INDICE Prefacio 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites teoremas escogidos con demostraciones formales

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1 INDICE Prefacio XIII 1 Preliminares del cálculo: funciones y limites Qué es el calculo? el limite: la paradoja de Zenón la derivada: el problema de la tangente la integral: el problema del área modelos matemáticos preliminares distancia en una recia numérica valor absoluto distancia en el plano trigonometría 1.3. rectas en el plano pendiente de una recta formas de la ecuación de un arecta rectas paralelas y perpendiculares funciones y sus graficas definición de función notación funcional dominio y rango de una función composición de funciones grafica de una función transformaciones de funciones clasificación de funciones limites de funciones la noción intuitiva de limite calculo grafico de límites calculo de limites usando tablas limites que no existan propiedades de los limites cálculos con limites uso del algebra en el calculo de limites limites de funciones definidas a trozos continuidad noción intuitiva de continuidad definición de continuidad teoremas sobre continuidad continuidad en un intervalo el teorema del valor intermedio Aproximación por el método de bisección introducción a la teoría de limites el formato creyente-escéptico demostraciones Epsilon-delta teoremas escogidos con demostraciones formales 87 2 Técnicas de derivación y aplicaciones introducción a la derivada: tangentes tangentes 99

2 pendiente de la tangentes la derivada existencia de derivadas continuidad y derivabilidad notación para la derivada técnicas de derivación derivadas de una función constante derivada de una función potencial reglas para calcular derivadas derivadas de orden superior derivadas de funciones trigonométrica dos limites trigonométricos especiales derivadas del seno y del costo derivadas de otras funciones trigonométricas Tasa de variación. Movimiento rectilíneo Tasa de variación; interpretación geométrica tasa media e instantánea de variación aplicación a la física: movimiento rectilíneo el problema de la caída libre la regla de la cadena introducción a la regla de la cadena derivación de funciones compuestas formulas generalizadas de derivación justificación de la regla de la cadena derivación implícita procedimiento general parta la derivación implícita derivación implícita de orden superior tasas de variación ligadas diferenciales y aproximación por la tangente aproximación por la tangente la diferencial propagación del error análisis marginal en economía el método de Newton-Raphson de aproximación de raíces el método de Newton-Raphson estudio de cuado falla el método de Newton-Raphson otras aplicaciones derivadas valores extremos de una función continua el teorema de los valores extremos extremos relativos extremos absolutos optimización el teorema del valor medio el teorema de Rolle y la demostración del teorema del valor medio algunas aplicaciones del teorema del valor medio el test de la derivada primera funciones crecientes y decrecientes el test de la derivada primera dibujo de curvas con la derivada primera 207

3 3.4. convexidad y el test de la derivada de segunda convexidad puntos de inflexión dibujo de curvas con la derivada segunda el test de a derivada segunda par extremos relativos limites infinitos y asíntotas asíntotas limites infinitos graficas con asíntotas sumario de dibujo de curas dibujo general de curvas optimizasen en física e ingeniería procedimiento de optimización física: el principio de Fermat en óptica y la ley de Snell optimización en comercio, economía y ciencias de la vida optimización de funciones discretas economía: dos principios de análisis marginal dirección de empresas: un modelo de inventario fisiología: el ángulo optimo de ramificación vascular regla de I Hopital regla de I Hopital formas indeterminadas 0/ formas indeterminadas 00/ regla de I Hopital para otras formas integrales el problema inverso de la derivación notación para la integral indefinida formulas de integración aplicaciones Integración el área como limite de una suma; notación sumatoria el área como limite de una suma el esquema general de aproximación notación sumatoria el área de las formulas sumatorias las sumas de Riemann y la integral definida sumas de Riemann la integral definida el área como integral la distancia como integral la distancia como integral el teorema fundamental del calculo: integración por cambio de variable el teorema fundamental del calculo cambio de variable en una integral indefinida cambio de variable en una integral definida introducción a las ecuaciones diferenciales Introducción y terminología ecuaciones diferenciales de variables separadas 315

