SEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA MODULO IV ESTADISTICA DESCRIPITVA

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1 SEGUNDA EDICIÓN DEL CURSO DE CAPACITACION EN MATEMATICA PARA PROFESORES DE PRIMARIA MODULO IV ESTADISTICA DESCRIPITVA ENCUENTRO NÚMERO UNO TECNICAS DE CONTEO. 28 DE SEPTIEMBRE DE 2014 MANAGUA FINANCIADO POR: FUNDACIÓN UNO 1

2 Itroducció: Algo muy importate que los estudiates debe teer e cueta es ua familiarizació de esta co el leguaje, lo cual se obtiee co la práctica, utilizado el leguaje coforme se ecesite. La matemática da las técicas ecesarias para resolver problemas que tiee que ver co arreglos y posibilidades e que puede ocurrir ua situació o suceso, relacioado directamete a la solució de problemas como: Determiar la ubicació e lugares de cuatro equipos que iterviee e u toreo, las maeras e que se puede elegir ua directiva que cotega: Presidete, vicepresidete, tesorero y secretario. Los ejercicios que se resolverá, te permitirá aplicar uevas formas de resolver problemas así como desarrollar la capacidad de aálisis, poiedo e práctica tus coocimietos para resolver problemas o situacioes de la vida cotidiaa. Pricipios Básicos: Uo de los coceptos matemáticos abstractos más primitivo que coocemos es el de cojuto de úmeros pricipalmete el de los Números Naturales o Eteros Positivos 1, 2, 3, 4..., co ellos represetamos catidades de objetos que se os preseta e la vida cotidiaa, para lo cual muchas veces es ecesario utilizar técicas que os permita determiar co facilidad esas catidades. Por ejemplo: Si os preguta cuátos úmeros de tres o meos cifras hay?, es fácil dar co la respuesta puesto que los úmeros va del 0 al 999, es decir, hay 1000 úmeros. Pricipio Fudametal del Coteo: Si ua tarea puede ocurrir de m maeras distitas, ua seguda puede ocurrir de maeras y ua tercera de r maeras y así sucesivamete, etoces el úmero total de maeras de llevar a cabo estas tareas jutas correspode al producto m r. 2

3 Ejemplo: U estudiate tiee tres pares de zapatos, dos pataloes y cuatro camisas. Si elige u par de zapatos, u pataló y ua camisa al azar, De cuátas maeras distitas e ese orde puede hacerlo? Solució: Por el Pricipio Fudametal del Coteo, existe maeras distitas de seleccioar u par de zapatos, u pataló y ua camisa. Ejemplo: Cuátas placas distitas se puede hacer co dos letras a la izquierda y tres úmeros a la derecha cosiderado 27 letras? Solució: 1) Hay dos posicioes para las letras y como o mecioa que o se puede repetir, por lo tato las 27 letras puede ocupar el primero y el segudo lugar, luego el úmero de letras es ) Los tres úmeros idica que puede ser úmeros de tras cifras, utilizado los 10 dígitos los cuales puede ocupar cada ua, cualquiera de las tres posicioes, por lo tato puede combiarse de maeras. Por tato el úmero de placas que se puede hacer co esas codicioes es placas. Diagrama de Árbol: E problemas más secillos se puede utilizar ua técica que os permita obteer co facilidad la respuesta de estos, y es costruyedo u Diagrama de Árbol. Cabe señalar que o siempre es útil esta técica. Por ejemplo e el primer problema el diagrama de árbol es Por ejemplo: E el bar de la Escuela se vede dos tipos de refrescos: piña y meló, y tres tipos de repostería: pudi, bollo dulce y torta de chocolate. De cuátas maeras diferetes se puede seleccioar u refresco y ua repostería e ese orde? Solució: el aálisis cosiste e pesar que cada refresco puede aparecer de dos maeras y cada repostería de tres. Esto se represeta así: 3

