CÁLCULO VECTORIAL (Revisión)

Transcripción

1 1. Campos scalas y vctoials CÁLCULO VECTORAL (Rvisión) Cuso d ELECTROMAGNETSMO nstituto d ísica acultad d Cincias. Sa Oxy un sistma catsiano d coodnadas (i,j,k) la bas otonomal (vsos) qu pmit xpsa cualqui punto dl spacio mdiant l vcto posición:! ix" jy" k. (1) Si s ota l sistma d coodnadas mantnindo fijo l oign O, s fctúa un cambio d bas a (i,j,k ) d un nuvo sistma Ox y. En sta bas, la posición d un punto dl spacio s xpsa como #! i##" x j# y#" k##. (2) Un mismo punto P dl spacio quda indicado n ambos sistmas con la condición! # $ ix" jy" k! i##" x j# y#" k##. (3) Como ambas bass son otonomals, tnmos qu los poductos scalas nt los vsos s i# % j#! i# % k#! j# % k#! 0, y i# % i#! j# % j#! k# % k#! 1. Multiplicando (3) po i, po j y po k obtnmos qu las coodnadas x,y, d un punto P cambian su valo a x,y, ant la tansfomación linal d otación: x'!& x" & y" &, y'!& x" & y" &, '!& x" & y" & (4) Dond & 11! i# % i, & 12! i# % j,...tc. Los coficints & ij d la tansfomación linal son los cosnos dictos d los ángulos nt los js d los sistmas oiginal y otado. Un campo scala ' bg! ' bx, y, g s una función ': R 3 ( R cuyo valo no cambia ant una otación abitaia dl sistma d coodnadas. Esto s, si un punto P d coodnadas x,y,, pasa a tn las coodnadas x,y, n l sistma otado, l valo d la función ' n las nuvas coodnadas s igual al antio: bg bg b g b g '# #!' $ '# x#, y#, #! ' x, y,. (5) Ejmplos: tmpatua n un cinto, dnsidad d una nub d patículas, ngía potncial d una patícula, tc. 1

2 bg b g 3 3 Un campo vctoial! x, y, s una función : R ( R qu s xpsa mdiant una tna odnada d funcions : k R 3 ( R llamadas componnts dl campo vctoial: bg bg bg bg! i " j " k x y. (6) Ant una otación abitaia dl sistma d coodnadas, cada una d las componnts cambia su valo d la misma foma qu cambian las coodnadas. Esto s, d acudo con (4), b g bg bg bg x' #!& 11x "& 12y "& 13, y' b# g! & 21xbg "& 22ybg "& 23bg, ' #!& "& "&. b g b g b g b g 31 x 32 y 33 Ejmplos d campos vctoials son: l campo d vlocidads d un fluido, l campo gavitatoio d fuas, campo léctico, campo magnético, tc. Un scala también s llama tnso d odn 0 y a un vcto también s l llama tnso d odn 1. Est compotaminto d las magnituds físicas ant una otación abitaia dl sistma d coodnadas s gnalia paa campos tnsoials d mayo odn. Po jmplo, un campo tnsoial d odn 2 s un conjunto d nuv númos odnados T ij dond i,j=x,y,, qu ant una otación s convitn n los nuv númos bg T# #! 3 )) & & T ij ik jl kl k! 1 l! 1 3 (7) bg. (8) Ejmplos d tnsos d odn 2 son: l tnso d incia d un ígido, l tnso d tnsions n l intio d un cupo, l tnso d dfomacions d un cupo, la pmitividad léctica n los cistals, tc. 2. Rpsntación gomética d un campo vctoial Un vcto n l punto P(x,y,) d un campo vctoial s pud psnta gométicamnt como un sgmnto ointado (flcha), cuyas poyccions sob los ts js d coodnadas son los componnts dl vcto (figua 1). Un simpl cálculo musta qu, ant una otación abitaia d la tna d js, cada poycción cambia d acudo con las tansfomacions linals (7). 2

