LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS

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1 UNIDAD 0 LAS MUESTRAS ESTADÍSTICAS Págia 26 Lazamieto de varios dados CUATRO DADOS La distribució de probabilidades de la suma de cuatro dados es la siguiete: x i p i a) Haz su represetació gráfica y observa su parecido co la distribució ormal. b) Calcula su media y su desviació típica. (Hazlo co calculadora y te e cueta que, puesto que los deomiadores so iguales, puedes poer e las frecuecias los correspodietes umeradores). c) Comprueba que los parámetros del promedio de los resultados so MEDIA = 3,5 y DESVIACIÓN TÍPICA = 0,855 pues se obtiee dividiedo por cuatro los correspodietes parámetros de sus sumas. La media es la misma que las ateriores y la desviació típica meor que las ateriores. a) x i p i

2 b) µ = 4; σ = 3,42 c) 4 : 4 = 3,5; 3,42 : 4 = 0,855 Págia 265. Ua gaadería tiee vacas. Se quiere extraer ua muestra de 20. Explica cómo se obtiee la muestra: a) Mediate muestreo aleatorio simple. b) Mediate muestreo aleatorio sistemático. a) Se umera las vacas del al Se sortea 20 úmeros de etre los La muestra estará formada por las 20 vacas a las que correspoda los úmeros obteidos b) Coeficiete de elevació: h = = Se sortea u úmero del al 25. Supogamos que sale el 9. Las vacas seleccioadas para la muestra sería las que correspodiera a los úmeros 9, 34, 59, 84, 09,, Págia Ua gaadería tiee vacas. So de distitas razas: 853 de A, 52 de B, 32 de C, 204 de D y 0 de E. Queremos extraer ua muestra de 20: a) Cuátas hay que elegir de cada raza para que el muestreo sea estratificado co reparto proporcioal? b) Cómo ha de ser la elecció detro de cada estrato? a) Llamamos al úmero de vacas que debemos elegir de raza A, 2 al de raza B, 3 al de C, 4 al de D y 5 al de E. Ha de cumplirse que: 20 = = 2 = 3 = 4 = Así, obteemos: = 5,8 2 = 30,72 3 = 9,26 4 = 2,24 5 = 6,6 La parte etera de estos úmero suma: = 8. Falta 2 para llegar a 20. Por tato, debemos elegir: 5 vacas de raza A, 3 vacas de B, 9 de C, 2 de D y 7 de E. 2

3 Págia Obté aleatoriamete cuatro úmeros eteros al azar etre y 95. Por ejemplo: Hemos obteido los úmeros 5, 22, 27 y Obté cico úmeros eteros elegidos aleatoriamete etre y 800. Por ejemplo: Hemos obteido los úmeros 79, 84, 360, 498 y 669. Págia De ua població de N = 856 elemetos, deseamos extraer ua muestra de tamaño = 0. Mediate el uso de úmeros aleatorios, desiga cuáles so los 0 idividuos que compoe la muestra. Para multiplicar por 856 los úmeros que aparezca e patalla, itroducimos: 856 (factor costate) Ahora recurrimos a los úmeros aleatorios. Por ejemplo, podemos obteer:

4 Los idividuos elegidos para la muestra sería los correspodietes a los úmeros 2, 49, 339, 359, 454, 475, 486, 545, 75 y De ua població de 543 idividuos, queremos extraer ua muestra de tamaño 40 mediate úmeros aleatorios. Obté los cico primeros elemetos de dicha muestra. Para multiplicar por 543 los úmeros que aparezca e patalla, itroducimos: 543 (factor costate) Ahora recurrimos a los úmeros aleatorios. Por ejemplo, podemos obteer: Los cico primeros elemetos de la muestra sería los correspodietes a los úmeros 29, 39, 334, 270 y 258. Págia 270. Halla las siguietes probabilidades e ua distribució N (0, ): a) P[z > 2,8] b) P[z,8] c) P[z >,8] d) P[,62 z < 2,3] e) P[ z 2] f ) P[ 0,6 z,4] g) P[ z 2] h) P[ 2,3 < z <,7] i ) P[ 2 z ] a) P[z > 2,8] = P[z 2,8] = 0,9974 = 0,0026 b) P[z,8] = P[z,8] = P[z <,8] = 0,964 = 0,0359 c) P[z >,8] = P[z <,8] = 0,964 d) P[,62 z < 2,3] = P[z < 2,3] P[z,62] = 0,9893 0,9474 = 0,049 e) P[ z 2] = P[z 2] P[z ] = 0,9772 0,843 = 0,359 f) P[ 0,6 z,4] = P[z,4] P[z 0,6] = P[z,4] P[z 0,6] = = P[z,4] ( P[z 0,6]) = 0,992 ( 0,729) = 0,6483 4

5 g) P[ z 2] = P[z 2] P[z ] = P[z 2] P[z ] = = P[z 2] ( P[z ]) = 0,9772 ( 0,843) = 0,885 h) P[ 2,3 < z <,7] = P[,7 < z < 2,3] = P[z < 2,3] P[z <,7] = = 0,9893 0,9554 = 0,0339 i) P[ 2 z ] = P[ z 2] = P]z 2] P[z ] = 0,9772 0,843 = 0, Calcula el valor de k (exacta o aproximadamete) e cada uo de los siguietes casos: a) P[z k] = 0,5 b) P[z k] = 0,8729 c) P[z k] = 0,9 d) P[z k] = 0,33 e) P[z k] = 0,2 f ) P[z > k] = 0,2 g) P[z k] = 0,997 h) P[z k] = 0,6 a) P[z k] = 0,5 k = 0 b) P[z k] = 0,8729 k =,4 c) P[z k] = 0,9 k,28 d) P[z k] = 0,33 P[z k] = 0,33 P[z k] = 0,33 = 0,67 k = 0,44 k = 0,44 0 k k e) P[z k] = 0,2 P[z k] = 0,2 = 0,8 k 0,84 k 0,84 f) P[z > k] = 0,2 P[z k] = 0,2 = 0,88 k,75 g) P[z k] = 0,997 P[z k] = 0,997 k = 2,76 k = 2,76 h) P[z k] = 0,6 P[z k] = 0,6 k 0,25 k 0,25 5

