Práctica 02 Expresiones Algebraicas

Transcripción

1 Instituto Tecnológico de Costa Rica Escuela de Matemática Matemática General Práctica 0 Expresiones Algebraicas I. Determine el valor numérico de la expresión en cada caso: ) x + ax b si x =, a = y b = 7 ) x + ax + si x =, a = 49 y c = 7 c 5 x y z si x =, y = y z = 5 4 x y si x = y y = 6 y + x ) p + ) p q p + p si p = y q = q y z x si x = 8, y = y z = 4 x xy + x4 z 4 y z si x =, y = 8 y z = 8) 9n 5 4n + 4 n si n = 9) a 4 5ab 5 ) b si a = 5 y b = 4 II. Si se supone que x > 0, y < 0 y z < 0, determine el signo de las siguientes expresiones: ) ) x y 8) y ) y + z ) x y + z) 9) y x z 0) z y ) x z x ) y ) y + z zy x + y x ) ) x y + z x + z

2 III. Realice las operaciones indicadas y exprese el resultado en su forma más simplificada: ) 4xy 0x y xy ) 7x 5xy + xy ) ) x yz + y ) 4 x y yz ) + x + y [ ] x + 4y + x x y x) y { [ ] } x x + y) + x y { [ ]} [ ] 5a + b + 6c a a c) 9c 7b + c) 4ab 5 + bc 7 ac ) 4ab 5 + bc 4 ac ) 5 m + m + ) 4m 4m + ) 8) 4xy w ) 5x y) x y w ) [ ] 9) 6a a a a 4b) ab 0) ) x + y) x ) + x b ) + x b ) ) a + 4b c) a 4b + c) x 5 ax 4 + a x a x + a 4 x a x + a) x 5x + 6 ) x x x 5x + 6 ) [ ] a b) 4a + b) a + b a + b) x + 5 x + x x x y) x + y) x + y) x y) 8) a b) + a + b) + a + b) a b) + a b) a + b) 9) b x b x+) b x 0) x a + x +a + ) x a ) ) a x a x a x + a) IV. Utilice propiedades de los números reales, fórmulas notables, etc. identidades: ) ) a + b a b ) = ab ) x + a + b) x + ab = x + a) x + b) a + b + c abc = [ a + b + c) b c) + c a) + a b) y verifique las siguientes

3 Bajo qué condiciones se cumple que: a m + ab + b a m + ab + mb = a + b + m a + m? a b b a = 0 Sug: Realice los casos a > b, a < b y a = b) a b + a + b Verifique que si a > b > 0 entonces: = a a b + a + b Verifique que si b > a > 0 entonces: = b 8) a + b) + a + b) 4ab Verifique que si a b > 0 entonces: = b Se cumple la identidad si a b < 0? 9) Verifique que si c b < 0 y a + c b > 0, entonces: a c b + b = a + c V. Encuentre los errores en los siguientes procedimientos: x + y ) x + y = = x + y x + y x + y x + y = ) xy + x + z + y z = x y + ) z + y ) = xz y + ) a b + a + ab + b = a ab + ) + b a + ) = a + b) ab + ) a + ) VI. Efectúe las siguientes divisiones: ) 6a 4 + a 5a ) a ) x y xy 8x y ) xy 4x + 4x 9 ) x ) x x x ) x 5 9x ) x + ) a 4 + 4a b a b 56ab ) a + 7b) 6x xy 8y x + 4y ) 8) 6a 4 + a x 5x ) a x ) VII. Determine, utilizando división, si el valor dado es un cero del polinomio enunciado o no: ) P x) = 6x 4x + 5x 4, x = ) P s) = s 4 + s + 7s 9, s = Q t) = t 4 t + t + 4, t = VIII. Sin efectuar división, muestre que P x) = x x + x 5 es divisible por x. IX. Encuentre P x) si se sabe que x =, x = y x = 5 son los ceros del polinomio. X. Construya un polinomio de grado si se sabe que x = es un cero del mismo. XI. Si se sabe que x = es un cero del polinomio P x) = x 4 x x x, encuentre su factorización completa. XII. Factorice, completamente, P x) = x 5 5x 4 0x + 50x + 9x 45, si se sabe que x =, x = y x = 5 son ceros del polinomio.

