el blog de mate de aida CS I. Distribuciones de probabilidad. pág. 1

Transcripción

1 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. EXPERIENTOS Y SUCESOS ALEATORIOS Eermento determnsta es aquel en que se uede redecr el resultado semre que se realce en las msmas condcones. (Ejemlo: medr el temo que tarda en caer un objeto desde una msma altura sobre la suerfce de la Terra). Eermento aleatoro es aquel del que no se uede redecr el resultado aunque se realce en las msmas condcones. (Ejemlo: lanzar al are una moneda). Los osbles resultados de un eermento aleatoro se llaman sucesos aleatoros y se clasfcan en elementales y comuestos. - Suceso elemental es cada uno de los sucesos que no se uede descomoner en sucesos más smles. - Suceso comuesto es el que está formado or más de un suceso elemental. - Esaco muestral es el conjunto formado or todos los sucesos elementales. - Suceso seguro uesto que ocurre semre que se realza el eermento y se reresenta or la letra E. (Ejemlo: s se lanza al are una moneda el esaco muestral es E={caracruz}). - Suceso mosble es el que no ocurre nunca y se reresenta or la msma letra que ara el conjunto vacío:. OPERACIONES CON SUCESOS - Suceso unón: dados dos sucesos A y B se llama y se desgna or A U B al suceso que se roduce semre que se verfca uno de los dos es decr s se verfca A ó B. Ejemlo: Tramos un dado y consderamos los sguentes sucesos: A= salr ar y B= salr mayor que. Entonces A={6} B={6} y AUB={6}. - Suceso nterseccón Dados dos sucesos A y B se denomna y se desgna or A B al suceso que se realza s se verfca A y B. Ejemlo: A: salr ar y B: salr mayor que. Entonces A={6} B={6} y AB={6}. - Suceso contraro de un suceso A ( A ) es el suceso que ocurre semre que no se verfca A. Es equvalente a la negacón lógca. S dos sucesos no se ueden verfcar smultáneamente su nterseccón es el conjunto vacío. Cualquer suceso que sea gual al conjunto se llama suceso mosble y or tanto será un suceso que no se roduce nunca. Dos sucesos cuya nterseccón es el suceso mosble se dce que son ncomatbles. La unón de sucesos contraros es el suceso seguro y su nterseccón es el suceso mosble. Sean los sucesos A y B; se dce que el suceso A está contendo en el suceso B A B s semre que se verfca A tambén se verfca B.

2 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. EJERCICIOS º.- Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman los untos de las caras suerores. Descrbe los sucesos elementales asocados al eermento y el esaco muestral. Son los sucesos elementales gualmente osbles? º.- Se lanzan dos dados sobre la mesa y se anota el ar de números obtendo (ero no se suman). Descrbe el esaco muestral ndcando el número de sucesos elementales que lo forman. Sendo los sucesos A= al menos uno de los números es ar y B= la suma de los dos números es múltlo de tres calcula A B A B A y B. PROBABILIDAD DE UN SUCESO: REGLA DE LAPLACE Suongamos un eermento aleatoro que uede dar lugar a n sucesos elementales ncomatbles entre sí e gualmente osbles es decr con las msmas osbldades de ocurrr. Sea A un suceso cualquera formado or k sucesos elementales se defne la robabldad de A como el cocente: casos favorables PA. casos gualmente osbles Ejemlo º: Se lanzan dos dados sobre la mesa y se suman sus caras suerores. alla la robabldad de obtener una suma gual a. Solucón: /6. PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD La robabldad de sucesos verfca las sguentes roedades:.- La robabldad de un suceso es un número comrenddo entre 0 y. Toma el valor cuando se trata del suceso seguro y vale 0 cuando se trata del suceso mosble: P(E) = y P() = 0..- La robabldad de la unón de dos sucesos es la suma de las robabldades de los dos sucesos menos la robabldad de su nterseccón: P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AB) S A y B son sucesos ncomatbles AB= P(AUB) = P(A) + P(B)..- S A es un suceso cualquera y A es su contraro: P( A) P( A) EJERCICIOS º.- (ejercco resuelto ág. 7): Encuentra el esaco muestral asocado a los sguentes sucesos: A) Lanzar dos monedas al are: C = obtener cara; X = obtener cruz. C C C X X C X X E

3 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. B) Famlas de tres hjos consderando el seo de éstos. = hombre; = mujer. E º.- (ejercco resuelto ág. ): En el eermento aleatoro de estudar las famlas de tres hjos or el seo de dcho hjos consderamos los sguentes sucesos: ón es mayor hjo el A var seo gual tenen hjos tres los B ón es hjo nngún C var Encuentra los elementos de los sguentes sucesos y calcula sus robabldades: E; A; B; C; B A ; C A ; B. Solucón: llamamos = varón; = mujer. E E P A A P B B P C C P B A B A P C A 0 C A P B 6 B P 6º.- Se lanza al are una moneda cnco veces. Descrbe el esaco muestral y calcula la robabldad de que el número de caras obtenda sea tres. Cuál es la robabldad de obtener la secuenca CXXCC? Es la msma que la robabldad de obtener tres caras? PROBABILIDAD CONDICIONADA Se llama robabldad de A condconada a B y se smbolza or P(A/B) al cocente: ) ( ) ( ) / ( B P B A P B A P con P(B)0. (Es la robabldad de que se realce A sabendo que se ha realzado B). De aquí obtenemos la sguente eresón ara la robabldad comuesta (o del roducto): ) / ( ) ( ) ( A B P A P B A P

4 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 7º.- (ejemlo ág. 9): Realzamos una encuesta a los alumnos sobre el color de los ojos y del elo. En la tabla de contngenca odemos ver los resultados obtendos: ojos claros ojos oscuros TOTALES elo rubo 6 0 elo moreno 0 TOTALES 0 La robabldad de elegr un alumno rubo y de ojos oscuros: R O La robabldad de elegr un alumno rubo con ojos oscuros: INDEPENDENCIA DE SUCESOS 6 P. 0 6 O / R 0 P. Dos sucesos son ndeendentes s la ocurrenca de uno no modfca la robabldad del otro: P( A B) P( A) P( B) Dos sucesos son deendentes s la ocurrenca de uno modfca la robabldad del otro: P( A B) P( A) P( B / A) P( A) P( B) Ejemlo º: De una baraja esañola de 0 cartas sacamos rmero una la devolvemos y luego sacamos otra. Sean los sucesos A: sacar oros y B: sacar coas. Cómo son los sucesos A y B deendentes o ndeendentes? Cuál es la robabldad de sacar rmero oros y desués coas? Solucón: Los sucesos A y B son ndeendentes ya que al haber devolucón en la segunda etraccón tenemos las msmas cartas que en la rmera etraccón. 0 0 P( A B) P( A) P( B) Ejemlo 9º: Se etraen tres cartas sucesvamente de una baraja de 0 cartas. Calcula la robabldad de que las tres sean del msmo alo. Solucón: Se consderan los sucesos: A = la rmera carta es de un alo váldo ; B = la segunda carta es del msmo alo que la rmera y C = la tercera carta es del msmo alo que las dos rmeras. Nos den la robabldad: P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AC). Como A = suceso seguro se tene P(A) =. 9 Además P(B/A) = y P(C/AC) = Entonces: PA B C 00% Ejemlo 0º: Se tene una urna con cuatro bolas rojas y dos azules. Se etraen tres bolas. Calcula la robabldad de que las tres sean rojas: a) Con reemlazamento. b) sn reemlazamento.