4 p ( p,p ) p b ( p, b ) t ( p, t ) Iicio p ( m,p ) m b ( m, b ) t ( m, t ) Observemos que para seleccioar u refresco existe dos maeras distitas y para cada ua de ellas se tiee tres maeras diferetes de seleccioar ua repostería. Ejemplo: Retomado el ejemplo mecioado al iicio del toreo e el que iterviee cuatro equipos A, B, C y e el que va a elegir el primero, segudo y tercer lugar. De cuátas maeras puede hacerse? Resuelve tú mismo este ejercicio costruyedo primero u diagrama de árbol y luego verifica el resultado aplicado el Pricipio Fudametal del Coteo. Ejercicios propuestos: 1) Cuátas baderas bicolores se puede formar si se dispoe de 4 liezos de telas de 4 colores y u asta? Los colores repetidos e ua misma badera o se permite y el orde de los colores o importa. 2) Cuátos úmeros se puede formar co los dígitos 1, 2, 3, 4? Si o se permite repeticioes. 3) Si e u toreo hay 4 equipos de basquetbol. Calcular el úmero de formas e que puede ocuparse los tres primeros lugares, supoiedo que o se preseta empates. 4) Juaa tiee 4 faldas, 6 blusas y 3 suéteres. De cuátas maeras distitas se puede vestir co ellas? 5) E u determiado lugar, los úmeros de las placas de automóviles iicia co ua letra del alfabeto (cosidere 27 letras) y tres dígitos. Calcule, Cuátos úmeros de placas se puede obteer si?: a) El primer digito que sigue a la letra o puede ser cero. b) La letra o puede ser O i I. 4

5 6) De cuátas maeras puede ordear 1 libro de matemática, 1 de legua y literatura y 1 de ciecias? 7) Cuátas palabras (co setido o o) puede formarse que tega exactamete las mismas letras de la palabra CASTO y que empiece y termie por vocal? E el estudio de las técicas de coteo existe dos pricipios fudametales para la resolució de ejercicios, estos so el Pricipio de la Multiplicació y el Pricipio de la Suma. Por ejemplo si os platea la siguiete situació: Supógase que e ua elecció se preseta 3 mujeres y 2 hombres. De cuátas maeras puede ser elegidos u presidete y u secretario si: a) El presidete es ua mujer y el secretario u hombre. b) El presidete es u Hombre y el secretario es ua mujer. c) El presidete y secretario debe ser del sexo opuesto. Pricipio de la multiplicació: Supógase que u caso H puede ocurrir de h maeras y después que ha ocurrido, u segudo caso k puede ocurrir de k maeras, etoces el úmero de maeras e que ambos casos H y K puede ocurrir es h x k maeras. Este pricipio se puede exteder a tres o más casos. Pricipio de la Suma. Sea H y K dos casos ajeos o idepedietes, esto es, casos que o puede suceder al mismo tiempo. Si H puede ocurrir de h maeras y k puede ocurrir de k maeras, etoces H o K puede ocurrir de h+k maeras. Este pricipio se geeraliza parta tres o más casos ajeos. Para citar u ejemplo resolvamos el ejercicio plateado ateriormete: a) E el caso de que el presidete es ua mujer y el secretario u hombre, Para elegir a ua mujer se puede hacer de 3 maeras mietras que para elegir a u hombre se puede hacer de 2 maeras por lo cual, teemos por el pricipio de la multiplicació 3x2=6 maeras de elegirlos. b) E el caso de que el presidete es u hombre y el secretario ua mujer, semejate al caso aterior, teemos por el pricipio de la multiplicació 2x3=6 maaras de elegirlos. c) E el caso de que el secretario y el presidete debe ser del sexo opuesto cosideramos de que el secretario sea mujer y el presidete hombre o bie que el secretario sea hombre y el presidete sea mujer, por lo tato por el pricipio de la suma teemos 3x2 + 2x3 = = 12 maeras de elegirlos. Ejemplo 2. Ua caja cotiee 12 tarjetas umeradas del 1 al 12 supógase que ua tarjeta es tomada de la caja. Ecuétrese el úmero de maeras e que cada uo de los siguietes evetos puede ocurrir. a) El úmero tomado es par. b) El úmero es mayor que 9 o meor que 3. 5

