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1 Etreamieto estatal. Combiatoria. Coteo. Problemas de caletamieto. 1. Cuátos códigos diferetes de cico dígitos puede hacerse? 2. Si para ir de A a B hay 3 camios, para ir de A a C hay dos camios, Para ir de B a D hay dos camios, para ir de C a D hay tres camios. cuátos camios hay para ir de A a D (Supoga que o existe más camios que los mecioados). Recuerda: Proposició 1 (Regla de la suma) Si u eveto puede suceder de a o de b maeras hay e total a + b maeras de que suceda el eveto. Proposició 2 (Regla del Producto) Si u eveto puede suceder de a y otro idepediete de b maeras hay e total a b maeras de que suceda los evetos. Permutació. Defiició 1 Si es u etero positivo, defiimos factorial como así mismo, defiimos que 0! = 1! := ( 1) ( 2) De cuátas maeras puedes acomodar los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 para formar u úmero de cico dígitos (Pedimos que cada dígito aparezca ua y sólo ua vez). 2. De cuátas maeras puedes acomodar los dígitos del 1 al 9 para formar u úmero de cico dígitos (Pedimos que cada dígito aparezca ua y sólo ua vez) 3. De cuátas maeras puedes acomodar tres de cico iños e ua fila? 4. Si queremos formar ua código de 6 dígitos que cotega al pricipio los úmeros 1, 2, 3, e algú orde y los úmeros 4, 5, 6 e algú orde de cuátas maeras podemos hacer esto? 5. Si queremos formar u código de tres dígitos que cotega los tres úmeros 1, 2, 3 o que cotega los tres úmeros 7, 8, 9 de cuátas maeras podemos hacer esto? Combiació 1. De cuátas maeras podemos elegir cico úmeros de u cojuto de ueve? 2. De cuátas maeras podemos elegir u grupo de tres iños de cico? 3. Cuátos subcojutos distitos de k elemetos de u cojuto de elemetos hay?

2 4. De cuátas maeras podemos elegir 3 mujeres y 3 hombres de u grupo de 5 mujeres y 6 hombres? 5. De cuátas maeras podemos elegir u comité de 3 persoas que sólo tega persoas del mismo sexo de u grupo de 4 hombres y 5 mujeres? Defiició 2 El úmero de subcojutos de k elemetos de u cojuto de elemetos se defie como combiació de k elemetos de elemetos o, más corto, combiació de k de y se deota como: ( ) := k! ( k)!k! Biyeccioes. Defiició 3 Biyecció diremos que ua relació etre dos cojutos es ua biyecció si a cada elemeto del primer cojuto le correspode uo y sólo u elemeto del segudo cojuto. Las biyeccioes so ua gra herramieta para el coteo. E efecto, muy posiblemete ya las hayas usado si darte cueta. Ejemplo 1 E ua cuadrícula de 4 7 llamamos A al vértice iferior izquierdo y B al vértice superior derecho. Si sólo podemos camiar sobre las aristas de la cuadrícula u sólo hacia la derecha y hacia arriba Cuátos camios diferetes hay para ir de A a B? Solució: E el pitarró. 1. Demostrar usado cojutos y camios que ( ) ( k = 2. Demostrar que u cojuto de elemetos tiee 2 subcojutos diferetes (icluidos el vacío y el mismo cojuto) o bie demostrara que ( ( 0) + ( 1) ) = 2. por qué es lo mismo demostrar ua cosa o la otra? 3. Demostrar, si usar álgebra, que ( ) ( k + ) ( k+1 = +1 ) k+1 Separadores Para compreder que so los separadores empecemos co el siguiete: Ejemplo 2 E ua tieda hay 5 diferetes sabores de refrescos. Si se quiere comprar 20 refrescos de cuátas maeras diferetes se puede hacer esto? Solució: E el pitarró. 1. Si e el ejemplo aterior de cuátas maeras se puede comprar los 20 refrescos si se quiere que haya al meos uo de cada uo? 2. Seis cajas está umeradas del 1 al 6. De cuátas formas se puede repartir 20 pelotas idéticas etre las cajas? (puede quedar vacías) 3. Doce libros idéticos se va a forrar usado los colores azul, blaco y rojo. de cuátas maeras diferetes se puede hacer esto? Alguas sugerecias k )

