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1 LIMITES. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerd del curso psdo los límites de sucesiones. L sucesión 4 4 n 4 n es especilmente interesnte. Empezmos desrrollndol. n,5,7...,44... Se trt de un sucesión creciente, pero crecerá indefinidmente o tendrá un límite? Pr contestr est pregunt vmos drle n vlores grndes:, ,748...,769..., , Est sucesión crece muy lentmente, nos llev pensr que tiene un límite finito. Su límite es un número irrcionl (tiene infinits cifrs decimles no periódics) que se design con l letr e n e, n n El número e tmbién se obtiene medinte l siguiente sum infinit: e= pág. 7!! n! ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

2 . LÍMITES CUANDO X + Distinguimos entre vrios tipos de funciones:. POLINÓMICAS. Su límite es el del término de myor grdo. si P K > P k si P. EXPONENCIALES o De bse myor que > si P P si P o De bse << si P P si P. LOGARÍTMICAS o De bse > o De bse << si P P log si P si P P log si P.- Hll los siguientes límites:.- Clcul estos límites: 5 (,) 7.- Clcul el límite de ls siguientes funciones cundo + : pág. 7 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

3 4.- Clcul el límite de ls siguientes funciones cundo + :.4 COCIENTES (con numerdores y denomindores que pueden ser polinomios o no) INDETERMINACIÓN En generl podemos firmr: Orden numerdor > Orden del denomindor límite es Orden numerdor < Orden del denomindor límite es Orden numerdor = Orden del denomindor límite es cociente de los coeficientes principles..4. COMPARACIÓN DE INFINITOS Orden de culquier f. Log< Orden f potencil < Orden f eponencil (bse>) - Dds dos funciones eponenciles, de bse myor que, l de myor bse es un infinito de orden superior. - Dds dos funciones potenciles, l de myor eponente es un infinito de orden superior. - Dds dos funciones logrítmics, l de menor bse es un infinito de orden superior..- Clcul rzondmente los siguientes límites: ) c) ) Orden de menor myor los órdenes de los siguientes infinitos: Teniendo en cuent el resultdo nterior, clcul:.5 DIFERENCIA DE EXPRESIONES INFINITAS Recuerd:, pág. 7,,,, INDETERMINACÍON ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

4 En generl podemos firmr: Orden minuendo > Orden del sustrendo límite es + Orden minuendo < Orden del sustrendo límite es - Orden minuendo = Orden del sustrendo límite es INDETERMINACIÓN.5. INDETERMINACIÓN Ante l presenci de est indeterminción procederemos de l siguiente mner: - Si hy ríces cudrds multiplicmos y dividimos por el conjugdo y volvemos clculr el límite - Si se trt de un rest de frcciones, efectumos l operción y volvemos clculr el límite.- Sin operr, di el límite, cundo +, de ls siguientes epresiones:.- Clcul el límite, cundo +, de ls siguientes epresiones:.6 POTENCIAS Antes de estudir el límite de ests funciones conviene recordr que:.- Clcul los siguientes límites: ) f ( f ( c) pág. 74 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

5 En estos ejemplos se puede clculr sin más, el límite. Sin embrgo, en otrs ocsiones se lleg un epresión indetermind, como puedes observr en l tbl siguiente: EXP BASE = =? + = - = = - = = <b< b - = b + = b = b + b - = b + =? = - = - =? b > b - = b + = + b = b + b - = b +? ( ) ( ).6. INDETERMINACIÓN pág. 75 Pr slvr est indeterminción tenemos que conseguir epresr el límite de l siguiente mner: donde el símbolo indic que en ese ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

6 lugr puede hber culquier epresión, en función de, que tiend infinito, pero tiene que ser l mism en el eponente y en el denomindor; pr conseguirlo: - Summos y restmos l bse de l potenci (en el cso de que se necesrio) - Efectumos l rest y conservmos el + - Dividimos el numerdor y el denomindor de l frcción, por el numerdor de l frcción obtenid en el pso nterior, pr conseguir l epresión. Y tenemos l bse, hor vmos por el eponente. - Multiplicmos y dividimos el eponente inicil por l epresión (en el cso de que se necesrio). - Agrupmos de l form - Como ep inicil tenemos el límite resuelto ep inicil ep inicil e ep inicil, y.- Hll los siguientes límites cundo + :.- Clcul estos límites cundo + :.- Clcul: ) 4.- Clcul los siguientes límites: 4 pág. 76 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

7 e ) log f ). LIMITE CUANDO X - Pr clculr este tipo de límites, tendremos en cuent que: f( f(..- Clcul los siguientes límites cundo - : 5 5 ) c) Clcul el límite cundo de ls siguientes epresiones: 4. LIMITE DE UNA FUNCIÓN CUANDO X Pr clculrlos sustituimos por.en funciones continus se verific que: f ( f ( c) y, el límite está clculdo. En otro tipo de funciones se pueden llegr ls misms indeterminciones que se estudiron cundo + y un nuev:. 4. INDETERMINACIÓN EN COCIENTE DE POLINOMIOS En el cso de cociente de polinomios se fctoriz, siendo un ríz del numerdor y del denomindor; se simplific por. Al volver sustituir por, l indeterminción h desprecido, en cso contrrio, se vuelve proceder de igul modo..- Clcul los siguientes límites: Conviene recordr que si el límite obtenido es ± debemos clculr los límites lterles (cundo + y - ) pág. 77 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

8 TEMA 5 Límites 4 4 c) ).- Clcul los límites siguientes: 4. REGLA DE L HÔPITAL 4 Se puede plicr ls indeterminciones e, se trte de cociente de polinomios o f ( f '( no. En estos csos. L regl de L Hôpitl se puede plicr tnto si g'( como si, y ls veces como se necesri en el mismo límite..- Clcul, utilizndo l regl de L Hôpitl, los siguientes límites: 4. INDETERMINACIONES, Afrontmos ests indeterminciones de l mism form que se frontron cundo +..- Clcul: 4.4 INDETERMINACIÓN 4 Antes de plicr est regl reliz los ejercicios de derivds que hy en l págin 4 del tem 6 pág. 78 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

9 Sos de ell con l siguiente estrtegi, independiente de que o si, f ( f (. De est form llegmos ls f ( indeterminciones.- Clcul: o, pr después poder plicr l regl de L Hôpitl INDETERMINACIONES y Se resuelven medinte l plicción de logritmos l epresión f ( - Llmmos y l, obtenemos y = f ( - Aplicmos logritmos: ln y = ln( f ( ) propieddes ln f ( = ln f ( f ( = ln f ( - esto nos conduce l indeterminción y procedemos como corresponde est indeterminción. - Finlmente despejmos y medinte l definición de logritmo ln y = p y = e p.- Clcul los siguientes límites: y sus.- Clcul: pág. 79 ISBN DEPÓSITO LEGAL CS-46997

pág. 87 LIMITES 1. LIMITE DE UNA SUCESIÓN. EL NÚMERO e Recuerda del curso pasado los límites de sucesiones.

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