6 Solució: E el iciso a) solo existe 6 maeras de elegir ua tarjeta co u umero par. E el iciso b) existe 3 maeras de elegir u úmero mayor que 9 y dos maeras de elegir u úmero meor que tres. Por lo tato existe = 5 maeras de elegir u úmero mayor que 9 o meor que 3. Ejercicios propuestos. 1.-De cuatas maeras puede ser elegidos u presidete, u vicepresidete y u secretario de u grupo de 10 persoas? 2.-Cico camios ue a ciudad Alegría co el pueblo Malhumorado. Empezado e ciudad Alegría. a) De cuátas maeras puede maejar Sergio al pueblo Malhumorado y volver, esto es, cuátos viajes redodos distitos puede hacer? b) Cuátos viajes redodos distitos se puede hacer si se desea regresar por u camio diferete? 3.-Felipe tiee 2 pares de zapatos, 8 camisas y tres pares de pataloes. Cuátas combiacioes diferetes puede usar? 4.- Ua Pizzería ofrece 3 tipos de bebida, 10 clases de Pizza y 4 postres diferetes. Cuátas comidas de tres platillos se puede pedir? Permutacioes: Permutar u cojuto de objetos sigifica reordearlos. Así, ua permutació de u cojuto de objetos es u arreglo ordeado de esos objetos. Si cosideramos el cojuto de letras de la palabra AMOR como u ejemplo, imagiemos que esas 4 letras está impresas e pequeñas tarjetas a modo que se pueda colocar como se quiera. Etoces se puede formar palabras como: MORA, OMAR, RAMO, alguas de las cuales o está e el diccioario pero todas so palabras perfectamete correctas desde este puto de vista. Cuátas palabras 4 letras (tega setido o o) se puede formar co las letras de la palabra AMOR, esto es, cuatas permutacioes de 4 objetos hay? Cosideremos esto como el problema de llear 4 casilleros, Se puede llear el primer casillero de 4 maeras. Habiedo hecho esto, se puede llear el segudo casillero de 3 maeras, el tercero de 2 maeras y así sucesivamete. Por el pricipio de la multiplicació, se puede llear los 4 casilleros de 4 x 3 x 2 x 1 = 24 maeras. La expresió aterior 4x3x2x1=4! (se lee 4 factorial). E geeral el símbolo! (se lee factorial) tambié se utiliza para este producto. Así P 5! 5x4x3x2x P 4! 4x3x2x Qué pasa si se quiere formar códigos de tres letras co la palabra AMOR?, palabras como AMO, ARO, ROA?. Cuátas de esas palabras se puede hacer?. E 6

7 este caso el problema cosistiría e llear casilleros de tres letras co las 4 dispoibles. Cosideremos el problema geeral correspodiete. Supógase que de objetos distiguibles se seleccioa r de ellos y se ordea e hilera. Al arreglo resultate se le llama ua permutació de cosas tomadas de r e r. El úmero de tales permutacioes se le deota Así P 0 P r. r ₆P₃ = 6 x 5 x 4 = 120 Y e geeral r ₆P₆=6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 ₈P₂=8 x 7=56 P = ( 2)( r 1) r. Permutació. Defiició: Ua permutació de elemetos, tomados r a la vez (o tomados de r e r), es la acomodació, si repeticioes, de r de los elemetos. El úmero de permutacioes de elemetos, tomados r a la vez, se deota por P r. Ejemplo: Cuátos úmeros de tres dígitos so posibles co los 5 úmeros impares, si o se permite repeticioes de igú úmero? Solució: Dado que hemos tomado 3 de los 5 elemetos, si repeticioes y e todos los órdees posibles podemos afirmar que la solució está dada por 5P₃. Es decir, 5 P 3 =5x4x3=60 úmeros de tres dígitos. Observemos que 5 P 3 = 5 x 4 x3 tiee tres factores. Se comieza co el 5 y se cotiúa co cada factor sucesivo, dismiuyedo de 1 e 1. E geeral, para obteer P r, habrá r factores, empezado co de la maera siguiete: P = (-1) (-2) (-3)... (-(r-1)) r = (-1) (-2) (-3)... (-r+1). 7

8 ! P r = ()! r Ejemplo: Calcula el valor de 7 P 4 usado cada ua de las formulas obteidas para P r. Usado P r = (-1)(-2)... (-r+1), obteemos : 7P 4 =7 x 6 x 5 x 4=840! Usado Pr, obteemos: r! 7P 4 = 7! 3! = ! =840 3! Ejemplo: Ua cooperativa tiee 10 miembros, que desea elegir ua mesa directiva cosistete e u presidete, u vicepresidete y u secretario-tesorero. Cuátas mesas directivas so posibles? 10P 3 = 10! 7! =10*9*8*7! =720. 7! VARIACIONES: Las variacioes so otro tipo de permutació cuya aplicació resulta muy secilla tomado e cosideració el pricipio fudametal del coteo fudametalmete. Veamos su defiició. Llamamos variacioes a los distitos grupos de elemetos que podemos formar tomados de e de u total de m elemetos. Ejemplo: Cuátos grupos de 2 cifras () podemos formar co las tres primeras cifras de úmeros aturales (m)? Sirviédoos de u diagrama de árbol podemos hacer lo siguiete: Los grupos de 2 elemetos so: 12, 13, 21, 23, 31 y 32 Vemos que co 3 cifras podemos formar 6 úmeros diferetes de dos cifras. m a, b, c, d, e tomados de 3 e 3, es decir, 3 cuátos grupos diferetes Co o variacioes puedo hacer? 8