5 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. Solucón: A) Con reemlazamento las tres ruebas son ndeendentes: 6 P R PR PR PR B) Sn reemlazamento las tres ruebas son deendentes: P R Pª R Pª R /ª R Pª R /ª Ryª R 6 Ejemlo º: En el eermento aleatoro de lanzar tres monedas s A={sacar dos caras} su robabldad es P ( A) ues los casos favorables son tres: CCX CXC XCC sendo los casos osbles : CCC CCX CXC XCC XXC XCX CXX y XXX. Por tanto ahora la robabldad del suceso A sabendo que ha ocurrdo B={hay como mínmo una cruz} (que llamaremos suceso A condconado con B y se escrbe A/B) sería: P( A/ B) 7 7 P( A B) P( B) EJERCICIOS º.- En una clase donde hay 0 chcos y 0 chcas se han ofrecdo nglés y francés como ocones ara cursar lengua etranjera. an elegdo nglés alumnos y el resto han otando or el francés; además se sabe que sólo dos de las 0 chcas han referdo francés. Calcula la robabldad de los sguentes sucesos: a) Tomar al azar un nombre de la lsta que sea el de un chco. b) Elegr un chco que estuda francés. c) Sabendo que se ha selecconado un chco que éste estude francés. Solucón: Se construye la tabla: A Chcos A Chcas Total B Inglés 7 B Francés Total Observando la tabla se consderan los sguentes casos: A = el alumno elegdo es chco ; A = el alumno elegdo es chca ; B = el alumno elegdo estuda francés y B = el alumno elegdo estuda nglés. Así tendremos: a) (chco) = (A) = 0/0 = / b) (chco que estuda francés) = (AB) = /0 = /0 P( A B) 0 c) P( B / A) P( A) 0 0 0

6 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 6 Árbol de robabldades: Un árbol de robabldades es un dagrama en árbol de forma que en cada rama escrbmos su robabldad que es la robabldad de un eermento smle. Un camno es un conjunto de ramas que nos lleva desde el rnco hasta el fnal. La robabldad de un camno es gual al roducto de las robabldades de sus ramas y la robabldad de varos camnos es gual a la suma de las robabldades de cada uno de ellos. Ejemlo º: Tenemos una urna A con bolas rojas y tres verdes y otra urna B con bolas rojas y verdes. Elegmos una urna al azar y de ella etraemos una bola. az el árbol de robabldades y calcula la robabldad de que la bola etraída sea roja. P ( roja) EJERCICIOS º.- En las famlas formadas or cuatro hjos la robabldad de que éstos sean dos varones y dos hembras es: a) ¼ b) ½ c) / d) No uede saberse. Solucón: Construyendo un dagrama en árbol se tene: P = /. º.- De una baraja esañola se saca una carta y desués otra sn devolver la rmera. Calcula la robabldad de que: a) La rmera seas un as. b) La segunda sea un as s no se sabe s la rmera lo fue o no. c) Las dos sean ases. Solucón: A) P ( as) B) Construyendo un dagrama de árbol se tene: P 0 C) P º.- Se consdera una famla con tres hjos en la que la robabldad de que uno de los hjos sea nño es la msma que la de que sea nña. Calcula la robabldad de los sguentes sucesos: a) En la famla hay tres nñas. b) ay un sólo nño. c) Sólo hay un nño ó una nña. Solucón: A) ( chcas ) P ; B) P ; C) 6 P

7 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 7 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS Una funcón que a cada uno de los sucesos del esaco muestral le hace corresonder un número real se llama varable aleatora y el conjunto de todos los osbles valores obtendos se llama recorrdo de la varable. En el ejemlo del número de caras obtendas al trar una moneda al are la varable aleatora toma valores de forma que entre cualesquera dos de ellos no semre esten otros valores de la varable. Por eso se dce que la varable es dscreta. Esten otras varables aleatoras que ueden tomar cualquer valor de los comrenddos en un determnado ntervalo de números reales como or ejemlo el temo que tarda el autobús en llegar a una arada o la talla de una ersona elegda al azar. Estas varables se llaman varables aleatoras contnuas y en sus gráfcas se reresenta la robabldad medante el área como veremos más adelante. DISTRIBUCIÓN ESTADÍSTICA DISCRETA Una varable aleatora es dscreta cuando sólo uede tomar un número fnto de valores. 7º.- (ejemlo ág. 0): Se lanzan dos dados 00 veces se suman los untos que se obtenen: Suma de untos Frecuencas La meda artmétca es: f N La desvacón tíca es: s En el ntervalo s s ;9 el 6 % de los datos. está En el ntervalo s s ;7 está el 9 % de los datos. DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA Una dstrbucón de robabldad es una modelzacón de la corresondente dstrbucón estadístca de frecuencas. Es decr una dstrbucón de robabldad de una varable aleatora dscreta es la tabla en la que aarecen los dferentes valores de la varable aleatora dscreta con sus corresondentes robabldades.

8 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. La ley que asoca a cada valor de la varable su corresondente robabldad se llama funcón de robabldad. Para que una dstrbucón de robabldad esté correctamente defnda las robabldades de los sucesos elementales del esaco muestral deben ser números no negatvos y su suma debe ser. Ejemlo: Número obtendo al lanzar un dado: 6 P /6 /6 /6 /6 /6 /6 Ejemlo: Suma de los resultados al lanzar dos dados: P /6 /6 / /6 /6 6/6 /6 /6 /6 /6 /6 Ejemlo: Número de caras al lanzar dos monedas: 0 P / / ¼ EJERCICIOS º.- (ejemlo ág. ): En el ejemlo anteror (se lanzan dos dados 00 veces se suman los untos que se obtenen): ESPACIO UESTRAL E () () () () () () () () () () () () () () () (6) () () () () (6) (6) () () () (6) (6) () () (6) (6) () (6) (6) (6) Suma de untos Frecuencas (66) 6

9 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 9 9º.- Se lanza al are una moneda tres veces. Dbuja el árbol de robabldades y reresenta gráfcamente la dstrbucón de robabldades. Solucón: S la moneda no está trucada la robabldad de obtener cara en cada lanzamento es la msma que la de obtener cruz y vale ½. Se tene: 0º.- Lanzamos al are una moneda tres veces. Suongamos que la moneda está trucada de modo que la robabldad de obtener cara en cada lanzamento es 06 mentras que la de obtener cruz es 0. Dbuja el árbol de robabldades y reresenta gráfcamente la dstrbucón de robabldades. Solucón: Se tene: º.- En el lanzamento de dos dados consderamos la varable aleatora que asoca a cada resultado el mayor de los números obtendos. alla y reresenta la funcón de robabldad asocada a dcha varable aleatora.

