TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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1 3. LÍMITES COLEGIO RAIMUNDO LULIO Frnciscnos T.O.R. Cód TEMA 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES Dfinición: S dic qu l límit d l función f s igul L, cundo tind, si cundo s proim, f s proim L, sin importrnos qu ocurr cundo vlg y s scrib: lim f L Mtmáticmnt: lim f L / si - f - L Obsrvción: Culquir límit s válido hst qu no m dmustr lo contrrio, s dcir, pr clculr culquir límit sigo SIEMPRE los siguints psos:. Sustituyo l vlor n l lugr d l vribl. El vlor f pud sr: lim f f - Un númro finito, ntoncs s s l vlor d mi límit - Un indtrminción: k Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: d 9

2 Frnciscnos T.O.R. Cód Indtrmincions:. Númro rl prtido d : k -> Clculmos los límits ltrls pr sbr l signo pusto qu y sbmos priori qu l solución s. En st cso l límit pud sr o no tnr límit. Ejmplo: lim Indtrminción Tnmos qu clculr los límits ltrls: lim lim L dmos un vlor l izquird dl por jmplo l pr sbr l signo d L dmos un vlor l drch dl por jmplo l pr sbr l signo d Como los límits ltrls no coincidn no ist límit, s dcir, no ist lim Indtrminción Clculmos límits ltrls lim Como los límits ltrls coincidn tnmos qu lim lim Igul ocurr si los límits ltrls son los dos unqu n st cso l límit srí.. Infinito prtido d infinito: - Por comprción d infinitos sgún l grdo d numrdor y dnomindor: o Si s myor l grdo dl numrdor rsultdo infinito o Si s myor l grdo dl dnomindor rsultdo cro o Si son iguls los grdos s l división d los coficints d myor grdo dl numrdor ntr dnomindor - Si s trt d funcions potncils dividimos todos los sumdos por l lvd myor ponnt dl dnomindor. Si son funcions ponncils dividimos por l ponncil d myor bs. - Si l numrdor o dnomindor no son funcions polinómics, nos prguntmos Qué función crc más rápido? o Si l numrdor crc más rápido qu l dnomindor rsultdo infinito o Si dnomindor crc más rápido qu l numrdor rsultdo cro lim Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: d 9

3 Frnciscnos T.O.R. Cód CRECIMIENTO DE FUNCIONES DE MAYOR A MENOR: o EXPONENCIALES >: Cuánto myor s l bs más rápido crc. o POTENCIALES: Cuánto myor s l ponnt más rápido crc. o LOGARÍTMICA log > : o EXPONENCIALES: < o LOGARÍTMICA log < 3. Infinito mnos infinito: - Por comprción d infinitos: En funcions polinómics pud l infinito d l prt con myor grdo. - Con funcions rcionls: Rducimos común dnomindor y obtnmos - Con funcions irrcionls: Multiplicmos y dividimos por l conjugdo. 4. Cro prtido d cro: - Función rcionl sin rdicls: S dscompon n fctors los polinomios y s simplific d frcción. - Función rcionl con rdicls: Multiplicmos numrdor y dnomindor por l conjugdo d l prsión irrcionl. sin - Por infinitésimos: tg cos Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 3 d 9

4 Frnciscnos T.O.R. Cód Cro por infinito: - S trnsform n un indtrminción dl tipo: ó d l siguint form: g f lim f g lim f g 4 3 Ejmplo: lim 7 Trnsformmos nustr indtrminción un dl tipo plicndo l fórmul ntrior: lim lim lim lim lim Uno lvdo infinito: g - Aprc cundo lim f - S rsulv trnsformndo l prsión ntrior n un potnci dl númro pusto qu: lim F F si lim F lim f - Así, n nustro cso, nos qud: lim f g lim F F G Lim f g Obsrvción: Est fórmul tmbién s válid si l vribl tind - o un númro rl. Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 4 d 9

5 Frnciscnos T.O.R. Cód Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 5 d 9 Ejmplo: lim Aplicmos dirctmnt l fórmul: lim g f g Lim f 3 3 lim RECUERDA rsultdo s l rsultdo s l rsultdo s l si rsultdo s l si si si

