Interpretación geométrica de la derivada

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1 Interpretación geométrica de la derivada El matemático francés ierre de Fermat (60 665) al estudiar máimos mínimos de ciertas funciones observó que en aquellos puntos en los que la curva presenta un máimo o un mínimo, la tangente a ella debe ser horizontal. Esto lo condujo al problema de definir con precisión el concepto de recta tangente a un curva. Suponer que una recta es tangente a una curva en un punto si la corta sólo en ese punto (como lo sugiere el comportamiento de las tangentes a una circunferencia) es falso, como vemos en los ejemplos que siguen) r La recta r corta a la curva en, pero no es tangente en. La recta r corta a la curva en otro punto (el ) es tangente en. ara que la recta r sea tangente a la curva en el punto, es necesario que pase por pero no es suficiente, es necesario además conocer su dirección, es decir, su pendiente. ara obtener la dirección de esa recta a una curva en, vamos a comenzar considerando las pendientes de las rectas secantes que pasen por por otro punto que vamos a ir moviéndolo sobre la curva, acercándose al punto. ' La pendiente de la recta que pasa por está dada por la fórmula. A medida que el punto se va acercando al punto, el se va haciendo cada vez más chico, llegando a tender a cero cuando la pendiente de la recta tiende a una posición límite que es la de la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. Decimos entonces que la pendiente de la recta tangente por el punto es:

2 m = lím 0 = lím 0 f ( ) f ( ) = fórmula que corresponde a la de la derivada de una función f en un punto. Si las coordenadas del punto son ( ; ), la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto será f ( ), es decir el valor de la derivada de la función en =. or lo tanto la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es igual al valor de la derivada de la función en ese punto. Y la ecuación de la recta tangente es f() = f ( ) + b. Eiste siempre la derivada de una función en un punto? Como la derivada de la función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica en ese punto, no eistirá derivada de una función en aquellos puntos donde el gráfico no tenga tangente o bien la tenga pero que sea vertical. Ejemplo Si queremos buscar la tangente a la curva en el punto, vemos que el límite de las secantes es diferente según nos acerquemos a por la izquierda o por la derecha. odría decirse que la curva tiene una tangente a por la derecha tangente por la izquierda otra por la izquierda. ero la tangente en no eiste. La derivada en no eiste. Ejemplo 2 f() = tangente por la derecha Esta función está formada por dos rectas, una creciente, de ecuación f() = otra decreciente, de ecuación f() = -. or lo tanto para todos los positivos, la tangente es, que es la pendiente de la recta f() =. ara todo valor de negativo, la tangente es, que es la pendiente de la recta f() = -. ué pasa en = 0?. Tenemos que por la derecha ha una tangente por la izquierda otra diferente, por lo tanto la derivada de f() = en = 0 si 0 no eiste. Se puede escribir la definición de módulo: si 0 or lo tanto si hallamos lím f ( ). En cambio el lím ( ) 0 f. Al tener distintos límites 0 laterales, decimos que la función no tiene límite en ese punto. Ejemplo 3 Consideremos la función f() = que está definida para los reales maores o iguales a 0. tangente vertical La recta tangente por la derecha es vertical. La pendiente de esa recta el igual a la tangente de 90º (que es el ángulo que forma con el eje de las ). Como la tangente de 90º no eiste, derivada no eiste en = 0. Ejercicios ) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f() = 2 en el punto de abscisa igual a. Sabemos que la ecuación de una recta responde a la fórmula f() = m + b, donde m es la pendiente de la recta b es la ordenada al origen. Como dijimos que la pendiente de la recta tangente (es decir m) en un punto es igual a la derivada de la función en ese punto, vamos a hallar la fórmula de la derivada de la función. 2

3 f () = 2 Como queremos saber cuál es el valor de la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f() = 2 en =, hallamos f () = 2. f () = 2 Es decir que m = 2. En la fórmula de la recta f() = m + b, conocemos m conocemos un punto perteneciente a la curva a la recta, que es el punto de tangencia. Sabemos que =, para hallar la imagen de, tengo que reemplazar en la fórmula de la parábola (la fórmula de la recta todavía no la tengo). Hallamos entonces f() = 2 =. or lo tanto las coordenadas del punto son (; ). En la ecuación de la recta reemplazamos a por a f () por nos queda: f() = m + b = 2. + b 2 = b - = b or lo tanto la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función f() = 2 en el punto = es f() = 2 Trabajo práctico roblemas interpretación geométrica de la derivada En todos los casos, graficar las rectas pedidas. ) Hallar la ecuación de la recta tangente a la función f() = 2 + 2, en = en = - 2) Hallar la ecuación de la recta tangente a f() = en = 4 3) Hallar en punto del gráfico de la función f() = en el que la recta tangente sea paralela a la recta f() =

4 4) Hallar en punto del gráfico de la función f() = en el que la recta tangente sea perpendicular a la recta f() = - ½ + 3 5) Hallar los puntos del gráfico de la función f() = en el que la pendiente de la recta tangente sea igual a 3. Hallar las ecuaciones de dichas rectas. 6) Hallar la ecuación de las rectas tangentes a la 3 función f() = 4 en el punto de intersección 2 con el eje de abscisas. 7) Hallar la ecuación de la recta tangente a f() = 2 en = 2. 4

5 8) Hallar la ecuación de la recta r que pasa por el origen es paralela a la recta t, siendo t la tangente a f() = en s = -. 9) Dada f() hallar los puntos de su gráfica donde la recta tangente tiene pendiente

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