DISEÑO DE UNA CLASE PARA ESTUDIAR UNA GENERALIZACIÓN DE LA UNIDAD Nº7: CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS DE PRIMER AÑO DE ENSEÑANZA

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1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y C. de la Computación Lic. en Educ. Matemática y Computación código DISEÑO DE UNA CLASE PARA ESTUDIAR UNA GENERALIZACIÓN DE LA UNIDAD Nº7: CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS DE PRIMER AÑO DE ENSEÑANZA MEDIA, FORMACIÓN GENERAL. Alumno : José Manuel Torres Yáñez Profesor : Hernán González Guajardo Asignatura : Metodología de la Enseñanza de la Matemática y la Computación II. Código : 187 Carrera : Licenciatura en Educación Matemática y Computación. Código : 4500 Fecha : Jueves 5 de Octubre de 007.

2 Índice Antecedentes generales de la Unidad 1 Antecedentes generales de la clase 3 Contextualización de la clase 4 Planificación de la clase 5 Primer instante : Motivación Segundo instante : Aseveración 5 Tercer instante : Instanciación... 6 Cuarto instante : Justificación Quinto estudio : Análisis de los componentes.. 1 Sexto instante : Tarea Séptimo estudio : Reflexión Glosario Conceptual. 16 Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página de 19

3 Antecedentes generales de la Unidad Curso Primer Año de Enseñanza Media, Formación General. Unidad Unidad Nº 7: Congruencia de figuras planas. Objetivo Fundamental asociado a la Unidad (*) Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de la proporcionalidad, del lenguaje algebraico inicial y de la congruencia de figuras planas. (*) Fuente: Programa de Estudio, Primer Año Medio de Formación General, Matemática, Ministerio de Educación, página 13. Contenidos de la Unidad (**) Congruencia de dos figuras planas. Criterios de congruencia de triángulos. Resolución de problemas relativos a congruencia de trazos, ángulos y triángulos. Resolución de problemas relativos a polígonos, descomposición en figuras elementales congruentes o puzzles con figuras geométricas. Demostración de propiedades de triángulos, cuadriláteros y circunferencia, relacionadas con congruencia. Clasificación de triángulos y cuadriláteros considerando sus ejes y centros de simetría. Aporte de Euclides al desarrollo de la geometría. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 3 de 19

4 Aprendizajes Esperados de la Unidad (**) Los alumnos y alumnas: Analizan los datos necesarios y suficientes para construir un triángulo y lo relacionan con los criterios de congruencia de triángulos. Componen y descomponen figuras (puzzles geométricos); analizan congruencia entre sus lados y ángulos. Resuelven problemas que involucran congruencia de trazos, ángulos y triángulos. Conjeturan y demuestran propiedades en triángulos, cuadriláteros y circunferencia por medio de congruencia de triángulos. Caracterizan y clasifican triángulos y cuadriláteros a partir de sus ejes y centros de simetría. Conocen algunos antecedentes acerca del aporte de Euclides a la geometría. (**) Fuente: Programa de Estudio, Primer Año Medio de Formación General, Matemática, Ministerio de Educación, página 87. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 4 de 19

5 Antecedentes generales de la clase Generalización a estudiar : Transversal de Gravedad de un Triángulo Isósceles. Aprendizaje esperado : Los alumnos y alumnas analizan las transformaciones que producen diferentes tipos de iteraciones y establecen relaciones cualitativas y cuantitativas entre los objetos que se obtienen. Número de sesiones : Una sesión. Duración de la sesión : horas pedagógicas (90 minutos). Preconceptos necesarios : Para el inicio del estudio de la generalización, se asume que existen conocimientos previos por parte de los alumnos y alumnas, los cuales son: Triángulo isósceles de base conocida. Base de un triángulo isósceles. Congruencia de trazos. Transversal de gravedad de un triángulo. Correspondencia de una transversal de gravedad a un lado de un triángulo. Postulado L.A.L. de Congruencia de Triángulos. Objetivo de la clase : Los alumnos y alumnas al finalizar la clase serán capaces de reconocer que las transversales de gravedad correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles, son congruentes. Materiales a emplear : Plumones de diferentes colores. Afiches en cartulina. Nombre del Profesor : José Manuel Torres Yáñez. Fecha : jueves 5 de octubre de 007. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 5 de 19