3 Si o sabes como cotar algo, iteta cotar lo cotrario. Puedes cotar los casos varias veces y después dividir etre las veces que cotaste demás. Puedes cotar demás siempre que lo que cuetes demás se lo restes. Ejercicios. 1. Cuátos códigos diferetes de cico dígitos puede hacerse? 2. Si para ir de A a B hay 3 camios, para ir de A a C hay dos camios, Para ir de B a D hay dos camios, para ir de C a D hay tres camios. cuátos camios hay para ir de A a D (Supoga que o existe más camios que los mecioados). 3. De cuátas maeras puedes acomodar los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5 para formar u úmero de cico dígitos (Pedimos que cada dígito aparezca ua y sólo ua vez). 4. De cuátas maeras puedes acomodar los dígitos del 1 al 9 para formar u úmero de cico dígitos (Pedimos que cada dígito aparezca ua y sólo ua vez) 5. De cuátas maeras puedes acomodar tres de cico iños e ua fila? 6. Si queremos formar ua código de 6 dígitos que cotega al pricipio los úmeros 1, 2, 3, e algú orde y los úmeros 4, 5, 6 e algú orde de cuátas maeras podemos hacer esto? 7. Si queremos formar u código de tres dígitos que cotega los tres úmeros 1, 2, 3 o que cotega los tres úmeros 7, 8, 9 de cuátas maeras podemos hacer esto? 8. De cuátas maeras podemos elegir cico úmeros de u cojuto de ueve? 9. De cuátas maeras podemos elegir u grupo de tres iños de cico? 10. Cuátos subcojutos distitos de k elemetos de u cojuto de elemetos hay? 11. De cuátas maeras podemos elegir 3 mujeres y 3 hombres de u grupo de 5 mujeres y 6 hombres? 12. De cuátas maeras podemos elegir u comité de 3 persoas que sólo tega persoas del mismo sexo de u grupo de 4 hombres y 5 mujeres? 13. Cuátas parejas de eteros positivos cumple que su máximo comú divisor es d y su míimo comú múltiplo es dp α q β r γ s δ dode p, q, r, s so primos distitos? 14. Cuátas placas de automóvil distitas se puede hacer si ua placa de auto costa de 3 letras y 4 dígitos? 15. Cuátos úmeros de cuatro cifras distotos impares hay? Cuátos so pares? 16. Cico estudiates se escoge al azar de u grupo de 10 para formar ua fila. Cuátas filas diferetes se puede formar? 17. E ua carrera compite cico corredores A, B, C, D, E. Si uca hay empates, E cuátos resultados A le gaa a B?

4 18. Hay 4 parejas casadas e u club. De cuátas maeras se puede elegir u comité de 3 persoas de tal maera que o haya u matrimoio icluido e el comité? 19. Se tiee 8 piezas de ajedrez: 2 tores, 2 alfiles, 2 caballos y 2 peoes, uo de cada color. De cuátas formas puede acomodarse las 8 piezas e ua columa de maera que o quede dos piezas del mismo color jutas? 20. Ua persoa tiee 6 amigos. Cada oche, durate 5 días, ivita a cear a u grupo de 3 de ellos de modo que el mismo grupo o es ivitado dos veces. Cuátas maeras hay de hacer esto? 21. Seis persoas A, B, C, D, E, F se sieta e toro a ua mesa redoda. Cuátas posicioes circulares diferetes hay? (Dos posicioes se cosidera iguales si ua se puede obteer de otra por rotacioes). 22. Cuátos úmeros hay del 1 al 1000 que puede escribirse e la forma a b co a y b eteros mayores que 1? 23. Cuátos úmeros se puede represetar como suma de alguos de los úmeros 1,2,4,8,16 dode cada úmero se escoge a lo más ua vez? Por ejemplo el 11 se puede represetar como , además las sumas co u sólo sumado está permitidas. 24. De cuátas maeras distitas puede colorearse los lados de u triágulo equilátero co cuatro colores distitos, si supoemos que u mismo color se puede emplear e lados distitos y que dos coloracioes so iguales si difiere e u giro del triágulo e el plao? 25. Cosidere los 36 vértices de ua cuadrícula de 6 6. Utilizado éstos como vértices de triágulos o degeerados, cuátos triágulos distitos se puede formar? 26. Cuátos úmeros del 1 al tiee sus cifras e orde estrictamete creciete? (Por ejemplo 1, 46, 1379 tiee la propiedad y 280 y 122 o la tiee). 27. De los úmeros de cuatro cifras que so múltiplos de 9, cuátos hay que tiee todas sus cifras distitas de 0 y distitas etre sí? 28. Si se escribe todos los eteros positivos e forma cosecutiva obteemos la siguiete secuecia de cifras: Qué cifra ocupa el lugar y a qué úmero correspode? 29. a) Cuátos úmeros de ocho cifras hay cuyos dígitos sea 1, 2, 3 y 4 tales que cifras cosecutivas sea dígitos o cosecutivos distitos? b) Cuátos úmeros de 7 cifras se puede formar co los dígitos 1, 2, 3, y 4 tales que los dígitos 1 y 2 o sea cifras cosecutivas? 30. a) Cuátos cuadrados hay e u tablero de ajedrez? b) Cuátos cuadrados hay e u tablero de? 31. Seis persoas A, B, C, D, E, F se sieta e toro a ua mesa redoda. Cuátas posicioes circulares diferetes hay? (Dos posicioes se cosidera iguales si ua se puede obteer de otra por rotacioes).