4 XIII. Si se sabe que x = y x = son ceros del polinomio P x) = x4 7 x x + 7 x, escriba la factorización completa de P x). XIV. Efectúe las siguientes divisiones; use división sintética cuando crea conveniente. Exprese el resultado obtenido en la forma P x) R x) = C x) +, donde Q x) es el polinomio divisor, Q x) Q x) C x) es el polinomio cociente, R x) es el polinomio residuo y P x) es el polinomio dividendo: ) ) 4x 5x + x x + x + x + x x x + x 4 x 7x 64 x 4 y + y 5 y y y + 4x y + 5x y + x 4 + xy x + y + xy XV. Efectúe la división indicada usando división sintética: ) x x ) x ) ) x + 5 ) 4x + 5x + ) ) x + y 4 y + y y 5 ) x 8x 4 x + x + 9 ) x) y + ) x 6 + ) 4x + 0x + x 5 ) ) x) 8) 6b + 5b 4b + ) b XVI. Factorice y simplifique al máximo las siguientes expresiones: ) a 0 a 8 a 6 + a 4 ) m + mb + b a + a ab b x 6 9x 6xy + y + x 7a 8) x 5 x 4 + x 9) 6x 9x 0 0) 5x 4 8y ) m ) a 5a b + 6ab xy 6y + xz z 4b + 4b a a 0 5m + m 4 8m 7y 6 8) 8a a + 6a 9) c 4 4a 4 0) m + n) 6 m + n) + 9 ) 7x + x 0 ) m a 6 + 6a 4ab + 9b + 6x 9 a d + n c an + cd x 64 8) 49a b + 4ab + 4

5 9) ) 8 0) ) 4 8 ) x a + xy + y + ab b a b 4 x x 4 x x + 4x + 60 a ) b ) + x ) a + ab + 6b + a b) 8) 4 + 8a 9) 6am + 4an n m 40) 8a 6 4b c 8 4) 6 a + b) 0 x x 4 n + n 4 4 ax + a x 4 a x a x 4 9m + 4a am 4 a b + c) 48) 9x 4 5t 6 49) x + x 8 50) x + 6x y + xy + 8y 5) 5a 6 + a m + 9am 0m + a + 9a 0 5 a x + ax 8a 6a 5 8a a 5 + 8ab + 8a b 5 4a 6 5 x 4x + x ) x 4 4x 6x 4 59) x 4 4x + x + 4x 4 60) x 4 5x + 4x x 6) 6x + x + 9x 8 x 4 + x x + x 6 6 x m+ x y m 6 5x x + x 6 m + m m ) 69) 70) 5x + 9x 7 0x + x x 4 8x 9 x x + x x + x + x + x 5 + x 4 x x 4 + x x x x 4 x 8a a + 6a 4a + 8a a + XVII. Exprese los siguientes trinomios como suma o resta de cuadrados, utilizando el método de completación de cuadrados: ) 9x + 6x 8 ) x x 5 4x x 4b 6b 7 x 4 + 4x + 7 5y + 0y x + XVIII. Un estudiante al resolver un ejercicio en que le pedían que expresara el polinomio x + x 7 x 7 ) como la diferencia de dos cuadrados, dio como respuesta: + x) ) Por qué la respuesta del alumno está mala? ) Dé la respuesta correcta. 5

6 XIX. Realice las operaciones indicadas y simplifique al máximo: ) ) 8) 9) 0) ) ) 8) bx b x + b x x + b 5 + x x + 6 x x + x x m 6m m 7 + m 6 m 4m + x x 6 x x x x + 4 x + x x x x x + x x + x x x + 5x + 6 x + y x y x y x xy + y x x + x x + 4x x + x x x x x 0 x + x + x x + 5 [ ] y + 4y 5y y y + y + y y 4 y 4 + 8y y y + 4 [ ] ] [ ] x + x x [x x x x x [ ] ) x 4 x x ) x + x xy + x y x + y [ ] a b b a) a 4 4b a + b) ab) b a x + y ) x y + x x y x y y y + x) x y ) 6

7 9) x n y n x n + x n y n + x n y xn x n y n n x n XX. Efectúe las siguientes operaciones y exprese la respuesta de manera que el denominador quede racionalizado. Suponga que todas las raíces están bien definidas: 5 ) 9 x 6 64x y 9 5x y + x4 y 4 y 9 4z 8z 6z 4 8 8a 4 ) 6b 4 79a 75a n 4 n n + 4 4b n a b n XXI. En cada caso racionalice el denominador o el numerador, según sea el caso, y simplifique al máximo la expresión resultante: ) ) x x 4 y x x x x + x 8 x 4x x x x x 4 x 5 x ) x 8) 9) 0) ) ) x 4x x x x + x 8 0x 5x 5x 4 x + y x y 4xy x 64 6x + x 6x 4 x + x + x 7

