ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frontera

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1 DIVISIÓN DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DPTO. TERMODINÁMICA Y FENÓMENOS DE TRANSFERENCIA MÉTODOS APROXIMADOS EN ING. QUÍMICA TF-33 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Esta guía fue elaborada por: Prof. Aurelio Stammitti Scarpoe co la ayuda de: Br. María M. Camacho A. Queda termiatemete prohibida la reproducció parcial o total de esta guía si la aprobació del Prof. Aurelio Stammitti Scarpoe.

2 ECUACIONES DIFERENCIALES Problemas de Valor Frotera Este tipo de problemas abarca ecuacioes difereciales de orde superior, tato e uo, como e dos y tres dimesioes, lo que implica derivadas parciales. E estos problemas, las codicioes de borde so expresadas sobre los límites físicos del sistema estudiado, y por ello o es posible aplicar la trasformació para llevarlo a u sistema de ED s difereciales de primer orde, es decir, a u PVI, ya que las codicioes de borde está dadas para distitos extremos, o todas para el mismo. El problema físico ivolucra a u domiio, que se divide e dos partes, la regió itera y los bordes sobre la regió itera aplica la ED, y sobre los bordes, aplica las codicioes de borde, las cuales debe ser siempre dato del problema. Los problemas clásicos de Feómeos de Trasporte (trasferecia de calor, movimieto, masa) se rige por ED s de tipo parabólico, que e ua dimesió tiee la forma geeral: d dt dx dx + Axt (, ) + Bxt (, ) + Cxt (, ). y+ Dxt (, ) 0 dode: t: coordeada temporal Variables x: coordeada espacial Idepedietes y: variable depediete Si el sistema se ecuetra e Estado Estacioario, es decir, 0 dt ; la ED se covierte e ua ecuació de tipo elíptica, de la forma: d y Axt (, ) + Bxt (, ) + Cxt (, ). y+ Dxt (, ) 0 dx dx Eero Marzo 008 Pág.

3 El método más secillo y comúmete utilizado para resolver este tipo de ecuacioes e geometrías simples (rectágulos, cilidros o esferas) es el llamado Diferecias Fiitas. Básicamete el método cosiste e dividir la regió itera e trozos (rebaadas) y sustituir las expresioes de derivada por sus respectivas fórmulas de diferecias fiitas cetradas, y co ello, geerar u sistema de ecuacioes lieal, que se puede resolver por cualquiera de los métodos ya coocidos para matrices. Las codicioes de borde requiere de u tratamieto especial. Ahora, el domiio se divide así: x: distacia etre los odos NOTA: lo más fácil es dividir el domiio e partes iguales. So + putos totales. Para u odo itero i cualquiera se sustituye la derivada e la ED por su expresió e Diferecias Fiitas, las fórmulas más comúmete aplicadas so: d y yi+ yi + y i dx x Diferecias Cetradas yi+ yi dx. x Estas expresioes se sustituye e la ED. Etoces, para el puto i : Todo se evalúa para xi. Eero Marzo 008 Pág.

4 yi+ yi + yi yi+ yi Ax ( i) Bx ( ) ( ). ( ) 0 + i + Cxi yi + Dxi x. x Reagrupado: Ax ( i) Bx ( i). Ax ( i) Ax ( i) Bx ( i) yi + C( xi) yi + + y i+ D( xi) x x x x x M( x ) P( x ) N( x ) i i i Reescribiedo de forma más compacta: Para el odo i : M ( xi). yi + P( xi). yi + N( xi). yi+ D( xi) Estas ecuacioes so válidas para todos los odos iteros, es decir, i -, e total se tedrá - ecuacioes, las de los odos 0 y so especiales por ser los bordes. Codicioes de borde: So codicioes especiales impuestas e las froteras del sistema, se puede clasificar de tres tipos: - Valor fijo o costate: y y( x ) a; dode j puede ser 0 ó (odo de borde) j j y a u valor costate. - Derivada costate: j x x j a. Es este caso, la iformació que se dx dx sumiistra es el valor de la derivada e el puto 0 ó. - Derivada como fució de y: j x x j f ( y). Para simplicidad del problema, dx dx se restrige a fucioes lieales de y úicamete, de lo cotrario, o se podrá covertir el problema a u sistema lieal, que es el objetivo fial del método. Cómo se trata estas codicioes? Cada codició forma la ecuació respectiva para el odo 0 o el odo y puede combiarse, es decir, para el odo 0 se tiee la codició de valor costate, y para el odo la de la derivada costate o fució o viceversa, cualquier combiació es válida, pero es el problema físico quie las defie. Eero Marzo 008 Pág. 3

