f cuando x toma valores cercanos a 2. Si x se aproxima a 2, la función toma valores cercanos a 5. Se escribe: ( ) 5
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- Carolina Espinoza Benítez
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1 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II UNIDAD LÍMITES Y CONTINUIDAD INTRODUCCIÓN Fíjt l comportmito d l fució ( f cudo tom vlors crcos Si s proim, l fució tom vlors crcos S scrib: f y dcimos qu s l it cudo tid d f Tmbié s fácil vr qu: f y f Obsrv hor, co tció, stos otros jmplos: f Dom ( f R \{ } Rc ( f R \{ } Si mbrgo, qué vlor tom? Estudimos los its ltrls: Como / (No ist l it Por otro ldo: y b f Dom ( f R \{ } Rc ( f (, Eist st cso? c f ( Dom ( f [, Rc ( f [, / (Tmpoco ist los its ltrls Tmpoco ist l it y qu los its ltrls ist pro o coicid: f / / f f No obstt Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
2 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II LÍMITES EN EL INFINITO COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN CUANDO Cómo s comport f ( cudo? Pud prstrs cutro csos: º Qu f ( crzc cd vz más si igu cot f ( M R K R tl qu si > K f > M º Qu los vlors d f ( s hg cd vz más pquños y gtivos f ( M R K R tl qu si > K f < M º Qu los vlors d f ( s proim u úmro l ε > K R f l tl qu si > K f l < ε º Qu f ( o prst tdci lgu E st cso / f ( como f s f ( lε, l ε Obsrvció: Ls dfiicios triors so dfiicios formls d its No s tr fácil l comprsió y uso d ésts, por lo qu mplrmos l frs ituitiv qu os proporcio cd cso juto co su gráfic corrspodit Tmbié tdrmos cut st obsrvció l prtdo y l puto COMPORTAMIENTO DE UNA FUNCIÓN CUANDO Cómo s comport f ( cudo? D uvo pud prstrs cutro csos: º Qu f ( crzc cd vz más si igu cot f ( M R K R tl qu si < K f > M º Qu los vlors d f ( s hg cd vz más pquños y gtivos f ( M R K R tl qu si < K f < M º Qu los vlors d f ( s proim u úmro l ε > K R f l tl qu si < K f l < ε º Qu f ( o prst tdci lgu E st cso / f ( como f cos f ( lε, l ε Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
3 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Cómo s comport f ( cudo? Pud prstrs cutro csos: º Qu f ( crzc cd vz más si igu cot M R δ > f ( tl qu si < < δ ( δ, δ f > M Esto implic l istci d los its ltrls y su iguldd, y dpdido d si s crc co vlors más pquños o bi más grds qu tmos: Límit ltrl por l izquird : f ( M R δ > tl qu si δ, f > M Límit ltrl por l drch : f ( M R δ > tl qu si, δ f > M º Qu los vlors d f ( s hg cd vz más pquños y gtivos f ( M R δ > tl qu si < < δ ( δ, δ D uvo, sto implic l istci d los its ltrls y su iguldd: f ( M R δ > tl qu si δ, f < M f < M f ( (, f ( M M R δ > tl qu si δ < º Qu los vlors d f ( s proim u úmro l ε > δ > f l tl qu si < < δ f l < ε ( δ, δ f ( lε, l ε Esto implic l istci d los its ltrls y su iguldd: f l ε > δ > tl qu si δ, f l < ( ε f l ε > δ > tl qu si (, δ f l < ε º Qu f ( o tg it s puto dbido qu los its ltrls o coicid o bi qu lguo d llos o ist E st cso / f ( como f Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
