Fíjate en el comportamiento de la función ( x ) = x toma valores cercanos a 2. ( ) 5

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1 UNIDAD 5: LÍMITES Y CONTINUIDAD. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Fíjte en el comportmiento de l unción ( x ) x 1 tom vlores cercnos. cundo x Si x se proxim, l unción tom vlores cercnos 5. Se escribe: x x ( ) 5 y decimos que 5 es el ite cundo x tiende de x 1. Se dice que L es el ite de un unción cundo x tiende ( x ), si l cercrse x cd vez más (pero x distinto de ), l dierenci L se hce tn pequeñ como se quier (es decir, se proxim L tnto como se quier). Se escribe: L Si un unción tiene ite en un punto, este ite es único. Gráicmente: si x se proxim se proxim L :. LÍMITES LATERALES. El comportmiento de un unción cundo x se proxim un vlor, NO siempre coincide si nos cercmos con vlores menores que (izquierd de ), o con vlores myores que (derech de ). Si x se proxim 1 por l izquierd, se proxim. Se escribe: Si x se proxim 1 por l derech, se proxim. Se escribe: Por tnto: Si x se proxim con vlores menores que, obtenemos el ite lterl por l izquierd de en. Si x se proxim con vlores myores que, obtenemos el ite lterl por l derech de en. Estos ites reciben el nombre de ites lterles de en. Propiedd: Un unción tiene ite en un punto si existen los ites lterles en dicho punto y demás coinciden, y recíprocmente. En cso contrrio, NO existe el ite en ese punto. Propiedd: El ite, si existe, es único. Deprtmento de Mtemátics 1 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

2 Ejemplo 1: Observ ls siguientes gráics y determin el ite de ls unciones en los puntos que se indicn: Solución: ) En x 0; En x 1; / 1 b) En x ; En x 0; x 0 Fíjte que en el prtdo b) l unción NO está deinid en x 0 pero esto no impide l existenci del ite en x 0. x 4 si x x si x x si x 4 y determin su ite en x 1, x, x y x 4. Ejemplo : Represent l unción: Solución: [, 1] ( 1,) (,4] En x 1; En x ; x 1 x 1 x x / x 1 x 1 En x ; Sólo existe 1 x (No es posible cercrse por su izquierd ). En x 4; Sólo existe (No es posible cercrse 4 por su derech ). x 4 Deprtmento de Mtemátics Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

3 . LÍMITES INFINITOS. Observ ls siguientes unciones: Se dice que un unción tiene ite cundo x tiende, si l proximrse x los vlores de se hcen tn grndes como se quier (myores que un cierto número rel k preijdo). Se escribe: Se dice que un unción tiene ite cundo x tiende, si l proximrse x los vlores de se hcen tn pequeños como se quier (menores que un cierto número rel k preijdo). Se escribe: Observ: Tmbién puede ocurrir que NO exist el ite: x x x x / x x / x 4. LÍMITES EN EL INFINITO. Observ l gráic de l siguiente unción: x x Se dice que L es el ite de un unción cundo x tiende hci más ininito x se proxim L tnto como se quier cundo x tom vlores ( x ), si ( ) suicientemente grndes (es decir, l dierenci L se hce tn pequeñ como se quier si x tom vlores myores que un cierto número rel k preijdo). Se escribe: x x ( ) L Deprtmento de Mtemátics Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

4 Se dice que L es el ite de un unción cundo x tiende hci menos x se proxim L tnto como se quier cundo x tom vlores ininito ( ) x, si ( ) suicientemente pequeños (es decir, l dierenci L se hce tn pequeñ como se quier si x tom vlores menores que un cierto número rel k preijdo). Se escribe: x x ( ) L x L Tmbién puede suceder que si x ó x como puedes observr en ls siguientes igurs: ( ), x L x entonces o bien x x x x Igulmente puede ocurrir que no exist el ite como ocurre con senx. Por qué? Ejemplo: Fíjte en ls gráics y en el cálculo de los siguientes ites: ) Dom ( ) R Rec ( ) R x b) Dom ( ) R { 1, 1} ; Re ( ) R [ 1, 0) x x x 4 x 4 ( ) / x 4 Observ que, sin embrgo, ( 1) 1 c c) ( g) R {} Dom ; Re c ( g) ( 0, ) 1 1 g 0 x x x / / g 4 x g x g Deprtmento de Mtemátics 4 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

5 5. CÁLCULO DE LÍMITES. El cálculo de un ite prtir de l gráic de un unción es un tre ácil. Bst con observr con tención dich gráic. Sin embrgo no siempre se dispondrá de ell por lo que hbrá que recurrir su expresión lgebric. No obstnte, el cálculo nlítico del ite de un unción puede ser ácil de obtener, o bien dr lugr un indeterminción que se debe resolver del modo decudo. Propieddes: Entonces: Si L y g M x x ) [ ± g ] L ± M b) g L M x L c) 0 g M x ( Si M ) x x g L M d ) NOTA: Si L y/o M son ites ininitos ó M0, pueden precer indeterminciones en ls expresiones nteriores. Se resolverán de un modo especíico. Csos de indeterminción: k 0 ) 0 b ) 0 ) c d ) [ ] ) [ 0 ] e ) [ ] 1 ) 0 g [ ] ) Recordemos en l pizrr, de un modo práctico, el cálculo de ites con diversos ejemplos. h [ 0 ] 6. ASÍNTOTAS. Rms ininits: Trmos de l curv que se lejn indeinidmente del origen de coordends. Asíntot: Rect l que se ciñe (proxim) un rm ininit (l distnci entre l rect y l curv tiende cero). Rm sintótic: Rm ininit que se ciñe un síntot. 6.1 RAMAS INFINITAS EN x. ASÍNTOTAS VERTICALES. Si x ó x ( ) y/o ( ) ó entonces l unción tiene un rm ininit por l derech o por l izquierd (o por ls dos), y l rect x es un síntot verticl. Situción de l curv respecto l síntot: (x) (x) x x Deprtmento de Mtemátics 5 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

