Límites y continuidad de funciones

Transcripción

1 Límites y continuidad de funciones 1

2 Definiciónde límite Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan los valores de la función cuando x se aproxima al valor de a. lím f(x) = b x a EJEMPLO: lím x 2 = 2 2 = 4 ya que si x 2 El valor de x se aproxima a 2: 1 9, 1 99, 1 999, El valor de f(x) se aproxima a 4: 3 96, 3 98, 3 99, El valor de x se aproxima a 2: 2 1, 2,01, 2,001, El valor de f(x) se aproxima a 4: 4 41, 4 04, 4 004, 2

3 Límiteslaterales En un límite vemos que x puede tender al valor de a tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2 1, 2 01, 2 001,2 0001, , 1 9, 1 99, 1 999, , , Se hace preciso distinguir ambos límites. LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L 1 x x o + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L 2 x x o -- Una función f tiene límite en un punto x o si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. 3

4 Límiteslaterales Ejemplo_1 x 4 Lím x 1 x 2 x y ,99 2,9802 0,999 2,9980 1? 1,001 3,0020 1,01 3,0202 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x 1 es 3 Pero también f(1) = (1 4)/(1 2)=3 Ejemplo_2 x 3 Lím x 3 x 2 9 x y ,999 0,1667 2,9999 0, ? 3,0001 0, ,001 0,1667 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x 3 es 1/6. Ahora f(3) <> 1/6 4

5 Ejemplo_1 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 7 x 2 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 5 x 2 - Ejemplo_2 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x 0 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 0 x y x x 5

6 Valor del límite y valor de la función EJEMPLO x 2 3.x + 2 f(x) = x 2 Sea la función de la izquierda. Si calculamos el límite en x=2 tenemos: Lím f(x) = Lím f(x) = 1 x 2+ x 2- Sin embargo en x=2 la función no existe, pues su dominio es: Dom f(x) = R {2} En x=2 la función presenta límite y vale 1, aunque no existe valor de la función.

7 EJEMPLO 2 2 y=1 y=x x+1, si x 1 f(x) = 1, si x > 1 Sea la función troceada de la izquierda: Si calculamos el límite en x=1 tenemos: Lím f(x) = 1 x 1+ Lím f(x) = 2 x 1- Al no ser iguales los límites laterales, en x = 1 la función no tiene límite. Sin embargo en x=1 la función existe y vale 2: f(1) = 1+1 = 2 En x=1 la función existe, pero no presenta límite. Matemáticas Aplicadas CS Angel Prieto Benito 7

8 EJEMPLO 3 Sea la función y = 4 x 2, si x<>1 0, si x=1 Si calculamos el límite en x=1 tenemos: Lím f(x) = = 3 x 1+ Lím f(x) = = 3 x 1- Al ser iguales los límites laterales, en x = 1 la función tiene límite y vale 3. Sin embargo en x=1 la función existe y vale 0: f(1) = 0 En x=1 la función existe, y el límite también, pero sus valores son distintos. f(1) <> lím f(x) x 1 y = x 2, si x<>1 0, si x=1 Matemáticas Aplicadas CS Angel Prieto Benito 8

9 EJEMPLO 4 Sea la función de la derecha: La podemos escribir también así: 4 ( 2 + x)/(x 2 ) = 1, si x >2 f(x) = (2 x)/(x 2 ) = 1, si x <2 Si calculamos el límite en x =2 tenemos: Lím f(x) = ( 2+ 2+)/(2+ 2 ) = 1 x 2+ Lím f(x) = ( 2+2-)/(2-2 ) = 1 x 2- Al no ser iguales los límites laterales, en x = 2 la función no tiene límite. Tampoco existe en x=2, pues no forma parte del dominio de la función x f(x) = x 2 9

10 LÍMITES LATERALES x 4, si x < 2 Función lineal Sea f(x) = 2, si x 2 Función constante Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=2 Límite por la izquierda de x=2 Lím f(x) = Lím (x 4) = 2 4 = 2 x 2- x 2 Límite por la derecha de x=2 Lím f(x) = lím 2 = 2 x 2+ x 2 El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego en x=2 existe dicho límite y vale

11 Límiteslaterales x 2 4, si x < 1 Función cuadrática Sea f(x) = x 2, si x 1 Función lineal Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=1 Límite por la izquierda de x=1 Lím f(x) = lím (x 2 4) = = 3 x 1- x 1 Límite por la derecha de x=1 Lím f(x) = lím (x 2) = 1 2 = 1 x 1+ x 1 El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=1 no existe límite de la función. 11

12 Límiteslaterales x 2, si x < - 1 Función lineal Sea f(x) = 1 / x, si x - 1 Función racional Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x = -1 Límite por la izquierda de x= -1 Lím f(x) = lím (x 2) = ( 1) 2 = 2 x -1- x -1 Límite por la derecha de x= -1 Lím f(x) = lím (1 / x) = 1 /( 1) = 1 x -1+ x -1 El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=-1 no existe límite de la función. Nota: En x=0, al no pertenecer al dominio, podría no haber límite. 12