10 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 0 Solucón: X 6 P /6 /6 /6 7/6 9/6 /6 º.- Descrbe la funcón de robabldad asocada a la varable aleatora número de caras en el lanzamento de cuatro monedas. Solucón: nº de caras 0 robabldad /6 /6 6/6 /6 /6 º.- Se lanza al are una moneda tres veces. Se consdera el eermento: = nº de caras obtendas al lanzar tres veces al are una moneda. Suongamos que la moneda está trucada de modo que la robabldad de obtener cara en cada lanzamento es 06. Reresenta la dstrbucón de robabldad de esta varable. Solucón: R 0. Consderando el caso en que la moneda esté trucada con ( El recorrdo de la varable es C)=06 la dstrbucón de robabldad ara esta varable aleatora es: º.- alla la funcón de dstrbucón corresondente a la varable aleatora nº de caras en el lanzamento de tres monedas y rereséntala gráfcamente. Solucón: F() < < / < / < 7/

11 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. PARÁETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD Como las dstrbucones de robabldad son dealzacones de las dstrbucones estadístcas. La robabldad es una dealzacón de la frecuenca relatva eresan en funcón de ellas. f N or lo que los arámetros se EDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La meda de una varable aleatora reresenta el valor central que tomaría la varable s toda la dstrbucón corresondese a un únco valor de la msma. Se llama tambén valor eserado o eseranza matemátca y se reresenta con la letra grega. La meda de una varable dscreta es la suma de todos los roductos obtendos multlcando cada valor de la varable or su corresondente robabldad: f f N El valor de la meda es el arámetro utlzado ara medr s un juego es equtatvo o no: una eseranza gual a cero ndca que no hay ventaja ara nngún aostante. VARIANZA Y DESVIACIÓN TÍPICA Para medr la dsersón de los valores de la varable resecto de la meda se ueden utlzar las desvacones de cada valor resecto de ella y hallar su valor medo ero como la suma de las desvacones ostvas concde con la de las negatvas esto daría semre cero y or tanto no srve ara medr la dsersón. Para rescndr de los sgnos tenemos dos métodos: utlzar valores absolutos o sumar los cuadrados (que semre son ostvos) hallando osterormente la raíz cuadrada. Llamamos varanza al arámetro que se obtene al hacer la meda de los cuadrados de las desvacones resecto de la meda: Llamamos desvacón tíca a la raíz cuadrada de la varanza: Ejemlo º: (ejercco resuelto ág. ): En una caja hay bombllas unas lucen son buenas y otras no lucen son defectuosas con gual robabldad ambas. Elegmos dos bombllas. Tomamos como varable aleatora número de bombllas defectuosas. A) Encuentra el esaco muestral y estuda s la varable aleatora es o no dscreta. B) Construye la dstrbucón de robabldad y comrueba que. Solucón: A) E={BB BD DB DD}; la varable aleatora toma los valores 0 or lo que es dscreta. B) X 0 P / / / ( X 0) ( X ) ( X )

12 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. Ejemlo 6º: (ejercco resuelto ág. ): Lanzamos dardos a una dana crcular con tres círculos concéntrco y cada uno con un número del al 6 y obtenemos la sguente dstrbucón de robabldad: X 6 P 0 0 a A) alla el valor de a ara que se trate de una dstrbucón de robabldad. B) Calcula: ( ) ( ) y ( ) Solucón: A) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 6) Por tanto: a = es decr: a = 0. B) ( ) ( ) ( ) ( 6) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 Ejemlo 7º: (ejercco resuelto ág. ): Lanzamos tres monedas al are. Defnmos la varable aleatora número de caras obtendas. A) Encuentra el esaco muestral. B) Qué valores toma esta varable aleatora? C) Construye la dstrbucón de robabldad. D) Calcula la meda y la desvacón tíca de esta varable aleatora. Solucón: A) E={CCCCCXCXCXCCCXXXCXXXCXXX} B) La varable aleatora toma los valores 0 y or lo que es dscreta. C) X 0 P / / / / D) Ejemlo º: En una bolsa hay 0 bolas numeradas: 9 con un con un y 6 con un. Se etrae una bola al azar. Construye la dstrbucón de robabldades y halla sus arámetros y. Solucón: ; 0 ; f ; 0 77; Ejemlo 9º: alla y en la dstrbucón que se obtene al sumar las untuacones de dos dados.

13 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. Solucón: /6 /6 /6 /6 6/6 /6 /6 /6 /6 /6 0/6 00/6 6 /6 0/6 0/6 7 6/6 /6 9/6 /6 0/6 0/6 9 /6 6/6 /6 0 /6 0/6 00/6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 /6 97/6 7 ; EJERCICIOS 0º.- Un amgo roone el sguente juego: Lanzamos un dado. S sale múltlo de tres yo te doy 6 y en caso contraro tu me das. Se debería acetar el juego? En qué condcones se debería acetar? Solucón: Varable aleatora: = remo obtendo en el juego. Su dstrbucón de robabldad se uede ver en la sguente tabla: Para averguar s el juego es equtatvo se calcula la eseranza matemátca de la varable: - / -/ 6 / 6 / 6/ 6 6/ -/ 6/ ; ; 0

14 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág No se debería acetar el juego rouesto ya que resulta ventajoso ara el amgo que lo roone. S cada vez que salera un múltlo de tres él dera entonces el juego sería equtatvo: 0 º.- alla la meda o valor eserado de la varable aleatora cuya funcón de robabldad es: X 6 P=P(X=) /6 /6 /6 7/6 9/6 /6 Solucón: 7 º.- Un jugador lanza tres monedas. Recbe 000 euros s salen tres caras; 0 euros s salen dos caras; y nada s sale cualquer otra combnacón. Cuál debería ser el reco de la auesta ara que el juego fuese equtatvo o justo? Solucón: / / / 70 7 º.- En un sorteo ueden tocar ses remos de y 6 con robabldades de 0000; 0000 y 000 resectvamente. Consderando la varable = remo consegudo halla y. Se debe tener en cuenta que la suma total de las robabldades de los valores de la varable debe ser. Solucón: ; º.- En la sguente dstrbucón de robabldad calcula el valor de k la meda de la varable y su desvacón tíca: 0 0 k 0 0 Solucón: 0 0 k 0 0 k 07 0