6 Págia E ua distribució N (8, 4), halla las siguietes probabilidades: a) P[x 20] b) P[x 6,5] c) P[x ] d) P[9 x 23] e) P[ x < 25] a) P[x 20] = P[ ] z b) P[x 6,5] = P[ ] z 6,5 8 4 c) P[x ] = P[ ] z 8 4 = 0,9599 = 0,040 = P[z 0,5] = 0, d) P[9 x 23] = P[ z 4 4 ] = P[z 0,38] = P[z 0,38] = 0,6480 = P[z,75] = P[z,75] = P[z,75] = = P[0,25 z,25] = = P[z,25] P[z 0,25] = 0,8944 0,5987 = 0, e) P[ x < 25] = P[ z 4 4 ] = P[,75 z,75] = = P[z,75] P[z,75] = P[z,75] P[z,75] = = 2P[z,75] = 2 0,9599 = 0, E ua distribució N (6; 0,9), calcula k para que se de las siguietes igualdades: a) P[x k] = 0,9772 b) P[x k] = 0,8 c) P[x k] = 0,3 d) P[x k] = 0,633 a) P[x k] = 0,9772 P[x k] = P[ ] z k 6 0,9 b) P[x k] = 0,8 P[x k] = P[ ] z k 6 0,9 c) P[x k] = 0,3 k 6 = 0,9772 = 2 k = 7,8 0,9 k 6 = 0,8 0,84 k 6,756 0,9 P[x k] = P[ ] z k 6 ( ) = 0,3 k 6 0,9 0,9 d) P[x k] = 0,633 P[x k] = P[ ] z k 6 ( ) = 0,633 k 6 0,9 0,9 0,52 k 5,532 = 0,34 k = 5,694 6

7 Págia 272. Calcula razoadamete los valores críticos correspodietes a las probabilidades 0,95 y 0,99. Para ua probabilidad de 0,95: α/2 0,95 α/2 α 2 0,95 = = 0,025; 0,95 + 0,025 = 0,975 2 P[z z α/2 ] = 0,975 z α/2 =,96 z α/2 z α/2 Para ua probabilidad de 0,99: α/2 0,99 α/2 α 2 0,99 = = 0,005; 0,99 + 0,005 = 0,995 2 P[z z α/2 ] = 0,995 z α/2 = 2,575 z α/2 z α/2 2. Calcula los valores críticos correspodietes: a) α = 0,09 b) α = 0,2 c) α = 0,002 a) α = 0,09 α = 0,9 α 2 0,09 = = 0,045; 0,9 + 0,045 = 0,955 2 P[z z α/2 ] = 0,955 z α/2,70 b) α = 0,2 α = 0,79 α 2 0,2 = = 0,05; 0,79 + 0,05 = 0,895 2 P[z z α/2 ] = 0,895 z α/2,25 c) α = 0,002 α = 0,998 α 2 = 0,00; 0, ,00 = 0,999 P[z z α/2 ] = 0,999 z α/2 = 3,08 7

8 Págia E ua distribució N (73, 6) halla los itervalos característicos para el 90%, el 95% y el 99%. Para el 90%: (73,645 6; 73 +,645 6) = (63,3; 82,87) Para el 95%: (73,96 6; 73 +,96 6) = (6,24; 84,76) Para el 99%: (73 2,575 6; ,575 6) = (57,55; 88,45) 4. E ua distribució N (8, 4) halla los itervalos característicos para el 95% y el 99,8%. Para el 95%: (8,96 4; 8 +,96 4) = (0,6; 25,84) α Para el 99,8%: α = 0,998 α = 0,002 = 0,00 2 0, ,00 = 0,999 z α/2 = 3,08 (8 3,08 4; 8 + 3,08 4) = (5,68; 30,32) Págia 276. Los parámetros de ua variable so: µ = 6,4, σ = 4,8. Nos dispoemos a extraer ua muestra de = 400 idividuos: a) Halla el itervalo característico para las medias muestrales correspodietes a ua probabilidad p = 0,99. b) Calcula P [6 < x < 7]. Como > 30, las medias muestrales se distribuye segú ua ormal de media σ 4,8 4,8 µ = 6,4 y de desviació típica = = = 0,24; es decir: x es N(6,4; 0,24) a) Para p = 0,99 z α/2 = 2,575 El itervalo característico es: (6,4 2,575 0,24; 6,4 + 2,575 0,24); es decir: (5,78; 7,02) b) P[6 < x 6 6,4 7 6,4 < 7] = P[ < z < 0,24 0,24 ] = P[,67 < z < 2,5] = = P[z < 2,5] P[z <,67] = P[z < 2,5] P[z >,67] = = P[z < 2,5] ( P[z,67]) = 0,9938 ( 0,9525) = 0,9463 8

