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1 LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito. Utilizado las propiedades del álgebra de límites: E geeral, a a f k k E geeral: P a ( ) P( a) Límites e el ifiito. ( ) CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG Recuerda: TEOREMA DEL RESTO El valor umérico de u poliomio P() para a es igual al resto de dividir P() etre ( a). P(a) R ( ) El límite de ua fució poliómica P() cuado tiede hacia a (a ) es igual al valor umérico de P() para a. ( ) 5 5 (Idetermiació) Para resolver la idetermiació multiplicamos y dividimos el poliomio por el térmio de mayor grado: ( 5 ) 5 5 ( 5 ) 5 5 ( ) ( ) ( ) (Idetermiació) Para resolver la idetermiació multiplicamos y dividimos el poliomio por el térmio de mayor grado: ( 6 5 ) 6 5 ( 6 5) 5 5 ( ) 5 ( ) Repite este mismo procedimieto para calcular los mismos límites co. Podemos observar que estos límites se puede epresar como productos de dos factores. El primer factor es el térmio de mayor grado del poliomio. El segudo es u factor que tiee como límite uo. Por lo tato, podemos afirmas: El límite de ua fució poliómica e el ifiito ( ó ) es igual al límite del térmio de mayor grado. P a a a a P a P a

2 Y, cosecuetemete, el límite de ua fució poliómica e el ifiito será siempre ifiito, ó, depediedo del sigo del ifiito al que tieda la, del sigo del coeficiete del térmio de mayor grado a y de la paridad de. Calcula los siguietes límites: a) 5 c) 6 e) ( ) ( ) ( 5 ) g) ( 5 8) ( ) ( 6 ) ( 5 ) h) ( 5 8 ) b) 5 d) f) a) ( 5 ) ( ) b) ( 5 ) ( ) c) ( 6 ) ( ) d) ( 6 ) ( ) e) ( 5 ) ( ) f) ( 5 ) ( ) g) ( 5 8 ) ( 5 ) 5 5 h) ( 5 8 ) ( 5 ) 5 5 LÍMITES DE FUNCIONES RACIONALES Límites e u puto fiito. Aplicado las propiedades del álgebra de límites: 5 ( 5 ) 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 INDETERMINACIÓN Cuado os aparezca la idetermiació k tedremos que estudiar los límites laterales. Si éstos coicide, etoces el límite eiste y coicide co el valor de los límites laterales, pero, si los límites laterales so distitos, etoces el límite o eiste. Los límites laterales va a ser ifiitos, sólo os falta determiar su sigo. Para ello teemos dos formas de hacerlo: ) Co tablas de valores f() f(),5-5 5,5,9-9 5,, ,5 6, ,, ,5 6, , como los límites laterales so distitos, etoces o eiste dicho límite Ua opció más simple sería darle a la fució u valor muy próimo a 5 por la izquierda y otro muy próimo por la derecha y observar el sigo. CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG

3 ) Estudiado el sigo de la fució Puesto que sabemos que los límites laterales va a ser ifiitos, sólo os queda por determiar el sigo de cada uo de los límites laterales. Dicho sigo lo podemos obteer estudiado el sigo de la fució y observado qué sucede a la izquierda y a la derecha de 5. - Sigo ( ) - Sigo ( 5) 5 - Sigo 5 5 Por lo tato, como la fució a la izquierda de 5 es egativa, el límite por la izquierda será, y, como a la derecha de 5 la fució es positiva, el límite por la derecha será, y podemos afirmar, por ser los límites laterales distitos, que o eiste el límite de dicha fució cuado tiede a ( ) INDETERMINACIÓN ( ) ( ) Estudiamos los límites laterales (co el sigo de la fució) - Sigo ( ) - Sigo ( ) - Sigo ( ) - Por lo tato, ( ) ( ) ( ) INDETERMINACIÓN ( ) ( ) Estudiamos los límites laterales (co el sigo de la fució) - Sigo ( ) Sigo ( ) - - Sigo ( ) Por lo tato, ( ) ( ) CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG

4 Los límites ateriores (idetermiació k/) tambié puede resolverse matizado como es la covergecia a cero del deomiador: ( ) ( ) Utiliza algú programa iformático como Graphmatica o Derive para represetar las fucioes dadas y observar e la gráfica los resultados de los límites INDETERMINACIÓN Al ser los valores uméricos del umerador y del deomiador iguales a cero, es ua raíz de ambos poliomios y, por lo tato, ( ) es u factor tato del umerador como del deomiador. Para resolver dicha idetermiació debemos descompoer e factores dichos poliomios y simplificar el factor ( ) todas las veces que sea posible. De esta forma o volverá a salir la idetermiació /. 9 ( )( ) ( ) 8 8 INDETERMINACIÓN ( ) ( ) 8 6 ( ) ( ) ( ) INDETERMINACIÓN ( ) ( ) ( ) CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG

5 ( ) ( ) INDETERMINACIÓN Estudiamos los límites laterales (Estudiado el sigo o dádole valores muy próimos a, por la izquierda y por la derecha) y, por lo tato, Límites e el ifiito. 5 ( 5) INDETERMINACIÓN Aálogamete se procedería e el caso de ser : 5 ( ) 5 INDETERMINACIÓN 5 Para resolver esta idetermiació vamos a usar el mismo método que utilizamos para las fucioes poliómicas co la idetermiació, aplicádolo, por separado, tato al umerador como al deomiador: multiplicamos y dividimos por el térmio de mayor grado Aálogamete se procedería e el caso de ser : 5 5 CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG 5

6 ( ) 5 5 INDETERMINACIÓN Aálogamete se procedería e el caso de ser : 6 E este procedimieto se observa que este tipo de límites se reduce a realizar el producto de dos límites, el primero es el límite del cociete de los térmios de mayor grado del umerador y del deomiador, respectivamete, y, el segudo, siempre es igual a. Por lo tato se puede afirmar: El límite de ua fució racioal (cociete de dos poliomios) cuado los térmios de mayor grado del umerador y del deomiador ± es igual al límite del cociete de m P a a... a a a Q b b b b b m m m m m ± ±... ± A la vista de los ejemplos desarrollados, podemos afirmar: [ ] gr [ Q ] ± si gr P > (*) P a si gr [ P ] gr [ Q ] (**) ± Q b si gr [ P ] < gr [ Q ] Observacioes: (*) Se obtedrá o depediedo del sigo de a m y b, y de la paridad de m si. (**) a y b so los coeficietes de los térmios de mayor grado del umerador y del deomiador, respectivamete, e el caso de ser ambos poliomios del mismo grado (). CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG 6

7 Calcula, metalmete, los siguietes límites: 5 a) e) 5 b) f) c) d) 6 9 g) h) 6 5 i) j) k) l) LÍMITES DE FUNCIONES IRRACIONALES INDETERMINACIÓN E este caso multiplicamos el umerador y el deomiador por el cojugado del umerador. ( )( ) P Q P Q P Q 5 (*) (*) Idetermiació Se descompoe e factores el poliomio ( )( ) 9 5 ) INDETERMINACIÓN ( ( ) ( 9 5 )( 9 5 ) ( 9 5 ) ( 9 5 ) (*) (*) INDETERMINACIÓN Dividimos e este caso etre la potecia de de mayor epoete, pero teiedo e cueta que ( ) Tégase e cueta que para itroducir u factor e ua raíz, se eleva dicho factor al ídice de la raíz. a a a b a b b b CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG

8 CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES DEFINIDAS A INTERVALOS Dada la fució: si f si < 5 si > se pide: a) Estudia los límites de f e:,,,,,,. b) Dibuja su gráfica y observa los límites hallados. Idica su domiio, recorrido e itervalos de crecimieto y decrecimieto. a) Teiedo e cueta: f ( ) f f 5 < < < > f f E hay que estudiar los límites laterales: f < > f f f E estudiamos los límites laterales: f f f 5 f b) Gráfica Observa e la gráfica todos los límites hallados. Dom f R Rec f (,) Mootoía:, estrictamete creciete (, ) estrictamete decreciete (, ) estrictamete creciete Está acotada superiormete por el No está acotada iferiormete No tiee máimo i míimo f CÁLCULO DE LÍMITES I.E.S. Miguel de Cervates Departameto de Matemáticas GBG 8

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