4 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Propidd: U fució ti it u puto si ist los its ltrls dicho puto y dmás coicid, y rcíprocmt E cso cotrrio, NO ist l it s puto El it, si ist, s úico Ejmplo: Fíjt ls gráfics y l cálculo d los siguits its: Dom ( f R Rc ( f R f f b ( f R Dom \{, } ; R ( f R c \[, f / f f f c (g R f f Obsrv qu, si mbrgo, f Dom \{ }; R c ( g (, f f g / f / f g g g CÁLCULO DE LÍMITES El cálculo d u it prtir d l gráfic d u fució s u tr fácil, bst co obsrvr co tció dich gráfic Si mbrgo o simpr s dispodrá d ll por lo qu hbrá qu rcurrir su prsió lgbric No obstt, l cálculo lítico dl it d u fució pud sr fácil d obtr, o bi dr lugr u idtrmició qu s db rsolvr dl modo dcudo Propidds: Si f L y g M Etocs: f [ ± g ] L ± M b f g L M f L c g M ( Si M g L M d f NOTA: Si L y/o M so its ifiitos ó M, pud prcr idtrmicios ls prsios triors S rsolvrá d u modo spcífico Csos d idtrmició: k b c d [ ] [ ] f [ ] g [ ] h [ ] Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
5 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Cálculo d its cudo Csos imditos S obti l it clculdo (, Ejmplos: 9 b ( f s dcir, f f ( d / g k ( 9 l / b Cocit d poliomios P Objtivo: clculr Q Cso º Q( Sigu sido u cso imdito sido m c f h P y l ( cos cos l i / j / / Q fucios poliómics Ejmplos: 8 9 b k Cso º P ( y Q( Idtrmició S rsulv obtido l vlor d los its ltrls Ejmplos: Idtrmició Límits ltrls: / Cso º P ( y Q( Idtrmició S rsulv fctorizdo l umrdor y l domidor b ( Idtrmició Límits ltrls: ( ( Ejmplos: Idtrmició b Idtrmició Fctorizdo: Fctorizdo: c Fctorizdo: Idtrmició Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
6 IES Pdr Povd (Gudi ( ( ( ( Idtrmició Límits ltrls: / / Mtmátics II c Cálculo d its d fucios dfiids trozos Ejmplo: Hllr los its ltrls d l fució E E f f ( f E f ( si < f si <, y / si ( ( / f f Cálculo d its cudo Csos imditos E l cso d fucios poliómics tdrmos cut l sigo dl coficit dl térmio d myor grdo Ejmplos: Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd ( b ( c ( ( f d g / b Cocit d poliomios Surg l idtrmició umrdor y dl domidor b m m b b Ejmplos: d f S rsulv lizdo los térmios d myor grdo dl ó b m si > m, si si b m < m y b m >, o bi, < c b f m
7 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd Cálculo d its cudo Tdrmos cut qu: f f y clculrmos l it d l prsió rsultt Ejmplos: b c Límits d fucios irrciols Idtrmició S rsulv multiplicdo y dividido l fució por l prsió rdicl cojugd Ejmplos: Idtrmició b Idtrmició c Idtrmició d Idtrmició Idt S divid por l umrdor y l domidor:
8 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Dprtmto d Mtmátics 8 Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd Idtrmició 9 f Idtrmició S ps u it : Idtrmició / / S rsulv st idtrmició dividido umrdor y domidor por : g Idtrmició [ ] [ ] / / / / S rsulv st idtrmició dividido umrdor y domidor por : Idtrmició y otros csos d S opr prvimt y psmos u cso d idtrmició coocido tipo ó
9 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Dprtmto d Mtmátics 9 Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd Ejmplos: Idtrmició b Idtrmició c Idtrmició 8 9 d Idtrmició : Idtrmició Auqu o s u idtrmició dl tipo qu stmos studido, tmbié s rsulv oprdo: : Idtrmició Pr rsolvrl tdrmos cut qu: Si f y g (y s o bi tocs: [ ] f g g f Ejmplos: Idtrmició