9 2. Los sueldos, e euros, de los empleados de ua fábrica se distribuye N ( 200, 400). Se elige al azar ua muestra de 25 de ellos. Cuál es la probabilidad de que la suma de sus sueldos sea superior a ? Halla el itervalo característico para las sumas de 25 idividuos, correspodietes a ua probabilidad del 0,9. La suma de los sueldos sigue ua distribució ormal de media µ = = = y de desviació típica σ = = = ; es decir: Σx es N(30 000; 2 000) Por tato: P[Σx > ] = P[ ] z > Itervalo característico: = P[z > 2,5] = = P[z 2,5] = 0,9938 = 0,0062 Para ua probabilidad del 0,9 es: (30 000, ; , ); es decir: (26 70; ) Págia 278. La variable x es biomial, co = 200 y p = 0,008. a) Calcula la probabilidad de que x sea mayor que 0. b) Halla el itervalo característico para ua probabilidad del 95%. Como p = 9,6 > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 9,6 y de desviació típica σ = pq = 200 0,008 0,992 = 3,09. Es decir: x es B( 200; 0,008) x' es N(9,6; 3,09) z es N(0, ) a) P[x > 0] = P[x' 0,5] = P[ ] z 0,5 9,6 3,09 = P[z 0,29] = = P[z < 0,29] = 0,64 = 0,3859 b) Para ua probabilidad del 95%, z α/2 =,96. El itervalo característico será: (9,6,96 3,09; 9,6 +,96 3,09); es decir: (3,54; 5,66) 2. Si teemos u dado correcto y lo lazamos 50 veces: a) Cuál es la probabilidad de que el salga más de 0 veces? b) Cuál es la probabilidad de que salga múltiplo de 3 al meos 20 veces? 9

10 a) Llamamos x = - o de veces que sale el ; así, x es B( 50; ). Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media 5 µ = 50 = 8,33 y de desviació típica σ = 50 = 2,64; es decir: x es B( 50; ) x' es N(8,33; 2,64) z es N(0, ) P[x > 0] = P[x' 0,5] = P[ ] z 0,5 8,33 2,64 = P[z 0,82] = P[z < 0,82] = = 0,7939 = 0,206 b) Llamamos x = - o de veces que sale múltiplo de 3. La probabilidad de obteer u múltiplo de 3 e ua tirada es p = =. Así, x es B( 50; ). Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media 2 µ = 50 = 6,67 y de desviació típica σ = 50 = 3,33; es decir: x es B( 50; ) x' es N(6,67; 3,33) z es N(0, ) P[x 20] = P[x' 9,5] = P[ ] z 9,5 6,67 3,33 = 0,8023 = 0, = P[z 0,85] = P[z < 0,85] = Págia 280. Como sabemos, e u dado correcto la proporció de veces que sale el 5 es /6 = 0, ) 6. Halla los itervalos característicos correspodietes al 90%, 95% y 99% para la proporció de cicos, e tadas de 00 lazamietos de u dado correcto. Las proporcioes de cicos e tadas de 00 lazamietos sigue ua distribució (/6) (5/6) ormal de media p = = 0,7 y de desviació típica = = pq 6 00 = 0,037; es decir: pr es N(0,7; 0,037) Hallamos los itervalos característicos: Para el 90%: (0,7 ±,645 0,037) = (0,09; 0,23) Para el 95%: (0,7 ±,96 0,037) = (0,097; 0,243) Para el 99%: (0,7 ± 2,575 0,037) = (0,075; 0,265) 0

11 Págia 286 EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS PARA PRACTICAR Muestras E cada uo de los casos que se mecioa a cotiuació, el colectivo es població o es muestra? Explica por qué. a) U campesio tiee 87 gallias. Para probar la eficacia de u uevo tipo de alimetació, las pesa a todas ates y después de los 30 días que dura el tratamieto. b) U grajero prueba co 00 de sus gallias la eficacia de u uevo tipo de alimetació. a) Es població, porque pesa a todas las gallias. b) Es muestra, porque o pesa a todas las gallias, sio solo a ua parte de ellas. 2 U fabricate de elásticos quiere estudiar su resistecia a la rotura. Para ello, los estira hasta que se rompe y aota el grado de estiramieto que alcaza si romperse. Puede realizar dicho estiramieto sobre la població o es imprescidible realizarlo sobre la muestra? Por qué? Es imprescidible hacerlo sobre ua muestra, porque iteresa romper la meor catidad de elásticos posible. 3 Solo uo de los siguietes procedimietos os permite obteer ua muestra represetativa. Di cuál es y, e los otros, estudia el setido del sesgo y su importacia: a) Para estudiar las frecuecias relativas de las letras, se toma al azar 20 libros de la biblioteca de u cetro escolar y se cueta las veces que aparece cada letra e la págia 20 de los libros seleccioados. b) Para coocer la opiió de sus clietes sobre el servicio ofrecido por uos grades almacees, se seleccioa al azar, etre los que posee tarjeta de compra, a 00 persoas etre las que ha gastado meos de 000 el último año, otras 00 etre las que ha gastado etre 000 y y 00 más etre las que ha gastado más de c) Para calcular el úmero medio de persoas por cartilla e u Cetro de Salud de la Seguridad Social, los médicos toma ota de las cartillas de las persoas que acude a las cosultas durate u mes. a) Es ua muestra represetativa.

12 b) No es represetativa, porque hay mucha más gete e u itervalo (por ejemplo, etre 000 y ) que e otro (más de ), y hemos tomado el mismo úmero de represetates. Además, hay otra mucha gete si tarjeta que o se ha tomado e cueta. c) No es represetativa, ya que lo que más se va a ver so las cartillas que correspode a familias umerosas. Está claro que, cuata más geta tega esa cartilla, más fácil es que ese mes se tome ota de ella. 4 La validez de la iformació que os proporcioa ua ecuesta depede, e gra medida, de la cuidadosa elaboració del cuestioario. Alguas de las características que debe teer las pregutas, so: Ser cortas y co u leguaje secillo. Sus respuestas debe presetar opcioes o ambiguas y equilibradas. Que o requiera esfuerzo de memoria. Que o levate prejuicios e los ecuestados. Estudia si las siguietes pregutas so adecuadas para formar parte de ua ecuesta y corrige los errores que observes: a) Cuáto tiempo sueles estudiar cada día? Mucho Poco Segú el día b) Cuátas veces fuiste al cie a lo largo del año pasado? c) Qué opiió tiees sobre la gestió del alcalde? Muy buea Buea Idiferete d) Pierde sus hijos el tiempo viedo la televisió? Sí No e) E qué grado cree usted que la istalació de la plata de reciclado afectaría al empleo y a las codicioes de salud de uestra ciudad? a) y c) adecuadas (para mejorarlo, podríamos añadir e c) la opció: Mala ). b) Cambiar por: Co qué frecuecia vas al cie? Mucho Poco Nuca d) Cambiar por: Co qué frecuecia ve sus hijos la televisió? Mucho Poco Nuca e) Cambiar por: Istalaría ua plata de reciclado e su ciudad? Sí No 2