15 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág k = ; º.- Calcula la varanza y la desvacón tíca de la varable aleatora X cuya funcón de robabldad es: 6 /6 /6 /6 7/6 9/6 /6 Solucón: 7; 99 6º.- En el lanzamento de tres dados consderamos la varable aleatora consstente en anotar el número de múltlos de tres que aarecen. a) alla su funcón de robabldad y rereséntala. b) Determna su funcón de dstrbucón y rereséntala. c) alla la meda y la desvacón tíca. Solucón: a) 0 6/6 96/6 /6 /6 B) F() < < 6/6=096 < 60/6=0707 < 0/6=0960 6/6=

16 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 6 C) º.- Determna el valor de k en las sguentes dstrbucones de robabldad: a) 0 k k 0 b) 0 k k k k k En ambos casos halla las funcones de dstrbucón y los arámetros y. Solucón: a) 0 k k 0 k 0 < < < < F() b) k k k k k k / 0 0 /0 /0 /0 /0 /0

17 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 7 <0 0 < < < < F() 0 /0 /0 6/0 9/ ; º.- Lanzamos una moneda cuatro veces. Sea X el número de caras consecutvas. alla la funcón de robabldad la meda y la desvacón tíca. Solucón: 0 /6 /6 /6 /6 0 07; º.- Dos bolas son tomadas de una urna que contene cnco bolas numeradas con y. Sea X la suma de números e Y el mayor de los números obtendos. alla la funcón de robabldad la meda y la desvacón tíca de: a) X b) Y; c) X+Y; d) XY Solucón: A) /0 /0 6/0 /0 6 6 ; B) /0 0/0 /0 0 ; C) Z = X + Y z 6 7 /00 6/00 0/00 /00 /00 /00 9 ; C) Z = X Y z /00 6/00 /00 /00 96/00 60/00 6/00 0/00 /00 /00 ; 7

18 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 0º.- Un jugador lanza tres monedas. Gana 00 s salen tres caras; 0 s salen dos caras; y 00 s sale una cara. S el juego es equtatvo cuánto deberá erder cuando no sale nnguna cara? Solucón: / / / / Equtatvo: º.- Un jugador lanza un dado y cobra tantos euros como ndca el número obtendo. Cuánto debe agar or jugada ara que el juego sea equtatvo? Solucón: 6 /6 /6 /6 /6 /6 / Pagar or jugada º.- Un jugador lanza dos dados y cobra tantos blletes de como veces aarezca el cnco. Descrbe este juego medante una varable aleatora. Es rentable artcar en este juego s ara ello hay que agar or trada? Solucón: 0 /6 0/6 /6 0 ; El valor del juego es 67. No resulta rentable s aga or trada. º.- En una urna hay 0 bolas marcadas: dez lo están con el cnco con el cuatro con el 0 y una con el. El juego consste en etraer una bola al azar obtenéndose como remo tantos euros como ndca el número que la bola lleva marcado X. a) Escrbe la dstrbucón de robabldad de la varable aleatora X. b) Calcula la gananca meda. c) S ara oder artcar tenes que agar euros or jugada nteresa hacerlo? Solucón: A) 0 0/0 /0 /0 /0 B) 0; C) No nteresa a /jugada orque se erden E/juagada de meda. º.- Un jugador lanza un dado. S sale un número rmo gana este número de euros ero s sale un número que no es rmo erde este número de euros. Es favorable este juego ara el jugador? Solucón: /6 /6 /6 /6 /6 /6 / 6 ; Juego desfavorable ara el jugador.

19 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 9 DISTRIBUCIÓN BINOIAL La varable aleatora = nº de veces que ocurre el éto A cuando se realza el eermento n veces sgue una dstrbucón de robabldad bnomal de arámetros n y y se reresenta or B(n) cuando: - el eermento se rete un número determnado n de veces déntcas. - cada vez que se realza se ueden consderar sólo dos osbles resultados A = éto y A = fracaso. - La robabldad de estos dos sucesos es la msma cada vez que se realza el eermento: (A)=; A q ; con + q =. Es decr los eermentos son ndeendentes. Consderemos el lanzamento tres veces consecutvas de una moneda trucada. Generalzando a una moneda en la cual la robabldad de obtener cara es ( C)= y la de obtener cruz es P(X)=q es evdente que + q =. La suma de todas las robabldades de la dstrbucón es: 0 q q q q Tenemos que la robabldad de que la varable = nº de caras en tres lanzamentos tome cada uno de sus valores vene descrta or cada uno de los térmnos del desarrollo de la otenca del bnomo q. Se uede demostrar que s en lugar de tres lanzamentos se realzan n las robabldades se comortan de la msma forma. Entonces cada uno de los térmnos del desarrollo de la otenca del bnomo q n = nº de caras en n lanzamentos reresenta la robabldad de que la varable tome el valor corresondente al eonente del térmno. NOTA: Recordamos que el desarrollo de la otenca de n n n n n n q n vene dado or el bnomo de Newton: n k nk n q... q... q k 0 n n n n n q q NOTA: El número combnatoro n k reresenta el número de gruos dstntos de k elementos que se ueden formar elgéndolos de entre n elementos. Se calcula alcando la eresón: n n! k k! n k! (Tambén se ueden calcular los números combnatoros leyéndolos de las flas corresondentes del trángulo de Tartagla). Entonces resulta que la robabldad de que la varable k nk k nk k k q n n con k = 0 n. k k Esta es la funcón de robabldad de la dstrbucón bnomal. tome el valor k vene dada or la eresón:.