6 Contextualización de la clase A lo largo de toda la etapa escolar básica y las primeras unidades de Primer Año Medio, se estudian muchos conceptos matemáticos fascinantes, entre los cuales están los Conjuntos Numéricos, y sin duda el más importante de ellos, el conjunto de los NÚMEROS REALES. Por otro lado, en Séptimo y Octavo Básico se enseña parte importante de las FIGURAS GEOMÉTRICAS con más detención, como lo son: construcción de polígonos, ángulos interiores de un triángulo, entre muchos otros. Luego de toda esta riqueza con que se ha alimentado las mentes de los estudiantes, se finaliza el Primer Año de Enseñanza Media, específicamente con la Séptima Unidad que se denomina CONGRUENCIA DE FIGURAS PLANAS, la cual instaura en los alumnos y alumnas el hecho de que la Matemática es una ciencia abierta que no solamente se va creando día a día, sino que también tuvo sus comienzos en civilizaciones antiguas como los griegos, los egipcios, los babilonios que crearon la GEOMETRÍA. Quién pensaría que el escrito Los Elementos de Euclides todavía se utiliza como fuente para enseñar la geometría plana o euclidiana en los colegios y liceos del mundo? Dentro de esta unidad llamada Congruencia de figuras planas, hay conceptos y generalizaciones muy importantes como los son CONGRUENCIA DE ÁNGULOS, CONGRUENCIA DE TRAZOS, CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, ELEMENTOS SECUNDARIOS DEL TRIÁNGULO (altura, bisectrices, medianas, transversales de gravedad, simetrales, entre otras). Pero dentro de esta hermosa Unidad, encontramos generalizaciones muy interesantes para estudiarlas junto a los alumnos y alumnas. En esta sesión de aprendizaje, se estudiará la generalización: TRANSVERSAL DE GRAVEDAD DE UN TRIÁNGULO ISÓSCELES. Además, es de suma importancia señalar que este teorema se estudia en los primeros años de Universidad de muchas carreras, especialmente las que tengan que ver con la Ciencia. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 6 de 19

7 Planificación de la clase Instante de la motivación (5 minutos) El profesor(a) luego de saludar a sus alumnos(as), inicia la clase, pero esta vez de una forma distinta: los invita a que se sienten en sus sillas con sus espaldas derechas, luego los estimula a cerrar los ojos y pensar el por qué están en el liceo, qué esperan de las matemáticas, con que deseos se levantaron hoy para aprender matemáticas. Luego de ese proceso, en el cual el profesor se debe pasear por los puestos de cada alumno(a), les pide que abran los ojos y que con el mismo respeto, concentración y silencio escuchen y participen en la clase de hoy. Posteriormente, les comenta a modo de recuerdo, que desde hace algunas clases han estudiado el concepto de congruencia, y también han estudiado los criterios de congruencia (LLL, LAL, LAA, ALA), que permiten determinar si dos triángulos son congruentes, y por último han estudiado elementos secundarios del triángulo como son: altura, bisectrices, simetrales, transversales de gravedad y medianas que son las más importantes. Luego les indica que en esta clase estudiarán un nuevo teorema, el cual requerirá de algunos de estos conocimientos previamente mencionados, para comprenderlo y poder usarlo eficientemente. Instante de la Aseveración (7 minutos) El profesor o profesora escribe en la pizarra el enunciado del teorema, de forma muy destacada, luego espera que los estudiantes las traspasen a sus cuadernos, incitándolos a que lo escriban de tal manera que nunca lo olviden. TEOREMA: Transversal de Gravedad de un Triángulo Isósceles Si un ABC es isósceles de base AB, entonces las transversales de gravedad correspondientes a los lados BC y AC son congruentes. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 7 de 19