13 5 De u colectivo de 500 persoas elige ua muestra de 20 mediate: a) U muestreo aleatorio sistemático. b) U muestreo aleatorio simple. Utiliza la tecla de la calculadora. Para los dos casos, umeramos a las persoas del al a) h = = Orige: 25 (por ejemplo) Deberemos elegir las persoas cuyos úmeros sea: 4, 39, 64, 89, 4, 39, 64, 89, 24, 239, 264, 289, 34, 339, 364, 389, 44, 439, 464, 489. b) Co la tecla de la calculadora, hacemos: 500 hasta obteer 20 resultados distitos. 6 E u cojuto de 000 coductores hay: 50 taxistas. 75 camioeros. 25 coductores de autobús. El resto so coductores de vehículos corrietes y se reparte así: 250 co más de 20 años de experiecia. 425 co ua experiecia de etre 5 y 20 años. 75 co ua experiecia de 0 a 5 años. Para cofeccioar ua muestra de 40 idividuos mediate muestreo aleatorio estratificado proporcioal, cuátos hay que seleccioar de cada uo de los seis estratos? Llamamos al úmero de taxistas que tedríamos que seleccioar, 2 al úmero de camioeros, 3 al úmero de coductores de autobuses, 4 al úmero de coductores co más de 20 años de experiecia, 5 al de coductores co ua experiecia etre 5 y 20 años y 6 al de coductores co ua experiecia de 0 a 5 años. Etoces: = 2 = 3 = 4 = 5 = 0 = Así, deberemos elegir: = 2 taxistas 2 = 3 camioeros 3 = coductor de autobús 4 = 0 coductores co más de 20 años de experiecia 5 = 7 co experiecia etre 5 y 20 años 6 = 7 co experiecia etre 0 y 5 años 3

14 Págia E cierto barrio se quiere hacer u estudio para coocer mejor el tipo de actividades de ocio que gusta más a sus habitates. Para ello, va a ser e- S cuestados 00 idividuos elegidos al azar. a) Explica qué procedimieto de selecció sería más adecuado utilizar: muestreo co o si reposició. Por qué? b) Como los gustos cambia co la edad y se sabe que e el barrio vive iños, adultos y 500 aciaos, se decide elegir la muestra utilizado muestreo estratificado. b.) Defie los estratos. b.2) Determia el tamaño muestral correspodiete a cada estrato. a) Muestreo si reemplazamieto para evitar repeticioes. b) b.) Niños, adultos y aciaos. b.2) Llamamos al úmero de iños que deberíamos elegir, 2 al úmero de adultos y 3 al úmero de aciaos. Teemos que: = 2 = 3 = Así, debería elegirse: = 25 iños 2 = 70 adultos 3 = 5 aciaos E determiada provicia hay cuatro comarcas, C, C2, C3 y C4, co u total de persoas cesadas. De ellas, reside e C, S e C2 y e C3. Se quiere realizar u estudio sobre las costumbres alimeticias e esa provicia basado e ua muestra de persoas. a) Qué tipo de muestreo deberíamos realizar si queremos que e la muestra resultate haya represetació de todas las comarcas? b) Qué úmero de persoas habría que seleccioar e cada comarca, atediedo a razoes de proporcioalidad? c) Cómo seleccioarías las persoas e cada comarca? Justifica las respuestas. a) Deberíamos realizar u muestreo aleatorio estratificado. b) El úmero de persoas que reside e C4 es: ( ) =

15 Llamamos, 2, 3 y 4 al úmero de persoas que tedríamos que seleccioar e cada comarca (C, C2, C3 y C4, respectivamete). Etoces: = 2 = 3 = 4 = Por tato, debemos elegir: = 600 persoas de C 2 = 900 persoas de C2 3 = 00 persoas de C3 4 = 400 persoas de C c) Detro de cada comarca, podríamos seleccioarlos mediate u muestreo aleatorio simple, o mediate u muestreo sistemático. Itervalos característicos Distribució de medias y proporcioes muestrales 9 E ua distribució ormal de media µ = 9,5 y variaza σ 2 =,44, halla el itervalo característico para el 99%. Para el 99% α = 0,99 z α/2 = 2,575 El itervalo será de la forma: (µ 2,575 σ, µ + 2,575 σ) E este caso, como µ = 9,5 y σ =,44 =,2, queda: (9,5 2,575,2; 9,5 + 2,575,2), es decir: (6,4; 2,59) 0 E las distribucioes ormales cuyos parámetros se da, halla el itervalo característico que e cada caso se idica: a) b) c) d) e) MEDIA, µ DESV. TÍPICA, σ 5 PROBABILIDAD f) g) h) i) MEDIA, µ DESV. TÍPICA, σ PROBABILIDAD El itervalo característico es de la forma: (µ z α/2 σ; µ + z α/2 σ) a) z α/2 =,96; µ = 0; σ = Itervalo (,96;,96) 5

