LÍMITES DE FUNCIONES

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1 LÍMITES DE FUNCIONES Se dice que un función y f() tiene límite "L" cundo l tiende "" y lo representmos por: f() L cundo pr tod sucesión de números reles que se proime "" tnto como quermos, los vlores correspondientes de f() se proimn "L" tnto como quermos. ("tnto como quermos" es un epresión que nos indic que l proimción será tnto myor cuntos más elementos tomemos de l sucesión). Vemos un ejemplo: Ejemplo. Consideremos l función f() y trtemos de clculr su límite cundo tiende. - Tommos l sucesión n = {-,9-,99-,999-, } y vemos qué vlor se proim f( n ), pr ello construimos l siguiente tbl: n,9,99,999,9999,99999, f( n ) Prece que los vlores de l función se proimn, tnto como quermos menos infinito, pero nos preguntmos Qué ocurrirí si l sucesión elegid fuese decreciente, en lugr de creciente, veámoslo: n 3,,,,,.... f( n ) Ahor los vlores se proimn más infinito. Es decir, si l sucesión tiende pero conservándose todos sus términos menores que, l función tiende un límite y si los vlores de l sucesión se conservn todos myores que dos l función tiende otro distinto. Afirmmos que no eiste límite en el punto pr l función dd. Ejemplo. Clculr el límite 3 - otr decreciente que se proimen mbs 3 tnto como quermos: Vmos proceder como ntes con un sucesión creciente y n,,9,99,999,9999,99999, f( n ) 3,3333,33,3,3,3,3... Y pr un decreciente n 3, 3, 3, 3, 3, 3,... 3

2 f( n ), 3,77 3,973 3,997 3,9997 3, , Como los vlores que tom l función pr mbs sucesiones tienden l mismo vlor, podemos escribir 3 - De los dos ejemplos nteriores obtenemos ls siguientes conclusiones: Se llm límite lterl por l izquierd de f() cundo tiende "" l vlor l que se proimn los vlores de f( n ) cundo los vlores de n se proimn "" tnto como quermos pero mnteniéndose menores que "" (sucesión creciente). Escribimos entonces: - f() L Se llm límite lterl por l derech de f() cundo tiende "" l vlor l que se proimn los vlores de f( n ) cundo los vlores de n se proimn "" tnto como quermos pero mnteniéndose myores que "" (sucesión decreciente). Escribimos: f() L Teorem: El límite de un función si eiste es único y únicmente si f() f ( ), es decir, si mbos límites lterles coinciden. - Concepto de límite. Csos de indeterminción. Hemos definido el límite de f() cundo tiende "" por medio de sucesiones. Est definición unque muy comprensible desde el punto de vist intuitivo, nos obligrí comprobr tods ls sucesiones que se proimn "" (o l menos muchs de ells) y ver hci quién tiende f( n ). El cálculo pude ser engorroso y l definición poco riguros si sólo comprobmos un ó dos. Un definición más riguros es: Definición forml de límite: "Se dice que f() tiene por límite L cundo tiende "" y se escribe f() L, si pr todo número rel, y suficientemente pequeño, es posible determinr otro número rel, que depende de, tl que si se cumple -, entonces se h de cumplir que f L.

3 L definición nterior equivle decir que pr todo entorno de L, L -, L -, L -, L. Prof. Enrique Mteus Nieves eiste otro de en el cul todo punto de este entorno menos por medio de l función v l entorno Gráficmente: Ejemplo 3. Demostrr que 3 Consideremos un, debemos de encontrr un, que verifique - f() - 3, entonces:, despejndo tenemos: Bst con tomr: - de hí que Pr que cumpl l definición. Diremos que un límite es determindo si es un número rel. Y si es indetermindo. -, ó, se dirá que es Eisten 7 csos de indeterminción (no tienen sentido estos resultdos): En prtdos posteriores diremos cómo solucionr cd un de ells ; ; ; ; ; ; Cálculo de límites. Límites de funciones polinómics. Distinguiremos dos csos: Cundo Bst clculr f(). 3 Ejempló: clculr 8 - quí bst con evlur f(-), vemos:

4 3 f(-) (-) ( ) Cundo : En este cso el polinomio es equivlente l término de myor grdo, y que el resto de los términos son insignificntes respecto de quél y se pueden desprecir. El límite será, ó, eponente es pr o impr: Ejemplos: - dependiendo el signo del que teng el término de myor grdo y de si el Límites de funciones rcionles. Pueden drse dos csos: ) Se si Q(), P() Q() se tiene que P() Q() P( ) Q( ) P() P( ) Si Q(), y P(), entonces Q() Si Q(), y P(), tenemos el cso de indeterminción. Pero entonces como el numerdor y el denomindor son divisibles por (-), fctorizndo por l regl de Ruffini o utilizndo ls igulddes notbles, podemos simplificr l frcción lgebric y puede desprecer l indeterminción: Ejemplos: En este último cso determinremos el signo del infinito clculndo los límites lterles: 6 Por izquierd: Y que si tiende 3 pero se conserv menor que 3, el numerdor es positivo y el denomindor negtivo (bst dr l "" del denomindor el vlor,99 y se obtiene como vlor numérico -,99

