X = a 0 + a 1 m + a 2 m a r m r,

Transcripción

1 EL NÚMERO NATURAL En este captulo vamos a introducir el concepto de número natural a partir de la Teoría de Conjuntos. Piaget demostró que el procedimiento que vamos a seguir para alcanzar el concepto de número es el mismo que utiliza la mente humana para crearlo, de modo inconsciente. Sirvindose de multitud de experiencias, Piaget llegó a descifrar cómo nace en el niño el concepto de número. Demostró que desde pequeño, el niño va comparando los conjuntos que maneja, e inconscientemente los va clasificando. Por ejemplo, observa que el conjunto de los dedos de una mano se puede poner poner en correspondencia uno a uno con el conjunto de los dedos de la otra mano (se da cuenta de que hay los mismos ), o con el conjunto de los dedos del pie,... Con todos estos conjuntos forma una clase que tiene de particular que todos los conjuntos que la forman tienen cinco elementos. Y así sucesivamente. Además, para adquirir el concepto de número no basta que el niño sepa realizar esta operación de clasificar. Es necesario también que sepa llevar a cabo la operación de seriar, u ordenar: es decir, que el niño advierta que los conjuntos de una clase tienen más o menos elementos que los de otra, pero además, que sepa ponerlos en serie, uno detrás de otro, por orden de magnitud. Normalmente, hacia los seis años el niño es capaz de realizar estas operaciones y puede adquirir el concepto de número. Así, a la clase de los conjuntos con un sólo elemento los asociará al número uno, a la clase de los conjuntos de dos elementos lo asociará con el número dos, y sabrá que esta clase tiene una mayor magnitud que la primera mencionada,... y así con el resto de clases. 1. Construcción de los números naturales Sea F = {X : X es un conjunto finito }. Es decir, F es el conjunto de todos los conjuntos con un número positivo y finito de elementos, junto con el conjunto vacío, es decir, el conjunto que no tiene ningún elemento. En el conjunto F podemos definir la relación binaria siguiente: Dos elementos en F están relacionados si podemos establecer una aplicación biyectiva entre ellos. Una aplicación biyectiva es una correspondencia entre dos conjuntos de forma que no sobre ni falte ningún elemento relacionado a ambos lados de la correspondencia, y además que cada elemento esté relacionado sólo con un elemento. Un ejemplo se puede ver en la Figura 1. La relación que acabamos de describir es una relación de equivalencia, ya que verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Puedes comprobarlo. Por lo tanto, esta relación de equivalencia clasifica los elementos del conjunto F en distintas clases de equivalencia, de tal forma que en cada una de las clases de equivalencia se sitúan todos los conjuntos equipotentes entre sí. Todos los conjuntos que integran una misma clase tienen una característica común: tienen el mismo número de elementos. Esta cualidad común de todos ellos se denomina número natural. Cada clase determina un número y a cada clase se le designa con el nombre, o símbolo, que es también el del natural correspondiente. Número cardinal 1

2 2 EL NÚMERO NATURAL Sea A F. Definimos número cardinal del conjunto A como el número natural correspondiente a la clase de equivalencia a la que pertenece dicho conjunto A. El cardinal de un conjunto A se representa por Card(A) y diremos, por simplificar, que el cardinal de A es el número de elementos de dicho conjunto. La operación de contar un conjunto A tiene por objeto hallar el cardinal de dicho conjunto. Al contar un conjunto prescindimos de la naturaleza de sus elementos y del orden en que los contamos. En cualquier orden en que se cuenten, se obtiene siempre el mismo número cardinal. Observaciones: El concepto de número es un concepto abstracto que sólo existe en nuestra mente. El número no es un conjunto, sino una cualidad del conjunto. Tampoco se debe confundir el concepto de número con el nombre que se le da o el símbolo con el que se le designa. El nombre varía según lenguajes ( dos, deux, two,...), pero el concepto es el mismo. Se les denomina números naturales porque son los que naturalmente encuentra la inteligencia humana al manipular y comparar conjuntos en la vida real. 2. Sistemas de numeración Dado que el conjunto de los números naturales es infinito, es imposible inventar un símbolo diferente para cada uno de ellos. De ahí la necesidad de crear un sistema de numeración. Un sistema de numeración es un conjunto de reglas y convenios que nos permiten expresar verbal y gráficamente los números naturales. Su principio fundamental es el del agrupamiento. El sistema decimal es el más usado en la actualidad y se caracteriza por: Utiliza diez símbolos, a los que les llamamos cifras o guarismos, que son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Su base es 10, es decir, 10 unidades de un cierto orden constituyen una unidad del orden inmediatamente superior. Cada número se expresa como reunión de unidades de diversos órdenes, de tal forma que el número de unidades de cada orden no puede exceder de 9. Se basa en el principio del valor relativo; es decir, una misma cifra representa valores distintos según el lugar que ocupa (unidades, decenas, etc...) Sin embargo, el sistema de numeración decimal no es el único, sino que existe una infinidad de sistemas de numeración. Vamos a aprender a representar los números en cualquiera de ellos, y a pasar de un sistema de numeración a otro. Teorema fundamental de la numeración Sea m > 1 un número natural que vamos a fijar. ste será la base de nuestro sistema de numeración con la que trabajaremos. Todo número X puede expresarse de forma única como: X = a 0 + a 1 m + a 2 m a r m r, siendo 0 a i < m, a i N, para todo i = 1, 2,..., r. Observaciones: Como has podido observar, hemos ya representado el conjunto de los números naturales por N. Si la descomposición polinómica de un número natural X, en potencias de m es X = a 0 + a 1 m + a 2 m a r m r,