8 Respuestas I. ) 5 ) ) 0 9) 60 5 II. ) + ) ) + 9) + 0) + ) + ) + + III. ) 9xy 5xy 0x y 7x ) 8y + 6yz x + 7y y 4x + 4 a + 0b c 8ab 5 bc 4 7ac 5 7m + 9m 8) 0x 5 y 6 w 9) a 5ab 0) x x + x y y ) 4 + x b + 9x 4 b 4 ) a 6b + 8bc c x 6 a 6 x + 5x 8 8a b x 6 6x y + 6y 8) 8a 9) b x b x+ 0) x + x a+ + x a ) a x 4a x IV. 8) No VI. ) a + a 5 ) 4x y 8 xy x + 4x x x x a a b 8ab x 7y 8) a + 5x VII. ) Sí ) Sí No XI. P x) = x ) ) x + ) XII. P x) = x ) ) x x x + XIII. P x) = x ) x ) ) x ) 8

9 XIV. ) 4x 9 4 ) x + x + x 4 + x XV. ) x ) x 5x + 5 y 5y + y y + x 5 x 4 4x 8x 6x + 67 x XVI. ) a 4 a ) a + ) a + ) ) m + b) a b) a + ) x x + x y) ) x ) a ) 9a + a + ) 8) x 4 + ) x ) 9) x 6x + 0) 5x 9y ) 5x + 9y ) ) m) + m + m ) ) a a b) a b) y + z) x b) a + a m ) 5m + ) m y 4m + 6my + 9y 8) a ) 9) c a ) c + a ) c + a ) 0) m + n ) x + 7x ) m) + m) x x + x 9x + 6 y + y + 0y x + xy 4x x + 6 8x + 7x + 6x + 9 x ) b + 7b b a + ) a 4 a + ) 68y 9 y y + 4a b) 6x + 6x + x x 6 + x ) 6 a + c d n) a c + d n) x x + 46 ) 8) 7ab + ) 9) 0) x 8) 0) x ) x + x + 0 ) ) x + y + a b) x + y a + b) ) ab + ab ) x ) x + x + ) 4 ) x x + x ) a b + x) a + 6b) + a b) a + b + a b) ) 8) 7 + a) 49 4a + 4a ) 9) a ) n + m) 40) 9a bc 9a + bc 4) 4 a b) 4 + a + b) 4 x) 5 + x) 4 n + n 9

10 4 a ) ) 4 a + x) a x ) 4 m a) 4 a + b + c) a b c) 48) x 5t x + 5t 49) x + x 50) x + y) 5) 5a + ) 5a 4 5a + ) a ) a + m + ) 5 a a + ) x ) x + x + 4 ) 5 a 4a ab) 5 a ) a ) + a 4 a ) + a 4 + a ) + 5 ) x ) x XVII. ) ) x) x + ) ) 4b 58) ) x ) x + ) 59) x ) ) x ) 60) x x ) x ) 6) x + x + x ) x ) x + ) x + ) 6 x x m y m ) x m + y m ) 6 x ) ) x ) 6 m ) m + ) m + ) 6 x + x x + 6 x + 68) x ) ) 69) 70) x + x + a a + x + ) ) + ) 5y + ) x + ) + ) XIX. ) ) x b + 4 ) x ) ) x x x ) ) m + m + 54 m m + x + x 5 x ) x + ) x 8x x + x + 6 x x ) x + 8) 9) 0) x ) x x + ) ) y y y + y ) ) x + x x xy + y xy a + b a b b a) 0

11 a b a + b 8) 9) y x x x y) x x n + y n XX. ) ) XXI. ) ) 5 x 7 y y 6ab b x 9 xy) 9 x ) 4 x ) 6 x + 9 x ) x + 4x ) 9x x x + x ) x x + ) 8) 5 x ) x) + ) 5 4x a n 4xyz z 9) 4x x + x + x ) 0) ) ) 5x 4 5x + ) 8 0x + 5x ) xy x y ) 8 x) 4+ x+ ) x 4 x ) ) x + x4 x x ) + x ) x ) Créditos: Alexander Borbón Alpízar Luis Carrera Retana