9 Compruebo que puedo hacer 60 variacioes. Dirás co toda razó que hacer u trabajo de éstos lleva mucho tiempo y que siempre estás corriedo el riesgo de cometer equivocacioes. Tiees razó, lo que sucede es que casi uca os iteresa ver los grupos que se puede formar sio cuátos se puede hacer. Por simple observació comprobamos e el primer ejemplo que co 3 elemetos tomados de 2 e 2 hemos formado 6 grupos. Es decir, co m 3 y 2 hemos obteido 6 variacioes. Si al valor de m (m=3) multiplicas por el siguiete valor iferior a él e ua uidad (m-1) que es =2, y el úmero de factores es igual al valor de (dos factores) las Variacioes de 3 elemetos tomados de dos e dos es 3x2 6 Esto se escribe: 3 V2 3(31) 3x 2 6 Tambié podemos escribir: V m( m 1)( m 2)...( m 1) m Que es el producto de factores iiciado desde m y decreciedo de uo e uo hasta teer los factores Ejemplos 1.- Co las cifras 1, 2,3, 4 cuátos úmeros de 3 cifras puedo formar? 4 Respuesta: V3 4x3x2 24 úmeros diferetes. 2.- Co las 5 (m) primeras letras del alfabeto cuátas palabras de 3() letras puedo formar? Respuesta: 60 Solució: los valores de m y so m 5 y 3, por tato V 5 3 5x4x3 60 E estos tres ejemplos puedes ver que el úmero de elemetos (m) es el primer factor, cada uo de los que le sigue va decreciedo de uidad e uidad. E último factor observamos que el valor que se le resta a m equivale al valor de meos 1. VARIACIONES CON REPETICIÓN (VR) Se trata de variacioes de m elemetos de orde e las que los grupos se diferecia uo de otro, e teer u elemeto distito o e el orde de colocació pero 9

10 que podamos repetir los elemetos, por ejemplo: aab aba baa so grupos diferetes porque se diferecia e el orde de colocació de sus elemetos. Si tomamos las cico vocales de dos e dos veamos cuatas variacioes co repetició podemos hacer: 5,-Si teemos uos cartoes, cada uo co ua vocal, podemos extraer dos veces la misma vocal. Cada grupo ves que se diferecia e teer u elemeto distito o e el orde de colocació. Por cada vocal coseguimos 5 grupos de 2 vocales cada grupo. Los 5 grupos que podemos obteer e el caso de VR2 5x5 25 Los grupos que podemos obteer e el caso de 5 VR3 so los siguietes: El escribir todos los grupos es ua tarea u poco más complicada que e el caso aterior. Por cada letra hemos coseguido 25 variacioes, luego el total de grupos de 3 elemetos es 25x5= 125: 5 VR3 25x5 125 Observa si las 5 vocales las agrupamos de 4 e 4: El total de grupos vemos que so 125x5= 625 variacioes co repetició: E los problemas, casi siempre, te va a pregutar el úmero de variacioes o cuales so. La resolució es muy simple. Fíjate bie :Hemos calculado que 5 2 VR 25 5 VR VR m VR Es decir m Ejemplo Co las letras de la palabra FACTOR, 10