5 Para las codicioes de derivada, se sustituye por la expresió de diferecia hacia delate o hacia atrás depediedo del odo. Las expresioes más simples de utilizar so las de primer orde. Aquí o se utiliza expresioes cetradas ya que o existe más putos a la izquierda o derecha de la frotera dada. Frotera Izquierda (Nodo 0): dx j 0 y y x 0 Diferecia Adelate Frotera Derecha (Nodo ): dx j y y x Diferecia Atrás Ahora esto se sustituye e la codició de borde respectiva, por ejemplo: - Si para el Nodo 0: j 0 a dx y y0 a y0 + y a x x x Ecuació para el odo 0 - Si para Nodo : j a ( y b) dx + y y a ( y + b) y + a y a b x x x OJO: La fució va evaluada e la frotera Ecuació para el odo Fialmete, ya que se tiee todas las ecuacioes ecesarias, co ellas se arma el sistema matricial. Por ejemplo, usado odo 0: y0 a odo : b ( y+ c) dx Eero Marzo 008 Pág. 4

6 El sistema resultate es: y0 a M( x) P( x) N( x) 0 0 y Dx ( ) 0 M( x) P( x) N( x) 0 0 y Dx ( ) M( x ) P( x ) N( x ) y Dx ( ) b y bc x x Como se puede ver, el sistema resultate es tridiagoal para problemas e ua dimesió. El método más recomedable para resolver sistemas grades es Gauss Seidel. Si las fucioes A(x), B(x), C(x), D(x) so muy No Lieales, se recomieda utilizar Relajació. Ejemplo: Sea du du x + x + x U x 0co dx dx U (0) 0 U () 0 Idetifiquemos las fucioes: Ax ( ) x ; Bx ( ) x; Cx ( ) x ; Dx ( ) x El domiio de x: x [0,] Supogamos que se divide e cuatro itervalos iguales: 3 odos iteros odos de borde dode: x0 0 x 4 Para calcular la separació etre los putos se emplea la siguiete fórmula: Eero Marzo 008 Pág. 5

7 x x0 x x 0, 5 : úmero de itervalos La forma más ordeada es evaluar los A(x i ), B(x i ), C(x i ), D(x i ) para los odos iteros de la siguiete forma: i x i A(x i ) B(x i ) C(x i ) D(x i ) 0,5 0,065 0,5 0,065-0,5 0,50 0,5 0,50 0,5-0,50 3 0,75 0,565 0,75 0,565-0,75 Ahora se procede a armar las ecuacioes de los odos iteros a partir de la ED. Para u odo iteo i: U U + U U U dx x dx x du i+ i i du i+ i ; Sustituyedo y reagrupado: M ( x ) y + P( x ) y + N( x ) y D( x ) i i i i i i+ i co: Ax ( i) Bx ( i) M( xi ) x x Ax ( i ) Px ( i) Cx ( i) x Ax ( i) Bx ( i) N( xi ) + x x i x i M(x i ) P(x i ) N(x i ) 0,5 0,5 -,9375,5 0,50 3-7, ,75 7,5-4,4375 0,5 Se evalúa estas fucioes para los todos odos iteros Fialmete, se puede escribir las ecuacioes para los odos iteros. Ecuacioes para los odos iteros: i : 0,5 U0,9375 U+,5 U 0, 5 i : 3 U 7,75 U + 5 U3 0,50 i 3 : 7,5 U 4, 4375 U3+ 0,5 U4 0, 75 Eero Marzo 008 Pág. 6

8 Ahora, lo que queda es escribir las codicioes de borde y armar el sistema. Codicioes de borde: Nodo 0: U (0) 0 ; es la de valor costate, es decir: U 0 0 Nodo (tomado 4): U () 0. Mismo tipo, etoces: U U4 0 Armado el sistema: Resolviedo: U0 0 0,5,9375,5 0 0 U 0, , , ,5 4,4375 0,5 U 0, U0 0 U 0,3894 0, , Lo que se obtiee so los valores de la variable U sobre cada odo. Si se requiere de mayor precisió, se debe utilizar muchos más odos; cie como míimo para u sistema real. Ejemplo: Sea x 0; U(0) du du x + x 3U 4x 3 co du dx dx x ; 4 dx Idetifiquemos las fucioes: Ax ( ) ; Bx ( ) x; Cx ( ) 3; Dx ( ) (4. x 3) Utilizado cico odos totales: x 0, 5 Eero Marzo 008 Pág. 7

9 Evaluado las fucioes para los odos iteros: i x i A(x i ) B(x i ) C(x i ) D(x i ) 0,5 0,5-3 0,50 0, ,75 0, Evaluado ahora M(x i ), P(x i ), N(x i ) para los odos iteros. i x i M(x i ) P(x i ) N(x i ) 0,5 5,5-35 6,5 0, ,75 4,5-35 7,5 Armado las ecuacioes: i : 5,5 U0 3,5 U+ 6,5 U i : 5 U 35 U + 7 U3 i 3 : 4,5 U 35 U3+ 7,5 U4 0 Codicioes de borde: Nodo 0: U 0 Valor costate du Nodo (tomado 4): 4 4 Derivada costate dx Para este último odo, utilizamos la expresió de Diferecia hacia atrás: Fialmete: U U U4 U3 a a U3+ U4 a x x x x 4 U + 4 U Armado el sistema: Eero Marzo 008 Pág. 8

10 U0 5,5 35 6,5 0 0 U ,5 35 7,5 U Resolviedo: U0 U,477,9367 3, ,6046 Eero Marzo 008 Pág. 9

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