5 6 Por derech: Pues pr tendiendo 3 pero conservándose myor que 3 6 3, el numerdor es positivo y el denomindor tmbién (bst dr "" el vlor 3, pr obtener,. b). se P() Q() : Obtenemos un indeterminción del tipo que se subsn dividiendo numerdor y denomindor por el de myor grdo: Ejemplo: De l form como hemos resuelto el ejemplo se deduce que si los términos de myor grdo de P() y Q() son respectivmente n y b m, pueden ocurrir tres csos: Si n m el límite es Si n m el límite es b Si n m el límite es Si l función es sum o rest de dos frcciones lgebrics, puede precernos un indeterminción del tipo - que puede desprecer hciendo previmente l sum o rest. No podemos terminr est prte sin ntes ver l form de clculr los límites de funciones potencileseponenciles donde tnto l bse como el eponente son funciones rcionles, es decir, límites del tipo: P() Q() R( ) S ( ) en cso en que l función rcionl de l bse tiend y l del eponente infinito. Hblmos de solucionr l indeterminción. Hy dos forms de hcerlo: ) Trtndo de poner l frcción rcionl de l fse en l form pr lo cul hbrá que T() dividir los polinomios P() y Q() y recordr que culquier división de este tipo nos permite poner P() r( ) l frcción en l form: C( ),, siendo C() el cociente y r() el resto. Q() Q( ) Relizndo ls trnsformciones necesris tnto en l bse como en el eponente podemos llegr un solución en l que interveng el número "e".

6 Vemos el siguiente ejemplo infinito. 3 donde l bse tiende y el eponente b) Otr form de einr est indeterminción es recurriendo l llmd regl de oro que nos dice que si () tiende y b() tiende infinito, se cumple: b( ) b()- ()- e justificción de est regl es: Llmndo "L" l límite buscdo y tomndo logritmos neperinos en l epresión del límite nterior quedrí (recordndo l posibilidd de intercmbio del logritmo con el límite): ln L ln b() ln L b( () ) b() ln b() ln b() b() e ()- ( ) b() - ln e ln L como querímos probr. b() ln L. Y de hí se deduce que: Vemos un ejemplo: Será: L e e e e 3. Límite de funciones irrcionles. Se f() un función en l que prece un rdicl. Pueden drse dos csos: ) Cundo tiende "": Si l sustituir por prece un indeterminción del tipo / bst multiplicr y dividir por l epresión conjugd. Ejemplo: b) Cundo tiende infinito: Puede precernos un indeterminción del tipo - solucion como ntes multiplicndo y dividiendo por el conjugdo. que se

7 - Asíntots. Ls síntots son línes rects ls cules se proim, tnto como quermos, lgun rm de un función. Puede hber tres tipos de síntots: ) Verticles: L rect = es un síntot verticl de l función y=f() si se cumple que f ( ) b) Horizontles: L rect y=l es un síntot horizontl de y=f() si se cumple que f ( ) L c) Oblicus: L rect y=m+n es un síntot oblicu de l función y=f() si se cumple que: m f ( ) n f() - m Pr conocer l posición de l curv con relción su síntot clculmos: Pr ls verticles los límites lterles: f ( ) y f ( ) y comprobmos si l curv v ó Pr ls horizontles los límites: f ( ); f ( ) y vemos si se cerc l rect y=l por l derech o por l izquierd. Pr ls oblicus clculmos: f() - (m n) ; f() - (m n) por encim o por debjo de l curv. Not: - Ls funciones polinómics crecen de síntots. - Ls funciones rcionles pueden tenerls de los tres tipos y ls podemos clculr sí: Ls verticles se obtienen de los vlores que nuln el denomindor. y vemos si está Ls horizontles eistirán si el grdo del numerdor es menor que el del denomindor. Ls oblicus eistirán si el grdo del numerdor es un unidd myor que el del denomindor. Ejemplo: Encontrr y dibujr ls síntots de l función f ( ) 3 será: 3, no hy síntots horizontles. Como: 3, l rect = - es un síntot verticl.

8 3 ( ) 3 - como l rect y= - es síntot oblicu. Propieddes de los límites: Si c es un constnte y f es un función, se cumple: c f() c f Si f y g son funciones se cumple: f() g() f g f() g() f g f() g() f g,g( ) Ejercicios generles sobre cálculo de límites:

9 Clculr los siguientes límites con rdicles. Clculr los siguientes límites l infinito

10 Clculr los siguientes límites de funciones eponenciles Clculr los siguientes límites de funciones logrítmics. log 9. log 9 3. log 9 3 3

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