3 igua 1 3. Opacions básicas Ent los vctos stán dfinidas las opacions básicas qu l studiant conoc d la scundaia, y qu dfinn un spacio vctoial: " G! " G, " G, " G. " 0!, dond 0! 0, 0, 0. (9) a! a, a, a. x x y y x y El númo a s al paa l caso qu nos intso n st cuso (spacio vctoial al). Admás s dfin un poducto intno n la foma % G! G x x " G y y " G. (10) S pud vifica qu l númo al sultado d (10) s un scala (vifica la condición (5) ant las otacions), po lo qu st poducto intno s llama poducto scala. El poducto scala (10) pmit dfini l cuadado d un vcto! x " y ", (11) y l módulo d un vcto! " " 2. (12) x y A pati d las lacions (10) y (12) s pud poba qu si los vctos y G foman un ángulo *, l poducto scala también s pud calcula como (puéblo) 3

4 % G! G cos*. (13) Admás dl poducto intno (poducto scala), s útil la dfinición d un poducto xtno, llamado poducto vctoial nt dos vctos, l cual s oto vcto dfinido po D sta xpsión s puba qu + G! G, G, G, G, G, G. (14) y y x x x y y + G!, G+. (15) La foma más útil d coda l poducto vctoial (14) s xpsalo como l dtminant d una mati, n la foma G H i j k + G! dt x y GG G G x y KJ, (16) dond i,j,k son los vsos sob los js x,y, spctivamnt. S pud poba (puéblo) qu l vcto + G s ppndicula al plano fomado po y G, y su sntido s l d avanc dl tiabuón cuando gia d a G (gla dl tiabuón o d la mano dcha). Si los vctos y G foman un ángulo * (mdido simp nt 0 y - ), ntoncs sulta qu (puéblo) + G! G sin*. (17) Es intsant obsva qu si y G psntan longituds ointadas n l spacio, po lo qu foman los dos lados adyacnts d un paallogamo, l poducto + G s nomal a sta supfici y su módulo s igual al áa dl paallogamo (puéblo, s muy fácil). 4. Coodnadas catsianas, cilíndicas y sféicas. En muchos poblmas d lctomagntismo s útil la utiliación d otos sistmas d coodnadas otogonals, apat dl sistma catsiano. En l sistma catsiano, las supficis d coodnadas x=cst., y=cst., =cst. son planos ppndiculas nt sí. Los intvalos d valos d cada coodnada son,. / x, y, /., En l sistma d coodnadas cilíndicas, las supficis d coodnadas son: =cst. (plano ppndicula al j ), 0! cst. (cilindo d adio 0 concéntico con l j ), y 1! cst. (plano qu contin l j y foma un ángulo 1 con l plano x). Los intvalos d vaiación d stas coodnadas son,. / /., /., 021 / 2-. D acá s dduc qu las lacions nt las coodnadas cilíndicas y catsianas s: 4

5 x! 0cos 1, y! 0sin 1, (18)! Las lacions invsas d (18) son 0! x " y,, 1 y 1! H G tan K J, (19) x! En l sistma d coodnadas sféicas, las supficis d coodnadas son: =cst. (sfa d adio concéntica con l oign), 1! cst. (plano qu continn l j y foma un ángulo 1 con l plano x), y 3! cst. (supfici cónica cicula con vétic n l oign y qu foma un ángulo 3 con l smij 4 0 ). Los intvalos d vaiación d stas coodnadas son 0 2 /., 021 / 2-, y Las lacions nt las coodnadas sféicas y las catsianas son x! sin3cos 1, y! sin3sin 1,! cos 3. (20) Las lacions invsas d (20) son 2! x " y ", 1, 1 y tan, x! H G K J HG KJ, 1 3! cos. 2 x " y " (21) Paa cada uno d los ts sistmas d coodnadas, dibuj las ts supficis d coodnadas qu intsctn n algún punto. En l sistma catsiano, los lmntos infinitsimals d longitud tomados a lo lago d cada coodnada son iguals a los lmntos d las coodnadas. Esto s dl! dx, dl! dy, dl! d. (22) x y En coodnadas cilíndicas, los lmntos infinitsimals d longitud a lo lago d cada coodnada son (puéblo) dl! d0, dl! 0d1, dl! d. (23) 0 1 En coodnadas sféicas, los lmntos d longitud son (puéblo) 5