20 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 0 Nº de étos: r 0 n- n n q 0 n n n n n q q n n n q n n n n. k k nk Es decr la osbldad de obtener k étos será: k º.- (ejercco resuelto 6 ág. ): Lanzamos un dado 0 veces. Observamos en cada caso s la untuacón obtenda es múltlo de tres. Comrueba s la varable que eresa el número de veces que se ha obtendo un múltlo de tres sgue la dstrbucón bnomal. En caso afrmatvo señala los arámetros de la dstrbucón. Solucón: En cada trada: A = obtener múltlo de ; son 0 lanzamentos: resultados ndeendentes. (A) = /6 = / = constante; Los valores osbles de la varable (0 9 0) Parámetros de la dstrbucón: n=0; = /. Por tanto: B(0 /) Ejemlo 6º: Se tene una moneda trucada de modo que la robabldad de que salga cara en cada lanzamento es = 0. alla la robabldad de que: a) En cnco lanzamentos se obtengan caras. b) En 0 lanzamentos se obtengan 6 caras. Solucón: a) ( caras en tradas) = b) (6 caras en 0 tradas) = 06 Ejemlo 7º: Se toman 0 bombllas de un almacén en el que la robabldad de que una sea defectuosa es 00. Cuál es la robabldad de que haya eactamente dos bombllas defectuosas? Solucón: El número de bombllas defectuosas que hay entre las 0 elegdas es una varable aleatora que sgue una dstrbucón bnomal B(0; 00). Por tanto: 0 () Ejemlo º: En certo aís la tasa de aro de la oblacón actva es del %. S se toma una muestra de 0 ndvduos cuál es la robabldad de que en la muestra haya eactamente arados? Solucón: El número de arados en dcha muestra es una varable aleatora que sgue una dstrbucón bnomal B(0; 0). Por tanto: 0 () Ejemlo 9º: Se toman bombllas de una caja de la que se sabe que la robabldad de que cada bomblla no luzca es de 00. Cuál es la robabldad de que dos de ellas estén en mal estado? Solucón: El número de bombllas estroeadas que hay entre las elegdas es una varable aleatora que resenta una dstrbucón bnomal B(; 00). Por tanto: ()

21 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. Ejemlo 0º: Se sabe que tres de cada 0 alumnos de un aís hablan nglés. Cuál es la robabldad de que en una clase de 0 alumnos haya al menos alumnos que sean nglés? Solucón: El número de alumnos en una clase de 0 que saben nglés es una varable aleatora que sgue una dstrbucón bnomal B(0; /0) Podemos abrevar este cálculo consderando el suceso contraro: EDIA Y DESVIACIÓN TÍPICA DE UNA DISTRIBUCIÓN BINOIAL Dada una dstrbucón bnomal de la forma: B(n) tenemos: n y n q Ejemlo º (ejercco resuelto ág. 6): Se suone que la robabldad de nacer nño es del 00. Calcula la robabldad de que en una famla de ses hjos sean: a) Todos varones. b) Al menos dos varones. c) Tres varones d) Calcula la meda y la desvacón tíca. Solucón: B(6/); = nº hjos varones en famlas de 6 hjos. 6 6 A) todos varones: B) al menos dos varones: C) tres varones: 0 D) n 6 ; n q 6 Ejemlo º: Calcula la meda y la desvacón tíca de una varable aleatora que sgue una dstrbucón bnomal con n = 0 y = 0. Solucón: Es una varable aleatora que sgue una dstrbucón bnomal B(0; 0). 00 ; ***TABLA DE LA DISTRIBUCIÓN BINOIAL

22 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. EJERCICIOS º.- Se lanza un msmo dado veces. Calcula la robabldad de obtener: a) Eactamente una vez en los lanzamentos. b) Eactamente veces en los lanzamentos. c) Al menos una vez en los lanzamentos. d) Al menos veces en los lanzamentos. Solucón: veces; = nº de cncos; B(/6) A) 6 6 B) C) al menos un : 0 D) al menos tres cncos: º.- En el ejercco anteror calcula la meda y la desvacón tíca de la varable = nº de cncos obtendos en tradas. Solucón: n ; 6 º.- Según un estudo estadístco realzado entre jóvenes de y 6 años se observa que el 0 % ractca deorte habtualmente. Cuál es la robabldad de que lo hagan menos de la cuarta arte de una clase de 0 alumnos de esa edad? En una muestra de 00 jóvenes cuál es el valor de la meda y la desvacón tíca del número de deortstas? Solucón: 0 % deorte; n = 0; = 0/00 = 0; B(0; 0) 000 ; A) menos de /: 0 0 B) n=00; B(00; 0); 00 6º.- Una emresa fabrca chs ara ordenadores ersonales. Tras varos controles de caldad descubre que el % de los que fabrca son defectuosos. El últmo año fabrcó Cuántos debe eserar que resulten defectuosos? Solucón: (defectuosos) = 00; n = 0000; defectuosos: n = = 000 chs 7º.- Lanzamos un dado cnco veces y observamos el resultado obtendo. Consderando los resultados que son múltlos de tres calcula la robabldad de obtener un múltlo de tres en cada uno de los cnco lanzamentos. Solucón: B(n = ; = /6 = /); 0 00 (tabla) º.- Un arquero tene una robabldad de /6 de hacer blanco. S realza cuatro dsaros calcula: a) La robabldad de hacer dos blancos. b) La robabldad de hacer dos o más blancos.

23 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 6 6 Solucón: B( /6) A) 0 7 B) º.- En una urna hay bolas blancas y 7 negras. Se etraen con devolucón bolas y se observa cuántas son de color blanco. Calcula: a) La funcón de robabldad la meda y la desvacón tíca. b) P(X). c) P(X). Solucón: n = nº eermentos; r = nº étos; = /0 A) = nº bolas blancas ; B) 97 C) 6 60º.- De una baraja de 0 cartas se etraen con devolucón cuatro cartas y se anota el número de coas que aarecen. alla la funcón de robabldad y la eseranza matemátca. Solucón: ; 0 6 6º.- La funcón de robabldad de una varable aleatora dscreta es: X P a b c Sabendo que P(X)=07 y P(X)=07 halla la eseranza matemátca y la desvacón tíca. Solucón: a b c 0 ( ) 07 0 a b 07 a 0; b 0; c 0 ( ) 07 b c ; 9 6º.- Dada la dstrbucón de la varable aleatora dscreta X P(X=)=/0; P(X=)=/0 y P(X=)=/0 cuál es la robabldad de que la varable aleatora esté en el ntervalo [-+]? Solucón: /0 /0 /0

24 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. ; ; 077 ;77 77 ( ) 6º.- Una varable aleatora dscreta tene la sguente dstrbucón de robabldad: 0 X 6 P /9 / /9 / /6 Solucón: A) a) Comleta la dstrbucón de robabldad. b) Calcula la meda y la desvacón tíca /9 / /9 / /6 / B) 7; 96 6º.- La robabldad de nacmentos de nños varones en Esaña es de 7 %. alla la robabldad de que una famla de hjos tenga: a) Por lo menos una nña. b) Por lo menos un nño. Solucón: 0 0 A) P (al menos una nña) = P (nnguna nña) B) º.- La robabldad de que un estudante obtenga el título de arqutecto es de 0. Calcula la robabldad de que de un gruo de sete estudantes matrculados en rmer curso: a) Los sete fnalcen la carrera. b) Al menos dos acaben la carrera. Solucón: B(7; 0) 7 7 A) B) º.- Se tene una moneda trucada de modo que la robabldad de sacar cara es cuatro veces la de sacar cruz. Se lanza ses veces la moneda. Calcula las sguentes robabldades: a) Obtener dos veces cruz. b) Obtener a lo sumo dos veces cruz. Solucón: B(; /); (cara)=/; ()=/ A) 0