6 Observción: P Si ( ) x rcionl, los cndidtos síntots verticles son los vlores de x que Q nuln el denomindor. Un unción puede tener ininits síntots verticles. Ejemplo 1: Clcul ls síntots verticles de ls siguientes unciones: 5 x x x 6 x 4 ) b ) c ) d ) x x x x x 4 x 4 Ejemplo : Cuánts síntots verticles tiene l unción? x 16 (L Rioj. Junio 1998) 6. RAMAS INFINITAS CUANDO x (ó x ). Se pueden presentr tres csos: ) ASÍNTOTAS HORIZONTALES. Si x x ( ) b ( b R) entonces l unción tiene un rm ininit cundo x y l rect y b es un síntot horizontl en. Situción de l curv respecto de l síntot: Estudimos el signo de b pr vlores grndes de x : Si b > 0 curv por encim de l síntot. Si b < 0 curv por debjo de l síntot. b > 0 b < 0 Análogmente si x. Observciones: Un unción tendrá, lo sumo, dos síntots horizontles, un en y otr en. P Si ( ) x es un cociente de polinomios, l unción tendrá l mism síntot Q horizontl en y en. Será necesrio que Grdo P GrdoQ. Ejemplo: Clcul ls síntots horizontles de ls siguientes unciones: x 1 x 4 ) x b ) c ) x x x 1 x x 1 x Deprtmento de Mtemátics 6 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

7 b) ASÍNTOTAS OBLICUAS. Si x [ ( mx n) ] 0 entonces l unción tiene un rm ininit cundo x y l rect y mx n es un síntot oblicu en. Pr clculrl: m n [ mx] x x x Situción de l curv respecto de l síntot: Estudimos el signo de ( mx n) pr vlores grndes de x : Si ( mx n) > 0 curv por encim de l síntot. Si ( mx n) < 0 curv por debjo de l síntot. ( mx n) > 0 ( mx n) < 0 Análogmente si x. Observciones: P Si ( ) x es un cociente de polinomios, l unción tendrá síntot oblicu si Q Grdo P Grdo Q 1. En este cso, l síntot oblicu se podrá obtener como el cociente de l división de polinomios. Un unción tendrá, lo sumo, dos síntots oblicus, un en y otr en. Si hy síntot horizontl No hy síntot oblicu y vicevers. Ejemplo: Clcul ls síntots oblicus de ls siguientes unciones: x 5x 4x x 1 ) b ) x 4 x 1 c) RAMAS PARABÓLICAS (en unciones rcionles). Si Grdo P Grdo Q entonces hy un rm prbólic hci rrib o P P hci bjo dependiendo de que ó respectivmente. x Q x x Q x ( ) ( ) x Análogmente si x. x Ejemplo: Estudi si ls siguientes unciones tienen rms prbólics: 5 x 5x x x 1 ) b ) x x Deprtmento de Mtemátics 7 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

8 7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. 7.1 CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. Un unción es continu en si ( ) Est deinición implic que se cumpln tres condiciones: Si no se cumple lgun de ests tres condiciones, diremos que l unción es discontinu en. 7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO. es continu en (, b) si lo es en todo punto de ese intervlo. es continu en [, b] si es continu en (, b) y, demás, es continu por l derech en y por l izquierd en b. Not: 1) Existe ( ) ) Existe ) ( ) es continu por l derech en si ( ). es continu por l izquierd en b si ( b) 7. TIPOS DE DISCONTINUIDADES. ) Discontinuidd inevitble de slto inito: Present un slto en ese punto. Existen los ites lterles y son initos, pero distintos. x b (Es decir, Dom( ).) y es inito. (Es decir, 1) y ) coinciden)... b) Discontinuidd inevitble de slto ininito: Tiene rms ininits en ese punto Uno o los dos ites lterles son ininitos. c) Discontinuidd evitble: Tiene ese punto desplzdo o bien le lt ese punto. x. En este cso existe ( ), pero no coincide con ( ), o bien no existe ( ) Deprtmento de Mtemátics 8 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

9 Propiedd: Si y g son unciones continus en, ls siguientes unciones tmbién son continus en : ) ± g b) g c) k g k R d ) / g si g( ) 0 e) o g Ls unciones polinómics, rcionles, irrcionles, exponenciles, logrítmics, trigonométrics y sus compuests, son continus en su dominio de deinición. Ejemplo 1: Estudir l continuidd de l unción Representrl gráicmente. x 11 x 1 x si si si x < x x > Ejemplo : Determine el vlor de y b pr que (Ctluñ. Junio 007) Ejemplo : Hlle el vlor de k pr que 4x si x x 5 si x < 1 se continu. bx si x 1 x 8 si x x se continu en x. k si x (L Rioj. Septiembre 006) Deprtmento de Mtemátics 9 Bloque II: Análisis de Funciones Proesor: Rmón Lorente Nvrro

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