6 dl! d, dl! sin d, dl! d3. (24) Los lmntos d áa sob cada supfici d coodnadas s caactian po la coodnada qu sulta ppndicula al lmnto. Así, n coodnadas catsianas, l lmnto d áa ppndicula al j x, qu llamamos ds x s l poducto d los lmntos d longitud dl y y dl. Entoncs, utiliando (22), tnmos paa los ts lmntos d áa n coodnadas catsianas, dsx! dlydl! dy d, dsy! dlxdl! dx d, (25) ds! dl dl! dx dy x y Los lmntos d áa sob cada supfici dl sistma d coodnadas cilíndicas sán, sgún (23), ds0! dl1dl! 0d1d, ds1! dl0dl! d0d, (26) ds! dl dl! 0d0d1 0 1 Los lmntos d áa sob cada supfici dl sistma d coodnadas sféicas sán, sgún (24) ds! dl dl! 2 sin 3d1d3, 1 3 ds! dl dl! d d3, 1 3 ds! dl dl! sin3d d1 3 1 (27) Ants d sgui adlant, s impotant qu Ud. dibuj squmas con los ts sistmas d coodnadas studiados y psnt, paa cada uno d llos, los ts lmntos d áa sob cada supfici d coodnadas. Los lmntos d volumn dv n cada sistma d coodnadas, s obtinn multiplicando los ts lmntos d longituds ppndiculas. Esto s, dv! dl 1 dl 2 dl 3. Dduca ntoncs las siguints xpsions. En coodnadas catsianas: En coodnadas cilíndicas: En coodnadas sféicas: dv! dx dy d. (28) dv! 0d0d1 d. (29) dv! 2 sin3 d d1 d3. (30) 6

7 Ants d sgui adlant, s impotant qu Ud. dibuj squmas con los ts sistmas d coodnadas studiados y psnt, paa cada uno d llos, l lmnto d volumn. 5. ntgals d campos scalas y vctoials a) ntgals d lína Como Ud. ya sab, una cuva C n l spacio d coodnadas catsianas s pud xpsa como una tna d funcions d las coodnadas spcto a una abscisa cuvilína u dfinida a lo lago d la cuva, dsd un oign abitaio (igua 2), bg bg bg bg u! ix u " jy u " k u. (31) El lmnto dl d longitud d aco sob la cuva, s igual al módulo dl lmnto d dsplaaminto d. Esto s dl! d! d du du, (32) si lgimos qu la abscisa u cca n l sntido d coido d la cuva. La intgal d lína d un campo scala ' bg sob la cuva C dsd un punto A hasta oto punto B s oto scala, y s dfin como C bg ' u A cbgh dl u ' u d B! du du, (33) dond la intgación n l sgundo mimbo s pud hac pusto qu l intgando s solamnt función d u. D la misma foma s dfin la intgal d lína d un campo vctoial bg sob la cuva C dsd A hasta B, lo qu sulta n un vcto bg dl i cbg u h d j cbgh k cbgh du du u d u du du u d B ub ub! du du x " y ". (34) ua ua ua C 7

8 igua 2 En paticula, sulta útil la intgal d lína dl poducto scala dl campo vctoial po l lmnto vctoial d dsplaaminto d! idx" jdy" kd a lo lago d una cuva C dsd A hasta B. Esta intgal s xpsa como % d. Paa calculala, xpsamos l lmnto vctoial d dsplaaminto sob la cuva (u) como C d d! du du. (35) D foma qu cbgh. (36) d % d! u % du du Como la xpsión dl sgundo mimbo d (36) s solamnt función d u, la intgación s pud hac, Ejmplos C cbgh. (37) ub d % d! u % du du ua i) Sa un campo scala d la foma ' bg! 1. Calcula la intgal d lína d st campo sob la cta contnida n l plano xy, paalla al j y y qu pasa po x=a, dsd y=0 hasta y=b. 8