25 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. B) º.- Una moneda está trucada de forma que la robabldad de sacar cruz es 7/. Se lanza la moneda 0 veces. Encuentra: a) La robabldad de sacar caras. b) La robabldad de sacar al menos una cruz. Solucón: B(0; /) A) B) P (al menos una cara) m= P (nnguna cara) º.- En un juego se gana cuando al lanzar dos dados se obtene suma de 0 untos o más. Un jugador tra en ocasones los dos dados. Calcula: a) Probabldad de que gane eactamente en tres ocasones. b) Probabldad de que erda las doce veces que juega. Solucón: B(; /6) A) B) º.- Certo medcamento contra una enfermedad rovoca mejoría en el 60 % de los casos. A) Cuál es la robabldad de que de cnco acentes que sguen el tratamento los cnco mejoren? B) Y de que cuatro no eermenten mejoría? Solucón: P (éto) = 06; acentes A) que los mejoren: B) que no mejoren: º.- La robabldad de que un alumno de rmero de bachllerato estude atemátcas I es de 0. Calcula la robabldad de que en un gruo de 0 alumnos elegdos al azar haya eactamente 7 que no estuden atemátcas I. Solucón: B(0; 0); º.- Un arquero tene una robabldad de hacer blanco de /. S tra veces calcula: a) La robabldad de hacer blanco eactamente una vez. b) La robabldad de hacer blanco más de una vez. Solucón: B (; /) A) 096 0

26 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 6 B) º.- Una varable aleatora X sgue la ley bnomal de to B(; 0). Determna: a) Su funcón de robabldad. b) La meda y la desvacón tíca. c) La funcón de dstrbucón F(). Solucón: A) B) n 0 ; n q F() < < 06 < 0 < 070 < 0969 < º.- Una urna contene bolas blancas y 6 negras. Se saca una bola al azar se aunta el color y se devuelve a la urna. S la eerenca se rete veces halla: a) La robabldad de obtener dos bolas blancas. b) La robabldad de obtener a lo sumo dos bolas blancas. Solucón: B (; 0) A) B) º.- Suóngase que la robabldad de que una ersona sea mujer es ½. Se elgen al azar 00 famlas de cnco hjos cada una. En cuántas es de eserar que haya mujeres y tres hombres? Solucón: B (; /) ( mujeres y hombres) 0 En 00 famlas: 00 0 = famlas 7º.- Un agente de seguros vende ólzas a cnco ndvduos todos de la msma edad. De acuerdo con las tablas actuarales la robabldad de que un ndvduo con esa edad vva 0 años es de /. Determna la robabldad de que dentro de 0 años vvan: a) Los cnco ndvduos. b) Al menos tres. c) Sólo dos. d) Al menos uno. Solucón: B (; /)

27 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 7 A) B) C) 0 0 D) º.- El % de camones de un determnado modelo sufre averías durante la rmera semana de rodaje cambando el fabrcante en este caso el camón a su roetaro. S una emresa de transorte comró 0 vehículos de este modelo calcula la robabldad de que durante la rmera semana de rodaje: a) Sufran avería dos camones. b) No se averíe nnguno de los dez. c) Determna el número medo de camones que tendrá que cambar la fábrca este año s se han venddo camones de este modelo. Solucón: B (0; 00) A) B) C) = 000 camones 77º.- Clara juega al golf. La robabldad de que Clara haga hoyo en un lanzamento a certa dstanca es de 0. S lo ntenta cnco veces cuál es la robabldad de que no acerte nnguno? Cuál es la robabldad de que acerte alguno? De cada 00 lanzamentos que haga a esa dstanca cuántos acertará or térmno medo? Solucón: B (; 0) P (no acertar nnguno) P (acertar alguno) De 00 acerta: 00 0 = 0 lanzamentos 7º.- La robabldad de que salga cara con una moneda trucada es de 0. Se lanza la moneda sete veces. Calcula la robabldad de que: a) Salgan eactamente tres caras. b) Salgan al menos tres caras. c) Salgan a lo sumo tres caras. Solucón: B (7; 0) A) B) 0

28 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág C) 60 79º.- En una determnada regón el 0 % de sus habtantes tene sangre de to A. Se analza la sangre de 0 ersonas: a) Cuál es la robabldad de que haya cnco ersonas con sangre de to A entre las eamnadas? b) Cuál es la robabldad de que menos de la mtad tenga sangre de dcho to? c) Cuántos cabe eserar que tengan sangre de to A? Solucón: B (0; 0) 0 0 A) B) C) De meda: 0 0 = habtantes to A 0º.- Cuatro de cada cnco canddatos consderan que los arques de su cudad están mal conservados. S se elgen 0 cudadanos al azar cuál es la robabldad de que alguno consdere que los arques están ben conservados? Solucón: B (0; /); = / (ben conservado) º.- En un eamen trmestral de certa asgnatura suele arobar el 70 % de los que se resentan. Cuál es la robabldad de que arueben los alumnos que se han resentado en un día determnado? Cuál es la robabldad de que aruebe sólo uno? Solucón: B (; 07) ; º.- El % de las bombllas fabrcadas or una fábrca son defectuosas. Cuál es la robabldad de que 6 de 0 bombllas comradas funconen correctamente? La emresa fabrca durante un año. Cuántas bombllas cabe eserar que sean defectuosas? Solucón: B (0; 09); De 0000 se tene: = 700 defectuosas º.- En una edema de gre tres de cada cnco ersonas de una oblacón están afectadas or dcha enfermedad. Elegdas ersonas al azar calcula: a) Probabldad de que tres de ellas adezcan la enfermedad. b) Probabldad de que al menos cuatro estén sanas. Solucón: B (; /) 6

29 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 9 A) 9 0 B) (al menos sanos) = P (menos de enfermos) º.- Se ha hecho un estudo sobre las causas que roducen la muerte de los conejos durante el rmer año de vda en una certa zona y se ha observado que el 0 % muere orque se los come un deredador (zorro lobo ave raaz...); el 0 % muere or enfermedad (momatoss...); y el % tene un accdente (son cazados atroellados...). a) Qué robabldad tene un conejo de cumlr su rmer año de vda? b) En una camada de 0 conejos qué robabldad hay de que al menos cumlan su rmer año de vda? Solucón: A) (morr conejo) = = % (vvr) = 00 = %. Por tanto: = 0 B) B(0; 0); º.- En un eamen to test hay 0 reguntas con resuestas osbles a elegr or cada una (sendo sólo una de ellas correcta). S una ersona desconoce comletamente la matera y resonde al azar: a) Cuántas resuestas acertará or térmno medo? b) Cuánto vale la desvacón tíca? c) Qué robabldad tene de acertar al menos cnco reguntas y or tanto arobar? Solucón: B(0; ¼) A) 0 reguntas. B) 7 0 C)