6 Frnciscnos T.O.R. Cód ASINTOTAS: Asíntots vrticls A. V.: Lim f ntoncs A. V. n = - Clculmos l limit cundo ->, sindo los puntos fur dl dominio. Si no hy puntos fur dl dominio, ntoncs no hy síntots vrticls. - Pr qu hy síntot vrticl l rsultdo tin qu sr, n cso contrrio no hy síntot vrticl. Lim f k - Por lo gnrl, cundo clculmos llgmos l indtrminción dond tndrmos qu clculr los límits ltrls mirr últim hoj Asíntots horizontls A. H.: Lim f k ntoncs A. H. n y = - Clculmos l límit cundo ->, y pr qu hy síntot horizontl l rsultdo tin qu sr un númro. En cso contrrio, no hy síntot horizontl. - Por lo gnrl, cundo clculmos Lim f llgmos l indtrminción dond tndrmos qu comprr los grdos d polinomio dl numrdor y l polinomio dl dnomindor. Pusto qu, sólo tndrmos l cocint d dos polinomios minr últim hoj. Asíntot Oblicu A. O.: L A. O. vin dd por y= m + n dond: m n f númro f m númro - Si hy A. H. ntoncs no hy A. O. - Si lguno d los límits ntriors d como rsultdo, ntoncs no ist A. O. Ejmplo: Clculr ls síntots d ls siguints funcions: 3 f A.V.: - solución : A.H.: No hy A.O.: y - Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 6 d 9

7 Frnciscnos T.O.R. Cód b c 3 f 3 4 f A.V : - Solucion : A.H : y 3 A.O : No hy A.V : No hy Solución : A.H.: No hy A.O : y 4 Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 7 d 9

8 3.3 CONTINUIDAD: Dfinición: Un función f s continu n un punto o si s vrific: COLEGIO RAIMUNDO LULIO Frnciscnos T.O.R. Cód f. Lim f y s finito - 3. Lim f f - Obsrvción: Si no s cumpl lgun d sts trs condicions, dirmos qu f s discontinu n Continuidd ltr: Dfinición: Un función f s continu por l izquird n l punto si y sólo si s vrific lím f f o Dfinición: Un función f s continu por l drch n l punto si y sólo si s vrific lím f f o Tipos d discontinuidd Discontinuidd vitbl: f prsnt n un discontinuidd vitbl si prc lguno d los dos csos siguints: - Eist Lim f y s finito, pro no ist f, por lo qu s cumpl l condición pro - no s cumpl l condición. - Eist Lim f y s finito, y ist f, pro no coincidn. S cumpl, pus, ls dos - primrs condicions pro no s cumpl l condición 3. Discontinuidd invitbl d slto finito: Los límits ltrls istn y son finitos, pro sus vlors rspctivos no coincidn; por lo qu no s cumpl l condición. Discontinuidd invitbl d slto infinito: Los límits ltrls istn, pro, l mnos uno d llos s infinito; por lo qu no s cumpl l condición. Discontinuidd sncil: Alguno d los límits ltrls no ist, por lo qu no s cumpl l condición Obsrvción: Si no s cumpl l condición l discontinuidd s invitbl o sncil, n otro cso l discontinuidd s vitbl. Ejmplos:. Estudi l continuidd n l rct rl d l siguint función: si f 3 si. Comprub qu l función f cos s discontinu n = y dtrmin l tipo d discontinuidd. 3. Estudi l continuidd d l función 9 f n tod l rct rl 3 Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 8 d 9

9 Frnciscnos T.O.R. Cód Hll los puntos d discontinuidd d ls siguints funcions y dtrmin d qué tipo son: f 5 6 b 4 si f 3 si 5 5. Hllr l vlor qu db tnr y b pr qu l siguint función s continu n tod l rct rl: 5 si - f b si si 6. Hll l vlor qu db tnr k pr qu l función 4k f tng un discontinuidd vitbl n = Avd. d Sn Digo, Mdrid Tl: F: E-mil: 9 d 9

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