16 b) z α/2 = 2,575; µ = 0; σ = Itervalo ( 2,575; 2,575) c) z α/2 =,645; µ = 0; σ = Itervalo (,645;,645) d) z α/2 =,28; µ = 0; σ = Itervalo (,28;,28) e) z α/2 =,96; µ = 2; σ = 5 Itervalo (82,6; 4,4) f) z α/2 = 2,575; µ = 3 52; σ = 550 Itervalo (2 095,75; 4 928,25) g) z α/2 =,96; µ = 3 52; σ = 550 Itervalo (2 434; 4 590) h) z α/2 =,645; µ = 3 52; σ = 550 Itervalo (2 607,25; 4 46,75) i) z α/2 =,28; µ = 3 52; σ = 550 Itervalo (2 808; 4 26) E ua distribució ormal co media µ = 25 y desviació típica σ = 5,3; obté u itervalo cetrado e la media, (µ k, µ + k), de forma que el 95% de los idividuos esté e ese itervalo. El itervalo será de la forma: (µ z α/2 σ; µ + z α/2 σ) Como α = 0,95, etoces z α/2 =,96. Así, el itervalo será: (25,96 5,3; 25 +,96 5,3); es decir: (4,62; 35,388) 2 E ua distribució N (0, 4), obté u itervalo cetrado e la media (µ k, µ + k), tal que: P[µ k < x < µ + k] = 0,90 El itervalo será de la forma: (µ z α/2 σ; µ + z α/2 σ) Como α = 0,90, etoces z α/2 =,645. Así, el itervalo será: (0,645 4; 0 +,645 4); es decir: (3,42; 6,58) 6

17 3 Di cómo se distribuye las medias muestrales e cada uo de los siguiees casos: a) b) c) Recordemos que si la població se distribuye segú ua ormal N(µ, σ), o bie seleccioamos ua muestra de tamaño 30 e ua població cualquiera (o ecesariamete ormal) co media µ y desviació típica σ, etoces, las medias muestrales sigue ua distribució N ( ) µ, σ. Aplicamos este resultado e cada uo de los casos propuestos: a) N ( ) 20, 4 6 b) N ( ) 20, 4 00 c) N ( ) 3,75;,2 4 d) N ( ) 3,75;,2 50 e) N ( ) 2, 5 00 f) N ( ) 2, 5 00 g) N ( ) 3 52, 550 Págia POBLACIÓN POBLACIÓN DISTRIBUCIÓN Normal Desc. Normal MEDIA, µ ,75 DESV. TÍPICA, σ 4 4,2 TAM. MUESTRA, d) e) f) g) DISTRIBUCIÓN Desc. Norm. Desc. Desc. MEDIA, µ 3, DESV. TÍPICA, σ, TAM. MUESTRA, ; es decir, N(20, ) ; es decir, N(20; 0,4) ; es decir, N(3,75; 0,6) ; es decir, N(3,75; 0,7) ; es decir, N(2;,5) ; es decir, N(2;,5) ; es decir, N(3 52; 86,96) 4 Halla el itervalo característico correspodiete a la probabilidad que e cada caso se idica, correspodiete a las medias muestrales del ejercicio aterior: a) 90% b) 95% c) 99% d) 90% e) 95% f) 80% g) 99% 7

18 a) z α/2 =,645 Itervalo (20,645 ; 20 +,645 ); es decir: (8,355; 2,645) b) z α/2 =,96 Itervalo (20,96 0,4; 20 +,96 0,4); es decir: (9,26; 20,784) c) z α/2 = 2,575 Itervalo (3,75 2,575 0,6; 3,75 + 2,575 0,6); es decir: (2,205; 5,295) d) z α/2 =,645 Itervalo (3,75,645 0,7; 3,75 +,645 0,7); es decir: (3,47; 4,03) e) z α/2 =,96 Itervalo (2,96,5; 2 +,96,5); es decir: (09,06; 4,94) f) z α/2 =,28 Itervalo (2,28,5; 2 +,28,5); es decir: (0,08; 3,92) g) z α/2 = 2,575 Itervalo (3 52 2,575 86,96; ,575 86,96); es decir: (3 288,078; 3 735,922) 5 Averigua cómo se distribuye las proporcioes muestrales, pr, para las poblacioes y las muestras que se describe a cotiuació: PROPORCIÓN, p, EN LA POBLACIÓN TAMAÑO,, DE LA MUESTRA a) b) c) d) e) f) 0,5 0,6 0,8 0, 0,05 0, Recordemos que, si p 5 y q 5, etoces, las proporcioes muestrales sigue ua distribució N ( ) p, pq. Aplicamos este resultado a cada uo de los casos propuestos. Comprobamos que e todo ellos se tiee que p 5 y q 5. a) N ( ) 0,5; 0,5 0,5 0 b) N ( ) 0,6; 0,6 0,4 20 c) N ( ) 0,8; 0,8 0,2 30 d) N ( ) 0,; 0,9 50 0, ; es decir, N(0,5; 0,58) ; es decir, N(0,6; 0,0) ; es decir, N(0,8; 0,073) ; es decir, N(0,; 0,042) 8

