id. ~ -.x. (R."L_;;(... 'l.. ) - '/, d.:t..

Transcripción

1 CAPITULO III COORDENADAS CURVILINEAS En física existe un gran número de problemas que se pueden resolver mas fácilmente si se trabaja con coordenadas apropiadas al problema que de resolver se trata es decir las coordenadas cartesianas no son siempre las mas convenientes para todo tipo de problema; así por ejemplo si estudiamos el flujo de calor a través de una esfera evidentemente lo más práctico es trabajar con coordenadas esféricas; si estamos calculando la longitud de un arco de circunferencia lo mas conveniente es trabajar con coordenadas polares ( es decir cilíndricas en un plano) ya que en e ste caso SCI. \:;. f87<. d. e ~ 7< (tib ea..) lo cual )0;0. es mas simple que si lo hacemos con coordenadas cartesianas: con id. ~.x. (R."L_;;(... 'l.. ) '/ d.:t.. En vista de lo anterior surge la necesidad de estudiar las coordenadas curvilíneas. J en un espacio dado instalemos un sistema coordenado cartesiano Yi ó sea cada punto del espacio queda determinado en este sistema por una terna de valores ( d' Jl 13 ); definamos ahora tres funciones ( :x. XL ~J ) tales que: 31) X::: XI l J' ) Xt= :lo (:h.j'ljl) l' }.= X") ('J lt J:1) Esas funciones las vamos a suponer monovaluadas y derivables en todos los puntos del espacio tomado; si en 31) hacemos x:: el' ::x.2. = (~..:t.:. ::: C3 las ecuaciones quedan: 32) :t ( J. 1 t.. ~"3) = el Xl. ( J )1.. j ~ ) ":. (lo ::(.~ (J. 'j ~. ') ~ ') ::. ~"} Vemos que en cada una de esas tres ecuaciones se puede despejar una de las ~ en función de las otras dos 1. t por ejemplo ji = f ( c.. 1 I J... 'J ) ó sea que cada una de las ecuaciones 32) representa una s1..~perficie porque la coordenada en una dirección ( ';fl por ejemplo) es función de los puntos del plano normal a esa dirección (plano Y2 Y3 por ejemplo); este es el caso por ejemplo de la ecuación ~::: t" V7P"_x1.._J L. que nos represente. una semiesfera de radio R y centrada. en el origen: a cada punto ( x y) del plano X Y corresponde un punto de coordenadas ( X. J I t ) perteneciente a esa semiesfera y el z. dado precisamente por V 1<.1.. xl.. j'z".

2 8 r Si en la ecuación 1\ ( 'f '. '11. J ) ::. L vamos cambiando el valor de la cons tante e obtenemos una familia de superficies (por ejemplo si en 2::. V'RZ_:;;Ll._'jL hacemos variar R obtenemos una familia de supereicies esféricas concéntricas) y lo mismo se aplica a X z. ('1.)'1. '1~):'(l.y x~('flz.'j'!))=ó; de este modo el espacio considerado se puede pensar como lleno completamente con tres familias de superficies y en cada punto ( ~ I j~. ~") ) de este espacio se cortan tres superficies p:ecisamente aquellas para las cuales se cumple: 'J = '1 (y \ ::t 2. Y ~ )"; ~dado Como vemos para poder garantizar la intersección de tres superficies en cada punto del espacio es necesario que en las ecuaciones 32) se puedan despejar las j \' en función de las ::i..' de modo que para cada terna ( X" xt. J X ~ ) exista una y solo una terna ( ~" :J't. ~ 3 ); la condición algebráica que nos ganntiza esto la obtenemos si en 31) expresamos las diferenciales totales de x... en función de los diferenciales totales de J'' es decir: r ( 33) ~ 7 d :I: d j 4 d:i. = d.x d)1. + axi el J3 2J'h. ~ 'J d'$~ d :: =.;;::ú d 'J I + ;) X1.. d 1r + dj d 'f~.;):13 ;; Xl. d '13 a :f.3_ do 'i ~.:i 3. d..1 '1. + a x. el J'3... ~ j I é>:fz. d J'} Se demuestra en el análisis matemático avanzado que la condición necesaria y suficiente para que exista una correspondencia buinívoca entre los ::fj y los JL es la de que no se anule el determinante de los coeficientes del sistema de ecuaciones 33); este determinante se llama el jacobiano de la transformación que nos convierte a los JI' en los.:(' a partir de las ecuaciones 31) I es decir se debe cumplir: dj (3 :ü. a:t lo.i. é)xj. =1 O C> 'j '&. d '13 ;;; :L) d '1.a X3. 2> XJ.;) '1 ~ d 13