3 EL NÚMERO NATURAL 3 entonces, utilizando normas análogas a las usadas en el sistema decimal, la expresión de X en el sistema de base m es: X = a r a r 1...a 2 a 1 a 0 (m. Cuando se haga referencia a un sistema de base m, m siempre vendrá expresado en el sistema decimal para evitar confusiones. Paso de un sistema a otro: Vamos a describir a continuación el algoritmo para cambiar un número de una base a otra. Distinguimos tres casos: (1) Si queremos pasar un número de una base cualquiera a base 10. Pongamos un ejemplo para explicarlo. Supongamos que queremos pasar el número 4237 (8, es decir, el número 4237 escrito en base 8, al sistema decimal. Entonces, 4237 (8 = = (2) Si queremos pasar un número de base 10 a una base cualquiera. Por ejemplo, si queremos expresar el número 7185 en base 9, entonces lo que hacemos es dividir sucesivamente por 9 y nos vamos quedando con los restos. Así, 7185 = , es decir, al dividir 7185 entre 9 obtenemos 798 como cociente y 3 como resto. Tomamos el cociente y realizamos la misma operación. 798 = = = hasta que obtenemos un cociente que no podemos dividir por 9 (en este caso es 1). Así, si recogemos el ltimo cociente y los restos en orden inverso al que los hemos obtenido, tendremos escrito el número en base 9. Así, 7185 = (9 (3) Si queremos pasar un número de una base m a otra base n. En este caso, debemos combinar los pasos anteriores. Si tenemos un número en la base m, lo expresamos en base 10 y ste lo expresamos en la base n. Por ejemplo, si queremos expresar 1253 (6 en base 7: a) Pasamos de base 6 a base (6 = = 321. b) Pasamos de base 10 a base = = por lo que 321 = 636 (7 De los dos pasos anteriores deducimos que 1253 (6 = 636 (7.

4 4 EL NÚMERO NATURAL 3. Ordenación de los números naturales Vamos a definir una relaciíon en tre los números naturales de esta forma: Sean a y b dos números naturales. Sabemos que éstos representan una propiedad de conjuntos (su número de elementos), así que podemos elegir dos conjuntos que tengan esta propiedad. Es decir, elegimos dos conjuntos cualesquiera A y B que verifican que a = Card(A) y b = Card(B). Diremos que a es menor o igual que b y lo representamos por a b siempre que podamos construir una correspondencia inyectiva de A en B. Una correspondencia inyectiva es aquella que cumple que cada elemento en el primer conjunto lleva asociado un sólo elemento en el segundo conjunto. Un ejemplo de aplicación inyectiva es la de la Figura 3. Se puede comprobar que la relación ser menor o igual que es una relación de orden. Con ella, podemos dotar de un orden a los números naturales, lo que da lugar al concepto de número ordinal. Número ordinal Ordenar un conjunto A es ponerlo en biyección (recuerda lo que es una biyección) con una parte del conjunto de los números naturales, N, pero atribuyendo a cada elemento de A un número fijo de N, que se denomina número ordinal o número de orden. Al ordenar un conjunto prescindimos de la naturaleza de sus elementos; sin embargo, a diferencia de lo que ocurría al contarlo, es esencial la forma o el orden en que se van tomando los elementos del conjunto. A cada posible forma en que se van tomando los elementos del conjunto le corresponde una ordenación distinta. No entramos en detalle con las operaciones de números naturales de adición y multiplicación, aunque cabe destacar que se cumplen las propiedades: Respecto de la adición: - cancelativa o de simplificación: dado c N, si se cumple a + c = b + c, entonces a = b. - es compatible con la relación de orden: si a, b, c N cumpliendo que a b y c d entonces a + c b + d. Respecto de la multiplicación: - Propiedad cancelativa: dado c N distinto de 0, si se cumple a c = b c, entonces a = b. - es compatible con la relación de orden: si a, b, c N cumpliendo que a b y c d entonces a c b d. - tiene a 0 como elemento singular ya que a 0 = 0 para cualquier a N. Otras operaciones con números naturales son la sustracción y la división, pero éstas no siempre cumplen que tras realizar estas operaciones sobre números naturales obtengamos un número natural. 4. Algoritmos para la adición y producto en cualquier base En este apartado queremos dar una interpretación formal al hecho de me llevo una y otras expresiones que utilizamos al realizar operaciones en el sistema decimal. Para ello, vamos a explicar las operaciones de sumay producto en una base cualquiera. No entramos a detallar las operaciones de sustracción y división, aunque su tratamiento es similar al de las otras operaciones. Explicaremos su funcionamiento con ejemplos: Ejemplo 1: 434 ( (8

5 EL NÚMERO NATURAL ( ( (8 Ejemplo 2: 312 (8 31 ( (8 x 3 1 ( (8

6 6 EL NÚMERO NATURAL Figure 1 Figure 2 Figure 3

7 EL NÚMERO NATURAL 7 Figure 4