19 e) N ( ) 0,05; 0,05 0,95 00 f) N ( ) 0,5; 0, ,5 ; es decir, N(0,05; 0,028) ; es decir, N(0,5; 0,036) 6 Halla los itervalos característicos para las proporcioes muestrales del ejercicio aterior, correspodietes a las probabilidades que, e cada caso, se idica: a) 90% b) 95% c) 99% d) 95% e) 99% f) 80% a) z α/2 =,645 Itervalo (0,5,645 0,58; 0,5 +,645 0,58); es decir: (0,24; 0,76) b) z α/2 =,96 Itervalo (0,6,96 0,0; 0,6 +,96 0,0); es decir: (0,38; 0,82) c) z α/2 = 2,575 Itervalo (0,8 2,575 0,073; 0,8 + 2,575 0,073); es decir: (0,6; 0,99) d) z α/2 =,96 Itervalo (0,,96 0,042; 0, +,96 0,042); es decir: (0,08; 0,82) e) z α/2 = 2,575 Itervalo (0,05 2,575 0,028; 0,05 + 2,575 0,028); es decir: ( 0,006; 0,06) f) z α/2 =,28 Itervalo (0,5,28 0,036; 0,5 +,28 0,036); es decir: (0,04; 0,96) PARA RESOLVER 7 E ua distribució N (20, 6), tomamos muestras de tamaño 64. S a) Cuál es la distribució de las medias de las muestras? b) Cuál es la probabilidad de extraer ua muestra cuya media esté compredida etre 9 y 2? a) Las medias muestrales, x, se distribuye segú ua ormal de media µ = 20 y σ 6 6 de desviació típica = = = 0,75; es decir: 64 8 x es N(20; 0,75) b) P[9 < x < 2] = P[ < z < 0,75 0,75 ] = P[,33 < z <,33] = = P[z <,33] P[z <,33] = P[z <,33] ( P[z <,33]) = = 2P[z <,33] = 2 0,9082 = 0,864 9

20 8 Se sabe que el cociete itelectual de los alumos de ua uiversidad se distribuye segú ua ley ormal de media 00 y variaza 729. S a) Halla la probabilidad de que ua muestra de 8 alumos tega u cociete itelectual medio iferior a 09. b) Halla la probabilidad de que ua muestra de 36 alumos tega u cociete itelectual medio superior a 09. El cociete itelectual sigue ua distruibució ormal de media µ = 00 y de desviació típica σ = 729 = 27; es decir, x es N(00, 27). a) Las medias e muestras de 8 alumos se distribuirá segú ua ormal de media µ = 00 y de desviació típica = = = 3; es decir, x es σ N(00, 3). Así: P[x < 09] = P[ ] z < = P[z < 3] = 0,9987 b) Las medias e muestras de 36 alumos se distribuye segú ua ormal de media µ = 00 y de desviació típica = = = 4,5; es decir, x es σ N(00; 4,5). Así: P[x > 09] = P[ ] z > ,5 = P[z > 2] = P[z 2] = 0,9772 = 0, Las otas e u cierto exame se distribuye ormal co media µ = 5,3 y desviació típica σ = 2,4. Halla la probabilidad de que u estudiate tomado al azar tega ua ota: a) Superior a 7. b) Iferior a 5. c) Compredida ete 5 y 7. Tomamos al azar 6 estudiates. Halla la probabilidad de que la media de las otas de estos 6 estudiates: d) Sea superior a 7. e) Sea iferior a 5. f) Esté compredida etre 5 y 7. g) Halla k para que el itervalo (5,3 k; 5,3 + k) cotega al 95% de las otas. h)halla b para que el itervalo (5,3 b; 5,3 + b) cotega al 95% de las otas medias de las muestras de 6 idividuos. x es N(5,3; 2,4) z es N(0, ) a) P[x > 7] = P[ ] z > 7 5,3 2,4 = P[z > 0,7] = P[z 0,7] = 0,762 = 0,

21 b) P[x < 5] = P[ ] z < 5 5,3 2,4 = 0,557 = 0, ,3 7 5,3 c) P[5 < x < 7] = P[ < x < 2,4 2,4 ] = P[z < 0,3] = P[z > 0,3] = P[z 0,3] = = P[ 0,3 < z < 0,7] = = P[z < 0,7] P[z < 0,03] = 0,762 0,4483 = 0,329 Las medias de las otas de 6 estudiates se distribuye N( 5,3; x es N(5,3; 0,6). d) P[x > 7] = P[ ] z > 7 5,3 0,6 e) P[x < 5] = P[ ] z < 5 5,3 0,6 = 0,695 = 0,3085 f) P[5 < x 5 5,3 7 5,3 < 7] = P[ < z < 0,6 0,6 ] ); es decir, = P[z > 2,83] = P[z 2,83] = 0,9977 = 0,0023 = P[z < 0,5] = P[z > 0,5] = P[z 0,5] = = P[ 0,5 < z < 2,83] = = P[z < 2,83] P(z < 0,5] = 0,9977 0,3085 = 0,6892 2,4 6 g) Es u itervalo característico para la media de la població, por tato: k = z α/2 σ Como α = 0,95 z α/2 =,96. Así: k =,96 2,4 = 4,704 h) Es u itervalo característico para las medias muestrales, e muestras de tamaño 6, por tato: b = z α/2 0,6 Como α = 0,95 z α/2 =,96. Así: b =,96 0,6 =,76 20 Cuatro de cada diez habitates de ua determiada població lee habitualmete el periódico Z. S Halla el itervalo característico para la proporció de habitates de esa població que lee el periódico Z, e muestras de tamaño 49, correspodiete al 95%. 4 p = proporció de lectores del periódico Z = = 0,4. 0 El itervalo característico para la proporció de lectores, pr, e muestras de tamaño es de la forma: ( p z α/2, p + z α/2 pq pq ) 2