30 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 0 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE CONTINUA Recordamos que una varable aleatora es una funcón que a cada elemento del esaco muestral E de un eermento aleatoro le asoca un número real. Una varable aleatora es contnua cuando toma todos los valores ertenecentes a un ntervalo de la recta real. En este caso se resenta el roblema de que no uede asgnarse un número real (un valor de robabldad) a cada uno de los nfntos valores del ntervalo sobre el que está defnda la varable (orque la robabldad untual vale 0). Lo que s se uede calcular es la robabldad dentro de un ntervalo. Por tanto ara que las varables aleatoras contnuas tengan sentdo hay que defnrlas medante or una funcón que se denomna funcón de robabldad dstrbucón de robabldad o funcón de densdad. La funcón de densdad se defne como la funcón corresondente a la curva límte del hstograma de una dstrbucón contnua de frecuencas al consderar un número cada vez mayor de ntervalos de amltud rogresvamente menor. Ejemlo 6º: En un carrera de maratón tenemos los sguentes datos: el ganador ha recorrdo los 9 metros en un temo de horas mnutos segundos; el últmo corredor ha tardado horas 0 mnutos y la carrera la han termnado un total de 00 corredores. Se ha consderado la varable = temo emleado or cada corredor y se han agruado los temos nvertdos or los 00 corredores en cnco ntervalos de 0 mnutos. Los resultados se recogen en la tabla sguente y se adjunta el corresondente hstograma de frecuencas relatvas: Temo (mnutos) Número de corredores Frecuenca Relatva (070] 7 00 (7000] 9 09 (000] 00 (060] 7 06 (6090] 006 Suma 00 S se hace una nueva dstrbucón de frecuencas esta vez agruando los resultados en dez ntervalos de qunce mnutos de amltud se tenen los resultados mostrados en la tabla sguente: Temo (mnutos) Número de corredores Frecuenca Relatva (0] 006 (70] 9 00 (70] 0090 (00] 0 0 (00] 6 0 (0] 90 0 (0] 00 0 (60] 7 06 (607] (790] 006 Suma 00

31 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. Las dstrbucones de robabldad de varable contnua son dealzacones de las dstrbucones estadístcas de varable contnua. Estaturas esos temos son varables contnuas. S segumos dvdendo los ntervalos de modo que se tenda a consderar un número nfntamente grande de ntervalos nfntamente equeños aarece como límte del olígono de frecuencas una curva que corresonde a una funcón real de varable real. Esta funcón se llama funcón de densdad y debe cumlr las sguentes condcones: f() 0 ara todo valor de. El área bajo la gráfca de f() sobre el eje de abscsas es. Del msmo modo que ara calcular robabldades en una varable dscreta se necesta su funcón de robabldad ara oder calcular robabldades en una varable aleatora contnua se recsará de su funcón de densdad ero ahora la robabldad corresonde al área. Para hallar la robabldad Pa b obtendremos el área bajo la curva en el ntervalo b Pa b = Área bajo la curva en a b. a : Resumendo: S es una varable aleatora contnua y f() su funcón de densdad la robabldad de que ertenezca a un certo ntervalo a b es el área de la regón lmtada or la gráfca de f() las rectas a b y el eje OX. Es decr: P a b Área f a b = Área lmtada or f() sobre OX desde hasta. Las robabldades de sucesos untuales son cero: P a 0 P b 0 Por tanto: Pa b Pa b :

32 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. CÁLCULO DE PROBABILIDADES A PARTIR DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD F(X) ay que calcular el área bajo la curva de la funcón de densdad entre los valores que se desea. Eso se hace con el cálculo ntegral que se estudará el curso rómo. Aunque con algunas funcones sencllas se uede calcular de forma geométrca. Ejemlo 7º: Calcula k ara que la funcón: k ( ) 0 s s f sea una funcón de densdad. alla la robabldad: P P P. Solucón: El área total bajo la curva vale : P P k k P Análogamente se calculan las otras dos robabldades. Ejemlo º: Calcula m ara que la funcón: densdad. alla la robabldad: Solucón: El área del trángulo vale : P P P. m m 0 m m m f ( ) 0. Por tanto: s s 0 0 sea una funcón de La funcón densdad es y = / con 0 buscada:. El área del traeco coloreado nos da la robabldad

33 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. P EJERCICIOS 9º.- Sea la funcón: P 0 /. 6 f ( ) 0 s s 0 0. Comrueba que es funcón de densdad y halla Solucón: Se cumle: f() 0 ara todo valor de. El área del trángulo vale : A. Por tanto: f P 0 90º.- Sea la funcón: de densdad y halla b h (. Calcula el valor de k ara que f() sea funcón Solucón: Funcón de densdad or tanto: k > 0. Área : Por tanto: k s 0 a f ) 0 s 0 a a / X a /. A k a k. a a a a a a a P k k. Como k P a a FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN S se conoce la funcón de densdad de una varable aleatora contnua f() se uede calcular la robabldad de que la varable esté comrendda entre dos valores determnados medante el área que lmta esa funcón de densdad sobre el eje de abscsas entre los dos valores dados. Además sabemos que la robabldad untual es cero. Por tanto s a y b son dos valores cualesquera del domno de la varable se tene: a b a b a b Área f a b Pero el cálculo del área uede ser comlcado y necesta del cálculo ntegral. Para facltar el cálculo se ha defndo una funcón que da el área encerrada or la gráfca de la funcón de densdad sobre el eje OX desde - hasta. Esta funcón se llama funcón de dstrbucón y se defne como: F X El valor de la funcón de dstrbucón ara un determnado valor de la varable reresenta la robabldad de que la varable tome un valor menor o gual que. Por tanto se ueden hallar robabldades a artr de la funcón de dstrbucón F() sn necesdad de calcular áreas tenendo en cuenta las dos relacones báscas ara ello: a X b Fb Fa X a X a X a Fa