3 9 Volveremos sobre el jacobiano en el capítulo XI sobre tensores relativos. Si en un punto del espacio tenemos tres superficies intersectadas: :::t:.:: x C1.1"l.J'});: (1.).:x."I. := X1 ['1'r"L. J"3 ) = C"I. X ~:: ;1C') ( 1. '1... '13) ;:. e 3 sabemos que ellas se cortarán dos a dos según una curva; así: la intersección de X 1.. :;:. c.."lo y 1} L.. la obtenemos despejando d~' enfunción de XI'!'7 35) J 1 = 1 (X" (2. J C:J Jl.; ~1. (X." (1. ("?» J 3:: J 3 ( "j. \ J Ú ("!J) Recordando que los J l' se refieren a coordenadas cartesianas del espacio podemos observar en las anteriores ecua~iones que para el punto en cuestión ( o sea siendo L"" c.") constantes) los valores de J" '$'1. j. son funciones de un solo parámetro ( X )} por lo tanto las ecuaciones 35 son las ecuaciones parámétricas de la curva que resulta de la intersección de las superficies )( " ~ x: 1. ( JI 17. ) ) ~ '") ::.. L z. Y :x ~ ;: ::;( t.. 'f" 'j '&. '1 3) = C"3 ; e s ta curva la llamamos la curva Xl; análogamente podemos decir que la intersección de las superficies Xl = el y X3 = e3 es una curva X2 y la intersección de Xl = el y X2 = e 2 es la curva X3 I en el gráfico siguiente podemos apreciar estas curvas Xl' X2' X3 :. ::.::::;:: rl t r (X;:( :t2 = ~))(3 ~ h) ( j' J J 11. J 1 J ) j superficie superflcie superficie XI el : :: X<.:= ( 1I111/..... ~ X 3.= (3

4 10 llamemos ~ al radio vector que nos localiza el punto l' con respecto al origen de coordenadas del sistema cartesiano ( 'j" J 'Z. ~ 3.); tenemos entonces: ya que rl' hemos d_cho que de 31) se pueden despejar las en función de las J::(.'. Ahora si desplazamos a y una distancia infinitesimal a lo largo de la curva Xl sef0s convierte en y+ el.::; (aquí se mant~nen x2 y x3 constantes) siendo d y un vector tangente a Xl ; la derivada ay representa entonces un vector é):;(1 _ tangente ~ Xl Y nos mide precisamente el cambio de Y a lo largo de Xl; este vector dy en general no tiene por qué ser unitario; lo llamaremos a ;análoga mente a: := d:t.1 _ a y ~.:x'l X 3 respectivamente. y a.3:::: son vectores tangentes a las curvas Xz y Si tenemos una función escalar.")( ::...;( ( JI )1. '53) se llama... d:x e t '. 7? la expresión: ex L. + ' L'. + é).)[ l.'.. _ '\7" con t.' ;aj ;;) 'i'l. 40 ;; '13 ~ V... I ) gradiente de..:x:: 1 a vector unitario en Si A ~ representa el parámetro longitud de arco a lo largo de la curva Xz enton no solo es un vector tangente a la curva coordenada X2 sino que tam ces ;;;7 da~ bién es unitario ya que en el límite (cuando AY y 6 h""l son infinitesimales) la magnitud de 6':; tiende a la de este vector unitario lo llamamos. 1: ay. ~ ~A'1.. _ Pero Y.= '1 i + 1t z: T J""> ) L:J (con ':t. '1 'L j"3 representando puntos de la curva X2 I para lo cual se deben cumplir las ecuaciones del tipo 35 es decir variando sólo una de las tres variables ::L." X'Z. J::L en este caso sole X'L).. ' é) '1..l a 'jl ;) 'h... t: l.. ::. Tenemos entonces: L.. l... + L.3 vector unitario d~2. d1'1. d1z tangente a la curva X2. d :!z d.:l. ~ '"1 3 d X Ahora: ;::; XI é) '11 5).::L_.;.. VXI.T?:= +... :;)'j;) Gl d /n.. d J' 9/')2. a'f '1. Hemos demostrado pues que para cualquier punto P el gradiente de la función X;.:tI (J'!<.13) multiplicado por el vec:tor unitario en la dirección de la curva X. (o s e a XI:;' c..r4_ J X3::' dl ) es igual a la derivada de esa función X'::..:X ( '/ '$z. '13) con respecto al arco A 1.. ; por lo tanto si a la función X ~ X [1./.; :. \ la tomamos constante ( :x I = ( ) entonces JI J L J».

