TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS

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1 Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 1 TEMA 5 LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS 5.1 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Límite de un función en un punto f () l Se lee: El límite cundo tiende c de f() es l c Signific: l es el vlor l que se proim f() cundo se proim c Nots: - Que se proim c signific que tom vlores muy cerc de c (Se puede cercr por l izquierd o por l derech). - l puede ser ó - y entonces c es un síntot verticl. Límites lterles de un función en un punto Límite por l derech: f () l Se lee: El límite cundo tiende c por l derech de f() es l c Signific: l es el vlor l que se proim f() cundo se proim c por l derech. Límite por l izquierd: f () l Se lee: El límite cundo tiende c por l izquierd de f() es l c Signific: l es el vlor l que se proim f() cundo se proim c por l izquierd. Eisten del límite Pr que eist el límite de un función en un punto es necesrio que eistn los dos límites lterles y sen igules.

2 Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 5.1. LÍMITES EN EL INFINITO f () f () Se lee: El límite cundo tiende más infinito de f() es más infinito Signific: l función tom vlores grndes positivos cundo l tom vlores grndes positivos. (1º cudrnte) Se lee: El límite cundo tiende más infinito de f() es menos infinito. Signific: l función tom vlores grndes negtivos cundo l tom vlores grndes positivos. (4º cudrnte) f () l Se lee: El límite cundo tiende más infinito de f() es l Signific: l es el vlor l que se proim f() cundo tom vlores muy grndes positivos: y l es un síntot verticl. f () f () Se lee: El límite cundo tiende menos infinito de f() es más infinito Signific: l función tom vlores grndes positivos cundo l tom vlores grndes negtivos. (º cudrnte) Se lee: El límite cundo tiende menos infinito de f() es menos infinito. Signific: l función tom vlores grndes negtivos cundo l tom vlores grndes negtivos. (º cudrnte) f () l Se lee: El límite cundo tiende menos infinito de f() es l Signific: l es el vlor l que se proim f() cundo tom vlores muy grndes negtivos: y l es un síntot verticl.

3 Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 5.1. CÁLCULO DE LÍMITES 1 Se sustituye l por el vlor l que tiende 5 ) b) d) (sen ) e) log1 π 4 g) 4 7 j) m) 1 o) Indeterminciones:,1 h) 4 7 k) n) p) 1 1 k Hllr límites lterles ) b) d) e) ) Fctorizr y simplificr 6 1 b) ( ) c) c) 4 7 f) 4 7 i) 4 7 l) 1 ñ) c) f) ( ) ± b ) Si grdo del numerdor > grdo del denomindo r (El signo depende coeficient es 1 c) Si grdo del numerdor de l de myor grdo del numerdor y del denomindo r) grdo del denomindo r ( y b son los coeficient es de l de myor grdo del numerdor y del denomindo r) Si grdo del numerdor < grdo del denomindo r b) d) - Se hcen operciones. Cundo precen rdicles, multiplicmos y dividimos por l epresión conjugd. 1 1 ) ( ) b) de los

4 Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch 4 f () 1 1 : Tipo número e : Aplicr : 1 e f() f () g() ó g().[f () 1] e - En funciones definids trozos, en los puntos donde esté definid de distint form si me proimo por vlores más pequeños, que por vlores más grndes, hbrá que hcer límites lterles. ) Dd l función f() - 7 si < si 5. ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntots verticles: c y Cálculo: Puntos que nuln el denomindor Puntos que nuln lo que está dentro del logritmo Por bjo Aproimción: Clculr los límites lterles Por rrib Clculr su límite en los puntos,1, 7 - Asíntots horizontles: y b (Grdo numerdor Grdo denomindor) Cálculo: f () Aproimción: f(± 1) Asíntot b < > Por debjo Por encim - Asíntots oblicus: y m n (Grdo Numerdor Grdo denomindor 1) Cálculo: m f () ; n (f () m) < Por debjo > Por encim Aproimción: f(± 1) Asíntot(± 1) RAMAS INFINITAS (Grdo Numerdor Grdo denomindor ) Cálculo: f () ± ± ) y d) y 7 b) y e) y 1 1 c) y f) y

5 Tem 5 Límites de funciones, continuidd y síntots Mtemátics CCSSII º Bch CONTINUIDAD L ide de función continu es l de que puede ser construid con un solo trzo. Un función f() es continu en el punto si f() f() Tods ls funciones definids por epresiones nlítics elementles (es decir, tods ls que conocemos hst hor, eceptundo ls funciones trozos), son continus en todos los puntos de su dominio. Ls funciones trozos hbrá que estudirls en los etremos de sus trozos que pertenezcn l dominio. Tipos de discontinuiddes - Discontinu inevitble de slto infinito: Si lguno de los límites lterles es infinito o no eiste. - Discontinu inevitble de slto finito: Si los dos límites lterles son finitos pero distintos. El slto es l diferenci, en vlor bsoluto, de los límites lterles. - Discontinu evitble: Si los dos límites lterles son finitos e igules, pero su vlor no coincide con f() o no eiste f() ) y 5 b) y c) y d) log 4 si < si 4 e) y f) y g) y 1 si 1 si 4 1 si 4 h) Clculr el vlor de n pr que l función f() se n si > 4 continu en todo R. k si i) Clculr k pr que y se continu en R 7 si