9 Esta cta tin las cuacions x! a, y! u,! 0, qu s pudn xpsa n la cuación vctoial bg! u ia" ju. El campo scala stingido a sta cta s bg 1 1 ' c u h!! bg u a " u, sindo admás d du sulta ' bg dl ' cbg u h d u du du b a u du b B 1, 1!!! ua " H G sinh a K J. 0 C! j, po lo qu la cuación (33) ii) Sa un campo vctoial d la foma bg! 3. Calcul la intgal d C lína vcto b g dl y la intgal d lína scala b g% d sob l C mismo sgmnto d cta dl poblma antio. Est campo vctoial stingido a la cuva d intgación s u ia ju cbugh b g "! 3!. bu g ca " uh 3 2 D foma qu la intgal d lína vctoial sá, d acudo con (34), bg dl i cbg u h d u j cbgh du du u d B ub! du du x " y ua ua C b a b u! i du " j du 0 a " u a " u 3 2 c h c h HG KJ b 1 1! i " j, a a " b a a " b La intgal d lína scala s, d acudo con (37), ub d i " j % j % d! u %! du du b a u cbgh b g du ua 0 C ca " uh 3 2 b u 1 1! du!, 0 a " u 3 2 a a " b b) ntgals d supfici c h Cada punto d una supfici S n l spacio s psnta mdiant un sistma d coodnadas cuvilínas u,v taadas sob la popia supfici. El vcto posición sob S s una función d las coodnadas cuvilínas! buv, g (igua 3). Un lmnto d dsplaaminto d tangnt a S s xpsa ntoncs como d! 5 u du " 5 5 5v dv. (38) 9

10 En la dicción d la coodnada u (mantnindo v constant) l lmnto d dsplaaminto sob la supfici s d u! 5 5u du. (39) En tanto qu, n la dicción d la coodnada v (mantnindo u constant) l lmnto d dsplaaminto sob la supfici s d v! 5 5v dv. (40) igua 3 D acudo a lo dicho sob l poducto vctoial, (v l txto qu sigu a la cuación (17)), l lmnto d áa sob la supfici S val ds! d d u v dudv u + v! , (41) 5 ligindo las diccions ccints paa u y v. El vcto unitaio nomal a la supfici n l punto (u,v) s ntoncs 5 nb uv, g! 5 u v 5 5 u + 5 5v, (42) po lo cual, l lmnto d áa ointado sgún la nomal n s punto s xpsa como 10

11 n b uv, g ds! 5 5 u + 5 5v dudv (43) S pudn dfini intgals d campos scalas y vctoials sob una supfici S n l spacio. La qu más nos intsa po ahoa s la intgal d áa dl poducto scala nt l campo vctoial y la nomal n cada punto d la supfici. Esta magnitud s un scala y s llama flujo dl campo vctoial a tavés d la supfici S, y s d fundamntal impotancia n l lctomagntismo y la mcánica d los fluidos. S xpsa como % nds, y s calcula utiliando las coodnadas S cuvilínas u,v sob la supfici S. Evaluando sob la supfici (u,v) tnmos, paa l flujo, S u u v % nds! u, v % 1 v 1 cb gh HG K J u 5v dudv. (44) Los límits d intgación d las coodnadas cuvilínas n (44) dbn cubi toda la supfici sob la qu intsa calcula l flujo. Po llo s impotant lgi las coodnadas u,v sob la supfici S d foma tal qu la dobl intgal d (44) sult lo más simpl posibl. Obsévs qu si l campo vctoial fus l campo d vlocidads d un fluido, la aplicación d (44) popociona l caudal d líquido o gas qu atavisa la supfici S (p. j. n m 3 /s). D ahí l nomb d flujo. Ejmplo. Sa un campo vctoial d la foma bg! 3. Calcula l flujo d st campo a tavés d la supfici latal d un cilindo cicula d adio a con su j sob l j d coodnadas y su altua nt, a 2 2a. Las coodnadas cuvilínas más convnints sob la supfici dl cilindo son las popias coodnadas cilíndicas. Esto s, x! acos u, y! asin u,! v, dond u s l ángulo aimutal 1 dfinido ants paa l sistma d coodnadas cilíndicas. La supfici n custión s ntoncs l conjunto d puntos buv, g! iacosu" jasin u" kv. Paa cubi toda la supfici latal dl cilindo, los intvalos d valos d las coodnadas son 02 u/ 2-,, a 2 v 2a. D acudo con (43), l lmnto d áa ointado (hacia afua d la supfici cilíndica, vifíqulo) s nbuv, gds! 5 dudv b ia sinu ja cosug kdudv 5 u + 5!, " + 5v! bja sin u " ia cosugdudv El campo stingido a la supfici dl cilindo s iacosu" jasin u" kv cbuv, gh! 3!. a " v 3 2 c h 11