10 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd Otr form d rsolvr st idtrmició: S bs qu L id s buscr st structur ustro it: º S sum y s rst l bs: º S opr l bs iicil co -: / / º S csit u l umrdor dl sgudo sumdo d l bs: º S busc tr l pot l mism prsió qu l domidor: b Idtrmició c Idtrmició d Idtrmició D uvo tmos u idtrmició Itt llgr stos rsultdos usdo l método ltrtivo plicdo l prtdo Obsrvció: Pr rsolvr idtrmicios dl tipo ó s muy útil tomr logritmos y postriormt usr l Rgl d L Hôpitl qu vrmos l uidd d drivció
11 IES Pdr Povd (Gudi Comprció d ifiitos: Si f ± g y ± tocs dcimos qu f suprior qu g si: f g ±, o bi g f Escl d ifiitos: Mtmátics II s u ifiito d ord Logritmos co > < Potcis (d mor myor pot < Epocils co > Es dcir: Ord log < Ord < Ord > Ejmplos: log log b c log log d f g ( ( l l h i ( 8 Ifiitésimos quivlts: Dcimos qu f s u ifiitésimo si f f Dos ifiitésimos f y g so quivlts si g Etocs scribirmos f ~ g Ifiitésimos quivlts más usuls : s ~ tg ~ ~ cos ~ l ( ~ Ests quivlcis tmbié so cirts si sustituimos por h co h Los ifiitésimos quivlts so muy importts y qu l cálculo d its s pud sustituir u ifiitésimo por su quivlt, simpr qu przc multiplicdo o dividido Ejmplos: s Id distitos / y qu los its ltrls so cos b c ( l tg Id Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
12 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II ASÍNTOTAS D modo iforml podmos dfiir los siguits cocptos: Rms ifiits: Trmos d l curv qu s lj idfiidmt dl orig d coordds Asítot: Rct l qu s ciñ (proim u rm ifiit Rm sitótic: Rm ifiit qu s ciñ u sítot RAMAS INFINITAS EN ASÍNTOTAS VERTICALES Si f ó f ó y/o tocs l fució ti u rm ifiit por l drch o por l izquird (o por ls dos, y l rct s u sítot vrticl Situció d l curv rspcto l sítot: f ( f ( f f f f Obsrvcios: P Si f rciol, los cdidtos sítots vrticls so los vlors d Q qu ul l domidor U fució pud tr ifiits sítots vrticls Ejmplo : Clcul ls sítots vrticls d ls siguits fucios: f b f f d Ejmplo : Cuáts sítots vrticls ti l fució RAMAS INFINITAS CUANDO (ó S pud prstr trs csos: c f f? ASÍNTOTAS HORIZONTALES Si f b ( b R tocs l fució f ti u rm ifiit cudo y l rct y b s u sítot horizotl Situció d l curv rspcto d l sítot: Estudimos l sigo d f b pr vlors grds d (s dcir, si : Si f b > curv por cim d l sítot Si f b < curv por dbjo d l sítot Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
13 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II f b > f b < Aálogmt si Obsrvcios: U fució tdrá, lo sumo, dos sítots horizotls, u y otr P Si f s u cocit d poliomios, l fució tdrá l mism sítot Q horizotl y Srá csrio qu Grdo P GrdoQ Ejmplo: Clcul ls sítots horizotls d ls siguits fucios: f b f c f b ASÍNTOTAS OBLICUAS Si [ f ( m ] tocs l fució f ti u rm ifiit cudo y l rct y m s u sítot oblicu Pr clculrl: m f [ f m] Situció d l curv rspcto d l sítot: Estudimos l sigo d f ( m pr vlors grds d (si : Si f ( m > curv por cim d l sítot Si f ( m < curv por dbjo d l sítot f ( m > f ( m < Aálogmt si Obsrvcios: P Si f s u cocit d poliomios, l fució tdrá sítot oblicu si Q Grdo P Grdo Q L sítot oblicu srá l cocit obtido l fctur l divisió d poliomios trior U fució tdrá, lo sumo, dos sítots oblicus, u y otr Si hy sítot horizotl No hy sítot oblicu y vicvrs Ejmplo : Clcul ls sítots oblicus d ls siguits fucios: f b f p Ejmplo : L fució f ti como sítot oblicu l rct d cució y Dtrmi l vlor d p y studi si l gráfic d l fució cort l sítot Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