5 d ~ '. = O Y en este caso: 36) d~z \l :X. t A. =O es decir I que si.x = <:'1 en tonces el vector gradiente de XI es normal a la tangente t~ de la curva X 2. Análogamente: Q :;t. 1 F; ::?J:;Y a '11 aj' a xj é} ' a.:x.j a 'b = d.. XI. ~'j. éj/5:) é)"j} ;>~') da3 o sea el gradiente de XI multiplicado e sca larmen te por el vector unitario tangente a la curva X 3 es igual a la derivada de XI con respecto a 'la longitud a lo largo de X3 ( /.)'3); si X = e 1 entonces d ';;::"' =O Y por lo tanto para este da3 caso "'1:$.1. t:~ =0: 37; vemos así que el gradiente de XI es normal a r:.; cuando XI es constante. De 36 Y '37 se concluye que cuardo XI =cte ( o sea para la superficie X :.)L{t'j:'h):'() el gradiente de XI es normal a la tangente R a la curva X z y a la tangente.~ n a la curva X 3 y co~ Ll.. Y t"~ están sobre la superficie?<l = el en tonceue concluye que '\/XI es normal a la superficie Xl = el' Análogamente: '1X1. es normal a la superficie.x2 = e Z y 'V:/.3 es normal a la superficie:i. 3 = e 3 Podernos demostrar ahora que los vectores: Q. ;:. Q.. CJ ' 3 ~ y forman dos bases recíprocas. Tenemos:.. = y;. '! I l I ~ '$1. L'l. ~ )3 ::::'/ do::. y: entonces: ~'1"Z.. ax! + a:j~ d.::tl 8':h a~1 el XI = 1 dx (

6 12.t ;;)'11 :2;;(2 4 ~j:j? X1 ~? ~I é> ~ 'l. e ~ ; é) ':Í3 análogamente: o? a~. (Jx.. ::. o) 37 a) y Vemos pues que se cumple la ecuación 23) que nos define las bases recíprocas: ;:;. ~ V'... (.' ( = 1 para i = j = O para i ~ j). '(. L. V A.J... a t J? Si los. Ch forman una triada ortogonal entonces como ya sabemos los V Xt: ~ coinciden con los a.l' o sea las dos bases coinciden ( esta coincidencia es ar. por lo menos de sus direcciones y si los son unitarios también coinciden en magnitud). Para terminar es te capítulo apliquemos lo anterior a un tipo simple de coordenadas curvilíneas las cilíndricas; en este caso se cumple: :> 'j I ;:.. Y ~ 4 ;10.. ~ 1.. ;::: Y.s..t..v e \)3;:: ~ siendo ( '1" :f... ':J") ) coordenadas cartesianas y gún la nomenclatura con que hemos venido trabajando Los vectores 0. C1l.? J'2::' ':> a..:j '9.xl.5~ ::r. '2. son: C} ~j~ ) '53 ~ ~3.....r _ ;:L I & = X" "\:;::: 1 J 'J ; e s decir: 3 8) '> (. 4 d ':Í~ (.f _d1 1 (3 ~ ::t..."l ( 1 )<v '" dx C7 x.. exi.":> Z2.. Lt se I Para encontrar '({x" V Xl. í/ X3 necesitamos la transformación inversa de 3 8) es decir:

7 13 Ahora:.. a:l. 'VX I.. ax a X l. + (1 r l.:a é) 1 é) 'jt dj~ "J.. L... ::fa. t 1 V J.~ +!: V J ~h1. :)~. ~ X'l.. _ i.. V :f." Ca ~ '1.:t. ~ +:(~ St.II"':4 Análogamente obtenemos:. j..(n).:x.l. t!c 5..:z:k. 'íj Xl. l.. + L z ~ :x... "Ix). (3 Como vemos re sulta: = a. I :. 'íf ::(. J :. 1 Q. 3 = '({.1.3::' 3 ~. tiz. y 'V:x. L tienen igual dirección pero no igual módulo ya que como entonces 'íj Xl.. \ ~1. \ j: 1. ~. Las dos bases resultan así iguales en sus vectores ( a CL3 ). Y ( Y:x... \i':b).. :"'1J' ~ ~ pero no en Ch y 'V x.. esto debido a que ( UI ct U1...)) es triplemente ortogonal pero \ Q'l.. \:f. 1; como se ve: Qt'. 2ij ~ O (i:ir j) I es decir:

8 14 En el siguiente gráfico apreciamos los vectore s a f.1 al. I a.) para coordenadas cilíndricas r.:.....; r... : a :::.a '""':'"'1J'.... :.....: I ' /... w ~'"... '.' e +t 't ~ En este caso las tres superficie s que se cortan en todo punto P son las siguiente s : Y':. XI ~ '1'1'1.+1; : d:c.(cilindro) '1 e I! X"f. :::. o.vc7"aa;" :t.:ct~(plano ) \ La s curvas coordenadas son: m Xl: Intersección de las superficies X '2. ~ ct:~ J 1: = o sea la intersección de los dos planos; es pues la recta que pasa por P yes soporte del vector a::. Q.".. X2: Intersección de las superficies X J;:' ere. ) X3::. (t:.e... es decir del cilindro y el plano Z= cte; esta curva es la circunferencia mostrada en el dibujo.

9 15 X3: Intersección de Xl =cte ~=cte~s d:.cir es la paralela al eje Y3 que pasa por P. (recta soporte de a ~ a.i ). I