22 Para el 95% α = 0,95 z α/2 =,96 El itervalo será: ( 0,4 0,6 0,4 0,6 0,4,96 ; 0,4 +,96 ); es decir: (0,26; 0,54) E u saco mezclamos judías blacas y judías pitas e la relació de 4 blacas por cada pita. Extraemos u puñado de 00 judías. a) Cuál es la probabilidad de que la proporció de judías pitas esté compredida etre 0,05 y 0,? b) Halla u itervalo e el cual se ecuetre el 99% de las proporcioes de las muestras de tamaño 00. a) La proporció de judías pitas es p =. Si extraemos u puñado de 00 judías, 5 teemos ua biomial B( ) 00, 5. Ua proporció etre 0,05 y 0, sigifica que haya etre 00 0,05 = 5 y 00 0, = 0 judías pitas. Por tato, si x es B( ) 00, 5, teemos que calcular P[5 < x < 0]. 4 Como 00 > 5 y 00 > 5, podemos aproximar la biomial mediate ua ormal de media µ = 00 = 6,67 y desviació típica σ = 00 = 2, Así, si x es B( 00, ) x' es N(6,67; 2,49) z es N(0, ). Calculamos: 5,5 6,67 9,5 6,67 2,49 2,49 = P[ 0,47 z,4] = P[z,4] P[z 0,47] = P[5 < x < 0] = P[5,5 x' 9,5] = P[ z ] = = P[z,4] P[z 0,47] = P[z,4] ( P[z 0,47]) = = 0,8729 ( 0,6808) = 0,5537 b) Si cosideramos muestras de tamaño 00, el itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: ( p z α/2, p + z α/2 pq pq ) Para el 99% α = 0,99 z α/2 = 2,575 22

23 Así, el itervalo será: (/5) (4/5) 5 00 es decir: (0,0024; 0,309) (4/5) ( 2,575, + 2, ) ; (/5) Págia El tiempo de espera, e miutos, de los pacietes e u servicio de urgecias, es N (4, 4). S a) Cómo se distribuye el tiempo medio de espera de 6 pacietes? b) E ua media jorada se ha atedido a 6 pacietes. Cuál es la probabilidad de que el tiempo medio de su espera esté compredido etre 0 y 5 miutos? a) El tiempo medio de espera, x, de 6 pacietes se distribuye segú ua ormal σ 4 4 de media µ = 4 y de desviació típica = = = ; es decir x es N(4, ). b) P[0 < x < 5] = P[ < z < ] = P[ 4 < z < ] = = P[z < ] P[z < 4] = 0,843 0 = 0, Ua variable aleatoria se distribuye N (µ, σ). Si se extrae muestras de tamaño : S a) Qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral, x? b) Si se toma muestras de tamaño = 4 de ua variable aleatoria x co distribució N (65, 2), calcula P[x > 73,7]. a) x σ sigue ua distribució ormal de media µ y de desviació típica, es decir, x es N( ) µ, σ. b) Las medias muestrales e muestras de tamaño = 4 se distribuye segú ua σ 2 2 ormal de media µ = 65 y de desviació típica = = = 6; es decir, x 4 2 es N(65, 6). Así: P[x > 73,7] = P[ ] z > 73, = P[z >,45] = = P[z,45] = 0,9265 = 0, Se sabe que el peso e kilogramos de los alumos de bachillerato de Madrid S es ua variable aleatoria, x, que sigue ua distribució ormal de desviació típica igual a 5 kg. E el caso de cosiderar muestras de 25 alumos, qué distribució tiee la variable aleatoria media muestral, x? 23

24 La variable aleatoria media muestral, x, sigue ua distribució ormal co la misma σ 5 5 media que la població, llamémosla µ, y co desviació típica = = = ; es decir, x 25 5 es N(µ, ). 25 E ua ciudad, la altura media de sus habitates tiee ua desviació típica S de 8 cm. Si la altura media de dichos habitates fuera de 75 cm, cuál sería la probabilidad de que la altura media de ua muestra de 00 idividuos tomada al azar fuera superior a 76 cm? La altura e la població, x, sigue ua distribució ormal N(75, 8). Si cosideramos muestras de tamaño = 00, las medias muestrales se distribuye segú σ 8 8 ua ormal de media µ = 75 y de desviació típica = = = 0,8; es decir, x 00 0 es N(75; 0,8). Así: P[x > 76] = P[ ] z > ,8 = 0,8944 = 0,056 = P[z >,25] = P[z,25] = 26 E ua localidad de habitates, la proporció de meores de 6 años es de 500/ a) Cuál es la distribució de la proporció de meores de 6 años e muestras de 50 habitates de dicha població? b) Halla la probabilidad de que, e ua muestra de 50 habitates, haya etre 5 y 20 meores de 6 años. a) La proporció, pr, de meores de 6 años e muestras de tamaño = 50 sigue 500 ua distribució ormal de media p = = 0,25 y de desviació típica: pq 0,25 0,75 = = 0,06, es decir, pr es N(0,26; 0,06). 50 b) El úmero de meores de 6 años e ua muestra de 50 es ua biomial B(50; 0,25). Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = 50 0,25 = 2,5 y de desviació típica: σ = pq = 50 0,25 0,75 = 3,06 Así, si x es B(50; 0,25) x' es N(2,5; 3,06) z es N(0, ), etoces: 5,5 2,5 9,5 2,5 P[5 < x < 20] = P[5,5 < x' < 9,5] = P[ < z < 3,06 3,06 ] = = P[0,98 < z < 2,29] = P[z < 2,29] P[z < 0,98] = = 0,9890 0,8365 = 0,525 24