5 32. Cuátos paralelepípedos rectagulares distitos se puede costruir, para los cuales la logitud de cada arista es u etero del 1 al 10? 33. E ua ciudad hay dos ríos paralelos R y S uidos por 10 calles y separados por otras cico calles, tal que forma ua cuadrícula. Cuátas rutas de autobús se puede diseñar del río R al río S si durate el recorrido total el autobús debe dar meos de cico vueltas y o debe pasar dos veces por u mismo lugar? 34. La distacia etre dos ciudades A y B es de 9999 kilómetros. A lo largo de la carretera, que ue a estas ciudades, hay postes idicadores de los kilómetros, e los que está escritas las distacias hasta A y hasta B. Cuátos postes habrá, etre ellos, e los cuales solo aparezca dos cifras distitas? (E el primer poste aparece (0, 9999) y e el último poste aparece (9999, 0)). 35. U icosaedro es u sólido regular de 20 caras, cada ua de las cuales es u triágulo equilátero. Cuátas diagoales tiee u icosaedro? 36. E u libro de 2018 págias se tuviero que reescribir todos los úmeros de las págias. Cuátos ochos se escribiero? 37. Cuátos divisores tiee u úmero etero? (Sugerecia: Utiliza el hecho de que u etero es la multiplicació de sus factores primos, luego = p 1 α 1 p 2 α2 p α, dode P i es primo). 38. Los úmeros de seis dígitos ABCDEF dode los dígitos varía del 1 al 6 y so todos distitos, se llama armoiosos si 1 divide a A, 2 divide a AB, 3 divide a ABC, 4 divide a ABCD, 5 divide a ABCDE y 6 divide a ABCDEF. Cuátos úmeros armoiosos hay de 6 dígitos? 39. Para escribir todos los eteros positivos del 1 al 1ab hasta el ab2 iclusive se ha empleado 1ab1 cifras (a y b so dígitos). Cuátas cifras más se ecesita para escribir los úmeros hasta aab? 40. Cuátas listas de 7 úmeros de dos cifras so tales que cada tres térmios cosecutivos de la lista tiee suma múltiplo de 3? (E cada lista puede repetirse úmeros). 41. U úmero de tres cifras es equilibrado si ua de sus cifras es el promedio de las otras dos, por ejemplo el 258 es equilibrado pues 5 = Cuátos úmeros equilibrados de tres cifras hay? 42. Supogamos que queremos formar 5 pilas de cajas co las siguietes codicioes: cada pila debe teer etre ua y cico cajas. Además, cada pila o debe teer más cajas que la pila de su izquierda. De cuátas formas podemos hacer esto? 43. Sea l 1 y l 2 dos rectas paralelas. Se ha marcado k putos e la recta l 1 y putos e la recta l 2 (k ). Si se sabe que la catidad total de triágulos que tiee sus tres vértices e putos marcados es 220, determie todos los valores posibles de k y. (19a Olimpiada e Sa Luis Potosí. Tercer exame selectivo).

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