34 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. Ejemlo 9º: Dada una varable contnua cuya funcón de dstrbucón es: 0 s F( ) s calcula la robabldad de que la varable tome valores entre y. s Solucón: F F 0 EJERCICIOS 9º.- La funcón de dstrbucón de una varable aleatora es: robabldad de que: a) sea menor que /. b) sea mayor que /. c) esté comrenddo entre y 7. 7 P F P P P 7 F 7 F 7 7 Solucón: A) B) C) 0 F( ) 7 s s s. alla la DISTRIBUCIÓN NORAL La mayor arte de las varables aleatoras contnuas sobre todo las que deenden de un gran número de factores tenen una dstrbucón de robabldad que acumula muchos ndvduos en los valores centrales ero el número de éstos va decrecendo según se aleja la varable en cualquera de los dos sentdos. Lo normal es que haya ocos ndvduos con valores etremos ya sea or debajo o or encma de la meda y multtud de ndvduos que tomen valores ntermedos rómos a la meda. La aarenca gráfca de estas dstrbucones es una curva más o menos smétrca en forma de camana llamada camana de Gauss. S la gráfca de la funcón de densdad de una varable aleatora contnua se ajusta a una camana de Gauss se dce que la varable resenta una dstrbucón normal. Las característcas esencales de una dstrbucón normal son la meda y la desvacón tíca de modo que las varables que resentan una N. dstrbucón normal de meda y desvacón tíca se reresentan or

35 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. La camana de Gauss o curva normal es una curva smétrca con un mámo en = untos de nfleón en = y una asíntota horzontal en y = 0 es decr el eje de abscsas. Para cada ar este una camana de Gauss dstnta ero todas ellas verfcan las sguentes roedades: - El área total bajo la curva desde = - hasta = + vale ya que la curva es su funcón de densdad. - El área bajo la curva entre dos abscsas cualesquera reresenta la robabldad de que la varable tome algún valor entre esas dos abscsas. - El área bajo la curva entre los dos untos de nfleón vale 067 es decr que el 67 % de los ndvduos (aromadamente un orcentaje de /) toma valores centrales en una dstrbucón normal. - El área bajo la curva entre - y + es 09 esto es sólo el % de los ndvduos resenta un valor de la varable que dfere de la meda dos veces más que la desvacón tíca. - El área bajo la curva entre - y + es 0997 o lo que es lo msmo que ráctcamente la totaldad de los ndvduos tene un valor de la varable que dfere de la meda en valor absoluto menos de tres veces la desvacón tíca. La eresón de la funcón de densdad de una varable que sgue una dstrbucón normal es: f ( ) e Ejemlo 9º: La duracón en horas de funconamento de las las alcalnas fabrcadas or una determnada emresa sgue una dstrbucón normal de meda = 60 y desvacón tíca =. a) Se eamnan cen las alcalnas cuántas de ellas se esera que tengan una duracón comrendda entre y 6 horas? b) Y cuántas durarán más de 70 horas? Solucón: a) Como = 60 y = resulta que = - y 6 = +. Por tanto según las roedades de la dstrbucón normal el número de ndvduos comrenddos entre éstos dos valores es el 67 %. Así es de eserar que de las cen las alcalnas 6 tengan una duracón comrendda entre y 6 horas.

36 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 6 b) Como 70 = 60 + = + la roorcón de ndvduos con valores suerores a + o nferores a - es del %; sendo la dstrbucón erfectamente smétrca es de eserar que de las cen las la mtad que corresonde al % es decr 7 las duren más de 70 horas. Ejemlo 9º: Las estaturas de 00 ersonas se dstrbuyen según la normal N(70). Dstrbuye a esas 00 ersonas en los ntervalos. y Solucón: En rmer lugar calculamos los etremos de los ntervalos ndcados: 6 9 y 0. Se sabe que las meddas se stuarán entre los y los 0 cm y que entre y 9 cm se stúa el 9 % del total lo que suone 76 ersonas. Por tanto habrá = 6 ersonas reartdas en los ntervalos y 9 0. Como la dstrbucón es smétrca debe haber ersonas stuadas en el ntervalo y otras en 9 0. Del msmo modo entre los 6 y cm se encuentra el 67 % del total es decr 6 ersonas. Por tanto habrá 76 6 = ersonas reartdas en los ntervalos 6 y 9 en cada uno de los cuáles habrá un total de 09 ersonas. Los resultados se recogen en la sguente tabla: Intervalo Nº de ersonas EJERCICIOS º.- El conjunto de calfcacones de matemátcas obtendas or un gruo de 00 alumnos en las ruebas de Selectvdad sgue una dstrbucón normal N(; ). az una dstrbucón de las calfcacones de los 00 alumnos en ntervalos de amltud artendo de la meda haca arrba y haca abajo. CÁLCULO DE PROBABILIDADES EN UNA DISTRIBUCIÓN NORAL ESTANDAR Para oder calcular robabldades en una dstrbucón normal es necesaro saber calcular el área bajo la curva de su funcón de densdad entre dos valores cualesquera. Puesto que éste cálculo no es sencllo se han elaborado tablas ara la funcón de dstrbucón F X. El roblema es que esten nfntas dstrbucones normales dferentes. Pero como todas tenen roedades comunes se uede reducr una de ellas a cualquer otra hacendo un cambo de varable adecuado. Se ha tabulado la dstrbucón normal más senclla que es la dstrbucón N(0) es decr la que tene meda 0 y desvacón tíca y que se llama dstrbucón normal estándar o tfcada. En las tablas la recsón de la varable llega hasta las centésmas mentras que la de la funcón de dstrbucón llega hasta las dez mlésmas.

37 el blog de mate de ada CS I. Dstrbucones de robabldad. ág. 7 Ejemlo 96º.- (ejercco resuelto ág. - ): S sgue una dstrbucón N(0) calcula: A) z B) z 07 C) z 6 D) z 7 E) 07 z F) 7 z 66 G) 77 z 06. Solucón: A) Para obtener F z se busca en la tabla N(0) en la columna de la zquerda el valor ero la segunda cfra decmal 00 se encuentra en la fla sueror. El valor corresondente es la robabldad buscada. B) Para obtener z 07 se uede utlzar la robabldad del suceso contraro y el hecho de que la suma de la robabldad de un suceso con su contraro es la undad: z 07 z 07 F C) Como la tabla solo nos da robabldades ara valores ostvos de z 6 se tene en cuenta la la varable z ara obtener smetría de la funcón densdad y que el área bajo toda la curva es la undad: z 6 z 6 z F. E) Para obtener z 7 observamos el dbujo y consderamos el área que odemos obtener drectamente en la tabla: F) z 7 z E) Para calcular 07 z el área mayor menos la menor: observamos el dbujo y restamos 07 z z z F) Para calcular 7 z 66 en cuenta todo lo vsto anterormente: observamos el dbujo y tenemos 7 z 66 z 66 z 7 z 66 z 7 z 66 z G) Para calcular 77 z 06 tenemos: observamos el dbujo 77 z z 77 z