25 27 El 42% de los habitates de u muicipio es cotrario a la gestió del alcalde y el resto so partidarios de este. Si se toma ua muestra de 64 idividuos, cuál es la probabilidad de que gae los que se opoe al alcalde? E muestras de 64, el úmero de persoas que se opoe al alcalde, x, sigue ua distribució biomial B(64, 0,42). Teemos que calcular P[x > 32]. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 64 0,42 = 26,88 y de desviació típica pq = 64 0,42 0,58 = 3,95. Así, si: x es B(64, 0,42) x' es N(26,88; 3,95) z es N(0, ), etoces: P[x > 32] = P[x' 32,5] = P[ ] z 32,5 26,88 3,95 = P[z <,42] = 0,9222 = 0,0778 = P[z,42] = 28 La probabilidad de que u bebé sea varó es 0,55. Si ha acido 84 bebés, cuál es la probabilidad de que haya 00 varoes o más? Halla el itervalo característico correspodiete al 95% para la proporció de varoes e muestras de 84 bebés. El úmero de varoes etre 84 bebés, x, sigue ua distribució biomial B(84; 0,55). Teemos que calcular P[x 00]. Como p > 5 y q > 5, podemos aproximar mediate ua ormal de media µ = p = 84 0,55 = 94,76 y de desviació típica pq = 84 0,55 0,485 = 6,78. Así, si: x es B(84; 0,55) x' es N(94,76; 6,78) z es N(0, ), etoces: P[x 00] = P[x' 99,5] = P[ ] z 99,5 94,76 6,78 = P[z < 0,70] = 0,7580 = 0,2420 = P[z 0,70] = El itervalo característico para la proporció muestral es de la forma: ( p z α/2, p + z α/2 pq pq ) Para el 95% α = 0,95 z α/2 =,96 Así, el itervalo será: ( 0,55 0,485 0,55 0,485 0,55,96, 0,55 +, ) ; es decir: (0,4428; 0,5872) 29 La estatura de los jóvees de ua ciudad sigue ua distribució N (µ, σ). Si el S 90% de las medias de las muestras de 8 jóvees está e (73,4; 75,8), halla µ y σ. Para el 90% α = 0,90 z α/2 =,645 25

26 El itervalo característico para las medias de las muestras de 8 jóvees (para el 90%) es: ( σ σ µ,645, µ +,645 ) El cetro del itervalo es µ: 73,4 + 75,8 µ = = 74,6 = µ 2 La semiamplitud del itervalo es: σ 75,8 73,4,645 = 8 2 σ,2 9,645 =,2 σ = = 6,57 9, Sabemos que al lazar al suelo 00 chichetas, e el 95% de los casos, la proporció de ellas que queda co la puta hacia arriba está e el itervalo (0,26; 0,2784). Calcula la probabilidad p de que ua de esas chichetas caiga co la puta hacia arriba y comprueba que la amplitud del itervalo dado es correcta. p es el cetro del itervalo, es decir: 0, ,26 p = = 0,2 = p 2 Veamos que la amplitud del itervalo dado es correcta: Para el 95% α = 0,95 z α/2 =,96 El itervalo característico es: ( p z α/2, p + z α/2 pq pq ) E este caso (p = 0,2; q = 0,8; = 00; z α/2 =,96), queda: ( 0,2 0,8 0,2 0,8 0,2,96 ; 0,2 +,96 ); es decir: (0,26; 0,2784), como queríamos probar. 3 De 20 alumos, la proporció de que tega dos o más hermaos es de S 48/20. Idica los parámetros de la distribució a la que se ajustaría las muestras de tamaño 30. E muestras de tamaño = 30, la proporció muestral, pr, seguiría ua distribució ormal de media: 48 µ = p = 30 = 30 0,4 =

27 y de desviació típica: 0,4 0,6 σ = = = 0,089 pq 30 Es decir, pr es N(2; 0,089). 32 Si la distribució de la media de las alturas e muestras de tamaño 49 de los S iños de 0 años tiee como media 35 cm y como desviació típica,2 cm, cuáto vale la media y la variaza de la altura de los iños de esa ciudad? Si la media e la població es µ y la desviació típica es σ, etoces, la distribució de las medias muestrales es N ( ) µ, σ. Así, teemos que: µ = 35 cm σ σ σ = = =,2 cm σ =,2 7 = 8,4 cm 49 7 Por tato, la media es µ = 35 cm y la variaza es σ 2 = 8,4 2 = 70,56. PARA PROFUNDIZAR 33 Los paquetes recibidos e u almacé tiee u peso medio de 300 kg y ua S desviació típica de 50 kg. Cuál es la probabilidad de que 25 de los paquetes, elegidos al azar, exceda el límite de carga del motacargas dode se va a meter, que es de kg? Sabemos que la suma de los pesos de de esas bolsas tomadas al azar sigue ua distribució ormal de media µ y de desviació típica σ, es decir: Σ x i es N(µ, σ ) i = E este caso: 25 Σ x i es N(25 300; ); es decir N(7 500; 250) i = Teemos que calcular: P[ 25 Σ x i > 8 i = 200] [ ] = P z > = P[z > 2,8] = = P[z 2,8] = 0,9974 = 0, Tras realizar u test de cultura geeral etre los habitates de cierta població, se observa que las putuacioes se distribuye N (68, 8). Se desea S clasificar a los habitates e tres grupos (de baja cultura, de cultura aceptable, de cultura excelete), de maera que el primero abarque u 20% de la població, el segudo u 65%, y el tercero u 5%. Cuáles so las putuacioes que marca el paso de u grupo a otro? 27

28 Obteemos las putuacioes que marcaría el paso de u grupo a otro e ua N(0, ): 65% 20% 5% 0,65 0,20 0,5 z z 2 P[z z ] = 0,20 P[z z ] = 0,20 P[z < z ] = 0,80 z = 0,84 z = 0,84 P[z z 2 ] = 0,65 + 0,20 = 0,85 z 2 =,04 E ua N(68, 8) será: 0,65 0,20 x x 2 0,5 x 68 8 x = 0,84 x = 52,88 =,04 x 2 = 86,72 Por tato, habrá que cosiderar: Baja cultura geeral Putuació meor que 52,88. Cultura geeral aceptable Etre 52,88 y 86,72 putos. Cultura geeral excelete Putuació superior a 86,72. 28