8 Para dejar el teorema más claro el profesor(a) explica con ayuda de una figura (triángulo isósceles construido en una cartulina) lo siguiente: Si AC BC EB AD, donde EB y AD son las transversales de gravedad correspondientes a los lados congruentes del triángulo ABC isósceles. Recordar: α y β son los ángulos congruentes del triángulo isósceles y se denominan ángulos basales, y el lado AB corresponde a la base del ABC isósceles. Instante de la Instanciación (10 minutos) Es el momento de ver algunos casos particulares en donde se puede utilizar el teorema, para ello el profesor(a) realiza en conjunto con los alumnos(as) los siguientes ejercicios: 1. Si ABC isósceles de la figura, tiene base BC y D y E puntos medios de AB y AC respectivamente. Además si DC = 6 unidades, entonces de acuerdo al Teorema EB = 6 unidades. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 8 de 19

9 . Si el BAC recto en C de la figura 0, cumple con AC ~ = BC D y E puntos medios de AC y BC respectivamente. Además si DB = 1, 5 unidades, entonces de acuerdo al teorema en estudio: EA = 1, 5 unidades. 3. Sean E, H, G y F puntos medios de los segmentos AB, BO, CO y DO. Si se sabe que m ( HA) = 3. 5 y m ( DG) = 3. 5 y AB OB y CD OC. Cuál es m (EF), si O yace en EF? Solución: (i) Como AB OB y CD OC entonces AOE y DOC son isósceles de base AO y DO respectivamente. (ii) Como E, H, G y F puntos medios de los segmentos AB, BO, CO y DO, entonces: Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 9 de 19

10 a) EO y HA son transversales de gravedad del AOB isósceles de base AO correspondientes a sus lados congruentes. b) DG y OF son transversales de gravedad del CDO isósceles de base DO correspondientes a sus lados congruentes. DG OF. Luego se tiene de acuerdo al teorema que estamos estudiando que EO HA y (iii) Como E, O, F son colineales, entonces: m ( EF) = m( EO) + m( OF) Por lo tanto por (ii) y (iii) m ( EF) = m( EO) + m( OF) = m( HA) + m( DG) = Finalmente: m ( EF) = 7 unidades. 4. Sea el cuadrado ABCD de lado a unidades de la figura, además se tiene que E es punto medio de DC y F punto medio de AB Cuál es la medida de FC? Solución 1: En esta solución el profesor(a) debe mencionar que se usa el teorema que están estudiando para resolver este problema. (i) Como E es punto medio de DC, entonces teorema de Pitágoras tenemos que: a DE = unidades. Luego por Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 10 de 19

11 a a + a = ( AE) ( AE) = + a ( AE) = 4 5 a 5 a AE = 4 (ii) Pero AE es transversal de gravedad del lado DC. ADC isósceles, correspondiente al (iii) Trazamos FC. (iv) Sea la correspondencia de triángulos ABC ADC, en la cual se tiene: 1) BC DC, por ser ambos lados comunes del cuadrado ABCD. ) ABC ADC, por ser ambos ángulos rectos. 3) AB AD, por ser ambos lados comunes del cuadrado ABCD. Por lo tanto, por postulado L.A.L. la correspondencia congruencia de triángulos. ABC ADC es una Y además, como ABC y ADC son isósceles de bases AB y AD respectivamente, por teorema se cumple que Solución : AE FC, por lo que a 5 =. AE FC = En esta solución el profesor(a) debe mencionar que existe otro camino para resolver el problema, en el cual no se usa el teorema sino conceptos y teoremas vistos anteriormente en clases. (i) Como E es punto medio de DC, entonces teorema de Pitágoras tenemos que: a DE = unidades. Luego por a a + a = ( AE) ( AE) = + a ( AE) = 4 5 a 5 a AE = 4 (ii) Pero AE es transversal de gravedad del lado DC. ADC isósceles, correspondiente al (iii) Trazamos FC. (iv) Sea la correspondencia de triángulos ADE CBF, en la cual se tiene: Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 11 de 19