11 a) Cuátas palabras de tres letras se puede formar si o se permite repeticioes? b) Cuátas palabras distitas de tres letras se puede formar, si se permite repeticioes? c) Cuátas so las palabras diferetes que se puede formar, si repeticioes y co la letra O e el cetro? d) Cuátas palabras diferetes se puede formar, si repeticioes y co la R como letra iicial? e) Cuátas palabras diferetes se puede formar, si repeticioes, que tega la A y la O al pricipio y al fial? f) Si se permite repeticioes, Cuátas palabras deferetes se puede formar co la F e el cetro? Permutacioes co repeticioes o distiguibles: Si e u cojuto de objetos, r de ellos so iguales y el resto de los objetos so diferetes etre sí y tambié diferetes respecto a los r objetos, etoces el úmero! de permutacioes distiguibles de los objetos es: r!. Ejemplo 1: Si teemos 6 lápices; 3 rojos, 2 azules y 1 egro. Determiar el úmero de arreglos que podemos hacer co estos lápices. Solució: Cosideremos arreglos como: RA, RA, RN. Hay tres arreglos de lápices rojos que o afecta los arreglos de colores. Hay dos arreglos de lápices azules que o afecta los arreglos de colores. Hay u arreglo de lápices egros que o afecta los arreglos de colores. E total tedremos: 3!*2!*1! Arreglos de lápices que o produce permutacioes distiguibles. Si N represeta el úmero de permutacioes distiguibles de los objetos y teiedo e cueta que si los objetos fuera todos diferetes el úmero de permutacioes seria 6! Etoces el úmero de permutacioes distiguibles estaría dado por: 6! 6*5*4* 3! N 3!*2!*1! 3!*2*1 60 arreglos posibles. Ejemplo 2: Cuátas señales diferetes se puede hacer co 8 baderas, utilizado 4 baderas blacas, 3 baderas rojas y 1 badera azul? Solució: Aplicado la expresió aterior teemos: 8! 8*7*6*5* 4! 4!*3!*1! 8*7*6*5 280 señales diferetes. 4! *3!*1! 3*2 11

12 3: De cuatas maeras distitas puede colocarse e líea ueve bolas de las que 4 so blacas, 3 so amarillas y 2 azules? Solució: E este caso el orde importa por ser de distito color, pero hay bolas del mismo color (está repetidas), y además =m, es decir, colocamos 9 bolas e líea y teemos 9 bolas para colocar. Por tato teemos: 9! 9*8*7*6*5* 4! 9* 8 4,3,2 p9 4!*3!*2! diferetes. 4! *3!*2! *7* 6 *5 3 * 2 * 2 9*4*7* arreglos Ejemplo 4: Ecuetre el úmero de palabras de siete letras que puede formarse utilizado las letras de la palabra BENZENE. Solució: Se busca el úmero de permutacioes de siete objetos de los cuales tres so iguales, las letras E, y otros dos tambié so iguales, las letras N, por lo tato teemos: 3,2 7! 76543! P ! 2! 3! 21 Permutacioes. EJERCICIOS PROPUESTOS: 1.- Cuátos códigos de tres letras puede formarse usado las letras A, B, C, D? si: a) Se permite repeticioes b) No se permite repeticioes. 2.- Cuátas palabras diferetes puede costruirse usado todas las letras de la palabra CORRER? 3.- Cuátas palabras diferetes se puede formar co todas las letras de la palabra BARRILETE? 4.- Ecuetre el úmero de formas e que 9 juguetes puede dividirse etre 4 iños si el más jove debe recibir tres juguetes y cada uo de los demás, 2 juguetes. 5.- Ecuetre el úmero de maeras distitas que se puede ordear u librero si se tiee 4 libros de matemáticas, 4 de legua y literatura y 3 de ciecias aturales. Combiacioes Se llama combiacioes de m elemetos tomados de e (m ) a todas las agrupacioes posibles que puede hacerse co los m elemetos de forma que, o etra todos los elemetos, o importa el orde y o se repite los elemetos. Las m combiacioes se deota por C C m V p m 12

13 Tambié podemos calcular las combiacioes mediate factoriales: C m m!! m! Ejemplos 1. Calcular el úmero de combiacioes de 10 elemetos tomados de 4 e ! 10x9x8x7x6! C ! 10 4! 4! x6! 2. E ua clase de 35 alumos se quiere elegir u comité formado por tres alumos. Cuátos comités diferetes se puede formar? Es claro ver que e este problema o etra todos los elemetos, o importa el orde: Jua, Aa y o se repite los elemetos ! 35x32x33x32! C ! 35 3! 3! x32! Ejercicios: 2 1. De cuátas formas puede mezclarse los siete colores del arco iris tomádolos de tres e tres? 2. A ua reuió asiste 10 persoas y se itercambia saludos etre todos. Cuátos saludos se ha itercambiado? 3. E ua bodega hay e u cico tipos diferetes de botellas. De cuátas formas se puede elegir cuatro botellas? 4. Cuátas diagoales tiee u petágoo y cuátos triágulos se puede iformar co sus vértices? 5. U grupo, compuesto por cico hombres y siete mujeres, forma u comité de 5 hombres y 3 mujeres. De cuátas formas puede formarse, si: - Puede perteecer a él cualquier hombre o mujer. - Ua mujer determiada debe perteecer al comité. - Dos hombres determiados o puede estar e el comité. 13

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