13 Límiteslaterales Si lím (f(x) = p y lím g(x) = q x a x a a) El límite de una suma es la suma de los límites: lím (f(x) ± g(x)) = p+q x a b) El límite de una constante por una función es la constante por el límite de f: lím k.f(x) = k. p x a c) El límite de un producto o división es el producto o división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = p / q, excepto que q=0 x a d) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) q lím (f(x)) = p x a f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím log f(x) = log lím f(x) = log p x a b b x a b 13

14 Si lím f(x) = 5 y lím g(x) = 3, calcula: x 2 x 2 a) lím (f(x) + g(x)) = lím f(x) + lím g(x) = = 8 x 2 x 2 x 2 b) lím 7.f(x) = 7. lím f(x) = 7.5 = 35 x 2 x 2 c) lím [ f(x) / g(x) ] = [ lím f(x) / lím g(x) ] = (5 / 3) = 15 / 3 x 2 x 2 x 2 d) g(x) 3 lím (f(x)) = 5 = 125 x 2 Ejercicios f) lím log f(x) = log lím f(x) = log 5 = 1 / 2 x x a 25 Matemáticas Aplicadas CS I 14

15 LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO Si a es un número real, lím f(x) = + significa que cuando x tome valores x a muy próximos a a, a ambos lados, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define lím f(x) =. x a Si a es un número real, lím f(x) = + significa que cuando x tome valores x a+ muy próximos a a, pero mayores que a, los correspondientes valores de f se harán arbitrariamente grandes. De forma análoga se define lím f(x) = -. x a+ Y también lím f(x) = + o lím f(x) =. x a- x a-

16 LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO: Asíntotas verticales

17 Ejemplo 1 Asíntota Y Si representamos la función: x 3 f(x)= = x 3 x 3 Vemos que en x=3 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=3, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x o = x Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x o =3

18 Asíntota Ejemplo 1 Si representamos la función: x f(x)= x 2 Vemos que en x=2 la función no existe. Sin embargo existe en las proximidades de x=2, donde la gráfica tiende a juntarse con una recta vertical. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x o =2. Sin embargo, a la hora de dibujar la función, no es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x o =2

19 LIMITES en el INFINITO Asíntotas horizontales

20 Límites en el infinito El límite de una función f, cuando x tiende a ± oo, es L si para cualquier sucesión de valores de x que tienda a oo, el límite de la sucesión de las correspondientes imágenes es L. lím f(x) = L 1 lím f(x) = L 2 x +oo x oo En caso de existir límite en el infinito decimos que f presenta una asíntota horizontal. (O dos, si L 1 es distinto de L 2 ) Ejemplo f(x) = x / (x 3) Para x = 1000 y = 1000/997 = 1,003 Para x=10000 y = 10000/9997 = 1,0003 Para x = y = 1,00003 Está claro que por mucho que aumente la variable x, el valor de y cambia muy poco y además se acerca a y=1, aunque nunca llega.

21 Límites en el infinito Otro ejemplo y = x / (x 2 4) Para x = 1000 y = 1000/ = 0,001 Para x=10000 y = 10000/ = 0,0001 Para x = y = 0,00001 Para x = y = 0, Está ya claro que: Lím f(x) = 0 x + Si x toma valores negativos muy grandes, el valor de f(x) seguirá una sucesión de valores idéntica, aunque ahora negativos. Lím f(x) = 0 x La función presenta una recta asíntota horizontal que es y = 0. Si los dos límites hallados fueran de distinto valor, la función tendría dos asíntotas horizontales: y = L 1 e y = L 2 21

22 Ejemplo gráfico Y Lim f(x) = L 2 x -oo L 2 L 1 Lim f(x) = L 1 x +oo 0 X Matemáticas Aplicadas CS I 22

23 LEYES DE LOS LÍMITES Si 23

24 Cálculo de límites Una función polinómica, f(x)=p(x), es continua en todo su dominio, en R. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) x a EJEMPLOS Lím x 5 = 2 5 = 3 x 2 Lím x 2 + 3x = = 9+9 = 18 x 3 Lím 2x 3 +1 = 2(-1) = = -1 x (-1) Lím 5 + x 2 3x = = = 5 x 0

25 De cociente de funciones Una función racional, f(x)= P(x) / Q(x), es continua en todo su dominio, excepto en los puntos en que el denominador, Q(x), vale cero. Sin embargo, en dichos puntos la función puede tener límite, aunque sea discontinua. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a), simplificando la expresión. x a EJEMPLOS x 2 - x x. (x -1) Lím = Lím = Lím x 1 = 0 1 = - 1 x 0 x x 0 x x 0 x 2-9 (x + 3). (x 3) Lím = Lím = Lím x + 3 = 3+3 = 6 x 3 x 3 x 3 (x 3) x 3 25

26 Indeterminada [0 / 0] Sabemos que 0 / k = 0 siempre. Sabemos que k / 0 = oo siempre. Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. (x-a). C1(x) C2(x) Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím = Lím x a x a (x-a). C2(x) x a C2(x) Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre a es una raíz de los polinomios a factorizar. 26

27 Ejemplo 1 Ejemplo 1 x lím = = [---] = [ Factorizando por Rufinni ] x 2 x (x -2) (x 2 + 2x + 4 ) lím = = = 12 x 2 (x- 2) 1 1