12 1) AD BC, por ser ambos lados comunes del cuadrado ABCD. ) ADE CBF, por ser ambos ángulos rectos. 3) DE BF, por ser ambos la mitad del lado del cuadrado ABCD. Por lo tanto, por postulado L.A.L. la correspondencia congruencia de triángulos. ADE CBF es una Luego AE FC, por lo que a 5 =. AE FC = Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 1 de 19

13 Instante de la Justificación (15 min.) Hasta ahora el teorema lo hemos podido aplicar en los ejercicios planteados, pero un teorema no es teorema sin su demostración, para esto el profesor(a) apoyado por los alumnos(as) procederá a demostrarlo mediante argumentos deductivos válidos, apoyándose en una interpretación geométrica de éste. En este instante es importante recalcar la importancia de tener escrito de manera clara y destacada en el cuaderno el teorema y su demostración. Recordemos: Hipótesis: dado el enunciado, debemos identificar los datos que se tienen y los que podemos deducir. Tesis: Es lo que se quiere demostrar. A continuación el profesor(a) copia el enunciado del teorema e invita a los alumnos a realizar la demostración, para ello sería conveniente realizar una figura o dibujo para visualizar mas claramente los datos y pasos a realizar. Hipótesis: 1. Sea ABC (figura), con AC BC. D y E puntos medios de AC y BC respectivamente. Tesis: AE ~ = BD. Demostración: (1) Consideremos los triángulos ABD y BAE. () En la correspondencia ABD BAE se cumple: (i) Por teorema del triángulo isósceles, DAB ~ = EBA. (ii) AB ~ = BA, lado común. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 13 de 19

14 (iii) AD = ~ 1 1 BE, porque AD = AC BE = BC, lo que implica que BC = AC. Luego se cumple el postulado L. A. L. Por lo tanto ABD ~ = BAE. Y finalmente AE ~ = BD Instante de Análisis de los componentes (15 minutos) En todo teorema existen variables que de no estar bien especificadas pueden provocar un caos en su aplicación, por lo que el profesor(a) junto con los alumnos(as) deben reconocer las variables que intervienen en el teorema que se esta estudiando y sus respectivos conjuntos dominios, de modo que al momento de aplicarlo no existan inconvenientes. Luego de llegar a un consenso con los alumnos(as) el profesor(a) deja claro que si no consideramos las variables en sus respectivos dominios el teorema no tiene sentido y escribe en la pizarra: VARIABLE DOMINIO El triángulo. Medida de los lados congruentes del triángulo rectángulo. El conjunto de todos los triángulos isósceles en el plano. + El conjunto de los números reales. ( IR ) + Medida de la base del triángulo isósceles. El conjunto de los números reales. ( IR ) Medida de las transversales de gravedad correspondientes a los lados congruentes del triángulo isósceles. + El conjunto de los números reales. ( IR ) Es importante volver a recalcar, que el profesor(a) debe hacer hincapié en la importancia de establecer el dominio correcto para la variable, pues de esto dependerá el cumplimiento o no del teorema. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 14 de 19