14 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II c RAMAS PARABÓLICAS ( fucios rciols Si Grdo P Grdo Q tocs hy u rm prbólic hci rrib o P P hci bjo dpdido d qu ó rspctivmt Q Q f Aálogmt si f Ejmplo: Estudi si ls siguits fucios ti rms prbólics: f b f CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO U fució f s cotiu si f f ( Est dfiició implic qu s cumpl trs codicios: Eist ( Eist f f f ( f (Es dcir, Dom( f y s fiito (Es dcir, y coicid Si o s cumpl lgu d sts trs codicios, dirmos qu l fució s discotiu CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO f s cotiu (, b si lo s todo puto d s itrvlo f s cotiu [, b] si s cotiu (, b y, dmás, s cotiu por l drch y por l izquird b Not: f s cotiu por l drch si f f ( f s cotiu por l izquird b si f f ( b b TIPOS DE DISCONTINUIDADES Discotiuidd ivitbl d slto fiito: Prst u slto s puto Eist los its ltrls y so fiitos, pro distitos si Ejmplo: f Dom ( f R si > f f / f y qu f Discotiuidd ivitbl d slto fiito Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
15 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II b Discotiuidd ivitbl d slto ifiito: Ti rms ifiits s puto Uo o los dos its ltrls so ifiitos Ejmplo: f Dom ( f R \{ } c Discotiuidd vitbl: E st cso ist f dsplzdo, o bi o ist ( f ( Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd / f / f y qu f Discotiuidd ivitbl d slto ifiito, pro o coicid co f ( (ti s puto f (L flt s puto Ejmplo: (Ti s puto dsplzdo si f si Dom ( f R E st cso: f Ejmplo: (L flt s puto f y tmbié Si mbrgo, f f ( Est fució ti u discotiuidd vitbl y s vit rdfiido f f Dom ( f R \{ } Fíjt qu: / f ( (L fució o stá dfiid f y qu: ( Est fució ti u discotiuidd vitbl y s vit dfiido f d Discotiuidd scil: Alguo d los its ltrls o ist Ejmplo: f s Dom ( f R \{ } Obsrv qu: / f ( (L fució o stá dfiid / f / f y qu: / f f ti u discotiuidd scil Propidd: Si f y g so fucios cotius, ls siguits fucios tmbié so cotius : f ± g b f g c k g k R d f / g si g( f o g Ls fucios poliómics, rciols, irrciols, pocils, logrítmics, trigoométrics y sus compusts, so cotius su domiio d dfiició
16 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II Ejmplo : Estudir l cotiuidd d sts fucios los putos qu s idic: si < si < f si b f si l( si > si > y Ejmplo : Dtrmi los vlors d y b pr qu ls siguits fucios s cotius si cos si f si < b f ( si < < b si > b / si Ejmplo : Clcul los vlors d m y sbido qu l fució f pos m u discotiuidd vitbl FUNCIONES CONTINUAS EN UN INTERVALO TEOREMA DE BOLZANO TEOREMA DE WEIERSTRASS Torm d Bolzo: Si u fució f s cotiu u itrvlo crrdo[, b] y Sigo( f ( Sigo( f ( b, tocs ist l mos c (, b tl qu f ( c Ejmplo: Probr qu l fució f ti, l mos, u ríz rl y loclizrl tr dos vlors tros coscutivos Los dos siguits torms so importts coscucis dl Torm d Bolzo: Torm d los vlors itrmdios (Drbou: Si u fució f s cotiu u itrvlo crrdo[, b] y k s u úmro comprdido tr f ( y f (b, tocs ist l c, b tl qu f ( c k mos Es dcir, l fució f tom todos los vlors itrmdios tr f ( y f (b Ejmplo: Dd l fució f, s pud firmr qu ist l mos tl qu f ( c? Rzo l rspust u puto c l itrvlo [,] Torm sobr gráfics qu s cort: S f y g dos fucios cotius u itrvlo crrdo[, b] tls qu f ( < g( y f ( b > g( b, tocs ist l mos c, b tl qu f ( c g( c Es dcir, ist u puto l qu ls gráfics s cort, o dicho d otro modo, ist u puto l qu ls dos fucios tom l mismo vlor Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