12 El intgando dl flujo n l sgundo mimbo d (44) sulta ntoncs cb gh b g b g 5 iacosu jasin u kv jasin u iacosu a uv, % 5 u " " % " HG 5v K J!!. ca " vh 3 2 ca " vh 3 2 Véas lo simpl qu sulta l intgando al lgi las coodnadas cilíndicas. Sustituyndo st valo n l intgando dl sgundo mimbo d (44), tnmos, paa l flujo a tavés dl cilindo, a X 2- X 2 % n! a ds dudv! -. Y Y S! a " v c) ntgals d volumn Z v!, a Z u c En una gión cada d volumn V, s pudn calcula las intgals d un campo scala ' o vctoial, qu s xpsan simbólicamnt como h 6! ' bg dv, (45) V y b g xb g yb g b g G! dv! i dv " j dv " k dv, (46) V V V V spctivamnt. El lmnto d volumn dv s xpsa n l sistma d coodnadas más adcuado a la gomtía dl poblma. En coodnadas catsianas, cilíndicas o sféicas, tnmos los lmntos d volumn dados n las cuacions (28), (29) y (30) spctivamnt. La intgal d volumn s una intgal tipl n las ts coodnadas. Ejmplos i) La dnsidad d masa d un mdio continuo qu s xtind hasta l infinito, vaía con la posición n la foma 0bg! 0 xp,. Calcula HG la masa total dl sistma. Como la dnsidad s la masa po unidad d volumn, la masa total dl sistma sá la intgal scala M dv! 0 V b g, dond la gión d intgación V ocupa todo l spacio. Como la función d la dnsidad tin simtía sféica, l mjo sistma d coodnadas s l sféico. Paa cubi l spacio d intgación, las coodnadas sféicas dbn vaia n todo su intvalo. Sa!. Utiliando l lmnto d volumn n coodnadas sféicas (30), tnmos 0 KJ 12

13 . - 2-! 0 3! 0 1! 0 H M 2! 0 xp, sin3dd1d3 0 K. 2! 4-00 xp, d! H 0K ii) Exist una magnitud vctoial n lctostática llamada dnsidad d polaiación po unidad d volumn P() n l intio d los matials dilécticos. En una vailla cilíndica d adio a y altua h, con su j n l j d coodnadas, xist una dnsidad d polaiación qu vaía con la distancia 0 al j y con l ángulo aimutal 1, n la foma 2 P! P01,! u A0cos 1, dond u 0 s un vso n la dicción bg b g 0 adial 0. Calcula la polaiación total p d la vailla (llamado momnto dipola). El momnto dipola p s un vcto qu s obtin intgando la dnsidad d polaiación a todo l volumn V dl matial. Esto s p P.! b g dv V Como la vailla tin simtía cilíndica, l sistma d coodnadas más adcuado s l cilíndico, po lo qu l lmnto d volumn sá dv! 0d0d1 d, como s mostó n la cuación (29). No obstant, ants d hac la intgación s ncsaio obsva qu l vso adial u 0 vaía con l ángulo 1 n la foma (hágas un dibujo paa vlo) u0! icos1 " jsin 1. Sustituyndo st sultado n la xpsión d P, la dnsidad d polaiación sulta 3 2 Pb01, g! ia0cos 1" ja0cos 1sin1 D foma qu l momnto dipola p sulta a 2- h a 2- h 2 3 p! i A0 cos 1d0d1d" j A0 cos 1sin 1d0d1d 0! 0 1! 0! 0 0! 0 1! 0! 0 S dja al studiant la taa d calcula stas intgals. 6. Divación d campos scalas y vctoials Sa un campo scala '()='(x,y,). Si la función ' s continua y difnciabl, l valo d la misma n un punto póximo " d s pud apoxima suficintmnt con los pimos téminos dl dsaollo d Taylo, b g bg. (47) ' ' ' ' " d 7 ' " 5 " 5 " 5 5x dx 5y dy 5 d El sgundo mimbo d (47) s pud pon como un poducto scala d dos vctos, d la foma ' " d 7 ' "8'% d sindo d! idx" jdy" kd, y dond s ha dfinido l vcto b g bg, (48) 13