15 Luego el profesor(a) debe mencionar y escribir en la pizarra los conceptos involucrados en el teorema: Conceptos Involucrados en el teorema Triángulo isósceles de base conocida *. Base de un triángulo isósceles *. Congruencia de trazos *. Transversal de gravedad de un triángulo *. Correspondencia entre los vértices de dos triángulos *. Correspondencia de una transversal de gravedad a un lado de un triángulo *. Postulado L.A.L. de Congruencia de Triángulos *. Además, el profesor (a) debe mencionar (escribiendo en la pizarra la tabla) que los alumnos (as) poseen habilidades que han adquirido en clases anteriores y que se requieren para usar el teorema correctamente, las cuales son: Competencias Tipo I ( habilidades previas, requeridas para el teorema) Reconocer triángulos, sus ángulos y sus lados. Reconocer triángulos isósceles. Reconocer la medida de un ángulo y de un trazo. Reconocer la transversal de gravedad de un triángulo. (*) Consultar Glosario Conceptual, páginas 16 y 17. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 15 de 19

16 Posteriormente, el profesor(a) debe indicar que gracias al teorema estudiado (escribiendo en la pizarra la tabla), los alumnos(as) son capaces de realizar ciertas tareas que resultan de la capacidad de usar la generalización, las cuales son: Competencias Tipo II ( habilidades adquiridas gracias al teorema) Identificar las transversales de gravedad correspondientes a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes. Determinar medida de las trasversales de gravedad de un triángulo isósceles conocida la medida de alguna de ellas. Instante de la Tarea (5 minutos) A modo de prolongar la actividad de estudio y así hacer que los logros se mantengan para la siguiente sesión es que se entregará la siguiente tarea, la cual será revisada al comienzo de la próxima sesión: TAREA: Sean la circunferencia Z de centro O y radio r y la circunferencia Y de centro O y radio r, tales que los puntos A, B y C yacen en Z y los puntos EDF yacen en Y, como muestra la figura. Si se sabe que m ( BD) = 7, m ( EC) = 8 y m ( AF) = 9. Cuál es FB + DC? Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 16 de 19

17 Instante de Reflexión (8 minutos) En este instante final de la sesión, el profesor o profesora junto con sus alumnos y alumnas reflexionan sobre los momentos vividos en la clase. A los alumnos y alumnas se le pueden plantear preguntas como: qué fue lo más fácil de la sesión de hoy?, qué fue lo más difícil de la sesión de hoy?, cuál o cuales fueron los momentos más importantes de la sesión?, etc. Posteriormente a esas preguntas, el profesor(a) reflexiona sobre los momentos vividos durante la clase de hoy destacando lo complicado que resulta a veces el descubrimiento de una generalización, los distintos pasos que siguió cada alumno(a) para poder llegar a su descubrimiento, como podemos enunciar de manera correcta una generalización y lo importancia que tiene las variables y cuales son los conjuntos dominios de estas en una generalización, etc. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 17 de 19

18 Glosario Conceptual Postulado L.A.L. de Congruencia de Triángulos: Si en una correspondencia entre los vértices de dos triángulos dos pares de lados correspondientes son congruentes y el par de ángulos comprendidos por ellos son congruentes, entonces la correspondencia es una congruencia de triángulos. Correspondencia entre los vértices de dos triángulos: La relación unívoca entre los vértices de dos triángulos de denomina correspondencia. En la figura la relación ABC DEF es una correspondencia entre los vértices de los triángulos ABC y DEF. Congruencia de trazos: Se llaman trazos congruentes a los que tienen igual longitud. En la figura AB es congruente a CD. Base de un triángulo isósceles: Un triángulo isósceles se define como aquel que posee dos lados congruentes, pues bien, al lado restante se le llama base del triángulo. En la figura m ( c) = m( b), entonces a es la base del triángulo ABC isósceles Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 18 de 19

19 Triángulo isósceles de base conocida: Se llama triángulo isósceles a aquel triángulo que posee dos lados congruentes. En la figura triángulo ABC es isósceles de base BC. Transversal de gravedad de un triángulo: Se llama transversal de gravedad al segmento trazado desde un vértice del triángulo al punto medio del lado opuesto. En la figura D es punto medio de BC, luego t a es transversal de gravedad del triángulo ABC. Autor: José Manuel Torres Yáñez. Página 19 de 19