estudiar si eisten o no los límites en y de la función f : R - {, } R definida por - f() º- Calcular los siguientes límites: a) - sen b) arctg d) e) 5cotg - cos (sen ) cos º- Hallar el dominio y las asíntotas de: c) Ln -. e y. y y.4 y ln 9 ( - 54).5 y ln º-Calcular los siguientes límites: tagn. ntag. nsen- senn ( π - arctag) (ln) _ arctag- 5. sen 4 - arcsen ( cotag ) 8. (- cos) (cotag) 9.. ) sen (... sen sen ln- (-)ln sen sen ( ) ln( cosa) ln(cosb)

11 6. ( arcsen cotag) 7. sen - sen 8. e e ) ( º-Estudiar la continuidad de las siguientes funciones, estudiando a la vez el comportamiento en los puntos de la posible discontinuidad:. f() -. f(). f() - E() e - cos 4. - f() 5. - e si, f() si, > si, < 4º- Dada la función f() continua en todos sus puntos. - sen Asen B cos si, si, si, π - π π - < π < hallar A y B para que la función sea 5º- Estudiar la continuidad de la función - cos f(). 4sen 6º- Sea la función f ( ) < < a) Representar la función b) Estudiar la continuidad de f() 7º- Representar la función siguiente: f ( ) < < Estudiar la continuidad de f() y clasificar las discontinuidades si eisten. n ( ) - 8º-Dada la función f() con n perteneciente a N estudiar su continuidad. Calcular f() de modo que f() sea continua para todo real.

12 k - 9º-Dada la función f() : R R definida por f() determina los valores de k para - > que sea continua en. º-Dada la función f() ( -) - estudiar su continuidad. º-Representa gráficamente y estudia los puntos de discontinuidad de perteneciente ar f() - E() para º-Probar que eiste perteneciente a R tal que 4 sen sen sen sen º- Es aplicable el teorema de Bolzano a f() cos en el intervalo [,π ]? 4º-Sea f() y g() dos funciones continuas en el intervalo [a,b] tales que f(a)>g(a) y f(b)<g(b). Probar que en estas condiciones eiste c perteneciente a (a,b) tal que f(c)g(c). Interpreta geométricamente el resultado. 5º-Demostrar que la ecuación decimales eactas. - posee al menos una raíz real y calcularla con dos cifras 6º-Calcular a y b para que la función f() sea continua en todos los reales. e, si, f() a b, si, < < ln,si, 7º-Sea f() la función definida por: f() a b, - 5 Calcular a y b para que sea continua en su dominio.,si, < si,,si, < PROBLEMAS RESUELTOS º- Calcular: - 9 Sol: º- Determinar a para que se verifique ( a - ) º- Calcular: ( a - ). Sol: a/ Sol: a4

13 4º- Calcular el límite de la función Sol: /, -cos,. - cos f() al tender respectivamente hacia, y. 5º-Calcular: -. Sol: e 6º-Calcular el valor de la constante c para que el límite de la función: f() hacia. Sol: c/. c sea e al tender 7º-Calcula: tg sen Sol:. sen 8º-Enuncia el teorema de Bolzano. Usando este teorema, demostrar que la ecuación al menos una solución tal que < < - 5 tiene 9º-De dos funciones F() y G() se sabe que son continuas en el intervalo [a,b] que F(a)>G(a) y que G(b)>F(b). Se puede demostrar que eiste algún punto t de dicho intervalo en el que se corten las gráficas de las dos funciones? - si, º-Dada la función f() - ln estudiar la continuidad en el punto. si, Sol: no continua. - º-Probar que la función f definida por f() 7-8 discontinuidad se presenta en dicho punto. no es continua en. Indicar que tipo de º-Estudiar la continuidad de la función f: R->R definidas por f()-e(), E() designa la parte entera de, esto es, el mayor entero menor o igual que. º-Estudiar en el campo real la continuidad de la función f definida por: e, para, f() e Sol: cont. en R-{}, para, > 4º-Determinar los números reales a y b para que la función definida en R por: f() a e sen bcos, f()6 sen f() a b( - ), si, si, <. >

14 sea continua en toda la recta real. Sol: a ; b. 5º-Usando el teorema de Bolzano, demostrar que la ecuación: - tiene al menos una solución c tal que <c<. 6º- Puede eistir una función f acotada en [,] con f()<, f()>, y tal que no eista cε],[ con f(c)?. 7º-Probar que las gráficas de f()ln y g()e - se cortan en algún punto y localizarlo aproimadamente. 8º-Probar que la ecuación a bc 4 cierto para a b cd?. tiene siempre alguna solución real. Es también esto 9º-Prueba que la ecuación ²8 ln posee una única solución en el intervalo [,e] º-Estudia la continuidad de la función definida por: f() - - ( º-Calcular cos ) Sol: L -6 e - - º-Hallar Sol: / º-Enunciar las condiciones que deben de cumplir dos funciones para poderse aplicar la regla de L Hôpital. Calcular: Sol: - 9 4º-Determina las asíntotas de la función f definida por: f() e /. sen e - - 5º-Calcular Sol: /4-6º-Calcular el límite cotan - Sol: 7º-Calcular Sol: e sen e 8º- Comprueba los siguientes límites:.- e π.- ( -) tg( ) -4 π - ln() ln cotg e cos 6 4

15 - tg - sec 7.- cosec 9.- π / sen( - ) e - e sen 6.- / (sen ) tg π.- ( - ) 4.- π ( cos ) cos e tg tg π / e - e - - sen (sen ) (tg. ln ) 9.- e sen.- ln.- [ ( ) ] n 4 ln cotg.- (sen cos ) e 4.- ln ln cos (e - ) ln (5 - ) ln e ln.- cos ln(tg) π / 5

16 - cos / 4 tg π e 4.- ln 5.- ( ) cos - sen ( ln ) e 4.- ( -) ln( -) 4.- ( ln ) 4.- cos sen tg - sen sen sen (- cos ) sen tg ln 47.- ln tg sen sen a a tg - sen cos ( ) e cotg - -cos (sen tg ) sen sen - 4 arcotg - - sen arcotg

17 tg - - sen a b a. b 59.- cos 6.- ( - ) tg ln cosec 6.- ln ln e (6 ) - 54 / / / ( ) e sen ( cos ) ln( ) sen π tg π tg 4 e - π / cos ) tg e - a 75.- ln - a a π tg 74.- π ( (- ) π tg π ( - ) e - ( ) ( e e ) e sen 8.- ( -π ) tg - π cosec(/) 8.- ( sen ) e 8.- ( cotg ) 7

18 8.- ( - ) 85.- e - e - sen sen 4 e ( sen ) tg tg π - sen cotg 87.- ( - sen ) sen 6 8