14 8! 5 ' 5 " 5 ' ' 5 " 5 ' i j k x y 5. (49) Est vcto, qu contin las ts divadas pacials d un campo scala, s llama gadint dl campo. Constituy un campo vctoial asociado al campo scala. La xpsión (49) pmit dfini un opado difncial vctoial muy útil n l studio d los campos, llamado opado nabla: 8! 5 5 " 5 5 " 5 i j k x y 5. (50) La vaiación d la función ' n l spacio, al pasa dl punto al punto vcino " d s d'!' b" dg, ' bg. D foma qu la cuación (48) nos indica qu sta vaiación, ant un dsplaaminto d, stá dada po d'!8'% d. (51) Si l vcto gadint y l vcto dsplaaminto lmntal foman un ángulo *, l poducto scala d (51) s pud pon como d'!8' d cos *, (52) d dond s obsva qu la máxima vaiación n la función n tono al punto s obtin cuando l dsplaaminto s n la misma dicción dl gadint (*=0). Esto puba qu l vcto gadint apunta n la dicción n qu la función tin l mayo aumnto po unidad d longitud. Como l módulo dl dsplaaminto d s la longitud dl, la xpsión (52) stablc qu d'!8' cos *. (53) dl Esto popociona l valo d la divada diccional dl campo scala, n una dicción abitaia qu fom un ángulo * con l gadint dl campo n s punto. El opado difncial vctoial nabla dfinido n (50) s aplica también paa diva campos vctoials. Hay dos fomas d aplica l opado 8 a un campo vctoial : mdiant un poducto scala y mdiant un poducto vctoial. El poducto scala dl opado con l campo vctoial dfin un campo scala, asociado a, HG d i, (54) 5 8%! 5 " 5 5 " 5 % " "! 5 KJ 5 5 " 5 i j k i j k 5 " 5 x y x y x y x y 5 qu s llama la divgncia dl campo vctoial. El poducto vctoial dfin oto campo vctoial asociado a, 14

15 HG " KJ HG K J " 5y 8+! 5, , 5 5 i j k 5 5, 5 x y x, (55) y x x 5y qu s llama l oto dl campo vctoial. Como todo poducto vctoial, la xpsión (55) s más fácil d coda n foma dl dtminant G H i j k 8+! dt 5 5x 5 5y 5 5 G x y HG KJ KJ. (56) En los jcicios pácticos Ud. tndá ocasión d calcula gadints, divgncias y otos d divsos campos, así como d compnd sus significados físicos. 7. Tomas fundamntals dl cálculo vctoial a) Toma d Gauss Sa un campo vctoial continuo y difnciabl n una gión simplmnt conxa dl spacio. Sa S una supfici cada abitaia dnto d sa gión, qu contin un volumn V. San n(x,y,) l conjunto d los vsos nomals a la supfici S, lgidas hacia afua. El toma d Gauss stablc qu S V % nds! 8% dv. (57) El símbolo indica qu la intgal s xtind a toda la supfici cada. El toma d Gauss xpsa qu l flujo d un campo vctoial a tavés d una supfici cada, s igual a la intgal d volumn d su divgncia dnto d la gión ncada. Paa su dmostación, tommos un pisma lmntal d aistas dx, dy, d n la gión dond l campo vctoial vifica las condicions d la hipótsis (figua 4). El flujo n la dicción x stá dado po b g b g b g b g b g b g 6 x n1 x, y, n2 x dx, y, ds x! % " % "!!, i% x, y, " i% x " dx, y, dy d! x dx, y, x, y, dy d x! x ", x 7 5 5x dx dy d Po un aonaminto simila, tnmos, paa l flujo n las diccions y,, los valos (58) y y dx dy d, dx dy d. (59) 5y 5 15