17 IES Pdr Povd (Gudi Ejmplo: Probr qu ls gráfics d f loclízlo tr dos úmros tros ( l y g Mtmátics II s cort u puto y Torm d cotció: Si u fució f s cotiu u itrvlo crrdo[, b], tocs stá cotd [, b] Torm d Wirstrss: Si u fució f s cotiu u itrvlo crrdo[, b], tocs f lcz sus vlors máimo y míimo bsolutos [, b] Es dcir, f stá cotd y ist c d [, b] f ( c f f ( d [, b], tls qu Ejmplo: Idic si l fució f l stá cotd [, ], y si lcz sus vlors máimo y míimo bsolutos dicho itrvlo E cso firmtivo dibújl y locliz stos putos Dprtmto d Mtmátics Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
18 IES Pdr Povd (Gudi Mtmátics II 8 ANEXOS 8 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE BOLZANO Supogmos qu f ( < < f ( b b S Si f ( S tom c y hmos cbdo E cso cotrrio: Si f ( > S tom [, b ] co ; f < < f Si f ( < S tom [, b ] co ; b b f < < f Rpito l procso co b Si ( b ( ( b ( ( b f S tom c y hmos cbdo E cso cotrrio obtgo, d l mism form trior, [ ] co f ( < < f, b Ritrdo l procso, obtmos u sucsió d itrvlos cjdos: K b, b, b K, b, b b [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ b],, b tls qu f ( i < < f ( b i y diámtro [, b ] ( E sts codicios, l Torm d los Itrvlos Ecjdos d Ctor os dic qu: I Nos qud comprobr qu f ( c Supogmos qu o s cirto y qu f ( c > [, b ] {} c Por sr f cotiu c, l Lm d Cosrvció dl Sigo os dic qu: ε > co > c ε, c ε f pr cd Pro por ( podmos cotrr cotrdicció co f ( < f < b Ν co [, b ] ( c ε c ε lo qu s u, Por tto f ( c 8 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE LOS VALORES INTERMEDIOS (DARBOUX S dfi g f k Supogmos qu f ( < k < f ( b ( cso cotrrio s hrí álogmt f s cotiu [, b] g s cotiu [, b] g( f ( k < Torm Admás, c (, b tl qu g ( c g( b f ( b k > Bolzo Pro g ( c f ( c k f ( c k f ( c k 8 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA SOBRE GRÁFICAS QUE SE CORTAN S dfi h f g f y g so cotius [, b] h s cotiu [, b] h( f ( g( < Torm Admás, c (, b tl qu h ( c h( b f ( b g( b > Bolzo Pro h ( c f ( c g( c f ( c g( c f ( c g( c Dprtmto d Mtmátics 8 Bloqu I: Aálisis d Fucios Profsor: Rmó Lort Nvrro Uidd : Límits y Cotiuidd
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
l blog d mt d id: Límits y cotiuidd. M I pág. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO c sigiic qu tom vlors cd vz más próimos c. S l tid c. Por jmplo: ;,9;,;,;,8;,;,9;,;,999; Es u scuci d úmros cd vz más próimos.
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CÁLCULO DE LÍMITES Propidds d los límits.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b.- ( b ) b b.- ( ) ( ) 6.- k k b Por otro ldo s importt distiguir l cálculo d límits, los csos idtrmidos d los dtrmidos: Csos dtrmidos:
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Escribirmos: f( L ε > δ > / Dom(f, < - < δ f( - L < ε Límit d fucios u vribl rl Lo cuál dic pr qu f( dist dl vlor L u úmro rbitrrimt uño ddo ε dbmos tr qu sté t crc d u rdio mor qu δ. Gométricmt: y L ε
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