4 trayectorias ortogonales flujo de un fluido a través de un orificio velocidad de escalpe de un proyectil el teorema del valor medio del calculo integral; valor medio el teorema del valor medio del calculo integral valor medio de una función limites de integración variables regla de Leibniz 4.6. integración numérica: la regla del trapecio y la de Simpson aproximación por rectángulos regla del trapecio la regla de Simpson Estimación del error área comprendida entre dos curvas área comprendida entre dos curvas el área por bandas verticales el área por bandas horizontales dos aplicaciones a la economía Funciones exponenciales, logarítmicas y trigométricos inversas funciones exponenciales; el numero e funciones exponenciales la base natural e interés compuesto funciones inversas, logaritmos funciones inversas criterios para la existencia de la función inversa f grafica de f la función logarítmica el logaritmo natural derivadas de funciones en ex y ln x derivadas de funciones logarítmicas naturales derivadas de funciones exponenciales derivación logarítmica aplicaciones de las derivadas de ex y ln x dibujo de curvas optimización cálculo de limites por logaritmos y regla de I Hopital integrales de funciones en ex y ln x integración de ex y ln x integración de funciones en tg x y cotg x funciones trigonométricas inversa definición funciones trigonométricas inversa propiedades de las funciones trigonométricas inversa derivadas e integrales de funciones trigonométricas inversa punto de vista alternativo: el logaritmo como integral defección el logaritmo natural como integral interpretación geométrica el logaritmo natural la función exponencial natural Otras aplicaciones de la integral 421

5 6.1. Volúmenes: discos, arandelas y laminas el método de las secciones volúmenes de sólidos de revolución: discos y arandelas el método de las aminas cilíndricas longitudes y áreas longitud de u arco de curva área de una superficie de revolución aplicaciones físicas: trabajo, fuerza hidrostática y centros de gravedad trabajo presión y fuerza hidrostática centro de gravedad y momento de una región plana el teorema de Pappus del volumen crecimiento, desintegración y ecuaciones diferenciales lineales de primer orden desintegración radiactiva: datación por carbono crecimiento exponencial y logístico ecuaciones diferenciales lineales de primer orden aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden Métodos de integración repaso te integración por cambio de variable y por tablas repaso te integración por cambio de variable uso de las tablas de integrales cambios de variables trigonométricos integración por partes formula de integración por partes integración por partes reiterada integral definida por partes resolución de ecuaciones diferenciales por partes el método de las fracciones simples descomposición de las fracciones simples integración de funciones racionales cambio de variable y fracciones simples integrales trigonométricas racionales resumen de métodos de integración integrales impropias integrales con límites infinitos integrales con integrados no acotado las funciones hiperbólicas y sus inversas derivadas e integrales de funciones hiperbólicas funciones hiperbólicas inversas Series sucesiones y limites sucesiones limite de una sucesión sucesiones monótonas y acortadas introducción a las series definición de series

6 propiedades generales de las series series geométricas aplicaciones de las series geométricas el criterio de a integral: p-series criterio de divergencia series de términos no negativos; el tst de la integral p-series criterios de comparación criterio directo de comparación criterio de comparación por limite 8.5. criterios del cociente y de la raíz el criterio de la raíz resumen de criterios de convergencia para series de términos positivos y series de términos no negativos series alternadas, convergencia condicional y absoluta el criterio de Leibniz para series alternadas estimación del error en las series alternadas convergencia condicional y absoluta reordenación de series absolutamente convergentes series de potencias convergencia de una serie de potencias series de potencias en (x-c) derivación e integración termino a termino de unas serie de potencia series de Taylor y Maclaurin polinomios de Taylor y Maclaurin el teorema de Taylor series de Taylor y Maclaurin operaciones con series de series de Taylor y Maclaurin 610 A Teoremas de cada capitulo 623 B algunas demostraciones 643 C tablas de integrales 649 D soluciones a los problemas 659 Índice alfabético 705