16 Po consiguint, l flujo total a tavés d la supfici cada dl pisma lmntal sá HG % n! " "! 5 5 " 5 ds 5 " 5 x y 6x 6y 6 dx dy d, (60) x y 5 S dond S indica qu s tata d la supfici dl pisma lmntal d la figua 4. KJ igua 4 ntoducindo n (60) la dfinición d la divgncia dada n (54), y l volumn dl pisma dv! dxdyd, tnmos % nds!8% dv, (61) S paa un pisma lmntal d supfici total S y volumn dv. Un volumn abitaio s pud dscompon n pismas lmntals infinitsimals, como los d la figua 4. En la figua 5 s obsva qu los flujos cospondints a las caas adyacnts d stos pismas lmntals (supficis sombadas) s anulan nt sí, po tn las nomals opustas. Po lo tanto, la suma d los flujos lmntals dan como sultado l flujo total solamnt sob las caas xtnas d los pimas, sto s, l flujo a tavés dl áa total S dl volumn abitaio, ntoducindo (61) n (62), obtnmos lo cual puba l toma d Gauss (57). S ) S % nds! % nds. (62) ) S % nds! 8% dv! 8% dv, (63) V 16

17 igua 5 b) Toma d Stoks Sa un campo vctoial continuo y difnciabl n una gión simplmnt conxa dl spacio. Sa C un contono cado qu no s cua a sí mismo, y sa S cualqui supfici dlimitada po dicho contono. El toma d Stoks afima qu C S b g, (64) % d! 8+ % nds dond d s l lmnto vctoial d longitud sob l contono C, n l sntido lgido abitaiamnt paa su coido. Los vctos nomals n a la supfici S dlimitada po l contono s lign d acudo a la gla d la mano dcha o dl tonillo. Esto s, si l pulga d la mano dcha apunta n l sntido d los vctos n, los dmás ddos apuntan n l sntido d coido dl contono. Pobamos l toma paa un contono plano, digamos, n l plano xy. Comnamos po un contono ctangula lmntal C d lados dy, dy, po lo qu su áa sá ds! dxdy. En la figua 6 s musta cómo calcula la ciculación lmntal paa st ctángulo d lados infinitsimals. D acudo con la figua, tnmos % d! xbx, y, gdx" ybx" dx, y, gdy, xbx, y" dy, gdx, ybx, y, gdy! C (65)! x " dx, y,, x, y, dy, x, y " dy,, x, y, dx b g b g b g b g y y x x El sntido d la ciculación n l ctángulo s ligió d foma qu la nomal a la supfici stá sgún l j. Utiliando los dsaollos d Taylo hasta l pim odn n (65), tnmos qu 17

18 %! 5, 5! 5 y d 5 5 5, 5 x dxdy y dxdy x y x x 5y C HG KJ ds. (66) Si obsvamos la dfinición d oto d un campo vctoial, xpsión (55), vmos qu l sgundo mimbo d (66) s la componnt dl oto n la dicción dl j, sto s, d la nomal al ctángulo d la figua 6. Po consiguint, paa l ctángulo lmntal d la figua, tnmos qu % d! b8+ g % nds. (67) C Dado qu la xpsión (67) s una lación nt vctos, ya no s ncsaio qu l ctángulo lmntal sté n l plano xy, como s asumió al pincipio. igua 6 Cualqui supfici dlimitada po un contono cado abitaio s pud dscompon n pquños ctángulos lmntals, como s musta n la figua 7. igua 7 Los lados adyacnts d los contonos canclan sus apots a la ciculación, poqu sus sntidos d coido son opustos. Po lo tanto la suma d las ciculacions lmntals sob todos los ctángulos, s igual a la ciculación sob l pímto dl gan contono C. Esto s C ) C % d! % d. (68) 18

19 Sustituyndo la xpsión (67) n (68), tnmos, paa la ciculación total sob un contono abitaio C, l sultado ) C b g b g. (69) S % d! 8+ % nds! 8+ % nds Como cada contono lmntal pud tn cualqui ointación n l spacio, l sultado (69) s válido paa cualqui supfici cuva S limitada po l contono C, l cual, tampoco tin qu s plano. Constituy ntoncs l toma d Stoks (64). 19